三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 导数的综合问题 文

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三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 导数的综合问题 文

第26课 导数的综合问题 ‎ ‎1.(2019福建高考)已知,,且.现给出如下结论:‎ 其中正确结论的序号是 ‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】∵,‎ 令,解得或,‎ 当时,;当时,;当时,,‎ ‎∴时,有极大值,当时,有极小值,‎ ‎∵函数有三个零点,‎ ‎∴,且,‎ 又∵,∴,即,‎ ‎2.(2019陕西高考)设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数在点处的切线为 ‎,即.‎ ‎∴D表示的平面区域如图,‎ 当目标函数直线经过点时有最大值,‎ 最大值为.‎ ‎3.(2019门头沟一模)已知函数.‎ ‎(1)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(2)设,当时,若对任意,当时,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1) ‎ 令,得,‎ 当时,,函数在上单调减, ‎ 当时,,‎ 在和上,有,函数单调减,‎ 在上, ,函数单调增. ‎ ‎(2)当时,,‎ 由(1)知,函数在上是单减,在上单调增,‎ ‎∴函数在的最小值为, ‎ 若对任意,当时,恒成立,‎ 只需当时,即可 代入解得,‎ ‎∴实数的取值范围是. ‎ ‎4.(2019梅州一模)设函数,.‎ ‎(1)当时,求曲线在处的切线方程;‎ ‎(2)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;‎ ‎(3)如果对任意的都有成立,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,,‎ ‎∴在处的切线方程为.‎ ‎(2),使得成立,‎ 等价于, ‎ ‎-‎ ‎+‎ 极小值 由上表可知,, ‎ ‎∴满足条件的最大整数 ‎(3) 对任意的都有成立,等价于:‎ 在区间上,函数的最小值不小于的最大值. ‎ 有(2)知,在区间上,的最大值为,‎ ‎,等价于恒成立, ‎ 记,,,‎ 记,,‎ 由于,∴,‎ ‎∴在上递减, ‎ 当时,,时,,‎ 即函数在区间上递增,在上递减, ‎ ‎5.(2019陕西高考)设函数.‎ ‎(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设为偶数,,求的最小值和最大值;‎ ‎(3)设,若对任意,有,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时,,‎ ‎ ∴在区间内存在零点.‎ ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴在区间上是单调的,‎ ‎∴在区间内存在唯一的零点. ‎ ‎ (2)由题意,知,‎ ‎∴的最小值为,最大值为. ‎ ‎ (3)当时,.‎ ‎ 对任意,有,‎ ‎ 等价于在上的最大值与最小值之差,‎ 据此分类讨论如下:‎ ‎ (ⅰ)当,即时,,与题设矛盾;‎ ‎ (ⅱ)当,即时,‎ 恒成立; ‎ ‎(ⅲ)当,即时,‎ ‎ 恒成立; ‎ ‎ 综上可知,.‎ ‎6.(2019汕头二模)设函数.其中.‎ ‎(1)若函数在处取得极值,求的值;‎ ‎(2)已知函数有三个不同的零点,分别为,,,且,若对任意的,恒成立,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)∵,‎ ‎∵函数在处取得极值,‎ ‎∴,解得.‎ ‎ (2)设 ‎∴有两相异实根,,‎ ‎∴,且,‎ ‎∴(舍去),或.‎ ‎ 若,则,‎ 而,不合题意;‎ ‎ 若,则对任意的,有,,‎ ‎ 则,又,‎ ‎∴在的最小值为0,‎ 于是对任意的,恒成立的充要条件是 ‎,解得, ‎ 综上,的取值范围是.‎
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