高考新课标全国卷理科数学试题及答案

高考新课标全国卷理科数学试题及答案

‎2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案 ‎( 宁夏、吉林、黑龙江、海南)‎ ‎（新课标）理科数学 ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。‎ 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。‎ ‎3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。‎ ‎5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差 锥体体积公式 ‎ ‎ 其中为样本平均数 其中为底面面积，为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎ ‎ 其中为底面面积，为高 其中R为球的半径 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合},,则 ‎(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}‎ ‎(2)已知复数，是z的共轭复数，则=‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎(3)曲线在点（-1，-1）处的切线方程为 ‎（A）y=2x+1 (B)y=2x‎-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2‎ ‎(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.co ‎（5）已知命题 ‎：函数在R为增函数，‎ ‎：函数在R为减函数，‎ 则在命题：，：，：和：中，真命题是 ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ ‎（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 ‎（A）100 （B）200 （C）300 （D）400‎ ‎（7）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）设偶函数满足，则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（9）若，是第三象限的角，则 ‎(A) (B) (C) 2 (D) -2‎ ‎（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（11）已知函数若互不相等，且则的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 。‎ ‎（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）‎ ‎（15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____‎ ‎(16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 设数列满足 （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 令，求数列的前n项和 ‎(18)（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点 （1） 证明：PEBC （2） 若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值 ‎(19)(本小题12分)‎ 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ 是否需要志愿 性别 男 女 需要 ‎40‎ ‎30‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ （1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ （2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ （3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由 附：‎ ‎ 0.050 0.010 0.001‎ ‎ 3.841 6.635 10.828‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。‎ ‎（1）求的离心率；‎ ‎ （2） 设点满足，求的方程 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 设函数。‎ （1） 若，求的单调区间；‎ （1） 若当时，求的取值范围 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ‎ 如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：‎ ‎（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；‎ ‎（Ⅱ）BC2=BF×CD。‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com ‎（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知直线C1（t为参数），C2（为参数），‎ ‎（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com ‎（24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选项 ‎ 设函数 ‎（Ⅰ）画出函数的图像 ‎（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围。‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 ‎（新课标）理科数学试题参考答案 一、 选择题 ‎（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）B ‎（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B （1） 已知集合},,则 ‎(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}‎ 解析：,选D 命题意图：考察集合的基本运算 ‎(2)已知复数，是z的共轭复数，则=‎ A. B. C.1 D.2‎ 解析：‎ ‎ ，所以选A 命题意图：考察复数的四则运算 ‎(3)曲线在点（-1，-1）处的切线方程为 ‎（A）y=2x+1 (B)y=2x‎-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2‎ 解析：，所以点（-1，-1）处的切线方程为y=2x+1，‎ 命题意图：考察导数的几何意义 ‎(4)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，-），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 解析：法一：排除法 取点,排除A、D，又当点P刚从t=0开始运动，d是关于t的减函数，所以排除B，选C ‎ 法二：构建关系式 x轴非负半轴到OP的角，由三角函数的定义可知 ‎ ，所以，选C 命题意图：考察三角函数的定义及图像 ‎（5）已知命题 ‎：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，‎ 则在命题：，：，：和：中，真命题是 ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ 解析：对于：显然在R为增函数，命题为真 ‎ 对于：，‎ ‎ 当，命题为假 对于，也可通过复合函数单调性法则，分解为简单函数处理 利用复合命题真值表，显然，为真命题，选C 命题意图：复合命题真假判断为背景考察函数的单调性 ‎（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为 ‎（A）100 （B）200 （C）300 （D）400‎ 解析：设发芽的粒数为 ‎ 又，选B 命题意图：考察二项分布期望公式及公式 ‎（7）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于 ‎（A） （B）（C） （D）‎ 解析：‎ 所以选D ‎ 命题意图：以算法为背景考察裂项相消求和 ‎（8）设偶函数满足，则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 解析：‎ ‎，选B 另法：（特征分析法）偶函数的图像关于y轴对称，函数的图形必关于直线对称，由此可知不等式的解集应该关于2对称。符合这一条件的选项只有B，故选B.‎ 命题意图：利用函数性质解不等式 ‎（9）若，是第三象限的角，则 ‎(A) (B) (C) 2 (D) -2‎ 解析：是第三象限的角，‎ ‎ 又 ‎ 故，选A 命题意图：考察三角函数的化简求值 ‎（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解析：‎ 命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式 ‎（11）已知函数若互不相等，且则的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解析： 互不相等，不妨设 ‎，显然 所以选C 命题意图：考察数形结合思想，利用图像处理函数与方程问题 ‎（12）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解析：设双曲线方程为，‎ 由得 ‎，，‎ 所以，选B 命题意图：利用点差法处理弦中点与斜率问题 二、填空题 ‎（13） （14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）‎ ‎（15） （16）60°‎ ‎（13）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 。‎ ‎（14）正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）‎ 解析：三棱锥、三棱柱、圆锥 ‎（15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为 解析： 设圆心，借助图形可知，又 ‎(16)在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______‎ 解析：‎ 在△ADC，‎ 在△ADB，‎ 所以，在△ABC中，由余弦定理的 cosBAC=,BAC=60°‎ 另法：作AE⊥BE于E，由ADB=120°，AD=2知DE=1,AE=，从而有 所以BD=, BE=,EC=, ‎ 所以,，‎ 所以.‎ ‎------------------------------------------------------------------------------------‎ ‎2010年全国高考课标数学解析 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A A C C B D B A B C B 1． D解析：本题考查了集合的运算、绝对值不等式的解法。‎ ‎ ∵，∴‎ 2． A解析：本题考查了复数的共轭复数、复数的基本运算。∵，∴，∴‎ 3． A解析：本题考查了导数的运算、导数的几何意义求切线方程。‎ ‎ ∵ ，∴切线方程为 4． C解析：本题考查了三角函数图象及其应用。‎ ‎∵初始位置为，，角速度，P到轴的距离为∴，其周期，∵当时，∴，且时，，故选C 5． C解析：本题考查了函数的单调性、简易逻辑的基础知识 ‎ ∵在R上是增函数，∴真命题，假命题，∵‎ ‎，当且仅当时函数有最小值，在R既不是增函数也不是减函数，∴假命题，真命题，∴为真命题，为假命题，为假命题，为真命题，故选C 1． B解析：本题考查了概率分布列的二项分布及数学期望的基础知识。‎ ‎∵需要补种为事件，其概率，其服从二项分布，，数学期望∴ ，∴补种要2粒，∴‎ 2． D解析：本题考查了算法的流程图、数列求和的基础知识 列出关于S k的表格如下 k ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ S ‎∵从表格可得当k=5时，∴，故选D 3． B解析：本题考查了函数的奇偶性、导数研究函数的单调性的基础知识。∵，∴，∴在上是增函数，∵为偶函数，∴，∵，，∴，∴‎ 4． A解析：本题考查了同角三角函数关系、二倍角的正弦余弦公式。‎ ‎ ∵ ，，为第三象限角，∴，‎ ‎10．B解析：本题考查了空间直线与平面、直三棱柱、球的表面积公式。‎ ‎∵A B O N C E 三棱柱内接于球，且各棱都相等，则上下底面的截面圆的圆心连线过球心O，且ON=，N为截面圆的圆心且为底面正三角形的中心，则有AN=，∴球半径，∴球的表面积为 ‎1‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎11．C解析：本题考查了对数函数图象、分段函数的基本知识 作出函数图象如下，∵不相等，∴不妨设，，所以与函数与三个交点即如图所示，的取值范围为，∵是与的两个交点的横坐标，∴，∴ ，∴的取值范围为 ‎12．B解析：，双曲线方程为，∵AB过F，N，∴斜率 ‎∵，∴两式差有，∴，又∵，∴，故选B ‎13．，解析：本题考查了几何概型、定积分的基本概念及几何意义。，，其构成的边长1的正方形面积，由古典概型知，，‎ ‎14．三棱锥 解析：本题考查了立体几何的三视图的基础知识，直观的想象可知几何体为三棱锥 ‎15． 解析：本题考查了圆的标准方程、直线的垂直、直线与圆的位置关系到的基础知识 ‎ ∵直线与圆切于点（2，1），∴圆心在过切点且垂直于直线的直线上，该直线为，∵圆过点（4，1），（2，1），∴圆心在这两点的垂直平分线上，圆心为（3，0），∴圆方程为 A B C D ‎16．解析本题考查了正弦定理、余弦定理的基础知识。‎ ‎∵，∴，，∵在三角形ABD中由余弦定理，在三角形ACD中由余弦定理 ‎，在三角形ABC中由余弦定理 ‎，‎ 另法：作AE⊥BE于E，由ADB=120°，AD=2知DE=1,AE=，‎ 从而有 所以BD=, BE=,EC=, ‎ 所以,，‎ 所以.‎ 三、解答题 ‎（17）解：‎ ‎（Ⅰ）由已知，当n≥1时，‎ ‎。‎ 而 ‎ 所以数列{}的通项公式为。‎ ‎（Ⅱ）由知 ‎ ①‎ 从而 ‎ ②‎ ‎①-②得 ‎ 。‎ 即 ‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com ‎（18）解：‎ 以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则 ‎ （Ⅰ）设 ‎ 则 ‎ 可得 ‎ 因为 所以 ‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com ‎（Ⅱ）由已知条件可得 ‎ ‎ ‎ ‎ 设 为平面的法向量 ‎ 则 即 因此可以取，‎ 由，‎ 可得 ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为 ‎（19）解：‎ ‎（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为 ‎（2）。‎ 由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。‎ ‎ (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．‎ ‎（20.）解：‎ ‎（I）由椭圆定义知，又，‎ 得 的方程为，其中。‎ 设，，则A、B两点坐标满足方程组 化简的 则 因为直线AB斜率为1，所以 得故 所以E的离心率 ‎（II）设AB的中点为，由（I）知 ‎，。‎ 由，得，‎ 即 得，从而 故椭圆E的方程为。‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com ‎（21）解：‎ ‎（1）时，，.‎ 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 ‎（II）‎ 由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ‎ ，‎ 从而当，即时，，而，‎ 于是当时，.‎ ‎ 由可得.从而当时，‎ ‎ ，‎ 故当时，，而，于是当时，.‎ ‎ 综合得的取值范围为.‎ ‎（22）解：‎ ‎ （I）因为,‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又因为与圆相切于点，故，‎ ‎ 所以.‎ ‎ （II）因为,‎ ‎ 所以∽，故，‎ ‎ 即.‎ ‎(23)解：‎ ‎ （Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为。联立方程组 ，解得与的交点为（1,0）,。‎ ‎（Ⅱ）的普通方程为。‎ A点坐标为，‎ 故当变化时，P点轨迹的参数方程为：‎ P点轨迹的普通方程为。‎ 故P点轨迹是圆心为，半径为的圆。‎ ‎（24） 解：‎ 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com ‎（Ⅰ）由于则函数的图像如图所示。‎ ‎（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。故不等式的解集非空时，‎ 的取值范围为学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 理科数学点评 从今年的试卷和考生反映来看，2010年新课标全国高考数学试卷(吉林、黑龙江、宁夏卷)与2009年全国高考数学试卷(宁夏、海南卷)结构相同。选择题比去年全国二卷容易，填空题基本同去年全国二卷持平，解答题中的立体几何、解析几何比去年略难。选答题的三个题中参数方程的题比平面几何和不等式的题略难。‎ ‎　　2010年新课标全国高考数学试卷(吉林、黑龙江、宁夏卷)有以下特点：‎ ‎　　第一，立足教材，紧扣考纲 ‎　　试卷中所有考题无一超纲。选择题、填空题中半数源于课本，解答题中的17题、19题也都源于课本。17题是考查数列内容，突出了累加法求通项，倍差法求和的基本方法。‎ ‎　　第二，突出基础，强化综合 ‎　　试卷考查了集合、复数、函数奇偶性、定积分、三视图、数学期望、直线与平面所成的角等概念。‎ ‎　　第7题体现了算法与数列求和的综合，第11题体现了对数函数与一次函数、方程与不等式的综合，第13题体现了定积分与随机模拟方法的综合，第19题体现了抽样方法与独立性检验的综合。‎ ‎　　第三，着意思维，能力立意 ‎　　试卷对能力的考查全面且重点突出，特别对空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的要求更高。第14题对学生的空间想象能力要求适度，第18则对学生的空间想象能力要求过高，第13题、第19题对学生的数学据处理能力及应用意识要求恰到好处，第14题、第19题都有一定的开放度，很好的考查了学生的创新意识。第16题、第20题对学生理性思维能力提出了较高的要求。第21题的第二问则很好地考查了学生的推理与论证能力。第18题为：已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB//CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点。(1)证明PE⊥BC；(2)若∠APB=∠ADB=60度，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。这道题是解答题的第2题，命题者本意不想难为学生，但实际上此题的确难住了很多学生，个中原因值得我们深思。一方面此题对空间想象能力的要求有点脱离学生与教材的实际，另一方面平时训练的过分模式化也是导致学生应变能力差的原因。第21题的函数是一个指数函数与一个含有参数的二次函数的代数和，第一问给定参数的值，求单调区间，属于基本题，第二问是恒成立问题，求参数的取值范围，与2006、2008年导数题的第二问类似，对推理论证能力有较高要求，有一定难度，想得满分也不容易。‎ ‎　　第四，体现课改，注重创新 ‎　　对教材新增内容的考查全面，且难易适度，既体现了基础知识的与时俱进又有利于中学数学教学，对算法、三视图、抽样方法与独立性检验、几何概率与定积分概念均考查到位，试卷中共有3道小题、2道大题考查新课程内容，共计37分。第14题、第19题开放式的设问是一种创新，第18题、第21题的背景新也是一种创新。第14题考的是三视图，原题为：正视图为一个三角形的几何体可以是____(写出三种)难度适中，有一定创新性。19题考查了抽样方法与独立性检验的初步应用。原题为：为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：‎ ‎　　(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ ‎　　(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎　　(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。(卡方表略)‎ ‎　　本题是必修三与选修2—3的结合，(1)、(2)问只要系统复习就没有问题，第(3)问则需要对课本中各种抽样方法熟练掌握，才能答好。通过这道题，命题人向我们诠释了考纲对新课程对统计的要求。　三道选答题，分别是平面几何，参数方程以及绝对值不等式，平面几何、绝对值不等式相当于平时训练题的水平，学生比较容易上手，参数方程的第二问考查求轨迹，则有一定难度，学生选此题不易得满分。因此，合理的选择也是对学生能力的检验。‎ ‎　　纵观今年高考教学试题，它紧扣数学科考试大纲，强调基础与能力并重、继承与创新并举，实现了从旧课程高考数学卷向新课程高考数学卷的平稳过渡。为新课程的教学起到了积极的引领作用。不足之处是：可能是命题者对新课程的教材及学习新课程的学生了解不够，导致解答题第2题对立体几何的要求与教材和学生的实际不符，从而影响了多数考生的发挥。‎