2013新课标全国2卷高考理科数学试题解析与分析

2013新课标全国2卷高考理科数学试题解析与分析

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合，，则（ ）‎ ‎（A）｛0,1，2｝ （B）｛－1,0，1,2｝（C）｛－1,0，2,3｝ （D）｛0,1，2,3｝‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，,所以，选A.‎ ‎2、设复数满足则＝（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以选A.‎ ‎3、等比数列的前项和为，已知，，则＝（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎4、已知，为异面直线，⊥平面，⊥平面，直线满足⊥，⊥，，　，则（ ）‎ ‎（A） ∥且∥ 　　　　　　（B）⊥且⊥ ‎ ‎（C）与相交，且交线垂直于 （D）与相交，且交线平行于 ‎【答案】D ‎5、已知的展开式中的系数是5，则＝（　　）‎ ‎（A） －4 （B） －3 （C）－2 （D）－1‎ ‎【答案】D ‎6、执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ） 【答案】B ‎【解析】第一次循环，；第二次循环，；‎ 第三次循环，，第四次循环，，‎ 依此类推，选B.‎ ‎7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体的直观图，以zOx平面为投影面，‎ 则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A. ‎ ‎（8）设a=log36,b=log510,c=log714,则 （A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c ‎9、已知＞0， 满足约束条件， 若＋的最小值是1，则＝（ ） （A） （B） （C）1 （D）2‎ ‎【答案】B ‎10、已知函数，下列结论中错误的是（ ）‎ ‎（A）， （B）函数的图象是中心对称图形 ‎（C）若是的极小值点，则在区间单调递减 （D）若是的极值点，则 ‎【答案】C ‎【解析】若则有，所以A正确。由得，因为函数的对称中心为（0,0），所以的对称中心为,所以B正确。由三次函数的图象可知，若是f(x)的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞, ）单调递减是错误的，D正确。选C.‎ ‎11、设抛物线的焦点为，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（ ）‎ ‎（A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或 ‎【答案】C ‎12、已知A（－1,0），B（1,0），C（0,1），直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则的取值范围是（ ）【答案】B ‎（A）（0,1） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知正方形的边长为，为的中点，则_______。 【答案】‎ ‎【解析】在正方形中，,,所以。‎ ‎（14）从个正整数，…，中任意取出两个不同的数，若其和为的概率是，则＝　　　　。 【答案】8‎ ‎【解析】取出的两数之和等于5的概率为，＝8。‎ ‎（15）设为第二象限角，若，则　　　　。 【答案】‎ ‎（16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为　　　。 【答案】－49‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分） △ABC的内角的对边分别为已知 ‎（Ⅰ）求B； （Ⅱ）若＝2，求△ABC的面积的最大值。 ‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查正弦、余弦定理及均值不等式综合应用 ‎（18）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点。AB ‎（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值。‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查空间几何基本性质及证明，空间向量的应用。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了该农产品。以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。‎ ‎（Ⅰ）将表示为的函数；‎ ‎（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000的概率；‎ ‎（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入的T的数学期望。‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查函数、概率、统计、分布列、方差的综合应用。‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 平面直角坐标系中，过椭圆M：右焦点的直线交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为。‎ ‎（Ⅰ）求M的方程 ‎（Ⅱ）C、D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查椭圆基本性质，直线与椭圆位置关系，不等式思想的综合应用。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）设是的极值点，求并讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明＞0。‎ ‎【答案】见解析 【解析】考查导数求单调性、最值、构建函数与不等式综合应用。‎ 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 ‎ 如图，为外接圆的切线，的延长线交直线于点，、分别为弦与弦上的点，‎ 且，、、、四点共圆。‎ ‎（Ⅰ）证明：是外接圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若，求过、、、四点的圆的面积与外接圆面积的比值。 ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】考查圆、三角形性质证明及应用。 ‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点。‎ ‎（Ⅰ）求的轨迹的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点。‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】考查平面坐标、参数方程、极坐标转化及距离公式、最小值的综合应用。‎ ‎（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设均为正数，且，证明：‎ ‎（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】均值不等式、放缩法在不等式证明中应用。‎