真题推荐全国高考数学试题分类汇编数列

真题推荐全国高考数学试题分类汇编数列

‎2010数列 ‎1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为( )‎ ‎（A）或5 （B）或5 （C） （D）‎ ‎【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式．‎ ‎【思路点拨】求出数列的通项公式是关键．‎ ‎【规范解答】选C．设，则，‎ 即，，．‎ ‎2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．‎ 记设为数列{}的最大项，则= ．‎ ‎【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、均值不等式等基础知识．‎ ‎【思路点拨】化简利用均值不等式求最值．‎ ‎【规范解答】‎ ‎∴‎ ‎∵当且仅当即，所以当n=4，即时，最大．‎ ‎【答案】4‎ ‎3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列中的每一项都不为0．‎ ‎ 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有 ‎．‎ ‎【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，‎ 可采用数学归纳法或综合法．‎ ‎【规范解答】已知数列中的每一项都不为0，先证 若数列为等差数列，设公差为，‎ 当时，有，‎ 即对任何，有成立；‎ 当时，显然也成立．‎ 再证 对任意，有①，‎ ‎②，‎ 由②-①得：-‎ 上式两端同乘，得③，‎ 同理可得④，‎ 由③-④得：，所以为等差数列 ‎ 【方法技巧】‎ ‎1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见的类型进行求和；‎ ‎2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.‎ ‎4.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列满足：，，的前n项和为．21世纪教育网 ‎（1）求及；‎ ‎（2）令 (nN*)，求数列的前n项和．‎ ‎ 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.‎ ‎ 【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.‎ ‎ 【规范解答】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 ‎，解得，‎ 所以；==.‎ ‎（2）由（1）知，所以bn===，‎ 所以==，‎ 即数列的前n项和=.‎ ‎【方法技巧】数列求和的常用方法：‎ ‎1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比的讨论.‎ ‎2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.‎ ‎3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.‎ ‎4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.‎ ‎5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).‎ ‎5.（2010·安徽高考文科·Ｔ21）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.‎ ‎(1)证明：为等比数列；21世纪教育网 ‎（2）设，求数列的前项和. ‎ ‎【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理论证能力．‎ ‎ 【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，可证明为等比数列；‎ ‎（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后采用错位相减法求和.‎ ‎ 【规范解答】‎ ‎21世纪教育网 又21世纪教育网 ‎，‎ ‎．‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；‎ ‎2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、列项相消、错位相减等 ，转化为常见的类型进行求和．21世纪教育网 ‎6.（2010·江苏高考·Ｔ１9）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列．21世纪教育网 ‎（1）求数列的通项公式（用表示）；‎ ‎（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为．‎ ‎【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不 等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．‎ ‎【思路点拨】（1）先求，然后利用的关系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解决．‎ ‎【规范解答】（1）由题意知：， ‎ ‎，‎ 化简，得：‎ ‎，‎ 当时，，适合情形．‎ 故所求．‎ ‎（2）（方法一）‎ ‎， 恒成立．‎ ‎ 又，，‎ 故，即的最大值为．‎ ‎（方法二）由及，得，．‎ 于是，对满足题设的，，有 ‎．‎ 所以的最大值．‎ 另一方面，任取实数．设为偶数，令，则符合条件，‎ 且．‎ 于是，只要，即当时，．‎ 所以满足条件的，从而．‎ 因此的最大值为．[来源:21世纪教育网]‎ ‎ 7.（2010·天津高考文科·Ｔ22）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.‎ ‎（Ⅰ）证明成等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）记，证明.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ）（Ⅱ）应用定义法证明、求解；（Ⅲ）对n分奇数、偶数进行讨论．‎ ‎【规范解答】（I）由题设可知，，，，，‎ ‎。从而，所以，，成等比数列．‎ ‎（II）由题设可得 所以 ‎ ‎ ‎ .‎ 由，得 ，从而.‎ 所以数列的通项公式为或写为，．‎ ‎（III）由（II）可知，，‎ 以下分两种情况进行讨论：‎ （1） 当n为偶数时，设n=2m 若，则，‎ 若，则21世纪教育网 ‎ ‎ ‎ .21世纪教育网 所以，从而 ‎（２）当n为奇数时，设．‎ ‎21世纪教育网 所以，从而 综合（1）和（2）可知，对任意有 ‎2011数列 一、选择题 ‎1.（2011·江西高考理科·Ｔ5） 已知数列 {}的前项和满足：+=，且=1，那么=( )21世纪教育网 A.1 B.9 C.10 D.55‎ ‎【思路点拨】‎ ‎【精讲精析】选A.‎ ‎2.（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若数列的通项公式是n=(-1)n(3-2),则…‎ ‎ （A）15 (B)12 （C）12 (D) 15‎ ‎【思路点拨】观察数列的性质，得到 ‎【精讲精析】选A. 故 二、填空题 ‎3.（2011·江苏高考·Ｔ13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________‎ ‎【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q满足的关系式，求得其最小值。‎ ‎【精讲精析】答案： 由题意：，，而的最小值分别为1，2，3；。‎ ‎4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若数列中的最大项是第项，则=_______________.‎ ‎【思路点拨】可由不等式组解得.‎ ‎【精讲精析】答案：4设最大项为第项，则由不等式组得,即,解得,故.‎ 三、解答题 ‎5.（2011·安徽高考理科·Ｔ18）在数1和100之间插入个实数，使得这+2个数构成递增的等比数列，将这+2个数的乘积记作，再令，‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ ‎【思路点拨】本题将数列问题和三角问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）设这+2个数构成的等比数列为，则，则 ‎，，又 所以 ‎ ‎（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知 另一方面，利用 得 ‎ 所以 ‎6.（2011·江苏高考·Ｔ20）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数n>k时，都成立 ‎（1）设M=｛1｝，，求的值；‎ ‎（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式。‎ ‎【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、和与通项关系，其中（1）问较为容易，（2）问解决的关键是抓住题目的的转化从中找到解决问题的规律。‎ ‎【精讲精析】由题设知，当时，‎ 即，从而，又，‎ 故当时，，所以的值为8.‎ ‎(2) 由题设知, 当,且时，‎ 且，‎ 两式相减得，即，所以当时，成等差数列，且也成等差数列，‎ 从而当时， ，‎ 且。 ‎ 所以当时，，即，于是，‎ 当时，成等差数列，‎ 从而，故由式知，即，当时，设，当时，，‎ 从而由式知，故，‎ 从而，于是。‎ 因此，对任意都成立。‎ 又由（可知，‎ 故且。解得，从而，。‎ 因此，数列为等差数列，由知，‎ 所以数列的通项公式为。‎ ‎7.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ17）等比数列的各项均为正数，且 ‎（Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 求数列的前n项和.‎ ‎【思路点拨】第（1）问可由，联立方程组求得和公比，从而求得的通项公式.第（2）问中，需先利用对数的性质化简，再用裂项相消的方法求数列的前项和.‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）设数列的公比为q，由得所以.‎ 由条件可知,故.由得，所以.‎ 故数列的通项式为=.‎ ‎（Ⅱ ）‎ ‎.‎ 故,‎ ‎.‎ 所以数列的前n项和为.‎ ‎8.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知等比数列中，，公比.‎ ‎（I）为的前项和，证明：‎ ‎（II）设，求数列{}的通项公式.‎ ‎【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出然后证明等式成立；‎ ‎（2）利用对数的性质化简，即得{}的通项公式.‎ ‎【精讲精析】（I），‎ ‎ （II）‎ ‎.‎ 数列的通项公式为=.‎ ‎9.（2011·广东文科·T20）设b>0，数列}满足a1=b,.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)证明：对于一切正整数n， b+1‎ ‎【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式.‎ ‎（2）利用均值不等式证明.‎ ‎【精讲精析】（1）【解】由已知得，当时，上式变形为：，‎ 即数列是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：，解得；‎ 当时，有，即{}是首项公差均为1的等差数列，则.‎ 综上所述.‎ ‎（2）【证明】方法一：当 ‎ 只需 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述 方法二：由（1）及题设知: 当时，+1=2=2；‎ 当时，，而，，‎ 即2，又，.‎ 综上所述，对于一切正整数有.‎ ‎10.（2011·广东高考理科·Ｔ20）设数列满足.‎ 求数列的通项公式；‎ 证明：对于一切正整数n,‎ ‎【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式.，或用猜想证明的方法解决.‎ ‎（2）利用均值不等式证明.‎ ‎【精讲精析】（1）方法一：由已知得，两边同除以，整理得，‎ 当时有： （）令，则是以为首项，为公比的等比数列.由等比数列通项公式得，即 从而.‎ 当时，有，即是首项与公差均为的等差数列，从而有，得.‎ 综上所述 方法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，‎ 即，∴21世纪教育网 ‎（ⅱ）当时，，，，‎ 猜想，下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，猜想显然成立；‎ ‎②假设当时，，则 ‎，‎ 所以当时，猜想成立，‎ 由①②知，，．‎ 综上所述 ‎（2）【证明】方法一：（ⅰ）当时， ，故时，命题成立；‎ ‎（ⅱ）当时，，‎ ‎，‎ ‎，以上n个式子相加得21世纪教育网 ‎，‎ ‎．故当时，命题成立；‎ 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．‎ 方法二：由（1）及题设知: 当时，‎ 当时，‎ 而 ‎ ，即，又 综上所述：对于一切正整数n,.‎ ‎11.（2011·山东高考理科·Ｔ20）（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前n项和Sn.‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ）由题意易知.由等比数列的通项公式写出数列的通项公式.（Ⅱ）由题意易知数列为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前n项和，但是要分奇数和偶数两种情况讨论 ‎【精讲精析】（Ⅰ）由题意可知，公比，‎ 通项公式为；‎ ‎（Ⅱ）‎ 当时，‎ 当时 故 另解：令，即 则 ‎21世纪教育网 故 ‎.‎ ‎12.（2011·山东高考文科·Ｔ20）（本小题满分12分）‎ 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.‎ ‎【思路点拨】（I）由题意易知.由等比数列的通项公式写出数列.（II）由题意易知数列为摆动数列，利用分组求和法，可以将奇数项和偶数项分开来求解数列的前2n项和.‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）==‎ ‎=,‎ ‎ 所以 ‎=+‎ ‎13.（2011·辽宁高考理科·Ｔ17）（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10‎ ‎ （I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎ （II）求数列的前n项和．‎ ‎【思路点拨】(Ⅰ)先求首项和公差，再求通项公式；（Ⅱ）可利用错位相减法求和．‎ ‎【精讲精析】(Ⅰ)设等差数列的公差为， 由已知条件可得故数列的通项公式为 ……5分 ‎ （Ⅱ）设数列的前项和为，即=故=1，‎ ‎.所以，当＞1时，=-‎ ‎===，所以=‎ 综上，数列的前项和=. ……12分 ‎14.（2011·北京高考理科·T20）(13分)若数列满足，则称数列为数列，记=.‎ ‎（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；‎ ‎（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；‎ ‎（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由.‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）先假设存在，看能否求出，求出即存在，求不出则不存在.‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列.‎ ‎（答案不唯一，0，1，0， 1，0也是一个满足条件的E数列）[来源:学科网]‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列是递增数列，所以.‎ 所以是首项为12，公差为1的等差数列.所以.‎ 充分性：由于，，……，，‎ 所以，即.‎ 又因为，所以.‎ 故，即是递增数列.‎ 综上，结论得证.‎ ‎（Ⅲ）令，则.‎ 因为 ，……，，‎ 所以 因为 ，所以为偶数.‎ 所以为偶数.‎ 所以要使，必须使为偶数，‎ 即4整除，亦即或 当时，E数列的项满足 时，有；‎ 当n=4m+1时，E数列的项满足 时，有；‎ 当n=4m+2或n=4m+3时，n(n-1)不能被4整除，此时不存在E数列，使得.‎ ‎15.（2011·北京高考文科·T20）(13分)若数列满足，则称为数列.记=.‎ ‎（Ⅰ）写出一个E数列满足 ‎（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；[21世纪教育网 ‎（III）在的E数列中，求使得成立的n的最小值.‎ ‎【思路点拨】（Ⅰ）写出满足条件的一个数列即可；（Ⅱ）分别证明必要性与充分性；（Ⅲ）利用E数列的定义找出前面几项的和与0的关系，再求n的最小值.‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一个满足条件的E数列.‎ ‎（答案不惟一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E数列）‎ ‎（Ⅱ）必要性：因为E数列是递增数列，所以.‎ 所以是首项为12，公差为1的等差数列.所以.‎ 充分性：由于，，……，，‎ 所以，即.‎ 又因为，所以.‎ 故，即是递增数列.‎ 综上，结论得证.‎ ‎（Ⅲ）对首项为4的E数列由于，…‎ 所以.‎ 所以对任意的首项为4的E数列，若，则必有.‎ 又的E数列：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4满足，‎ 所以n的最小值是9.‎ ‎16.（2011·湖南高考文科T20）（本小题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.‎ ‎（Ⅰ）求第n年初M的价值的表达式；‎ ‎（2）设大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新.证明：须在第9年初对M更新.‎ ‎【思路点拨】本题考查学生运用知识的能力，重点考查学生的以下能力：一是阅读能力.二是转化能力.三是表达能力.能否把文字语言转化为符号语言的理解能力.四是解题能力.本题主要考查学生的阅读能力和建模能力和运算能力，阅读后建立数列模型是关键.‎ ‎【精讲精析】‎ ‎（I）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．‎ ‎ ‎ 当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 ‎ ‎ 因此，第年初，M的价值的表达式为 ‎(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 当时，‎ 当时，‎ 因为是递减数列，所以是递减数列，又 所以须在第9年初对M更新．‎ ‎17.（2011·江西高考文科·Ｔ21）（1）已知两个等比数列，，满足，若数列唯一，求的值；21世纪教育网 ‎（2）是否存在两个等比数列，，使得成公差不为的等差数列？若存在，求 ， 的通项公式；若不存在，说明理由．‎ ‎【思路点拨】（1）先将再根据，可得和的关系式，再根据数列的唯一性，知q必有一个值为0，代入可得a的值。(2)将 再根据它们四个成等差数列，结合等差数列的性质可得之间的关系，通过消参可得，即或，经讨论可得两者都不符合题意。‎ ‎【精讲精析】解：（1）要唯一，当公比时，由且， ‎ ‎，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）‎ ‎，此时满足条件的a有无数多个，不符合。‎ 当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，则唯一，此时由，可推得符合 综上：。‎ ‎（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：‎ 要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列。‎ ‎18.（2011天津高考文科T20）已知数列满足 ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）设，证明是等比数列；‎ ‎ （Ⅲ）设为的前项和，证明 ‎【思路点拨】（1）的通项公式是常数，对n取值代入求值；‎ ‎（2）由的关系式，构造是常数；‎ 由（2）求出的通项，得到的通项公式，再求和、放缩证明.‎ ‎【精讲精析】 （Ⅰ）【解析】由可得 ‎ 又，21世纪教育网 ‎ 当 ‎ 当 ‎ （Ⅱ）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ②-①，得.所以是等比数列.‎ ‎（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故对任意 ‎ 由①得 ‎ 因此，‎ ‎ 于是，‎ ‎ 故 ‎19.（2011·浙江高考理科·Ｔ19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为（∈R），设数列的前ｎ项和为，且成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及；‎ ‎（Ⅱ）记＝+++…+， ＝+ + ，当≥2时，试比较与的大小．‎ ‎【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，要注意待定系数法与分类讨论思想的应用。‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d,由 ‎ 得。因为,所以 所以，‎ ‎（Ⅱ）解：因为 ‎ 所以[来源:21世纪教育网]‎ 因为所以 ‎21世纪教育网 当n≥2时，，即 所以，当＞0时，；当＜0时，。21世纪教育网 ‎20.（2011·浙江高考文科·Ｔ19）（本题满分14分）‎ 已知公差不为0的等差数列的首项且成等比数列。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对，试比较与的大小．‎ ‎【思路点拨】本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，代入公式即可求解，要注意待定系数法与分类讨论思想的应用。‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）解：设等差数列{}的公差为d,由 ‎ 得。从而 因为,所以21世纪教育网 故通项公式 ‎（Ⅱ）解：记因为，‎ 所以，当＞0时，；当＜0时，．‎ ‎21.（2011.天津高考理科.T20）已知数列与满足： ， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：是等比数列；‎ ‎（III）设，证明：‎ ‎【思路点拨】‎ ‎（1）的通项公式是常数，对n取值代入求值；21世纪教育网 （2） 由的关系式，构造是常数；‎ （3） 由（2）求出的通项，得到的通项公式，再求和、放缩证明。‎ ‎【精讲精析】 （I）【解析】由 ，可得，又 ‎（II）证明：对任意 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②—③，得 ④‎ 将④代入①，可得 即 又 因此是等比数列.‎ ‎（III）证明：由（II）可得.‎ 于是，对任意，有 将以上各式相加，得 即，‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意，‎ 对于n=1，不等式显然成立.‎ 所以，对任意 ‎ ‎ ‎2012数列 一、选择题 ‎1. （2012·新课标全国高考文科·Ｔ12）数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为（ ）‎ ‎（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830‎ ‎【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和.‎ ‎【解析】选D. ，‎ ‎，‎ ‎…，，，，，‎ ‎＝.‎ 二、填空题 ‎2.（2012·新课标全国高考理科·T16）数列满足=2n-1，则前60项和为 ‎ ‎【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和.‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎…，，，，‎ ‎，‎ ‎＝.‎ ‎【答案】1830.‎ ‎3. （2012·湖北高考文科·Ｔ17）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1,3， 6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：‎ ‎（Ⅰ）b2012是数列{an}中的第______项；‎ ‎（Ⅱ）b2k-1=______.（用k表示）‎ ‎【解题指南】本题考查求数列通项公式的方法，解答本题可先根据数列{an}前项与后项的关系，求出数列{an}的通项，再结合数列{bn}与{an}的关系求出数列{bn}的通项解答本题.‎ ‎【解析】由图可知数列{an}满足:a1=1,an-an-1=n(n≥2).‎ 所以an=an-an-1+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+n-1+…+2+1=错误！未找到引用源。(n≥2),当n=1时,也符合上式,则an=错误！未找到引用源。.‎ 当n=4,5,9,10,14,15,19,20,…时,构成数列{bn}的第1,2,3,4,…项,‎ 则可以看出n=5,10,15,20,…时,分别对应着{bn}的第2,4,6,8…项.‎ ‎(1)b2012是数列{an}中的第5030项;‎ ‎(2)b2k-1=错误！未找到引用源。.‎ ‎【答案】(1)5030　(2)错误！未找到引用源。.‎ ‎4.（2012·湖南高考文科·Ｔ16）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版︿网@]‎ ‎（1）b2+b4+b6+b8= ‎ ‎（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是 ‎ ‎【解题指南】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.本题实际是描述的将一个十进制的数转化为二进制，然后找出规律.‎ ‎【解析】（1）观察知；；‎ 一次类推；；‎ ‎；，，，‎ b2+b4+b6+b8=３；21世纪教育网 ‎（2）由（1）知cm的最大值为２.‎ ‎【答案】（1）3 （2）2.‎ 三、解答题 ‎5.（2012·湖北高考文科·Ｔ20）（本小题满分13分）‎ 已知等差数列{an}前三项的和为-3，前三项的积为8.‎ （1） 求等差数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列的前n项和.‎ ‎【解题指南】本题考查两类数列的基本运算与性质,解答本题可先设出首项和公差,再代入求解.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设等差数列{an}的公差为d,则，由题意知解得，故等差数列{an}的通项公式为：.‎ ‎（2）当时，a2,a3,a1分别为-1，-4，2不是等比数列，所以 当n=1时，数列的和为：S1=4；当n=2时，数列的和为：S2=4+1=5；当n3时，‎ Sn= =‎ 当n=2时,符合上式，所以 ‎6.（2012·湖南高考文科·Ｔ20）（本小题满分13分）‎ 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.‎ 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.‎ ‎【解题指南】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，‎ ‎=4500-d，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎.‎ 整理得　21世纪教育网 ‎.‎ 由题意，‎ 解得.‎ 故该企业每年上缴资金的值为时，经过年企业的剩余资金为４０００万元.‎ ‎7.（2012·江苏高考·Ｔ20）（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：．‎ ‎（1）设，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【解题指南】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比.从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列.最后用反证法求出.‎ ‎【解析】（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列.‎ ‎（2）∵，∴。21世纪教育网 ‎.（﹡）‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾.‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾.‎ ‎∴综上所述，。∴，∴.‎ 又∵，∴是公比是的等比数列.[来源:21世纪教育网]‎ 若，则，于是.‎ 又由即，得.‎ ‎∴中至少有两项相同，与矛盾.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴ .‎ ‎8.（2012·广东高考理科·Ｔ19）（本小题满分14分）‎ 设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。‎ （1） 求a1的值；‎ （2） 求数列的通项公式.‎ （3） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎【解题指南】(1)根据利用,可得到,令n=1，从而得到,再根据成等差数列得,三个方程联立可解出.‎ ‎(2)在（1）的基础上对的两边同除以得,‎ 再验证：也满足上式，因而对都成立，‎ 然后再利用叠加求和的方法确定,进而确定的通项公式.‎ ‎(3)解本题的关键是当时，‎ ‎，然后放缩再利用裂项求和的方法证明即可.‎ ‎【解析】（1）‎ 两式相减得 ‎,‎ 又成等差数列，‎ 即 ‎.‎ ‎(2)由（1）得 时，‎ 两边同除以得 又时，,也满足上式，‎ 时，，‎ ‎.‎ ‎。‎ ‎(3)当n=1时，;当n=2时，.‎ 当时，‎ ‎9.（2012·广东高考文科·Ｔ19）‎ 设数列前项和为，数列前项和为，满足，.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【解题指南】 (1)根据，利用,可建立关于的方程，即可求出.(2)解本题的关键是 ‎,因为当n=1时，也满足上式，所以，然后转化为常规题型来做即可。‎ ‎【解析】（1）令n=1时，.‎ ‎(2) ‎ 因为当n=1时，也满足上式，所以 当 两式相减得 所以 所以 因为,所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，‎ 所以 所以.‎ ‎10.（2012·安徽高考理科·Ｔ21）(本小题满分13分）数列满足：‎ ‎（I）证明： 是递减数列的充分必要条件是 ‎（II）求的取值范围，使是递增数列.‎ ‎【解题指南】（1）要证明必要性和充分性；（2）由（I），然后分类讨论，根据作差法去讨论的值.‎ ‎【解析】（I）必要条件 ‎ 当时，数列是单调递减数列 ‎ 充分条件 ‎ 数列是单调递减数列 ‎ 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是.‎ ‎ （II）由（I）得：‎ ‎ ①当时，，不合题意 ‎ ②当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，与同号，‎ 由 ‎ ‎ ‎ 当时，存在，使与异号 与数列是单调递减数列矛盾 得：当时，数列是单调递增数列.‎ ‎11.（2012·安徽高考文科·Ｔ21）(本小题满分13分）设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为，求。‎ ‎【解题指南】（1）根据导数，的左侧导函数小于0，的右侧导函数大于0，求出极小值点；（2）由（I）求出的前项和为，再代入.‎ ‎【解析】（I）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 得：当时，取极小值 ‎ 得：‎ ‎ （II）由（I）得：‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ 所以 ‎12.（2012·浙江高考文科·Ｔ19）（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解题指南】由前n项和Sn可求出通项公式，而数列{an·bn}的通项符合等差与等比数列乘积的形式,故可用错位相减法求出.‎ ‎【解析】（1）由Sn=2n2+n，可得 当时，‎ 当时，符合上式，所以 由an=4log2bn＋3可得=4log2bn＋3，解得.‎ ‎（2） ‎ ‎∴ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②可得 ‎∴.‎ ‎13.（2012·山东高考理科·Ｔ20）在等差数列中，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.‎ ‎【解题指南】（1）可利用等差数列的性质求解，再利用求出公差d，利用求出通项公式；（2）利用数列的中落入区间内的项的个数.可求得数列为两个等比数列.‎ ‎【解析】(1) 由得，‎ 所以 ‎.‎ ‎(2) 对任意，将数列中落入区间内的项的个数为，则，即，所以，‎ 于是 ‎，‎ 即.‎ ‎14. （2012·山东高考文科·Ｔ20）已知等差数列的前5项和为105，且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.‎ ‎【解题指南】（1）可利用等差数列的通项公式及前n项和公式列出方程组求出首项和公差；进而求得通项公式.（2）利用数列的中不大于内的项的个数.可求得数列为等比数列.利用等比数列的前n项公式求得.‎ ‎【解析】(I)由已知得：‎ 解得,‎ 所以通项公式为.‎ ‎(II)对，若，则，‎ 因此.‎ ‎∵，‎ ‎∴是公比为49的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎15. （2012·江西高考理科·Ｔ16）已知数列{an}的前n项和（其中）,且Sn的最大值为8.‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn.‎ ‎【解题指南】（1）先求得的值，再利用求，注意验证首项；‎ ‎（2）用错位相减法求和.‎ ‎【解析】（1）当时，取最大值，即，‎ 故，因此，‎ 从而.又，所以.‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ 所以 ‎16.（2012·江西高考文科·Ｔ17）已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3.‎ ‎（1）求an；21世纪教育网 ‎（2）求数列{nan}的前n项和Tn。‎ ‎【解题指南】（1）利用求，注意验证首项；‎ ‎（2）用错位相减法求和.‎ ‎【解析】(1)当时，‎ 则 ‎，‎ ‎，∴c=2.∵a2=4，即，解得k=2，∴（n）1）‎ 当n=1时，‎ 综上所述.‎ ‎(2) ，则 ‎（1）-（2）得 ‎.‎ ‎2013数列 一、选择题 错误！未指定书签。 ．（2013年高考上海卷（理））在数列中,,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )‎ ‎(A)18 (B)28 (C)48 (D)63‎ ‎【答案】A. ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知数列满足,则的前10项和等于 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年高考新课标1（理））设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )‎ A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 ‎ C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 ‎ ‎【答案】B ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列的公比为q,记 则以下结论一定正确的是( )[来源:21世纪教育网]‎ A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为 C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为 ‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列的前项和为,已知,,则 (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列的前项和为,则 ( )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【答案】C ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下面是关于公差的等差数列的四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎ 错误！未指定书签。 ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.24‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.‎ ‎【答案】解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 ‎ ‎. 所以, 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前项和或 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:‎ 三角形数 ‎ 正方形数 ‎ 五边形数 ‎ 六边形数 ‎ 可以推测的表达式,由此计算___________.‎ 选考题 ‎【答案】1000 [来源:21世纪教育网]‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数 的值为_____________.‎ ‎【答案】12 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））设为数列的前n项和,则 ‎(1)_____; (2)___________.‎ ‎【答案】; ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当时,有如下表达式:‎ 两边同时积分得:‎ 从而得到如下等式: ‎ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则 ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列中,已知,则_____.21世纪教育网 ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式: ‎ ‎ ‎ 照此规律, 第n个等式可为_______. ‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.‎ ‎【答案】=. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.‎ ‎【答案】 [来源:21世纪教育网]‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.‎ ‎【答案】2, [来源:21世纪教育网]‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.‎ ‎【答案】63 ‎ 三、解答题 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数,证明:‎ ‎(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足;‎ ‎(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足.[来源:21世纪教育网]‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. . ‎ ‎ 综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕) (Ⅱ) 由题知 上式相减: . 法二: ‎ ‎ ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.‎ ‎(1)若,求及;(2)求证:对任意,;‎ ‎(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】:(1)因为,,故, (2)要证明原命题,只需证明对任意都成立, ‎ ‎ 即只需证明 若,显然有成立; 若,则显然成立 综上,恒成立,即对任意的, (3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有 此时, 即 故, 即, 当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意; 若,则, 此时,也满足题意; 综上,满足题意的的取值范围是. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.‎ 设数列,即当时,,记,对于,定义集合 ‎(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.‎ ‎【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列的定义得:,,,,,,,,,, ‎ ‎∴,,,,,,,,,, ∴,,,, ∴集合中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证 事实上, ① 当时, 故原式成立 ② 假设当时,等式成立,即 故原式成立 则:,时, 综合①②得: 于是 由上可知:是的倍数 而,所以是 的倍数 又不是的倍数, 而 所以不是的倍数 故当时,集合中元素的个数为 于是当时,集合中元素的个数为 又 ‎ 故集合中元素的个数为 21世纪教育网 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.‎ ‎(1)求; (2)若,求 ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: ; (Ⅱ)由(1)知,当时,, ①当时, ②当时, 所以,综上所述:; ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列满足:,.21世纪教育网 ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(I)由已知条件得:,又,, 所以数列的通项或 (II)若,,不存在这样的正整数; 若,,不存在这样的正整数. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列的前n项和为,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.‎ ‎21世纪教育网 ‎【答案】解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得,, 因此 (Ⅱ)由题意知: 所以时, 故, 所以, ‎ 则 两式相减得 整理得 所以数列数列的前n项和 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,,其中为实数.‎ ‎(1)若,且成等比数列,证明:();[来源:21世纪教育网]‎ ‎(2)若是等差数列,证明:.‎ ‎【答案】证明:∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和 ∴ (1)∵ ∴ ∵成等比数列 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左边= 右边= ∴左边=右边∴原式成立 (2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得: ‎ ‎ ∴对恒成立 ∴ 由①式得: ∵ ∴ 由③式得: 法二:证:(1)若,则,,. 当成等比数列,, 即:,得:,又,故. 由此:,,. 故:(). (2), . (※) 若是等差数列,则型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而≠0, 故. 经检验,当时是等差数列. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.‎ ‎【答案】 ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有 ‎【答案】(1)解:由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则. ‎ ‎. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值;‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎【答案】.(1) 解: ,. 当时, 又, (2)解: ,. ① 当时, ② 由① — ②,得 数列是以首项为,公差为1的等差数列. 当时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知, ①当时,,原不等式成立. ‎ ‎②当时, ,原不等式亦成立. ③当时, 当时,,原不等式亦成立. 综上,对一切正整数,有. ‎ 错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .‎ ‎(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;‎ ‎(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;21世纪教育网 ‎(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.‎ ‎【答案】(I) (II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以 因此,,. (必要性)因为,所以. 又因为,,所以. 于是,. 因此,即是公差为的等差数列. ‎ ‎(III)因为,所以,.故对任意. 假设中存在大于2的项. 设为满足的最小正整数,则,并且对任意,. 又因为,所以,且. 于是,. 故,与矛盾. 所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2. 因此对任意,,所以. 故. 因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1. 错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））‎ 设是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. ① ②. 上面两式错位相减: . ③综上, (Ⅱ) 使用反证法. 设是公比q≠1的等比数列, 假设数列是等比数列.则 ①当=0成立,则不是等比数列. ‎ ‎②当成立,则 .这与题目条件q≠1矛盾. ③综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列不是等比数列. ‎