上海市浦东新区高考数学一模试题

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浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试 ‎ 高三数学 2015.1‎ 注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.‎ ‎ 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.‎ ‎1．不等式的解为 .‎ ‎2．已知复数满足（为虚数单位），则 .‎ ‎3．关于的方程表示圆，则实数的取值范围是 .‎ ‎4．函数的最大值为 .‎ ‎5．若，则实数的取值范围是 . ‎ ‎6．已知一个关于的二元线性方程组的增广矩阵是，则= .‎ ‎7．双曲线的两条渐近线的夹角为 .‎ ‎8．已知是函数的反函数，且，则实数 .‎ P C D E ‎9．二项式的展开式中，含项系数为 .‎ ‎10．定义在上的偶函数，在上单调递增，则不等式的解是 .‎ ‎11．如图，已知平面，，，,、分别是、的中点. 则异面直线与所成角的大小为 . ‎ ‎12．若直线的方程为（不同时为零），则下列命题正确的是 .‎ ‎（1）以方程的解为坐标的点都在直线上；‎ ‎（2）方程可以表示平面坐标系中的任意一条直线；‎ ‎（3）直线的一个法向量为；‎ ‎（4）直线的倾斜角为.‎ 二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.‎ ‎13．设椭圆的一个焦点为，且，则椭圆的标准方程为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎14．用1，2，3，4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎15．下列四个命题中，为真命题的是 （ ）‎ 若，则 若，则 若，则 若，则 ‎16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）‎ ‎ 84 78 81 96‎ ‎17．等差数列的前项和为，若，的值为 （ ）‎ ‎ 10 20 25 30‎ ‎18．“直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的 （ ）‎ 充分非必要条件 必要非充分条件 ‎ 充要条件 既非充分也非必要条件 ‎ ‎19．函数的零点个数为 （ ）‎ ‎ 0 1 2 3‎ ‎20．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（ ）‎ 赚723元 赚145元 亏145元 亏723元 ‎21．已知数列的通项公式，则 ‎ （ ）‎ ‎ ‎ ‎22．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”. 若函数是区间上“缓增函数”，则“缓增区间”为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎23．设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为2，则 （ ）‎ 若确定，则唯一确定 若确定，则唯一确定 若确定，则唯一确定 若确定，则唯一确定 ‎24．已知是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与椭圆公共点的个数是 （ ）‎ ‎ 2 1 0 不确定 三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎25．（本题满分7分）‎ 已知函数的定义域为集合，集合. 若，求实数的取值范围.‎ ‎26．（本题满分8分）‎ 如图所示，圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，求此圆锥的体积．‎ ‎27．（本题满分8分）‎ 已知直线与抛物线交于、两点（为抛物线的焦点，为坐标原点），若，求的垂直平分线的方程.‎ ‎28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)‎ 在中，角、、所对的边分别为、、，且，的平分线为，若 ‎（1）当时，求的值； ‎ ‎(2) 当时，求实数的取值范围.‎ ‎29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）‎ 在数列，中，,,,（）.‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项的和，若对任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎30．（本题满分8分）‎ 某风景区有空中景点及平坦的地面上景点．已知与地面所成角的大小为，点在地面上的射影为，如图.请在地面上选定点，使得达到最大值.‎ ‎31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)‎ 设函数（）.‎ ‎（1）设且，试比较与的大小；‎ ‎（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.‎ ‎①对任意都有成立；‎ ‎②对任意都有成立；‎ ‎③若关于的不等式在有解，则的取值范围是.‎ ‎32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)‎ O 已知三角形的三个顶点分别为，，.‎ ‎（1）动点在三角形的内部或边界上，且点到三边的距离依次成等差数列，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若，直线:将分割为面积相等的两部分，求实数的取值范围. ‎ 浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试 高三数学参考答案及评分标准 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.‎ ‎1．； 2．； 3．； 4．2； 5．； 6．6； 7．；‎ ‎8．； 9．24； 10．； 11．（）； 12．（1）、（2）、（3）. ‎ 二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.‎ ‎13． ； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．； ‎ ‎19．； 20．； 21．； 22．； 23．； 24．.‎ 三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎25．（本题满分7分）‎ 解：集合，……………………………………………………………………3分 因为，所以 ，.…………………………………6分 即. ………………………………………………………………………7分 ‎26．（本题满分8分）‎ 解：因为，所以弧长为，……………………………………………2分 又因为，则有，所以．……………………4分 在中，.， …………………6分 所以圆锥的体积． ………………………………………8分 ‎27．（本题满分8分）‎ 解：的方程为：. 由 得，‎ 所以，……………………………………………………………………3分 由，可求得.………………………………………………………5分 所以，中点.…………………………………………………6分 所以的垂直平分线的方程为：.………………………………8分 ‎28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)‎ 解：（1）由 又 得………2分 ‎…………………………………………………………………4分 ‎ ‎ ……………………………………………6分 ‎（2）由 得；…………………………………8分 又=，…………………10分 所以，.……………………………………………12分 ‎29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）‎ 解：（1）因为，，，‎ 即数列是首项为2，公比为的等比数列，‎ 所以.…………………………………………………………3分 ‎ ，，，‎ 所以，当时，，即.…………………………6分 ‎ （2）由 得，，‎ ‎ ，，‎ 因为，所以.………………………8分 ‎ 当为奇数时，随的增大而增大，‎ 且，，；………………………10分 ‎ 当为偶数时，随的增大而减小，‎ 且，，.‎ 综上，.…………………………………………………………………13分 ‎30．（本题满分8分）‎ 解：因为与地面所成的角的大小为，垂直于地面，是地面上的直线，‎ 所以.‎ ‎∵…………………………………………………………2分 ‎∴‎ ‎……………………………4分 ‎……………6分 当时，达到最大值，‎ 此时点在延长线上，处.……………………………………8分 ‎31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) ‎ 解：（1）方法一（作商比较）：‎ 显然，，‎ 于是. ………1分 因为.……………………………2分 又.……3分 所以.‎ 即.…………………………………………4分 方法二（作差比较）：‎ 因为.…………………………………1分 又.……2分 ‎ . ‎ 即.………………………………………………………………4分 ‎（2）结论①正确，因..‎ ‎.………………………………6分 结论②错误，举反例: 设.（利用计算器）等………………………………8分（，‎ ‎， 均可）.‎ 结论③正确，由知在区间上是减函数.‎ 所以，又，‎ 所以的值域为.‎ 要使不等式在有解，只要即可.………………………10分 ‎32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分)‎ 解：（1）法1：设点的坐标为，则由题意可知：‎ ‎，由于，，，…2分 所以，…………………………………………………4分 化简可得：（）……………………………………5分 法2：设点到三边的距离分别为，其中，.所以 ………4分 于是点的轨迹方程为（）……………………5分 ‎（2）由题意知道，‎ 情况（1）.‎ 直线：，过定点，此时图像如右下：‎ 由平面几何知识可知，直线过三角形的重心，‎ 从而.………………………………………………7分 情况（2）.此时图像如右下：令得，故直线与两边分别相交，设其交点分别为，则直线与三角形两边的两个交点坐标、应该满足方程组：.‎ 因此，、是一元二次方程：的两个根.‎ 即, ‎ 由韦达定理得：而小三角形与原三角形面积比为，即.‎ 所以，，亦即.‎ 再代入条件，解得，‎ 从而得到.……………………………………………………………11分 综合上述（1）（2）得：.……………………………………………12分 解法2：由题意知道 情况（1）.‎ 直线的方程为：，过定点， ‎ 由平面几何知识可知，直线应该过三角形的重心，‎ 从而.……………………………………………………………………7分 情况（2）.‎ 设直线：分别与边，‎ 边的交点分别为点，‎ 通过解方程组可得：，，又点，‎ ‎∴=，同样可以推出.‎ 亦即，再代入条件，解得，‎ 从而得到.………………………………………………………11分 综合上述（1）（2）得：.………………………………………12分 解法3： ‎ 情况（1）.‎ 直线的方程为：，过定点， ‎ 由平面几何知识可知，直线过三角形的重心，‎ 从而.………………………………………………………………………7分 情况（2）.‎ 令，得，故直线与两边分别相交，‎ 设其交点分别为，当不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则也不断减小.‎ 当时，与相似，由面积之比等于相似比的平方.‎ 可知，所以，‎ 综上可知.…………………………………………………………12分