2013高考数学专项突破圆锥曲线专题

2013高考数学专项突破圆锥曲线专题

2015 高考数学专项突破：圆锥曲线专题 目录 一、知识考点讲解......................................................................2 第一部分 了解基本题型.......................................................3 第二部分 掌握基本知识.......................................................5 第三部分 掌握基本方法.......................................................7 二、知识考点深入透析............................................................13 三、圆锥曲线之高考链接........................................................15 四、基础知识专项训练............................................................19 五、解答题专项训练................................................................28 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案....................................34 附录：基础知识专项训练参考答案........................................38 附录：解答题专项训练参考答案............................................40 一、知识考点讲解 一、圆锥曲线的考查重点： 高考试卷对圆锥曲线的考查主要是：给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和 简单的几何性质；或给出曲线满足的条件，判断（或求）其轨迹；或给出直线与 曲线、曲线与曲线的位置关系，讨论与其有联系的有关问题（如直线的方程、直 线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等）；或讨论直线与曲线、曲线与曲线 的关系；或考查圆锥曲线与其它知识的综合（如与函数、数列、不等式、向量、 导数等）等。 二、圆锥曲线试题的特点： 1、突出重点知识的考查。直线与圆的方程、圆锥曲线的定义、标准方程、 几何性质等是圆锥曲线命题的根本，在对圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的 位置关系仍然是重点。 2、注重数学思想与方法的考查。 3、融合代数、三角、不等式、排列组合、向量和几何等知识，在知识网络 的交汇点处设计问题是高考的一大特点，由于向量具有代数和几何的双重身份， 使得圆锥曲线与平面向量的整合交汇成为高考命题的热点，导数知识的引入为我 们解决圆锥曲线的最值问题和切线问题提供了新的视角和方法。 三、命题重点趋势：直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线 1、高考圆锥曲线内容重点仍然是直线与圆锥曲线或圆与圆锥曲线，直线与 圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现。 2、热点主要体现在：直线与圆锥曲线的基础题；涉及位置关系的判定；轨 迹问题；范围与位置问题；最值问题；存在性问题；弦长问题；对称问题；与平 面向量或导数相结合的问题。 3、直线与圆锥曲线的题型涉及函数的与方程，数形结合，分类讨论，化归 与转化等重要的数学思想方法，是高考必考内容之一，这类题型运算量比较大， 思维层次较高，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉 开考生“档次”，有利于选拔的功能，对学生的能力要求也相对较高，是每年高 考中平面几何部分出题的重点内容 第一部分 了解基本题型 一、高考中常见的圆锥曲线题型 1、直线与圆锥曲线结合的题型 （1）求圆锥曲线的轨迹方程：（★广东卷常在第一问考查） 这类题主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质，要求较低，一是 出现在选择题，填空题或者解答题的第一问，较容易。 （2）求直线方程、斜率、线段长度相关问题： 此类题目一般比较困难，不仅考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握，而且还 考查学生的综合处理问题的能力，还要求学生有较强的推算能力。这类题目容易 与向量、数列、三角函数等知识相结合，学生在解题时，可能会因为抓不住解题 要领而放弃。 （3）判断直线与圆锥曲线的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一。可从代数与几何两 个角度考虑，①从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程 消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必 是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必。例如：将 y kx m  代入 2 2 2 2 1x y a b   中消 y 后整理得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0b a k x a kmx a m a b     ，当 bk a   时，该方程为一次方程， 此时直线 y kx m  与双曲线的渐近线平行，当 bk a   时，该方程为二次方程， 这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系。 ②从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公 共点，具体如下： ①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离 的最大值或最小值来解决。 ②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双 曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切 或直线与其对称轴平行。 ③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直 线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 2、圆与圆锥曲线结合的题型 这类题目要求学生对圆锥曲线、圆以及直线的知识非常熟悉，并有较强的综 合能力。 3、圆锥曲线与圆锥曲线结合的题型 这类题目在高考中并不是常考题型，但也是一个命题热点。题目中经常涉 及两种圆锥曲线，对这部份知识要求较高，必须熟练掌握才能进行解题，还有这 类题目看起来比较复杂，容易使人产生退却之心，所以面对这种题型，我们要克 服心理的恐惧，认真分析题意，结合学过的知识来解题。 4、圆锥曲线与向量知识结合的题型 在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征， 而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起进行测试，可以有效地考查 考生的数形结合思想.因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。高考对 解析几何与向量综合考查，采取了新旧结合，以旧带新，使新的内容和旧的内容 有机地结合在一起设问，就形成了新的高考命题的热点。 二、常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系； 题型二：弦的垂直平分线问题； 题型三：动弦过定点的问题； 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题； 题型五：共线向量问题； 题型六：面积问题； 题型七：弦或弦长为定值问题； 题型八：角度问题； 问题九：四点共线问题； 问题十：范围问题（本质是函数问题）； 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线 y kx m  ，存在实数，存在图形： 三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）。 三、热点问题： 1、定义与轨迹方程问题；（★广东卷常在第一问考查） 2、交点与中点弦问题； 3、弦长及面积问题； 4、对称问题； 5、最值问题； 6、范围问题； 7、存在性问题； 8、定值、定点、定直线问题。 第二部分 掌握基本知识 1、与一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    相关的知识：（三个“二次”问题） （1）判别式： 2 4b ac   。 （2）韦达定理：若一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    有两个不同的根 1 2,x x ， 则 1 2 1 2,b cx x x xa a     。 （3）求根公式：若一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    有两个不同的根 1 2,x x ， 则 2 1/ 2 4 2 b b acx a    。 2、与直线相关的知识： （1）直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容：① 倾斜角与斜率： tan , [0, )k     ； ② 点到直线的距离公式： 0 0 2 2 Ax By Cd A B    。 （3）弦长公式：直线 y kx b  上两点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 间的距离： 2 1 21AB k x x   2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x    （或 1 22 11AB y yk    ， 较少用）。 （4）两条直线 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b    的位置关系： ① 1 2 1 2 1l l k k    ； ② 212121 // bbkkll  且 。 （5）中点坐标公式：已知两点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， ，若点 ( , )M x y 是线段 AB 的中 点， 则 1 2 1 2,y2 2 x x y yx    。 3、圆锥曲线的重要知识： 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理科要求有所不 同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线及抛物线；理科：掌握椭圆及抛物线， 了解双曲线。 (1)、圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何图形。 (2)、圆锥曲线的标准方程： ① 椭 圆 的 标 准 方 程 ： 2 2 2 2 2 2 2 1( 0 )x y a b a b ca b      且 或 2 2 1( 0, 0 )x y m n m nm n     且 ； （距离式方程： 2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a      ） ② 双 曲 线 的 标 准 方 程 ： 2 2 2 2 2 2 2 1( 0, 0 )x y a b c a ba b      且 或 2 2 1( 0)x y m nm n     ； （距离式方程： 2 2 2 2| ( ) ( ) | 2x c y x c y a      ） ③抛物线的标准方程： 2 2 ( 0)y px p  ，还有三类。 （3）、圆锥曲线的基本性质：必须要熟透，特别是离心率，参数 , ,a b c 三者的关 系， p 的几何意义等。 （4）、圆锥曲线的其它知识：（了解一下，能运用解题更好） ①通径： 2 22 2 2b b pa a 椭圆： ；双曲线： ；抛物线： ； ②焦点三角形面积公式： 1 2 2 tan 2F PFP b   在椭圆上时，S ， 1 2 2 1 tan 2 F PFP b  在双曲线上时，S ； （ 其 中 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 | | | | 4,cos , | || | cos| | | | PF PF cF PF PF PF PF PFPF PF             ） ③焦半径公式： 0 0;x a ex a ey 椭圆焦点在 轴上时为 焦点在y轴上时为 ， （简记为“左加右减，上加下减”）； 0| |x e x a双曲线焦点在 轴上时为 ； 1 1| | , | |2 2 p px x y 抛物线焦点在 轴上时为 焦点在y轴上时为 。 4、常结合其它知识进行综合考查： （1）圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆、两圆的位置关系。 （2）导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识。 （3）向量的相关知识：向量数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的 判断条件等。 （4）三角函数的相关知识：各类公式及图象与性质等。 （5）不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等。 第三部分 掌握基本方法 一、圆锥曲线题型的解题方法分析 高考圆锥曲线试题常用的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、数学 归纳法、参数法、消去法等。 1、解题的通法分析： 高考数学试题特别注重对中学数学通性通法的考查，这符合高考命题原则： 考查基础知识，注重数学思想，培养实践能力。中学数学的通性通法是指数学教 材中蕴涵的基本数学思想（化归思想、转化思想、分类思想、函数方程的思想、 数形结合的思想）和常用的数学方法（数形结合，配方法，换元法，消元法，待 定系数法等）。 解决圆锥曲线这部分知识有关的习题时，我们最常用的数学方法有数形结 合，待定系数法，化归转化等。在求解直线与圆锥曲线的问题时我们一般都可以 将直线方程与圆锥曲线方程联立，得到一个方程组，通过消元得到一个一元二次 方程再来求解。就是要利用已知条件找到参数与参数之间或是与已知量之间的关 系，这时一般会用到韦达定理进行转化。例如要判断直线与圆锥曲线的位置关系， 我们就可以联立直线方程与圆锥曲线方程，消 y 得到一个关于 x 的一个一元二次 方程，然后我们就可以根据一个一元二次方程的△= 2 4b ac 的值来判断。 直线与圆锥曲线的位置关系的判断：（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、 相切、相离） 设直线 L 的方程是： 0Ax By c   ，圆锥曲线的 C 方程是: ( , ) 0f x y  ，则 由 0 ( , ) 0 Ax By c f x y      消去 y 得： 2 0( 0)ax bx c a    （*） 设方程（*）的判别式是△= 2 4b ac ，则 （1）若圆锥曲线 ( , ) 0f x y  是椭圆 若△= 2 4b ac >0  方程（*）有两个不等实根  直线 L 与椭圆 C 相交  直线与 椭圆 C 有两个不同的公共点。 若△= 2 4b ac =0  方程（*）有两个相等的实根  直线 L 与椭圆 C 相切  直线 与椭圆 C 只有一个公共点。 若方程△= 2 4b ac <0  方程（*）无实根  直线 L 与椭圆 C 相离  直线与椭圆 无公共点。 （2）若圆锥曲线 ( , ) 0f x y  是双曲线 若△= 2 4b ac >0  方程（*）有两个不等实根  直线 L 与双曲线 C 相交  直线 与双曲线 C 有两个不同的公共点。 若△= 2 4b ac =0  方程（*）有两个相等的实根  直线 L 与双曲线 C 相切  直 线与双曲线 C 只有一个公共点。 若△= 2 4b ac <0  方程（*）无实根  直线 L 与双曲线 C 相离  直线与双曲线 C 无公共点。 注意当直线 L 与渐近线平行，直线 L 也与双曲线是相交的，此时直线 L 与双 曲线只有一个公共点.故直线 L 与双曲线 C 只有一个公共点时，直线 L 与双曲线 可能相交也可能相切。 （3）若圆锥曲线 ( , ) 0f x y  是抛物线 若△= 2 4b ac >0  方程（*）有两个不等实根  直线 L 与抛物线 C 相交  直线 与抛物线 C 有两个不同的公共点。 若△= 2 4b ac =0  方程（*）有两个相等的实根  直线 L 与抛物线 C 相切  直 线与抛物线 C 只有一个公共点。 若△= 2 4b ac <0  方程（*）无实根  直线 L 与抛物线 C 相离  直线与抛物线 C 无公共点。 注意当直线 L 与抛物线的对称轴平行时，直线 L 与抛物线 C 只有一个公共点， 此时直线 L 与抛物线 C 相交，故直线 L 与抛物线 C 只有一个公共点时可能相交也 可能相切。 系统掌握求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、 动点转移法、参数法等）；掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线 与圆的位置关系的思想方法；熟练掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质及其应用； 掌握与圆锥曲线有关的参数讨论问题的解法；掌握解答解析几何综合问题的思想 方法，提高分析问题和解决问题的能力。 2、合理选择适当方法优化解题过程： 数学的解题过程一般是由理解问题开始，经过探讨思路，转化问题直至解决 问题题目的意思至为重要，然后我们才能分解问题，把一个复杂的问题转化成几 个简单的熟悉的问题，通过逐步分解，进而解决问题。所以在解题前，首先我们 应该从全方位、多角度的分析问题，根据自己的知识经验，适时的调整分析问题 的角度，再充分回忆与之相关的知识点把陌生的问题转化为一些熟悉的题型，找 到一个正确的简便的解题方法。 合理选择方法，提高运算能力。解析几何问题的一般思路易于寻找，但运算 量大，所以合理选择运算方法可以优化解题过程、减少运算量.通常减少运算量 的方法有合理建立坐标系；充分利用定义；充分利用平面几何知识；整体消元法 等。 对圆锥曲线的基础知识首先要扎实，关于解题技巧可以考虑下面几点： ① 某些问题要注意运用圆锥曲线定义来解题；②与弦有关问题多数要用韦达定理； ③与中点有关问题多数要用“点差法”； ④计算能力一定要过硬，要有“不怕 麻烦的劲头”； ⑤与角度，垂直有关问题，要恰当运用“向量”的知识。 直线和圆锥曲线的问题是解析几何中的典型问题，也是考试中容易出大题的 考点。解决这类问题的关键就是要明白直线和圆锥曲线问题的本质。直线截圆锥 曲线就会在曲线内形成弦，这是一个最大的出题点，根据弦就可以涉及到弦长； 另外直线和圆锥曲线有交点，涉及到交点就会涉及到坐标的一些问题，若是再和 交点、原点等一些特殊点构成一些关系还会涉及到角度问题。解析几何就是利用 代数方法解决几何问题，因此这些几何上的角度，弦长等一些关系都要转化成坐 标，以及方程的形式。但是问题的本质还是几何问题，因此更多的利用圆锥曲线 的几何性质可以化简计算。比如，在坐标法中向量是和几何问题结合最紧密的方 法，因此涉及到角度等一些问题可以用向量去做，这样会比直接利用直线的夹角 公式计算要稍简单一些。 这类题的计算量一般会比较大，在解题时可以使用一些小技巧简化计算。比 如涉及到焦点的问题看看可不可以用圆锥曲线的第二定义转化。利用第二定义就 可以将点到点之间的距离转化为点到直线之间的距离，而且一般情况下直线还是 垂直于 x 轴或 y 轴的，这样直接就和坐标联系上了，这种方法在圆锥曲线中含有 参数的时候还是挺好使的，一般在答题中应用不多，小题中会有不少应用，因此 还是要掌握好第二定义。 3、解题中应避免的误区： 在“圆锥曲线”内容中，为了研究曲线与方程之间之间的各种关系，引进了 一些基本概念和数学方法，例如“圆锥曲线”，“曲线的方程”等概念，函数与 方程的数学思想、数形结合思想、回归定义等方法，对于这类特定的概念理解不 准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易进入误区。 对圆锥曲线的两个定义在第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆 中，与两个定点 1 2,F F 的距离的和等于常数 2a ，且此常数一定要大于 2a ，当常数 等于 1 2| |F F 时，轨迹是线段 1 2| |F F ，当常数小于 1 2| |F F 时，无轨迹；双曲线中， 与两定点 1 2,F F 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 1 2| |F F ，定义中的“绝对值”与 2a < 1 2| |F F 不可忽视，若 2a = 1 2| |F F ，则轨迹是以 1 2,F F 为端点的两条射线，若 2a > 1 2| |F F ，则轨迹不存在，若去掉定义中的绝对值 则轨迹仅示双曲线的一支。 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、 点线距为分母”，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上 的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进 行相互转化。 在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 1 2,F F 的位置，是 椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两 个参数 a、b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件； 在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向。 判断直线与圆锥曲线的位置关系时应该注意：直线与双曲线、抛物线只有一 个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平 行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线 与抛物线相交,也只有一个交点。 二、圆锥曲线题型的常用解法： 1、定义法： （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中， arr 221  ，当 r1>r2 时，注意 r2 的 最小值为 c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常 将半径与“点到准线的距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛 物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法： 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问 题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判 别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用 韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法： 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问 题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相 交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点 与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法。 点差法（中点弦问题）：设  11 , yxA 、  22 , yxB ，  baM , 为椭圆 134 22  yx 的 弦 AB 中点， 则有 134 2 1 2 1  yx ， 134 2 2 2 2  yx ，两式相减得     034 2 2 2 1 2 2 2 1  yyxx ，        34 21212121 yyyyxxxx   ABk = b a 4 3 。 （1） )0(12 2 2 2  ba b y a x 与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则 有 02 0 2 0  k b y a x ； （2） )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则 有 02 0 2 0  k b y a x ； （3）y2=2px（p>0）与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p。 4、数形结合法： 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说 明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观 性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图， 用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”，令 2x+y=b，则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距；如“x2+y2”, 令 dyx  22 ，则 d 表示点 P（x，y）到原点的距离；又如“ 2 3   x y ”，令 2 3   x y =k， 则 k 表示点 P（x、y）与点 A（-2，3）这两点连线的斜率…… 5、参数法： （1）点参数：利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数， 依次求出其他相关量，再列式求解。如 x 轴上一动点 P，常设 P（t，0）；直线 x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P（x1,y1）外，也可直接设 P（2y,-1,y1） （ 2 ） 斜 率 为 参 数 ： 当 直 线 过 某 一 定 点 P(x0,y0) 时 ， 常 设 此 直 线 为 y-y0=k(x-x0)，即以 k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。 （3）角参数：当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆 与椭圆上的动点问题。 6、代入法： 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题： “已知条件 P1,P2 求（或求证）目标 Q”，方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2，方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1，方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设，代入 P1,P2, 这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选 择简易的代入法。 二、知识考点深入透析 一、近几年文科圆锥曲线试题“知识点及问题”分析： 年 份 试 题 相 关 知 识 问题类型 备注 2012 年 （20） 椭圆，抛物线，直线， 椭圆的标准方程、直线方程。 （1）求椭圆的标准方程； （2）与直线、抛物线相结合，相切知识， 求直线方程。 2011 年 （21） 轨迹方程，抛物线，求轨迹； 最值问题； 直线相关知识； 解方程组 （1）求轨迹方程（射线及抛物线方程）； （2）最值问题（求最小值，及此时点的 坐标）； （3）参数的取值范围（直线与抛物线结 合，求直线斜率的取值范围） 2010 年 （21） 曲线： 2y nx 即抛物线； 切线方程（求导法）； 两种距离公式； 分析法证明；裂项求和知识； （1）求切线方程及特殊点的坐标； （2）最值问题（最大值时，求某点的坐 标）； （3）证明不等式成立 2009 年 （19） 椭圆、圆； 点与圆的位置关系判断； （1）求方程（椭圆的方程）； （2）求三角形的面积； （3）存在性问题（是否存在圆包含椭圆） 2008 年 （20） 椭圆、抛物线； 切线方程（求导法） 向量的数量积（垂直问题） 一元二次方程解的个数（判别式） （1）求方程（椭圆及抛物线的方程）； （2）探究性问题（存在点 P 使得三角形 为直角三角形，点 P 的个数） 2007 年 （19） 圆、椭圆及定义； 两点间的距离公式； 解方程组； （1）求方程（圆的方程）； （2）存在性问题（存在点与距离相等问 题）。 二、圆锥曲线试题研究： 1、曲线类型：以椭圆、抛物线为主，结合圆、直线或其它曲线进行综合考查。 2、试题特点： （1）综合性； （2）抽象性； （3）动态性； （4）新颖性； （5）问题的连惯性； （6）含参数。 3、试题中的问题类型： （1）求方程或轨迹类型：常在第一问中设置，以圆及圆锥曲线的方程为主； （2）与最值相关的类型：按题意要求，满足最大或最小值时，求某点或某知识； （3）存在性类型：据题意，判断是否存在点或图形满足题意，要说明理由； （4）探究性类型：根据题意，探究问题的多样性； （5）证明类型：根据给定条件，证明不等式或等式成立； （6）取值范围类型：设置参数，根据题意，求参数的取值范围或求其它的取值 范围。 4、解题常用的知识要点： （1）各圆锥曲线的知识，特别是椭圆、抛物线的定义； （2）圆、直线的相关知识，特别是直线的斜率知识； （3）求曲线轨迹的方法； （4）与最值相关的两种距离：点到直线的距离及两点间的距离； （5）一元二次方程（组）及不等式的相关知识：判别式，韦达定理，解方程组， 均值定理等； （6）与导数相关的知识，特别是求切线方程的知识。 5、常用的数学思想： （1）数形结合； （2）分类讨论。 三、圆锥曲线之高考链接 2012 文 20、（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的左焦点 为 1( 1,0)F  ，且点 (0,1)P 在 1C 上. （1）求椭圆 1C 的方程； （2）设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线 2C ： 2 4y x 相切，求直线l 的方程. 2011 文 21、（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 : 2l x   交 x 轴于点 A，设 P 是l 上一点， M 是线段 OP 的垂直平分线上一点，且满足 MPO AOP   ． （1）当点 P 在l 上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）已知 (1, 1)T  ．设 H 是 E 上动点，求| | | |HO HT 的最小值，并给出此时点 H 的坐标； （3）过点 (1, 1)T  且不平行于 y 轴的直线 1l 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点， 求直线 1l 的斜率 k 的取值范围． 2010 文 21、（本小题满分 14 分） 已知曲线 2 nC y nx： ，点 ( , )( 0, 0)n n n n nP x y x y  是曲线 nC 上的点( 1,2n  …). （1）试写出曲线 nC 在点 nP 处的切线 nl 的方程，并求出 nl 与 y 轴的交点 nQ 的坐标； （2）若原点 (0,0)O 到 nl 的距离与线段 n nP Q 的长度之比取得最大值，试求试点 nP 的坐标( ,n nx y )； （3）设m 与k 为两个给定的不同的正整数， nx 与 ny 是满足（2）中条件的点 nP 的 坐标， 证明： 1 ( 1) ( 1)2 s n n n m x k y ms ks       ( 1,2, )s  … 2009 文 19、（本小题满分 14 分） 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2 3 ,两个焦点分别为 1F 和 2F , 椭 圆 G 上 一 点 到 1F 和 2F 的 距 离 之 和 为 12. 圆 kC : 0214222  ykxyx )( Rk  的圆心为点 kA . (1)求椭圆 G 的方程； (2)求 21FFAk 的面积； (3)问是否存在圆 kC 包围椭圆 G?请说明理由。 2008 文 20、（本小题满分 14 分） 设 0b  ，椭圆方程为 2 2 2 2 12 x y b b   ，抛物线方程为 2 8( )x y b  ．如图 6 所 示，过点 (0 2)F b ， 作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛 物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点 1F ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设 A B， 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物 线上是否存在点 P ，使得 ABP△ 为直角三角形？若存在，请 指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点 的坐标）． 2007文19、(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C与直线 y x 相切于坐标原点0．椭圆 2 2 2 19 x y a   与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离 之和为10． (1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. A y x O B G F F1 图 6 四、基础知识专项训练 1、圆锥曲线的定义： （1）方程 2 2 2 2( 6) ( 6) 8x y x y      表示的曲线是 。 （2）已知点 )0,22(Q 及抛物线 4 2xy  上一动点 ( , )p x y ,则 y+|PQ|的最小值 是 。 2、圆锥曲线的标准方程： （1）方程 2 2Ax By C  表示椭圆的充要条件是什么？ （2）已知方程 123 22  k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为 。 （3）若 Ryx , ，且 623 22  yx ，则 yx  的最大值是_ ， 22 yx  的最小值 是 。 提示：应用线性规划方法解。 （4）方程 2 2Ax By C  表示双曲线的充要条件是什么？ （5）设中心在坐标原点O ，焦点 1F 、 2F 在坐标轴上，离心率 2e 的双曲线 C 过点 )10,4( P ，则 C 的方程为 。 （6）定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动，AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。 3、圆锥曲线焦点位置的判断：（首先化成标准方程，然后再判断） 已知方程 121 22  m y m x 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围 是 。 4、圆锥曲线的几何性质： （1）若椭圆 15 22  m yx 的离心率 5 10e ，则 m 的值是 。 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆 长轴的最小值为 。 （3）双曲线的渐近线方程是 023  yx ，则该双曲线的离心率等于 。 （4）双曲线 2 2 1ax by  的离心率为 5 ，则 :a b = 。 提示：应用离心率的第二道公式。 （5）设双曲线 12 2 2 2  b y a x （a>0,b>0）中，离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹 角（锐角或直角）θ的取值范围是 。 （6）设 Raa  ,0 ，则抛物线 24axy  的焦点坐标为 。 5、直线与圆锥曲线的位置关系： （1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范 围是 。 （2） 直 线 y ―kx ―1=0 与 椭 圆 2 2 15 x y m   恒 有 公 共点 ， 则 m 的 取 值 范围 是 。 （3）过双曲线 121 22  yx 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若│AB︱＝4， 则这样的直线有 条。 （4）过点 )4,2( 作直线与抛物线 xy 82  只有一个公共点，这样的直线有 条。 （5）过点(0,2)与双曲线 1169 22  yx 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范 围为 。 （6）过双曲线 12 2 2  yx 的右焦点作直线l 交双曲线于 A、B 两点，若 AB 4，则 满足条件的直线l 有 条。 （7）对于抛物线 C： xy 42  ，我们称满足 0 2 0 4xy  的点 ),( 00 yxM 在抛物线的内 部，若点 ),( 00 yxM 在抛物线的内部，则直线l ： )(2 00 xxyy  与抛物线 C 的位置 关系是 。 （8）过抛物线 xy 42  的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q ，则  qp 11 。 （9）设双曲线 1916 22  yx 的右焦点为 F ，右准线为l ，设某直线 m 交其左支、 右支和右准线分别于 RQP ,, ，则 PFR 和 QFR 的大小关系为 (填大 于、小于或等于)。 （10）求椭圆 2847 22  yx 上的点到直线 01623  yx 的最短距离。 （11）直线 1 axy 与双曲线 13 22  yx 交于 A 、B 两点。①当 a 为何值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？②当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？ 6、弦长公式： （1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若 x1+x2=6，那么|AB|等于 。 （2）过抛物线 xy 22  焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐 标原点，则ΔABC 重心的横坐标为 。 （3）已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点恰为双曲线 2 212 4 3x y  的右焦点，过 抛物线的焦点且倾斜角为 3 4  的直线交抛物线于 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y 两点，则 1 2| |y y 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 4 2 D. 8 7、圆锥曲线的中点弦问：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆 12 2 2 2  b y a x 中，以 0 0( , )P x y 为中点的弦所在直线的斜率 k=－ 0 2 0 2 ya xb ；在双 曲线 2 2 2 2 1x y a b   中，以 0 0( , )P x y 为中点的弦所在直线的斜率 k= 0 2 0 2 ya xb ；在抛物线 2 2 ( 0)y px p  中，以 0 0( , )P x y 为中点的弦所在直线的斜率 k= 0 p y 。 （1）如果椭圆 2 2 136 9 x y  弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程 是 。 （2）已知直线 y=－x+1 与椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L：x－2y=0 上，则此椭圆的离心率为 。 （3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆 134 22  yx 上有不同的两点关于直线 mxy  4 对称。 （4）抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程 是 。 特别提醒：因为 0  是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解 有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0  ！ 8、动点轨迹方程： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立 ,x y 之间的关系 ( , ) 0F x y  ； 已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 3x 的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程。 ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线 的方程，再由条件确定其待定系数。 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0） )0( m ，端点 A、B 到 x 轴距离之积 为 2m，以 x 轴 为对 称轴 ，过 A 、O 、B 三 点作 抛物 线， 则此 抛物 线方 程 为 。 ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写 出动点的轨迹方程； (1)由动点 P 向圆 2 2 1x y  作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，∠APB=600， 则动点 P 的轨迹方程为 。 （2）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 05xl： 的距离小于 1，则点 M 的轨 迹方程是 。 (3) 一动圆与两圆⊙M： 122  yx 和⊙N： 012822  xyx 都外切，则 动圆圆心的轨迹为 。 ④代入转移法：动点 ( , )P x y 依赖于另一动点 0 0( , )Q x y 的变化而变化，并且 0 0( , )Q x y 又在某已知曲线上，则可先用 ,x y 的代数式表示 0 0,x y ，再将 0 0,x y 代入 已知曲线得要求的轨迹方程； 动点 P 是抛物线 12 2  xy 上任一点，定点为 )1,0( A ,点 M 分  PA 所成的比为 2，则 M 的轨迹方程为 。 ⑤参数法：当动点 ( , )P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点 可用时，可考虑将 ,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数 得普通方程）。 （1）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2a，M 为圆上一动点，作 MN⊥AB，垂足为 N， 在 OM 上取点 P ，使| | | |OP MN ，求点 P 的轨迹。 （2）若点 ),( 11 yxP 在圆 122  yx 上运动，则点 ),( 1111 yxyxQ  的轨迹方程 是 。 （3）过抛物线 yx 42  的焦点 F 作直线l 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的 中点 M 的轨迹方程是 。 9、与向量相关的题： （1）已知双曲线 2 2 12 yx   的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 1 2 0,MF MF   则 点 M 到 x 轴的距离为（ ） A 4 3 B 5 3 C 2 3 3 D 3 （ 2 ） 已 知 ji , 是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设 a = jyix   )3( , b  = jyix   )3( ,且满足b  i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹。 （3）已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p>0)上异于原点的两点， 0OA OB   ，点 C 坐标 为（0，2p）， ① 求证：A,B,C 三点共线； ② 若 AM ＝ BM （ R ）且 0OM AB   试求点 M 的轨迹方程。 10、圆锥曲线中线段的最值： (1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 。 (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。 （3）F 是椭圆 134 22  yx 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一 动点。 ① PFPA  的最 小值为 ；② PFPA 2 的最 小值 为 。 11、焦半径题（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）：利用圆锥曲线的第二定义， 转化到相应准线的距离，即焦半径 r ed ，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 （1）已知椭圆 11625 22  yx 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的 距离为 。 （2）已知抛物线方程为 xy 82  ，若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5，则它到抛 物线的焦点的距离等于 。 （3）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为 。 （4）点 P 在椭圆 1925 22  yx 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍， 则点 P 的横坐标为 。 （5）抛物线 xy 22  上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为 。 （6）椭圆 134 22  yx 内有一点 )1,1( P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 MFMP 2 之值最小，则点 M 的坐标为 。 12、焦点三角形题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）： 对于椭圆 2 0tan | |2S b c y  ，当 0| |y b 即 P 为短轴端点时， maxS 的最大值 为 bc； 对于双曲线 2tan 2  bS  。 （1）短轴长为 5 ，离心率 3 2e 的椭圆的两焦点为 1F 、 2F ，过 1F 作直线交椭圆 于 A、B 两点，则 2ABF 的周长为 。 （2）设 P 是等轴双曲线 )0(222  aayx 右支上一点，F1、F2 是左右焦点，若 0212  FFPF ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 。 （3）椭圆 2 2 19 4 x y  的焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2 → ·PF1 → <0 时， 点 P 的横坐标的取值范围是 。 （4）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e＝ 2 6 ，F1、F2 是它的左右焦点，若过 F1 的 直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且 AB 是 2AF 与 2BF 等差中项，则 AB ＝ 。 （5）已知双曲线的离心率为 2，F1、F2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021  PFF ， 31221  FPFS ．求该双曲线的标准方程。 13、了解其它结论： （1）双曲线 12 2 2 2  b y a x 的渐近线方程为 02 2 2 2  b y a x ； （2）以 xa by  为渐近线（即与双曲线 12 2 2 2  b y a x 共渐近线）的双曲线方程 为 (2 2 2 2  b y a x 为参数， ≠0）； （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 2 2 1mx ny  ； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 22b a ，焦准距 （焦点到相应准线的距离）为 2b c ，抛物线的通径为 2p ，焦准距为 p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点弦为 AB， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 ① 1 2| |AB x x p   ；② 2 2 1 2 1 2,4 px x y y p   ； （7）若 OA、OB 是过抛物线 2 2 ( 0)y px p  顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒 经 五、解答题专项训练 常用方法：直接法和定义法。 1、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点，定点 Q 的坐标为（4，0）,求线段 PQ 的中 点的轨迹方程。 2、以抛物线 2 8y x 上的点 M 与定点 (6,0)A 为端点的线段 MA 的中点为 P，求 P 点的轨迹方程。 3、在面积为 1 的 PMN 中， 2 1tan M ， 2tan N ，建立适当的坐标系，求出 以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程。 4、已知动圆过定点 1,0 ，且与直线 1x   相切, 求动圆的圆心轨迹C 的方程。 5、已知：直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方 程。 6、设抛物线 2: xyC  的焦点为 F，动点 P 在直线 02:  yxl 上运动，过 P 作 抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点，（1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程； 7、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹 方程。 8、已知平面内一动点 P 到点 (1,0)F 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1， （1）求动点 P 的轨迹C 的方程； 9、已知圆C 方程为： 2 2 4x y  ， （1）直线l 过点  1,2P ，且与圆C 交于 A 、B 两点，若| | 2 3AB  ，求直线l 的 方程； 10、已知椭圆 C： 2 2 2 2 b y a x  =1(a＞b＞0)的离心率为 3 5 ，短轴一个端点到右焦点 的距离为 3.（1）求椭圆 C 的方程； 11、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线 xy 162  的焦点 P 为其一个焦点，以双曲线 1916 22  yx 的焦点Q 为顶点。（1）求椭圆的标 准方程； 12、已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 21 4y x 的焦点，离心率为 2 5 5 .（1）求椭圆 C 的标准方程； 13 、已 知 椭 圆 的 一 个 顶 点 为  0, 1A  ， 焦 点 在 x 轴 上 ． 若 右 焦 点 到 直 线 022  yx 的距离为 3．求椭圆的标准方程； 14、已知椭圆 :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 6 3 ，椭圆短轴的一个端点与两 个焦点构成的三角形的面积为 5 2 3 .（１）求椭圆C 的方程； 15、已知椭圆 E :   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的一个焦点为  1 3,0F  ,而且过点 13, 2H      .（Ⅰ）求椭圆 E 的方程； 16、已知椭圆C ： 12 2 2 2  b y a x （ 0 ba ）的离心率 2 1e ，且经过点 )3 , 2(A ． （1）求椭圆C 的方程； 17、已知双曲线 2 2 1 : ( 0)C x y m m   与椭圆 2 2 2 2 2: 1x yC a b   有公共焦点 1 2,F F ， 点 ( 2,1)N 是它们的一个公共点.（1）求 1 2,C C 的方程； 18 、 已 知 椭 圆 1C ：   2 2 2 1 0 24 x y bb     的 离 心 率 等 于 3 2 ， 抛 物 线 2C ：  2 2 0x py p  的焦点在椭圆的顶点上。（1）求抛物线 2C 的方程； 19、已知椭圆 1C ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的离心率为 3 3 ，直线 : 2L y x  与以原 点为圆心、以椭圆 1C 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆 1C 的方程； 附录：圆锥曲线之高考链接参考答案 2012 文 20、解：（1）因为椭圆 1C 的左焦点为 1( 1,0)F  ，所以 1c  ， 点 (0,1)P 代入椭圆 2 2 2 2 1x y a b   ，得 2 1 1b  ，即 1b  ， 所以 2 2 2 2a b c   ，所以椭圆 1C 的方程为 2 2 12 x y  . （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为 y kx m  ， 2 2 12 x y y kx m       ，消去 y 并整理得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     ，因为直线l 与 椭圆 1C 相切，所以 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k m k m      ，整理得 2 22 1 0k m   ① 2 4y x y kx m      ，消去 y 并整理得 2 2 2(2 4) 0k x km x m    。 因为直线l 与抛物线 2C 相切，所以 2 2 2(2 4) 4 0km k m     ，整理得 1km  ② 综合①、②，解得 2 2 2 k m     或 2 2 2 k m       。 所以直线l 的方程为 2 22y x  或 2 22y x   。 2011 文 21、解：（1）如图 1，符合 MPO AOP   的点 M 可以在 PO 的左侧和 右侧。 当 M 在 PO 左侧时，显然点 M 是 PO 垂直平分线与 X 轴的交点， 所以易得 M 的轨迹方程为：y=0(x<-1) ， 当 M 在 PO 右侧时， MPO AOP   ，所以 PM//x 轴，设 M(x,y),则 P(-2，y)， 因 为 M 在 PO 的 垂 直 平 分 线 上 ， 所 以 MP MO ， 即 ： 2 2 22 , 4( 1)x x y x y    得： （x 1)  ， 综上所述：当点 P 在l 上运动时，点 M 的轨迹 E 的方程为： y=0(x<-1) 和 24 4x y  （x 1)  如图： （2）当 H 在方程 y=0(x<-1)运动时，显然 HO HT CO CT   当 H 在方程 24 4x y  （x 1)  上运动时，HO HT HP HT   ,由图知当 P,H,T 三点共 线时， HP HT HO HT 取得最小值，即 取得最 小值，显 然此时 HO HT  CO CT ， 当 PT 直线与 x 轴平行时，PT 直线与曲线 E 的交点即为所求的 H，设 H(x,-1), 因为 H 在 24 4x y  上，得 x= 4 3  ,所以 H( 4 3  ,-1)， 综上所得：（ HO HT ）min=1-(-2)=3。H( 4 3  ,-1)； (3)设直线 l1:y+1=k(x-1),联立 24 4x y  得： 2 2 2 22( 2 2) 2 3 0k x k k x k k       当 k=0 时，显然只有一个交点，不成立。 当 k 0 时， 216(2 1) 0k k     恒成立。所以当 k 0 时，直线 l1 与轨迹 E 至少 有两个交点。 可见 l1 与 y=0(x<-1) 不能有交点，当直线 l1 过点 C 时，k= 1 0 1 1 1 2     （ ） 由图可知，当直线 l1 与轨迹 E 有且仅有两个交点时，k 1] 02      （ ， （ ， ） 2010 文 21、解：（1）∵ 2y nx  ，∴ 2 nk nx ， 切线 nl 的方程为 2 ( )n n ny y nx x x   ， 令 0x  得， 2 2 2 22 2n n n n ny nx y nx nx nx        ，即 2(0, )n nQ nx 。 （2）切线 nl 的方程可写成： 22 2 0n n nnx x y nx y    ， 原点 (0,0)O 到 nl 的距离为 2 2 2 2 2 2 (2 ) 1 4 1 n n n n n y nx nxd nx n x      ， 线段 n nP Q 的长度为 2 2 2 2 2(2 ) 1 4n n n n n nP Q x nx x n x    ， 故， 2 2 1 1 11 4 44 n n n n n n nxd P Q n x nxnx     ， 当且仅当 1 4 n n nxnx  ，即 1 2nx n  时取等号“=”， 此时 2 1 4n ny nx n   ，点 nP 的坐标为 1 1( , )2 4n n 。 2009 文 19、解：（1）设椭圆 G 的方程为： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）半焦距为 c， 则 2 12 3 2 a c a   , 解得 6 3 3 a c   , 2 2 2 36 27 9b a c      ， 所求椭圆 G 的方程 为 ： 2 2 136 9 x y  . （ 2 ） 点 KA 的 坐 标 为  ,2K ， 1 2 1 2 1 12 6 3 2 6 32 2KA F FS F F      V （3）若 0k  ，由 2 26 0 12 0 21 5 12 0k k       可知点（6，0）在圆 kC 外， 若 0k  ，由 2 2( 6) 0 12 0 21 5 12 0k k        可知点（-6，0）在圆 kC 外； 不论 K 为何值圆 kC 都不能包围椭圆 G.。 2008 文 20、解：（1）由 2 8( )x y b  得 21 8y x b  ， 当 2y b  时， 4x   ， G 点的坐标为(4 2)b ， ， 1 4y x  ， 4| 1xy   ，过点G 的切线方程为 ( 2) 4y b x    ，即 2y x b   ， 令 0y  得 2x b  ， 1F 点的坐标为(2 0)b ， ； 由椭圆方程得 1F 点的坐标为( 0)b， ， 2 b b   ，即 1b  ， 因此，所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 2 2 12 x y  和 2 8( 1)x y  ． （2） 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ， 以 PAB 为直角的 Rt ABP△ 只有一个， 同理以 PBA 为直角的 Rt ABP△ 只有一个；若以 APB 为直角，设 P 点的坐标为 21 18x x    ， ， 则 A B， 坐 标 分 别 为 ( 2 0) ( 2 0) ，， ， ， 由 2 2 212 1 08AB AB x x           得 4 21 5 1 064 4x x   ， 关于 2x 的一元二次方程有一解， x 有二解，即以 APB 为直角的 Rt ABP△ 有二 个； 因此抛物线上共存在 4 个点使 ABP△ 为直角三角形． 2007文19、解：(1)设圆的方程为 2 2( ) ( ) 8x s y t    ………………………2分 依题意 2 2 8s t  , | | 2 2 2 s t  , 0, 0s t  …………5分 解得 2, 2s t   ,故所求圆的方程为 2 2( 2) ( 2) 8x y    ……………………7 分 (注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!) (2)由椭圆的第一定义可得 2 10 5a a   ,故椭圆方程为 2 2 125 9 x y  ,焦点 (4,0)F ……9分 设 0 0( , )Q x y , 依 题 意 2 2 0 0( 4) 16x y   , 2 2 0 0( 2) ( 2) 8x y    …………………11分 解得 0 0 4 12,5 5x y  或 0 00, 0x y  (舍去) ……………………13分 存在 4 12( , )5 5Q ……14分 附录：基础知识专项训练参考答案 1、圆锥曲线的定义： （1）双曲线的左支； （2）2； 2、圆锥曲线的标准方程： （1）ABC≠0，且 A，B，C 同号，A≠B； （2） 1 1( 3, ) ( ,2)2 2    ； （3） 5,2 ；提示：应用线性规划方法解。 （4）ABC≠0，且 A，B 异号； （5） 2 2 6x y  ； （6） 4 5 ； 3、圆锥曲线焦点位置的判断：（首先化成标准方程，然后再判断） )2 3,1()1,(  ； 4、圆锥曲线的几何性质： （1）3 或 3 25 ； （2） 22 ； （3） 13 2 或 13 3 ； （4）4 或 1 4 ；提示：应用离心率的第二道公式。 （5）[ , ]3 2   ； （6） )16 1,0( a ； 5、直线与圆锥曲线的位置关系： （1）(- 3 15 ,-1)；（2）[1，5）∪（5，+∞）；（3）3；（4）2； （5） 4 4 5,3 3        ； F A P H B Q （6）3；（7）相离； （8）1； （9）等于；（10）8 13 13 ；（11）① 3, 3 ； ② 1a   。 6、弦长公式： （1）8 ； （2）3 ； （3）C 7、圆锥曲线的中点弦问： （1） 2 8 0x y   ； （2） 2 2 ； （3） 2 13 2 13,13 13      ； （4） )2 1(2 1  yx ； 8、动点轨迹方程： ①直接法：直接利用条件建立 ,x y 之间的关系 ( , ) 0F x y  ； 2 12( 4)(3 4)y x x     或 2 4 (0 3)y x x   ； ②待定系数法： 2 2y x ； ③定义法：(1) 2 2 4x y  ； （2） 2 16y x ；(3)双曲线的一支； ④代入转移法： 3 16 2  xy ； ⑤参数法：（1） 2 2 | |x y a y  ； （2） 2 12 1(| | )2y x x   ； （3） 2 2 2x y  ； 9、与向量相关的题：（1）C （2）解： 2( 3) 3b i x i yi j x            ，∴ 2 23 ( 3)x x y    ，化简 得 2 4 3y x ， 故，点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 3x   为准线的抛物线。 （3）① 证明：设 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )2 2 x xA x B xp p ，由 0OA OB   得 2 2 21 2 1 2 1 20, 42 2 x xx x x x pp p      ，又 2 2 2 1 2 1 1 2 1( ,2 ), ( , )2 2 x x xAC x p AB x xp p        2 2 2 2 1 1 1 2 1(2 ) ( ) 02 2 x x xx p x xp p        ， //AC AB  ，即 A,B,C 三点共线。 ② 解：由（1）知直线 AB 过定点 C，又由 0OM AB   及 AM ＝ BM （ R ） 知 OMAB，垂足为 M，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即 点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。 10、圆锥曲线中线段的最值： 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PFPH  ，因而易发 现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。 （2）B 在抛物线内，如图，作 QR⊥l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共 线时，距离和最小。 解：（1）（2， 2 ）（2）（ 1,4 1 ）。 F ′ F P H y 0 x A （3）解：① 4- 5 ， 设另一焦点为 F ，则 F (-1,0)连 A F ,P F ， 542)(22  FAaPAFPaFPaPAPFPA ， 当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时, PFPA  取得最小值为 4- 5 。 ② 3 ，作出右准线 l，作 PH⊥l 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e= 2 1 ， ∴ PHPFPHPF  2,2 1 即 ，∴ PHPAPFPA  2 当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为 314 2  Axc a 11、焦半径题（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）：利用圆锥曲线的第二定义， 转化到相应准线的距离，即焦半径 r ed ，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 （1）35 3 ； （2）7 ； （3）(2, 4) ； （4）25 12 ； （5）2 ； （6） )1,3 62(  ； 12、焦点三角形题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）： （1）6 ； （2） 2 2 4x y  ； （3） 3 5 3 5( , )5 5  ；（4）8 2 ；（5） 2 2 14 12 x y  。 附录：解答题专项训练参考答案 1、解：设线段 PQ 的中点坐标为 M（x，y），由 Q（4，0）,得点 P（2x-4，2y）， 代入圆的方程 x2+y2=4, 得（2x-4）2+（2y）2=4， 整理可得 所求轨迹为（x-2）2+y2=1. 2、解：设点 0 0( , ), ( , )M x y P x y ，则 0 0 6 2 2 xx yy     ，∴ 0 0 2 6 2 x x y y     ． 代入 2 0 08y x 得： 2 4 12y x  ． 此即为点 P 的轨迹方程． 3、解：以 MN 的中点为原点，MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设 ),( yxP ． 则            .1 ,2 1 ,2 cy cx y cx y ∴         2 3 3 4 3 5 ccy cx 且 即 ) 3 2, 32 5(P ∴        ,4 3 ,13 4 12 25 22 22 ba ba 得      .3 ,4 15 2 2 b a ∴所求椭圆方程为 1315 4 22  yx . 4、解：设 M 为动圆圆心， F  1,0 ，过点 M 作直线 1x   的垂线，垂足为 N ， 由题意知： MF MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 1x   的距离相等， 由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中  1,0F 为焦点， 1x   为准线， ∴ 动点 R 的轨迹方程为 xy 42  . 5、解：设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标 分别为：A/（ 1 2, 1 1 22 2     k k k k ），B/（ 1 )1(8, 1 16 2 2 2    k k k k ）。因为 A/、B/均在抛物线上， 代入，消去 p，得：k2-k-1=0.解得：k= 2 51 ,p= 5 52 .所以直线 L 的方程为： y= 2 51 x,抛物线 C 的方程为 y2= 5 54 x. 6、解：（1）设切点 A、B 坐标分别为 ))((,(),( 01 2 11 2 0 xxxxxx 和 ， ∴ 切 线 AP 的 方 程 为 ： ;02 2 00  xyxx 切 线 BP 的 方 程 为 ： ;02 2 11  xyxx 解得 P 点的坐标为： 10 10 ,2 xxyxxx PP  所以△APB 的重心 G 的坐标为 P P G xxxxx  3 10 ， ,3 4 3 )( 33 2 10 2 1010 2 1 2 010 pPP G yxxxxxxxxxyyyy  所以 243 GGp xyy  ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程 x y 0A B C M D 5 为： ).24(3 1,02)43( 22  xxyxyx 即 7、分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如 图中的 A、M、C 共线，B、D、M 共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半 径”（如图中的 MDMC  ）。 7、解：如图， MDMC  ，∴ 26  MBMADBMBMAAC 即 , ∴ 8 MBMA （*） ∴点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为 11516 22  yx 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解， 即列出 4)1()1( 2222  yxyx ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推 导了一遍，较繁琐！ 8. 解：（1）设动点 P 的坐标为( , )x y ，由题意为 2 2( 1) | | 1.x y x    化简得 2 2 2 | |,y x x  当 20 , 4 ; 0x y x x  时 当 时,y=0. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 2, 4 ( 0) 0)y x x x  和y=0( . 9. 解：（1）①当直线l 垂直于 x 轴时，则此时直线方程为 1x ，l 与圆的两个交 点坐标为 3,1 和 3,1  ，其距离为 32 满足题意 …1 分 ②若直线l 不垂直于 x 轴，设其方程为  12  xky ，即 02  kykx 设圆心到此直线的距离为 d ，则 24232 d ，得 1d ∴ 1 |2|1 2   k k ， 3 4k  ， 故所求直线方程为3 4 5 0x y   综上所述，所求直线为3 4 5 0x y   或 1x 10. 解：（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意           222 3 3 5 cba a a c 2b ， 所求椭圆方程为 149 22  yx 11．解：（1）抛物线 xy 162  的焦点 P 为(4,0) ，双曲线 1916 22  yx 的焦点Q 为 (5,0) ∴可设椭圆的标准方程为 2 2 2 2 1x y a b   ，由已知有 0a b  ，且 5a  ， 4c  ∴ 2 25 16 9b    ，∴椭圆的标准方程为 2 2 125 9 x y  。 12.解：（1）设椭圆 C 的方程为 2 2 2 2 1x y a b   （ a ＞b ＞0 ）， 抛物线方程化为 2 4x y ，其焦点为 (0,1) ， 则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ， 即 1b  由 2 2 2 2 5 5 c a be a a    ，∴ 2 5a  ， 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 15 x y  13．解：（1）依题意可设椭圆方程为 12 2 2  y a x ，则右焦点  2 1,0F a  由题设 3 2 2212  a ，解得 32 a ， 故,所求椭圆的方程为 1 3 2 2  yx 14．解：（1）因为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     满足 2 2 2a b c  ， 6 3 c a  , 1 5 222 3b c   ，解得 2 2 55, 3a b  ， 则椭圆方程为 2 2 155 3 x y  . 15．解：（Ⅰ）解法一:由题意得 2 2 3a b  , 2 2 3 1 14a b   ,解得 2 24, 1a b  , 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  . 解法二:椭圆的两个交点分别为    1 23,0 , 3,0F F , 由椭圆的定义可得 1 2 7 12 | | | | 42 2a PF PF     ,所以 2a  , 2 1b  , 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  . 16．解：（1）依题意， 2 122  a ba a ce ， 从而 22 4 3 ab  点 )3 , 2(A 在椭圆上，所以 194 22  ba ， 解得 162 a ， 122 b 椭圆C 的方程为 11216 22  yx . 17．解：（1）点 ( 2,1)N 是双曲线 2 2 1 : ( 0)C x y m m   上的点， 2( 2) 1 1m    . ∴双曲线 2 2 1 : 1C x y  ，从而 1 2( 2,0), ( 2,0)F F ，∴ 2 2a b ，且 2 2 2a b  ① 又点 ( 2,1)N 在椭圆上，则 2 2 2 1 1a b   ② 由①②得 2 24, 2a b  ， 所以,椭圆的方程为 2 2 14 2 x y  . 18．解：（1）已知椭圆的长半轴为 2，半焦距为 24c b  ，由离心率等于 24 3 2 2 c be a    2 1b  ，椭圆的上顶点 0,1 ， 抛物线的焦点为 0,1 ，抛物线的方程为 2 4x y 19．解：（1）∵ 3 3e  ，∴ 2e ＝ 2 2 c a ＝ 2 2 2 a b a  ＝ 1 3 ，∴ 2 22 3a b . ∵直线 : 2L y x  与圆 2 2 2x y b  相切，∴ 2b  ， 2 2b  ，∴ 2 3a  . ∴椭圆 1C 的 方程是 2 2 13 2 x y  .