高考解析几何的万能套路

高考解析几何的万能套路

高考解析几何的万能解题套路 一个套路，几乎解决所有高考解析几何问题！‎ 在教学中，一直有一个难以解决的悖论：“题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战术”又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是——通过平时的“题海战术”，也许可以穷尽问题的各种可能。‎ 显然如果我们要穷尽问题的各种可能，是不现实的。为了让学生能真正从题海战术中走出来，事实上，我们可以将以往大量的、零碎的、彼此之间也看似没有多少联系性的某些数学问题，却能通过高度一致的方法获得解决，本文以解析几何为例的一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万能解题套路”，几乎把近几年贵州省高考解析几何问题基本上统一了起来！希望对同学有所启发。‎ 一、解析几何万能解题套路 解析几何是法国数学家笛卡儿（1596 年～1650 年）创立的。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。‎ 以高考解析几何为例：‎ ‎1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题；‎ ‎2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。‎ 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作：‎ ‎1、几何问题代数化。‎ ‎2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。‎ 至此，整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路：‎ 二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则 步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来；‎ 口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。‎ ‎1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；‎ ‎2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；‎ ‎3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化；‎ 步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。‎ 口诀：点代入直线、点代入曲线。‎ ‎1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；‎ ‎2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；‎ 这样，每代入一次就会得到一个新的方程，方程逐一列出后，这些方程都是获得最后答案的基础，最后就是解方程组的问题了。‎ 在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况，即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后能够直接求解的可以直接求解，如果不能直接求解的，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单，具体过程：‎ ‎1、点代入这两个点共同所在的直线：把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；‎ ‎2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；‎ ‎3、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；‎ ‎4、把这个一元二次方程的判别式列出来；‎ ‎5、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式）。‎ 步骤三：（三化）图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化。‎ 前面两个步骤都是高度模式化的，他们构成了解决所有问题的基础。在解析几何题目里，事实上就是附加了一些特殊条件的问题，如我们可以附加两条直线垂直的条件，也可以附加一条直线与一条曲线相切的条件，等等，当然，我们不用太担心，这些条件都是与我们教材上的基本数学概念相对应的，它们分别与一个或一组固定模式的方程相对应，而且，通过少数几条通用规则就可以把所有这些方程罗列出来。而我们要做的，就是针对这些特定条件选择合适的通用规则来列方程。这个步骤涉及的主要通用规则：‎ ‎1、两点的距离 ‎2、两个点的对称点 ‎3、条直线垂直 ‎4、两条直线平行 ‎5、两条直线的夹角 ‎6、点到直线的距离 ‎7、正余铉定理及面积公式 ‎8、向量规则 ‎9、直线与曲线的位置关系 把直线方程代入曲线方程，得形如的一元二次方程：‎ ‎①当时，直线与曲线有一个交点；‎ ‎②当时，直线与曲线相切；‎ ‎③当时，直线与曲线有两个交点；‎ ‎④当时，或当时，直线与曲线无交点；‎ 这个步骤的处理关键是根据条件的特点选择适当的通用规则组合。‎ 步骤四：（四处理）按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式。‎ 一般情况步骤1、2、3 完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。这个步骤就是方程组的求解了，解方程组实际上就是用加减乘除四则混合运算以及乘方、开方等来消除方程的参数。不过，这里我们也给出三条消参的原则：‎ ‎1、把方程中的所有未知量都视为参数。比如，如果某个点的坐标为，而都是未知的，我们把它们都视为方程组的参数。‎ ‎2、消参的原则是，把与答案无关的参数消去，留下与答案有关的参数。或者说在解方程组的时候，用与答案有关的参数来表示与答案无关的参数。‎ ‎3、消参完成后，把结果表示成答案要求的形式。‎ 下面我们来看看2011年贵州省高考试题：‎ ‎2011年全国卷Ⅱ理（21）文科（22）（本小题满分12分）‎ 已知为坐标原点，为椭圆在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与两点，点满足.‎ ‎(I)证明：点在上；‎ ‎(II)设点关于点的对称点为，证明：四点在同一圆上.‎ ‎【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。‎ ‎【解析】(I),的方程为代入并化简得 ‎.   …………………………2分 设,‎ ‎                                  则 ‎                                    由题意得 ‎                                   所以点的坐标为.‎ ‎                                  满足方程,故点在椭圆上 …6分 ‎(II)由和题设知，的垂直平分线的方程为 ‎.           ①‎ 设的中点为的垂直平分线的方程为 ‎.             ②‎ 由①、②得的交点为.         …………………………9分 ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 又   ,‎ 所以 ‎ 由此知四点在以为圆心,为半径的圆上. ……………12分 ‎【点评】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，相对来讲比较有利的方面，也就是这道题的特点是没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，这个跟平时做的不太一样，反而同学不知道怎么下手，完成有难度。这两问出的非常巧妙，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个四点共圆，这都是平时很少涉及到的解析几何本质的内容。让学生掌握解析几何的本质，其实就是用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆心不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题，方法确定以后计算量其实比往年少。‎ 至此，我们已经把解析几何解题的完整套路呈现给了大家。最后给大家提供一点高效学习的建议：‎ 同样的题目要反复多做几遍。因为同一个知识点里面的题目，其解题套路都是一致的，我们做题的主要目的是熟悉这些套路，而一个题目做五遍往往比五个题目做一遍更利于我们快速掌握这些解题套路。‎