北京2014高考数学压轴卷理含解析

北京2014高考数学压轴卷理含解析

‎2014北京市高考压轴卷 理科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知函数，，且，，，则的值为 A.正 B.负 C.零 D.可正可负 ‎3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）‎ ‎ ‎ A．4+ B．4+ C．4+ D．4+‎ ‎4.如图所示为函数的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么( )‎ A．-1 B． ‎ C． D．1‎ ‎5.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：‎ ‎①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ‎ ‎②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ‎ ‎③若m、n是两条异面直线，mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β； ‎ ‎④若α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，则n⊥α．‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A．     B．      C．      D．‎ ‎7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎2‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎9.已知集合，若，则实数的值为________________.‎ ‎10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a指向①时输出的结果S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果S＝n，求m＋n的值．‎ ‎11.若是等差数列的前项和,且，则的值为 ． ‎ ‎12.展开式中有理项共有　 　 项．‎ ‎13.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_______‎ ‎14.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．‎ ‎15.已知向量．记 ‎ (I)求的周期；‎ ‎(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(‎2a—c)B=b， 若，试判断ABC的形状． ‎ ‎16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）‎ 篮球 排球 总计 男同学 ‎16‎ ‎6‎ ‎22‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎24‎ ‎18‎ ‎42‎ ‎（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．‎ ‎①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；‎ ‎②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．‎ 下面临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：‎ 命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题.‎ ‎17.已知正四棱柱中，. ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎18.已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.‎ 求证: 为定值.‎ ‎19.已知数列的各项均为正数，记,,‎ ‎ .‎ ‎（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎20.已知函数（）.（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，‎ 求证：（其中是的导函数）．‎ ‎2014北京市高考压轴卷数学理word版参考答案 ‎1. 【答案】D ‎【解析】故选D．‎ ‎2. 【答案】B ‎【解析】∵，∴函数在R上是减函数且是奇函数，‎ ‎∵，∴，∴，∴，∴，‎ 同理：，，∴.‎ ‎3. 【答案】A ‎【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为．故选A．‎ ‎4. 【答案】A. ‎ ‎【解析】‎ ‎5. 【答案】C ‎【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误 ‎②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确 ‎③过直线m作平面γ交平面β与直线c，‎ ‎∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，‎ ‎∵m∥β，mγ，γ∩β=c∴m∥c，‎ ‎∵mα，cα，∴c∥α，‎ ‎∵nβ，cβ，n∩c=O，c∥α，n∥α ‎∴α∥β；故③正确 ‎④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，nβ，n⊥m，∴n⊥α．故④正确 故正确命题有三个，‎ 故选C ‎6. 【答案】C.‎ ‎【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在 是减函数，  ，，，‎ 在是减函数，所以由得，，即，故选 ‎7. 【答案】C.‎ ‎【解析】设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，‎ ‎∴m2+n2=‎2c2，n2=‎2c2﹣m2 ①．‎ 把P（m，n ）代入椭圆得 b‎2m2‎+a2n2=a2b2 ②，‎ 把①代入②得 m2=≥0，∴a2b2≤‎2a2c2，‎ ‎ b2≤‎2c2，a2﹣c2≤‎2c2，∴≥． ‎ 又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，‎ a2﹣‎2c2≥0，∴≤．‎ 综上，≤≤，‎ 故选 C．‎ ‎8. 【答案】A.‎ ‎【解析】由f（1+x）=f（1﹣x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，‎ 方程在区间[﹣3，3]根的个数等价于f（x）与y=图象的交点的个数，‎ 而函数y=图象可看作y=的图象向下平移1个单位得到，‎ 作出它们的图象如图：‎ 可得两函数的图象有5个交点，‎ 故选A ‎9. 【答案】a=-1.‎ ‎【解析】若a-3=-3,则a=0，此时：‎ ‎ ,,与题意不符，舍 ‎ ‚若‎2a-1=-3,则a=-1，此时：‎ ‎ ，，a=-1‎ ‎ ƒ若a2+1=-3,则a不存在 ‎ 综上可知：a=-1‎ ‎10. 【答案】20.‎ ‎【解析】当箭头指向①时，计算S和i如下．‎ i＝1，S＝0，S＝1；‎ i＝2，S＝0，S＝2；‎ i＝3，S＝0，S＝3；‎ i＝4，S＝0，S＝4；‎ i＝5，S＝0，S＝5；‎ i＝6结束．‎ ‎∴S＝m＝5．‎ 当箭头指向②时，计算S和i如下．‎ i＝1，S＝0， S＝1；‎ i＝2，S＝3；‎ i＝3，S＝6；‎ i＝4，S＝10；‎ i＝5，S＝15；‎ i＝6结束．‎ ‎∴S＝n＝15．‎ ‎∴m＋n＝20．‎ ‎11. 【答案】44 ‎ ‎【解析】由,解得,又由 ‎12. 【答案】3.‎ ‎【解析】展开式通项公式为Tr+1==‎ 若为有理项时，则为整数，‎ ‎∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项，‎ 故答案为：3‎ ‎13.【答案】4.‎ ‎【解析】设过坐标原点的一条直线方程为，因为与函数的图象交于P、Q 两点，所以，且联列解得，所以 ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．‎ ‎（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．‎ 考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），‎ ‎∴a＞1；‎ 考查函数y2=x 2﹣ax﹣1，显然过点M（，0），代入得：，‎ 解之得：a=，或a=0（舍去）．‎ 故答案为：‎ ‎15. 【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎（I） ‎ ‎（Ⅱ 根据正弦定理知： ‎ ‎ ‎ ‎ ∵ ∴ 或或 ‎ 而，所以，因此ABC为等边三角形.……………12分 ‎16. 【解析】‎ ‎（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值 k≈4.582>3.841. ……2分 所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分 ‎（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．‎ 方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则 P(A∩B)，P(A).‎ 所以P(B|A) . ……7分 方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，‎ 则P(C).‎ ‎②由题知X的可能值为0，1，2.‎ 依题意P(X0)；P(X1)；P(X2). ‎ 从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ……10分 于是E(X)0×＋1×＋2×. ……12分 ‎17. 【解析】证明：(Ⅰ)因为为正四棱柱，‎ 所以平面，且为正方形. ………1分 因为平面，‎ ‎ 所以. ………2分 ‎ 因为,‎ ‎ 所以平面. ………3分 因为平面,‎ 所以. ………4分 ‎(Ⅱ) 如图，以为原点建立空间直角坐标系.则 ‎ ………5分 ‎ 所以. ‎ ‎ 设平面的法向量.‎ ‎ 所以 .即……6分 ‎ 令，则.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 由（Ⅰ）可知平面的法向量为 . ……7分 ‎ 所以. ……8分 ‎ 因为二面角为钝二面角，‎ 所以二面角的余弦值为. ………9分 ‎(Ⅲ)设为线段上一点,且.‎ ‎ 因为.‎ 所以. ………10分 即.‎ 所以. ………11分 设平面的法向量.‎ 因为，‎ ‎ ‎ ‎ 所以 .即. ………12分 ‎ 令，则.‎ ‎ 所以. ………13分 若平面平面，则.‎ 即，解得.‎ 所以当时，平面平面. ………14分 ‎18. 【解析】（Ⅰ）由条件…………2分 故所求椭圆方程为. …………4分 ‎（Ⅱ）设过点的直线方程为：. …………5分 由可得： …………6分 因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.‎ 设点，则 ‎. …………8分 因为直线的方程为：，‎ 直线的方程为：， ………9分 令，可得，，‎ 所以点的坐标. ………10分 直线的斜率为 ‎ …………12分 ‎ ‎ 所以为定值. …………13分 ‎19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意，三个数是等差数列，‎ 所以. ………1分 所以, ………2分 即. ………3分 所以数列是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 所以. ………5分 ‎（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则 ‎　　　 . ………6分 所以得 ‎ 即. ………7分 ‎　　 因为当时，由可得， ………8分 所以.‎ 因为，‎ 所以. ‎ 即数列是首项为，公比为的等比数列， ………9分 ‎（２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有 ‎. ………10分 因为，‎ 所以均大于.于是 ‎　　　　 ………11分 ‎　　　　 ………12分 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎………13分 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列. ………14分 ‎20. 【解析】（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，‎ 切线的斜率，则切线方程为，即. 2分 ‎（Ⅱ），则，‎ ‎∵，故时，.当时，；当时，.‎ 故在处取得极大值. 4分 又，，，则，‎ ‎∴在上的最小值是. 6分 在上有两个零点的条件是解得，‎ ‎∴实数的取值范围是. 8分 ‎（Ⅲ）∵的图象与轴交于两个不同的点，‎ ‎∴方程的两个根为，则两式相减得.又，，则.‎ 下证（*），即证明，，‎ ‎∵，∴，即证明在上恒成立. 10分 ‎∵，又，∴，‎ ‎∴在上是增函数，则，从而知，‎ 故（*）式＜0，即成立………….12分