全国高考文科数学试题及答案湖南卷

全国高考文科数学试题及答案湖南卷

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（文史类）‎ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ 1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x2=x}，则M∩N=‎ A.{-1，0，1} B.{0,1} C.{1} D.{0}‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 M={-1,0,1} M∩N={0,1}‎ ‎【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出，再利用交集定义得出M∩N.‎ ‎2.复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是 A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i ‎【答案】‎ ‎【解析】由z=i（i+1）=，及共轭复数定义得.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把Z化成标准的形式，然后由共轭复数定义得出.‎ ‎3.命题“若α=，则tanα=‎1”‎的逆否命题是 A.若α≠，则tanα≠1 B. 若α=，则tanα≠1‎ C. 若tanα≠1，则α≠ D. 若tanα≠1，则α=‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以 “若α=，则tanα=‎1”‎的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠”.‎ ‎【点评】本题考查了“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力.‎ ‎4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ‎【答案】D ‎【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.‎ ‎【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型.‎ ‎5.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（，）‎ C.若该大学某女生身高增加‎1cm，则其体重约增加‎0.85kg D.若该大学某女生身高为‎170cm，则可断定其体重必为‎58.79kg ‎【答案】D ‎【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.‎ ‎【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.‎ ‎6. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A．-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.‎ 又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.‎ 又，，C的方程为-=1.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.‎ ‎7 . 设 a＞b＞1， ，给出下列三个结论：‎ ① ‎ ＞ ；② ＜ ； ③ ，‎ 其中所有的正确结论的序号是.‎ A．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由不等式及a＞b＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a＞b＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.‎ ‎【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.‎ ‎8 . 在△ABC中，AC= ，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于 A． B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知，‎ 即，又 设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知 ‎，解得.‎ ‎【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.‎ ‎9. 设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，是f(x)的导函数，当 时，0＜f(x)＜1；当x∈（0，π） 且x≠时 ，，则函数y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为 A .2 B ‎.4 C.5 D. 8 ‎ ‎【答案】Ｂ ‎【解析】由当x∈（0，π） 且x≠时 ，，知 又时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.‎ ‎【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.‎ 二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎（一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分）‎ ‎10.在极坐标系中，曲线：与曲线：的一个交点在极轴上，则a=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线的直角坐标方程是，曲线的普通方程是直角坐标方程 ‎，因为曲线C1：与曲线C2：的一个交点在极轴上，所以与轴交点横坐标与值相等，由，知＝.‎ ‎【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线与曲线的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与轴交点，即得.‎ ‎11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为‎29℃‎~‎63℃‎.精确度要求±‎1℃‎.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.‎ ‎【答案】７‎ ‎【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.‎ ‎【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力.‎ ‎(二)必做题（12~16题）‎ ‎12.不等式x2-5x+6≤0的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由x2-5x+6≤0，得，从而的不等式x2-5x+6≤0的解集为.‎ ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.‎ ‎13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.‎ ‎(注：方差，其中为x1，x2，…，xn的平均数)‎ ‎【答案】6.8‎ ‎【解析】，‎ ‎.‎ ‎【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力.‎ ‎14.如果执行如图3所示的程序框图，输入,则输出的数 = .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得，输出.‎ ‎【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养.‎ ‎15.如图4，在平行四边形ABCD中 ，AP⊥BD，垂足为P，且= .‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】设，则，=‎ ‎.‎ ‎【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.‎ ‎16.对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.‎ ‎（1）b2+b4+b6+b8=__；‎ ‎（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.‎ ‎【答案】（1）3；（2）2.‎ ‎【解析】（1）观察知；；‎ 一次类推；；‎ ‎；，，，‎ b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.‎ ‎【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.‎ 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数（人）‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间（分钟/人）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:‎ ‎(分钟).‎ ‎（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得 ‎.‎ 是互斥事件，‎ ‎.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.‎ ‎【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数的部分图像如图5所示.‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期.‎ 因为点在函数图像上，所以.‎ 又即.‎ 又点在函数图像上，所以，故函数f（x）的解析式为 ‎（Ⅱ）‎ 由得 的单调递增区间是 ‎【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎ ‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为 又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，‎ 而平面PAC，所以.‎ ‎（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.‎ 由BD平面PAC，平面PAC，知.‎ 在中，由，得PD=2OD.‎ 因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形，‎ 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形ＡＯＤ中，‎ 所以 故四棱锥的体积为.‎ ‎【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎.‎ 整理得　‎ ‎.‎ 由题意，‎ 解得.‎ 故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元.‎ ‎【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决.‎ ‎21.（本小题满分13分）‎ 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得.故圆Ｃ的圆心为点 从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知 故椭圆Ｅ的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得 ‎　　，‎ 即　　　　　‎ 同理可得　　.‎ 从而是方程的两个实根，于是 ‎　　　　　　　　　　　　　　①‎ 且 由得解得或 由得由得它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 ‎，或，或，或.‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标.‎ ‎22.（本小题满分13分）‎ 已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.‎ ‎（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；‎ ‎（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1

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