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文档介绍
高考数学导数小题练习集一
2018年高考数学导数小题练习集(一) 1.已知f′(x)是函数f(x),(x∈R)的导数,满足f′(x)=﹣f(x),且f(0)=2,设函数g(x)=f(x)﹣lnf3(x)的一个零点为x0,则以下正确的是( ) A.x0∈(﹣4,﹣3) B.x0∈(﹣3,﹣2) C.x0∈(﹣2,﹣1) D.x0∈(﹣1,0) 2.已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则 的最小值为( ). A. B. C. D. 3.函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式(k+1)g(x1)≤kf(x2)(k>0)恒成立,则实数k的取值范围是( ) A.[1,+∞] B.[2,+∞] C.(0,2) D.(0,1] 4.已知函数f(x)的定义域为R,且x3f(x)+x3f(﹣x)=0,若对任意x∈[0,+∞)都有3xf(x)+x2f'(x)<2,则不等式x3f(x)﹣8f(2)<x2﹣4的解集为( ) A.(﹣2,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C.(﹣4,4) D.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) 5.若函数f(x)=kx﹣lnx在区间(2,+∞)单调递增,则k的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣2] B. C.[2,+∞) D. 6.已知函数f(x)=ex﹣ln(x+a)(a∈R)有唯一的零点x0,则( ) A.﹣1<x0<﹣ B.﹣<x0<﹣ C.﹣<x0<0 D.0<x0< 7.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(x+3)为偶函数,f(6)=1,则不等式f(x)>ex的解集为( ) A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 8.已知定义在(0,)上的函数f(x),f′(x)为其导函数,且f(x)<f′(x)•tanx恒成立,则( ) A. f()>f() B. f()<f() C. f()>f() D.f(1)<2f()•sin1 9.函数在区间上的最小值( ). A. B. C. D. 10.已知,则f'(2)=( ) A. B. C.2 D.﹣2 11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( ) A.11或18 B.11 C.18 D.17或18 12.已知f(x)=cosx,则f(π)+f′()=( ) A. B. C.﹣ D.﹣ 13.已知函数f(x)的定义域为R,且为可导函数,若对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),则( ) A.f(x)>0恒成立 B.f(x)<0恒成立 C.f(x)的最大值为0 D.f(x)与0的大小关系不确定 14.函数存在极值点,则实数的取值范围是( ). A. B. C.或 D.或 15.如果函数满足:对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤ 1恒成立,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 16.函数的定义域为开区间,导函数在内的图像如图所示,则函数在开区间内有极小值点( ). A. 个 B.个 C.个 D.个 17.已知函数f(x)=x3﹣2x2+ax+3在[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为( ) A.a>﹣4 B.a≥﹣4 C.a>1 D.a≥1 18.若函数f(x)=x3﹣3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣2,2) B.[﹣2,2] C.(﹣∞,﹣1) D.(1,+∞) 19.若存在两个正实数x,y,使得等式3x+a(2y﹣4ex)(lny﹣lnx)=0成立,其中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣∞,0) B. C. D. 20.函数y=cos2x的导数是( ) A.﹣sin2x B.sin2x C.﹣2sin2x D.2sin2x 21.设函数,则( ) A. 为 f(x)的极大值点 B.为f(x)的极小值点 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 22.已知f(x)为定义域为R的函数,f'(x)是f(x)的导函数,且f(1)=e,∀x∈R都有f'(x)>f(x),则不等式f(x)<ex的解集为( ) A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 23.设函数f(x)在其定义域D上的导函数为f′(x),如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈D,都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2﹣ax+1),则称函数f(x)具有性质ω(a),给出下列四个函数: ①f(x)=x3﹣x2+x+1; ②f(x)=lnx+; ③f(x)=(x2﹣4x+5)ex; ④f(x)= 其中具有性质ω(2)的函数为( ) A. ①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 24.若,则方程在上恰好有( ). A.个根 B.个根 C.个根 D.个根 25.设函数f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有3f(x)+xf′(x)>0,则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0的解集( ) A.(﹣2018,﹣2015) B.(﹣∞,﹣2016) C.(﹣2016,﹣2015) D.(﹣∞,﹣2012) 26.已知函数f(x)的导函数图象如图所示,若△ABC为锐角三角形,则一定成立的是( ) A. f(cosA)<f(cosB) B.f(sinA)<f(cosB) B. f(sinA)>f(sinB) D.f(sinA)>f(cosB) C. 27.若f(x)=xex,则f′(1)=( ) A.0 B.e C.2e D.e2 28.设函数f(x)=ex(sinx﹣cosx)(0≤x≤2016π ),则函数f(x)的各极大值之和为( ) A. B. C. D. 29.设函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式恒成立,则正数k的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C. D. 30.已知f(x)=,若f′(x0)=0,则x0=( ) A.e2 B.e C.1 D.ln2 31.设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,f(0)=1,且3f(x)=f′(x)﹣3,则4f(x)>f′(x)( ) A.(,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(,+∞) 32.已知函数g(x)满足g(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)x+,且存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g(x0)成立,则m的取值范围为( ) A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,3] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 33.函数在处有极值,在的值为( ). A. B. C. D. 34.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx,对定义域内任意x都有f(x)≥kx﹣2,则实数k的取值范围是( ) A.(﹣∞,1﹣] B.(﹣∞,﹣] C.[﹣,+∞) D.[1﹣,+∞) 35.若函数f(x)=lnx+x2﹣ax+a+1为(0,+∞)上的增函数,则实数a的取值范围是( ) A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 36.若函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(﹣2),无极小值 B.函数f(x)有极大值f(1),无极小值 C.函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(1) D.函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(﹣2). 37.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x1+x2=( ) A. B. C. D. 38.设a∈R,若函数y=eax+2x,x∈R有大于零的极值点,则( ) A.a<﹣2 B.a>﹣2 C.a>﹣ D.a<﹣ 39.如图,一个正六角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,直到全部露出水面为止,记时刻t薄片露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( ) A. B. C. D. 40.已知函数f (x)=x3﹣12x+8在区间[﹣3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M﹣m的值为( ) A.16 B.12 C.32 D.6 41.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( ) A.(﹣2,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 42.下列求导运算正确的是( ) A.(x)′=1 B.(x2cosx)′=﹣2xsinx C.(3x)′=3xlog3e D.(log2x)′= 43.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为( ). A. B. C. D. 44.函数的单调增区间是( ) A.(0,e) B.(﹣∞,e) C.(e﹣1,+∞) D.(e,+∞) 45.在R上可导的函数f(x)的图形如图所示,则关于x的不等式x•f′(x)<0的解集为( ) A. (﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣1,0)∪(1,+∞) B. (﹣2,﹣1)∪(1,2) D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 46.若f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则f(x)的单调递增区间为( ) A.(﹣1,0) B.(﹣1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 47.若f(x)=x3﹣ax2+1在(1,3)内单调递减,则实数a的范围是( ) A.[,+∞) B.(﹣∞,3] C.(3,) D.(0,3) 48.已知函数f(x)满足:f(x)+2f′(x)>0,那么下列不等式成立的是( ) A. B. C. D.f(0)>e2f(4) 49.若函数f(x)=ax3+x在区间[1,+∞)内是减函数,则( ) A.a≤0 B. C.a≥0 D. 50.已知是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( ). A. B. C. D. 试卷答案 1.D 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求出f(x)的表达式,得到g(x)的表达式,设h(x)=f(x)﹣g(x),求出h(0)和h(﹣1)的值,从而求出x0的范围. 【解答】解:设f(x)=ke﹣x, 则f(x)满足f′(x)=﹣f(x), 而f(0)=2,∴k=2, ∴f(x)=2e﹣x, ∴g(x)=3lnf(x)=3(﹣x+ln2)=﹣3x+3ln2, 设h(x)=f(x)﹣g(x), 则h(x)=2e﹣x+3x﹣3ln2, ∴h(0)=2﹣3ln2<0,h(﹣1)=2e﹣3﹣3ln2>0, 即在(﹣1,0)上存在零点, 故选:D. 2.C ,. 由可知:,, 故, 故选. 3.A 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】利用基本不等式可求f(x)的最小值,对函数g(x)求导,利用导数研究函数的单调性,进而可求g(x)的最大值,f(x)的最小值,得到关于k的不等式,解出即可. 【解答】解:∵当x>0时,f(x)=e2x+≥2 =2e, ∴x1∈(0,+∞)时,函数f(x2)有最小值2e, ∵g(x)=,∴g′(x)=, 当x<1时,g′(x)>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增, 当x>1时,g′(x)<0,则函数在(1,+∞)上单调递减, ∴x=1时,函数g(x)有最大值g(1)=e, 则有x1、x2∈(0,+∞),f(x2)min=2e>g(x1)max=e ∵(k+1)g(x1)≤kf(x2)(k>0), ∴≤恒成立且k>0,≤, ∴k≥1 故选:A. 4.B 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】构造函数h(x)=x3f(x)﹣2x,根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可. 【解答】解:令h(x)=x3f(x)﹣2x, 则h′(x)=x[3xf(x)+x2f'(x)﹣2], 若对任意x∈[0,+∞)都有3xf(x)+x2f'(x)<2, 则h′(x)≤0在[0,+∞)恒成立, 故h(x)在[0,+∞)递减, 若x3f(x)+x3f(﹣x)=0, 则h(x)=h(﹣x), 则h(x)在R是偶函数,h(x)在(﹣∞,0)递增, 不等式x3f(x)﹣8f(2)<x2﹣4, 即不等式x3f(x)﹣x2<8f(2)﹣4, 即h(x)<h(2), 故|x|>2,解得:x>2或x<﹣2, 故不等式的解集是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞), 故选:B. 【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题,考查转化思想,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题. 5.B 【分析】求出导函数f′(x),由于函数f(x)=kx﹣lnx在区间(2,+∞)单调递增,可得f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.解出即可. 【解答】解:f′(x)=k﹣, ∵函数f(x)=kx﹣lnx在区间(2,+∞)单调递增, ∴f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立. ∴k≥, 而y=在区间(2,+∞)上单调递减, ∴k≥. ∴k的取值范围是:[,+∞). 故选:B. 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,属于中档题. 6.A 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】利用函数的零点以及方程的根的关系,通过函数的导数,二次导函数判断函数的单调性,利用函数的零点判定定理,推出结果即可. 【解答】解:函数f(x)=ex﹣ln(x+a)(a∈R),则x>﹣a, 可得f′(x)=ex﹣,f′′(x)=ex+恒大于0, f′(x)是增函数,令f′(x0)=0,则,有唯一解时, a=,代入f(x)可得: f(x0)===, 由于f(x0)是增函数, f(﹣1)≈﹣0.63,f()≈0.11 所以f(x0)=0时,﹣1. 故选:A. 7.A 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】令g(x)= ,利用导数和已知即可得出其单调性.再利用函数的对称性和已知可得g(0)=1,从而求得不等式f(x)>ex的解集. 【解答】解:设g(x)=,则g′(x)=. ∵f′(x)<f(x),∴g′(x)<0.∴函数g(x)是R上的减函数, ∵函数f(x+3)是偶函数, ∴函数f(﹣x+3)=f(x+3),∴函数关于x=3对称,∴f(0)=f(6)=1, 原不等式等价为g(x)>1,∴不等式f(x)<ex等价g(x)>1,即g(x)>g(0), ∵g(x)在R上单调递减,∴x<0. ∴不等式f(x)>ex的解集为(﹣∞,0). 故选:A 8.B 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】把给出的等式变形得到f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数g(x)=,由其导函数的符号得到其在(0,)上为增函数,则g()<g()<g(1)<g(),整理后即可得到答案. 【解答】解:解:因为x∈(0,),所以sinx>0,cosx>0, 由f(x)<f′(x)tanx,得f(x)cosx<f′(x)sinx, 即f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0. 令g(x)=,x∈(0,),则g′(x)=>0. 所以函数g(x)=在x∈(0,)上为增函数, 则g()<g()<g(1)<g(),即 , 对照选项,A.应为>,C.应为<f(), D.应为f(1)2f()sin1,B正确. 故选B. 9.C , 令,解得或. 再,解得, 所以,分别是函数的极大值点和极小值点, 所以,, ,, 所以最小值为, 故选. 10.A 【考点】导数的运算. 【分析】把给出的函数求导,在其导函数中取x=2,则f′(2)可求. 【解答】解:∵f′(x)=﹣+3f′(2), ∴f′(2)=﹣+3f′(2), 解得:f′(2)=, 故选:A. 11.C 【考点】函数在某点取得极值的条件. 【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f′(x)=3x2+2ax+b,所以得到:f′(1)=3+2a+b=0,又因为f(1)=10,所以可求出a与b的值确定解析式,最终将x=2代入求出答案. 【解答】解:f′(x)=3x2+2ax+b, ∴或 ①当时,f′(x)=3(x﹣1)2≥0,∴在x=1处不存在极值; ②当时,f′(x)=3x2+8x﹣11=(3x+11)(x﹣1) ∴x∈(,1),f′(x)<0,x∈(1,+∞),f′(x)>0,符合题意. ∴,∴f(2)=8+16﹣22+16=18. 故选C. 12.D 【考点】导数的运算. 【分析】根据导数的运算法则,求导,然后导入值计算即可 【解答】解:f(x)=cosx,则f′(x)=﹣, ∴f(π)+f′()=cosπ﹣﹣=﹣﹣=﹣, 故选:D 【点评】本题考查了导数的运算法则,属于基础题 13.B 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最大值小于0,从而证出结论 【解答】解:设g(x)= ∴g′(x)=, ∵对∀x∈R,总有(2﹣x)f(x)+xf′(x)<0成立, 当x>0时,g′(x)<0,函数g(x)递减 当x<0时,g′(x)>0,函数g(x)递增, ∴g(x)<g(0)=0, ∴<0恒成立 ∴f(x)<0恒成立, 故选:B 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题. 14.C ∵, 恒有解, ∴, , , ∴或, 当时,(舍去), ∴或, 故选. 15.A 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】由题意函数满足:对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1恒成立,必有函数满足其最大值与最小值的差小于等于1,由此不等式解出参数a的范围即可,故可先求出函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值的差,得到关于a的不等式,解出a的值 【解答】解:由题意f′(x)=x2﹣a2 当a2≥1时,在x∈[0,1],恒有导数为负,即函数在[0,1]上是减函数,故最大值为f(0)=0,最小值为f(1)=﹣a2,故有,解得|a|≤,故可得﹣≤a≤ 当a2∈[0,1],由导数知函数在[0,a]上增,在[a,1]上减,故最大值为f(a)=又f(0)=0,矛盾,a∈[0,1]不成立, 故选A. 16.A 设导函数在内的图像与轴的交点(自左向右)分别为,,,, 其中, 则由导函数的图像可得: 当时,, 时,且, 所以是函数的极大值点; 当时,, 时,且, 所以是函数的极小值点, 当或时,, 故不是函数的极值点; 当时,, 而当时,,且, 所以是函数的极大值点, 综上可知:在内有个极小值点, 故选. 17.D 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求出导函数f'(x)=3x2﹣4x+a,在区间内大于或等于零,根据二次函数的性质可知,导函数在区间内递增,故只需f'(1)≥0即可. 【解答】解:f(x)=x3﹣2x2+ax+3, ∴f'(x)=3x2﹣4x+a, ∵在[1,2]上单调递增, ∴f'(x)=3x2﹣4x+a在区间内大于或等于零, ∵二次函数的对称轴x=, ∴函数在区间内递增, ∴f'(1)≥0, ∴﹣1+a≥0, ∴a≥1, 故选D. 18.A 【考点】函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】由函数f(x)=x3﹣3x+a求导,求出函数的单调区间和极值,从而知道函数图象的变化趋势,要使函数f(x)=x3﹣3x+a有3个不同的零点,寻求实数a满足的条件,从而求得实数a的取值范围. 【解答】解∵f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1), 当x<﹣1时,f′(x)>0; 当﹣1<x<1时,f′(x)<0; 当x>1时,f′(x)>0, ∴当x=﹣1时f(x)有极大值. 当x=1时, f(x)有极小值,要使f(x)有3个不同的零点. 只需,解得﹣2<a<2. 故选A. 【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值,函数图象的变化趋势,体现了数形结合和运动的思想方法,属中档题. 19.D 【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化,利用换元法转化为方程有解,构造函数求函数的导数,利用函数极值和单调性的关系进行求解即可. 【解答】解:由3x+a(2y﹣4ex)(lny﹣lnx)=0得3x+2a(y﹣2ex)ln=0, 即3+2a(﹣2e)ln=0, 即设t=,则t>0, 则条件等价为3+2a(t﹣2e)lnt=0, 即(t﹣2e)lnt=﹣有解, 设g(t)=(t﹣2e)lnt, g′(t)=lnt+1﹣为增函数, ∵g′(e)=lne+1﹣=1+1﹣2=0, ∴当t>e时,g′(t)>0, 当0<t<e时,g′(t)<0, 即当t=e时,函数g(t)取得极小值为:g(e)=(e﹣2e)lne=﹣e, 即g(t)≥g(e)=﹣e, 若(t﹣2e)lnt=﹣有解, 则﹣≥﹣e,即≤e, 则a<0或a≥, 故选:D. 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,根据函数与方程的关系,转化为两个函数相交问题,利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键.综合性较强. 20.C 【考点】63:导数的运算. 【分析】根据题意,令t=2x,则y=cost,利用复合函数的导数计算法则计算可得答案. 【解答】解:根据题意,令t=2x,则y=cost, 其导数y′=(2x)′(cost)′=﹣2sin2x; 故选:C. 21.D 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极小值点即可. 【解答】解:f′(x)=﹣+=,(x>0), 令f′(x)>0,解得:x>2, 令f′(x)<0,解得:0<x<2, 故f(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增, 故x=2是函数的极小值点, 故选:D. 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道基础题. 22. A 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据题意,令g(x)= ,结合题意对其求导分析可得g′(x)>0,即函数g(x)在R上为增函数,又由f(1)=e,可得g(e)==1,而不等式f(x)<ex可以转化为g(x)<g(1),结合函数g(x)的单调性分析可得答案. 【解答】解:根据题意,令g(x)=,其导数g′(x)==, 又由,∀x∈R都有f'(x)>f(x),则有g′(x)>0,即函数g(x)在R上为增函数, 若f(1)=e,则g(e)==1, f(x)<ex⇒<1⇒g(x)<g(1), 又由函数g(x)在R上为增函数, 则有x<1,即不等式f(x)<ex的解集为(﹣∞,1); 故选:A. 23.A 【考点】指数型复合函数的性质及应用. 【分析】因为a=2,所以先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后将其配凑成f′(x)=h(x)(x2﹣2x+1)这种形式,分别求出h(x),然后确定h(x)是否满足对任意的x∈D都有h(x)>0. 【解答】解:①f'(x)=x2﹣2x+1,若f′(x)=h(x)(x2﹣2x+1),即x2﹣2x+1=h(x)(x2﹣2x+1), 所以h(x)=1>0,满足条件,所以①具有性质ω(2). ②函数f(x)=lnx++的定义域为(0,+∞).f′(x)=﹣==•(x2﹣2x+1), 所以h(x)=,当x∈(0,+∞)时,h(x)>0,所以②具有性质ω(2). ③f'(x)=(2x﹣4)ex+(x2﹣4x+5)ex=(x2﹣2x+1)ex,所以h(x)=ex,因为h(x)>0,所以③具有性质ω(2). ④f′(x)==,若f′(x)=•(x2﹣2x+1), 则h(x)=,因为h(1)不存在,所以不满足对任意的x∈D都有h(x)>0,所以④不具有性质ω(2), 故选:A. 24.B 令, 则, ∴,故当时,, 即在上为减函数, 又∵,, 故函数在上有且只有一零点, 即方程在上恰好有个根, 故选. 25.A 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 【分析】根据条件,构造函数g(x)=x3f(x),利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(﹣∞,0)上为增函数,然后将所求不等式转化为对应函数值的关系,根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可. 【解答】解:构造函数g(x)=x3f(x),g′(x)=x2(3f(x)+xf′(x)); ∵3f(x)+xf′(x)>0,x2>0; ∴g′(x)>0; ∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递增; g(x+2015)=(x+2015)3f(x+2015),g(﹣3)=﹣27f(﹣3); ∴由不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0得: (x+2015)3f(x+2015)>﹣27f(﹣3); ∴g(x+2015)>g(﹣3); ∴x+2015>﹣3,且x+2015<0; ∴﹣2018<x<﹣2015; ∴原不等式的解集为(﹣2018,﹣2015). 故选A. 26.D 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】根据导数函数图象可判断;f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减, 由△ABC为锐角三角形,得A+B,0﹣B<A,再根据正弦函数,f(x)单调性判断. 【解答】解:根据导数函数图象可判断;f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减, ∵△ABC为锐角三角形,∴A+B,0﹣B<A, ∴0<sin(﹣B)<sinA<1,0<cosB<sinA<1 f(sinA)>f(sin(﹣B)), 即f(sinA)>f(cosB) 故选;D 【点评】本题考查了导数的运用,三角函数,的单调性,综合性较大,属于中档题. 27.C 【考点】63:导数的运算. 【分析】直接根据基本函数的导数公式和导数的运算法则求解即可. 【解答】解:∵f(x)=xex, ∴f′(x)=ex+xex, ∴f′(1)=2e. 故选:C. 28.D 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】先求f′(x)=2exsinx,这样即可得到f(π),f(3π),f(5π),…,f为f(x)的极大值,并且构成以eπ为首项,e2π为公比的等比数列,根据等比数列的求和公式求f(x)的各极大值之和即可. 【解答】解::∵函数f(x)=ex(sinx﹣cosx), ∴f′(x)=[ex(sinx﹣cosx)]′=ex(sinx﹣cosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx; 令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z); ∴当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增, 当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减; ∴当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值, 此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)﹣cos(2kπ+π)]=e2kπ+π; 又∵0≤x≤2016π,∴0和2016π都不是极值点, ∴函数f(x)的各极大值之和为: eπ+e3π+e5π+…+e2015π=, 故选:D. 29.A 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】当x>0时,f(x)=e2x+,利用基本不等式可求f(x)的最小值,对函数g(x)求导,利用导数研究函数的单调性,进而可求g(x)的最大值,由恒成立且k>0,则≤,可求k的范围. 【解答】解:∵当x>0时,f(x)=e2x+≥2 =2e, ∴x1∈(0,+∞)时,函数f(x1)有最小值2e, ∵g(x)=, ∴g′(x)=, 当x<1时,g′(x)>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增, 当x>1时,g′(x)<0,则函数在(1,+∞)上单调递减, ∴x=1时,函数g(x)有最大值g(1)=e, 则有x1、x2∈(0,+∞),f(x1)min=2e>g(x2)max=e, ∵恒成立且k>0, ∴≤, ∴k≥1, 故选:A. 30.B 【考点】导数的运算. 【分析】根据导数的运算法则求导,再代值计算即可. 【解答】解:f(x)的定义域为(0,+∞), ∴f′(x)=()′= 由f′(x0)=0,得=0,解得x0=e. 故选:B 31.B 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 【分析】容易求出f′(0)=6,结合条件便可得出函数f(x)的解析式,进而求出导函数,代入4f(x)>f′(x),根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程. 【解答】解:根据条件,3f(0)=3=f′(0)﹣3; ∴f′(0)=6; ∴f(x)=2e3x﹣1,f′(x)=6e3x; ∴由4f(x)>f′(x)得:4(2e3x﹣1)>6e3x; 整理得,e3x>2; ∴3x>ln2; ∴x>; ∴原不等式的解集为(,+∞) 故选:B. 32.C 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】分别求出g(0),g′(1),求出g(x)的表达式,求出g(x)的导数,得到函数的单调区间,求出g(x)的最小值,问题转化为只需2m﹣1≥g(x)min=1即可,求出m的范围即可. 【解答】解:∵g(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)x+, ∴g′(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)+x, ∴g′(1)=g′(1)﹣g(0)+1,解得:g(0)=1, g(0)=g′(1)e﹣1,解得:g′(1)=e, ∴g(x)=ex﹣x+x2, ∴g′(x)=ex﹣1+x,g″(x)=ex+1>0, ∴g′(x)在R递增,而g′(0)=0, ∴g′(x)<0在(﹣∞,0)恒成立,g′(x)>0在(0,+∞)恒成立, ∴g(x)在(﹣∞,0)递减,在(0,+∞)递增, ∴g(x)min=g(0)=1, 若存在实数x0使得不等式2m﹣1≥g(x0)成立, 只需2m﹣1≥g(x)min=1即可,解得:m≥1, 故选:C. 【点评】本题考查了求函数的表达式问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,转化思想,是一道中档题. 33.D , ∵在处有极值, ∴时,, ∴, 故选. 34.A 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】问题转化为k≤1+﹣对x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=1+﹣,根据函数的单调性求出g(x)的最小值,从而求出k的范围即可. 【解答】解:f(x)=x﹣1﹣lnx,若对定义域内任意x都有f(x)≥kx﹣2, 则k≤1+﹣对x∈(0,+∞)恒成立, 令g(x)=1+﹣,则g′(x)=, 令g′(x)>0,解得:x>e2, 令g′(x)<0,解得:0<x<e2, 故g(x)在(0,e2)递减,在(e2,+∞)递增, 故g(x)的最小值是g(e2)=1﹣, 故k≤1﹣, 故选:A. 35. A 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】由函数f(x)=lnx+x2﹣ax+a+1为(0,+∞)上的增函数,可得:f′(x)=+2x﹣a≥0,化为:a≤+2x=g(x),利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出. 【解答】解:f′(x)=+2x﹣a, ∵函数f(x)=lnx+x2﹣ax+a+1为(0,+∞)上的增函数, ∴f′(x)=+2x﹣a≥0,化为:a≤+2x=g(x), g′(x)=2﹣==, 可知:x=时,函数g(x)取得极小值即最小值, =2. 则实数a的取值范围是a≤2. 故选:A. 36.B 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】函数y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示,可得x>1时,f′(x)<0;﹣2<x<1时,f′(x)>0;x<﹣2时,f′(x)>0.即可判断出结论. 【解答】解:函数y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示, ∴x>1时,f′(x)<0;﹣2<x<1时,f′(x)>0;x<﹣2时,f′(x)>0. ∴函数f(x)有极大值f(1),无极小值. 故选:B. 37.A 【考点】导数的运算. 【分析】解:由图象知f(﹣1)=f(0)=f(2)=0,解出 b、c、d的值,由x1和x2是f′(x)=0的根,使用根与系数的关系得到x1+x2=. 【解答】解:∵f(x)=x3+bx2+cx+d,由图象知,﹣1+b﹣c+d=0,0+0+0+d=0, 8+4b+2c+d=0,∴d=0,b=﹣1,c=﹣2 ∴f′(x)=3x2+2bx+c=3x2﹣2x﹣2. 由题意有x1和x2是函数f(x)的极值, 故有x1和x2是f′(x)=0的根,∴x1+x2=, 故选:A. 38.A 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】f′(x)=aeax+2=0,当a≥0无解,无极值.当a<0时,x=ln(﹣),由于函数y=eax+2x,x∈R有大于零的极值点,可得a的取值范围. 【解答】解:f′(x)=aeax+3,令f′(x)=0即aeax+2=0, 当a≥0无解,∴无极值. 当a<0时,x=ln(﹣), 当x>ln(﹣),f′(x)>0;x<ln(﹣)时,f′(x)<0. ∴ln(﹣)为极大值点, ∴ln(﹣)>0,解之得a<﹣2, 故选:A. 39.A 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象. 【分析】总面积一直保持增加,则导数值一直为正,但总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小,进而得到答案. 【解答】解:总面积一直保持增加,则导数值一直为正,故排除B; 总面积的增加速度是逐渐增大→突然变大→逐渐减小→逐渐增大→突然变小→逐渐变小, 故导函数y=S'(t)的图象应是匀速递增→突然变大→匀速递减→匀速递增→突然变小→匀速递减, 故排除CD, 故选.A 40.C 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】先求导函数,研究出函数在区间[﹣3,3]上的单调性,从而确定出函数最值的位置,求出函数的最值,即可求M﹣m. 【解答】解:∵函数f(x)=x3﹣12x+8 ∴f′(x)=3x2﹣12 令f′(x)>0,解得x>2或x<﹣2;令f′(x)<0,解得﹣2<x<2 故函数在[﹣2,2]上是减函数,在[﹣3,﹣2],[2,3]上是增函数, 所以函数在x=2时取到最小值f(2)=8﹣24+8=﹣8,在x=﹣2时取到最大值f(﹣2)=﹣8+24+8=24 即M=24,m=﹣8 ∴M﹣m=32 故选C. 41.B 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;3N:奇偶性与单调性的综合. 【分析】构造函数g(x)=(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解 【解答】解:∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于x=0对称 ∴y=f(x)的图象关于x=2对称 ∴f(4)=f(0) 又∵f(4)=1,∴f(0)=1 设g(x)=(x∈R),则g′(x)== 又∵f′(x)<f(x),∴f′(x)﹣f(x)<0 ∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减 ∵f(x)<ex ∴g(x)<1 又∵g(0)==1 ∴g(x)<g(0) ∴x>0 故选B. 42.D 【考点】导数的运算. 【分析】根据导数的运算公式和运算法则进行判断即可. 【解答】解:A.(x+)′=1﹣,∴A错误. B.(x2cosx)′=﹣2xsinx﹣x2sinx,∴B错误. C.(3x)′=3xln3,∴C错误. D.(log2x)′=,正确. 故选:D. 43.B , 令, 则, 故是增函数, 又因为, 故解集为, 故选. 44.A 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可. 【解答】解:函数的定义域是(0,+∞), y′=, 令y′>0,解得:0<x<e, 故函数在(0,e)递增, 故选:A. 45.A 【考点】导数的运算;其他不等式的解法. 【分析】讨论x的符号,根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论. 【解答】解:若x=0时,不等式x•f′(x)<0不成立. 若x>0,则不等式x•f′(x)<0等价为f′(x)<0,此时函数单调递减,由图象可知,此时0<x<1. 若x<0,则不等式x•f′(x)<0等价为f′(x)>0,此时函数单调递增,由图象可知,此时x<﹣1., 故不等式x•f′(x)<0的解集为(﹣∞,﹣1)∪(0,1). 故选:A. 46.C 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】确定函数的定义域,求出导函数,令导数大于0,即可得到f(x)的单调递增区间. 【解答】解:函数的定义域为(0,+∞) 求导函数可得:f′(x)=2x﹣2﹣, 令f′(x)>0,可得2x﹣2﹣>0,∴x2﹣x﹣2>0,∴x<﹣1或x>2 ∵x>0,∴x>2 ∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞) 故选C. 47.A 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】由函数f(x)=x3﹣ax2+1在(0,3)内单调递减转化成f'(x)≤0在(0,3)内恒成立,利用参数分离法即可求出a的范围. 【解答】解:∵函数f(x)=x3﹣ax2+1在(0,3)内单调递减, ∴f'(x)=3x2﹣2ax≤0在(0,3)内恒成立. 即a≥x在(0,3)内恒成立. ∵g(x)=x在(0,3]上的最大值为×3=, 故a≥ ∴故选:A. 48.A 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据题意可设f(x)=,然后代入计算判断即可. 【解答】解:∵f(x)+2f′(x)>0, 可设f(x)=, ∴f(1)=,f(0)=e0=1, ∴f(1)>, 故选:A. 49. B 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】求出函数的导数,问题转化为a≤﹣在[1,+∞)恒成立,根据函数的单调性求出a的范围即可. 【解答】解:若函数f(x)=ax3+x在区间[1,+∞)内是减函数, 则f′(x)=3ax2+1≤0在[1,+∞)恒成立, 即a≤﹣在[1,+∞)恒成立, 而y=﹣在[1,+∞)递增, 故x=1时,y的最小值是﹣, 故a≤﹣, 故选:B. 50.B ∵,时,, ∴当时,为增函数,时,为减函数, ∵有奇函数, ∴为偶函数, ∵, ∴. 画出大致图象可得到时.查看更多