高考数学分类汇编导数及其应用

高考数学分类汇编导数及其应用

www.gkstk.com ‎2016年高考数学试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 ‎1、（2016年山东高考）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎2、（2016年四川高考）已知a函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a=‎ ‎(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2‎ ‎【答案】D ‎3、（2016年四川高考）设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B则则△PAB的面积的取值范围是 ‎(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)‎ ‎【答案】A ‎4、（2016年全国I卷高考）若函数在单调递增，则a的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】C 二、填空题 ‎1、（2016年天津高考）已知函数为的导函数，则的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎2、（2016年全国III卷高考）已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程式_____________________________.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 ‎1、（2016年北京高考）设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ 解：（I）由，得．‎ 因为，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（II）当时，，‎ 所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在，，‎ ‎，使得．‎ 由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ ‎（III）当时，，，‎ 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．‎ 当时，只有一个零点，记作．‎ 当时，，在区间上单调递增；‎ 当时，，在区间上单调递增．‎ 所以不可能有三个不同零点．‎ 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．‎ 故是有三个不同零点的必要条件．‎ 当，时，，只有两个不同 点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．‎ 因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎2、（2016年江苏省高考）‎ 已知函数.‎ （1） 设a=2,b=.‎ ① 求方程=2的根;‎ ‎②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.‎ 解：（1）因为，所以.‎ ‎①方程，即，亦即，‎ 所以，于是，解得.‎ ‎②由条件知.‎ 因为对于恒成立，且，‎ 所以对于恒成立.‎ 而，且，‎ 所以，故实数的最大值为4.‎ ‎（2）因为函数只有1个零点，而，‎ 所以0是函数的唯一零点.‎ 因为，又由知，‎ 所以有唯一解.‎ 令，则，‎ 从而对任意，，所以是上的单调增函数，‎ 于是当，；当时，.‎ 因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.‎ 下证.‎ 若，则，于是，‎ 又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.‎ 若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.‎ 因此，.‎ 于是，故，所以.‎ ‎3、（2016年山东高考）设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.‎ ‎(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ 解析：(Ⅰ)由 ‎ 可得，‎ 则，‎ 当时，‎ ‎ 时，，函数单调递增；‎ 当时，‎ ‎ 时，，函数单调递增，‎ ‎ 时，，函数单调递减.‎ 所以当时，函数单调递增区间为；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.‎ ‎①当时，，单调递减.‎ 所以当时，，单调递减.‎ 当时，，单调递增.‎ 所以在x=1处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，‎ 可得当当时，，时，，‎ 所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，‎ 所以在x=1处取得极小值，不合题意.‎ ‎③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，‎ 所以当时，， 单调递减，不合题意.‎ ‎④当时，即 ，当时，，单调递增,‎ 当时，，单调递减，‎ 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.‎ 综上可知，实数a的取值范围为.‎ ‎4、（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。‎ ‎（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；‎ ‎（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。‎ ‎（I） ‎ ‎ <0，在内单调递减.‎ 由=0，有.‎ 当时，<0，单调递减；‎ 当时，>0，单调递增.‎ ‎（II）令=，则=.‎ 当时，>0，所以，从而=>0.‎ ‎（iii）由（II），当时，>0.‎ 当，时，=.‎ 故当>在区间内恒成立时，必有.‎ 当时，>1.‎ 由（I）有,从而，‎ 所以此时>在区间内不恒成立.‎ 当时，令=().‎ 当时，=.‎ 因此在区间单调递增.‎ 又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立.‎ 综上，.‎ ‎5、（2016年天津高考）设函数，，其中 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.‎ ‎（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：‎ ①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.‎ ②当时，令，解得或.‎ 当变化时，、的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.‎ 由题意得，即，进而，‎ 又，且，‎ 由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，‎ 所以.‎ ‎（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：‎ ①当时，，由（1） 知在区间上单调递减，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此，‎ ‎ 所以.‎ ②当时，，‎ 由（1）和（2） 知，，‎ 所以在区间上的取值范围为，‎ 所以 ‎.‎ ‎③当时，，由（1）和（2）知，‎ ‎，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此，‎ ‎.‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.‎ ‎6、（2016年全国I卷高考）已知函数.‎ ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎(II)若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）．‎ ‎（ i ）当时，则当时，；当时，‎ 故函数在单调递减，在单调递增．‎ ‎（ ii ）当时，由，解得：或 ‎①若，即，则，‎ 故在单调递增．‎ ‎②若，即，则当时，；当时，‎ 故函数在，单调递增；在单调递减．‎ ‎③若，即，则当时，；当时，；‎ 故函数在，单调递增；在单调递减．‎ ‎（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．‎ 又∵，取实数满足且，则 ‎∴有两个零点．‎ ‎（ii）若，则，故只有一个零点．‎ ‎（iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；‎ 当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，，故不存在两个零点．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎7、（2016年全国II卷高考） 已知函数.‎ ‎（I）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ 解析：（I）的定义域为.当时，‎ ‎，‎ 所以曲线在处的切线方程为 ‎（II）当时，等价于 令，‎ 则，‎ ‎（i）当，时， ，‎ 故在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得，‎ 由和得，‎ 故当时，，在单调递减，因此.‎ 综上，的取值范围是 ‎8、（2016年全国III卷高考）设函数．‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）证明当时，；‎ ‎（III）设，证明当时，.‎ ‎9、（2016年浙江高考）‎ 设函数=，.证明：‎ ‎（I）；‎ ‎（II）. ‎ 解析：(Ⅰ)因为 由于，有即，‎ 所以 ‎(Ⅱ)由得，‎ 故，‎ 所以.‎ 由(Ⅰ)得，‎ 又因为，所以，‎ 综上，‎