2007-2013广东高考文科数学试题分类汇总完整版含答案

2007-2013广东高考文科数学试题分类汇总完整版含答案

广东高考文科数学近 7 年试题分类汇编 1.集合与简易逻辑 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 5 分 5 分 5 分 10 分 5 分 5 分 5 分 (2007 年高考广东卷第 1 小题)已知集合 ，则 （C ） A． B． C． D． (2008 年高考广东卷第 1 小题)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A={参 加北京奥运会比赛的运动员}，集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合 C={参加北京奥运会比赛的 女运动员}，则下列关系正确的是（D ） A. B. C. B∪C = A D. A∩B = C (2009 年高考广东卷第 1 小题).已知全集 U=R，则正确表示集合 M= {－1，0，1} 和 N= { x |x +x=0} 关系的韦 恩（Venn）图是 【答案】B 【解析】由 N= { x |x +x=0} 得 ,选 B. (2010 年高考广东卷第 1 小题)若集合 A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合 A B=( A.) A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝ (2010 年高考广东卷第 8 小题) “ >0”是“ >0”成立的( A.) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 (2011 年高考广东卷第 2 小题) 已知集 ，则 的元素个数 为(C) A．4 B.3 C.2 D. 1 (2012 年高考广东卷第 2 小题)2．设集合 , ，则 (A) A． B． C． D． (2013 年高考广东卷第 1 题)1．已知集合 ， ，则 { }2 2 0,S x x x x R= + = ∈ { }2 2 0,T x x x x R= − = ∈ 1{ 1 0 { 0}1M x x N x x = + > = >−， M N = { 1 1}x x− <≤ { 1}x x > { 1 1}x x− < < { 1}x x −≥ A B⊆ B C⊆ 2 2 { 1,0}− N M⊂  x 3 2x { } { }2 2( , ) , 1 , ( , ) , 1A x y x y x y B x y x y x y= + = = + =为实数，且 为实数，且 A B { }1,2,3,4,5,6U = { }1,3,5M = UC M = { }2,4,6 { }1,3,5 { }1,2,4 U （ A ） A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D. {-2,0,2} 2.复数 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 5 5 5 5 5 分 5 分 (2007 年高考广东卷第 2 小题)若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 是实数），则 （ D ） A． B． C． D．2 (2008 年高考广东卷第 2 小题)已知 0  a b 0, 4 πθ  ∈   α β β α |2 n n Z ∈   a b =   5 2 3 2 1 1 2 1 2 10A A A， ， ， 2A [ )150155， 含 180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（　B　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． (2008 年高考广东卷第 13 小题)阅读下面的程序框图。若输入 m = 4，n = 3，则输出 a = _12___，i =__3___ 。（注：框图中的赋值符号“=”也可 以写成“←”或“：=”） (2009 年高考广东卷第 11 小题)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比 赛中投进的三分球个数如下表所示： 队员 i 1 2 3 4 5 6 三分球个数 图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输 出的 s= (注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”), 【答案】 , 【解析】顺为是统计该 6 名队员在最 近三场比赛中投进的三分球总数的 程序框图，所图中判断框应填 ， 9i < 8i < 7i < 6i < 1a 2a 3a 4a 5a 6a 6i ≤ 1 2 6a a a+ + + 6i ≤ 1 2 6a a a+ + + 6i ≤ 开始 输入 1 2 10A A A， ， ， 0 4 s i = = is s A= + s输出 结束 1i i= + 否 是 图 2 图 1 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 人数/人 身高/cm 输出的 s= . 图 1 (2010 年高考广东卷第 11 小题)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水 量进行了抽样调查，其中 4 位居民的月均用水量分别为 ，…， (单位：吨)．根据图 2 所示的程序框图，若 ， ， ， ，分别为 1， ， ， ，则输出的结果 s 为 . (2012 年高考广东卷第 9 小题)执行如图 2 所示的程序框图，若输入 的值为 6，则输出 的值为 (C) A． B． C． D． （2013 年高考广东卷）5.执行如图 1 所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 s 的值是（ C ） A. 1 B. 2 C.4 D.7 5.函数 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 24 分 5 分 5 分 24 分 15 分 10 分 19 分 (2007 年高考广东卷第 3 小题)若函数 ，则函数 在其定义域上是（ B ） A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数 C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数 (2007 年高考广东卷第 5 小题)客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然 后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 上时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路 程 与时间 之间关系的图象中，正确的是（　C　） 2 3 1 2 6a a a+ + + 1x 4x 1x 2x 3x 4x 1.5 1.5 2 n s 105 16 15 1 3( ) ( )f x x x= ∈R ( )y f x= − s t 1 2 3 60 80 100 120 140 160 t(h) s(km) 1 2 3 60 80 100 120 140 160 t(h) s(km) 1 2 3 60 80 100 120 140 160 t(h) s(km) 1 2 3 60 80 100 120 140 160 t(h) s(km) A ． B ． C ． D ． 0 0 0 0 (2007 年高考广东卷第 21 小题)已知 是实数，函数 ，如果函数 在区间 上有零点，求 的取值范围． 21解: 若 ，则 ，令 ，不符合题意， 故 当 在 [-1，1]上有一个零点时，此时 或 解得 或 当 在[-1，1]上有两个零点时，则 解得 即 综上，实数 的取值范围为 （ 别 解 ： ， 题 意 转 化 为 求 的 值 域 ， 令 得 转化为勾函数问题） (2008 年高考广东卷第 8 小题)命题“若函数 在其定义域内是减函数，则 ” 的逆否命题是（ ） A. 若 ，则函数 在其定义域内不是减函数 a 2( ) 2 2 3f x ax x a= + − − ( )y f x= [ 11]− ， a 0a = ( ) 2 3f x x= − 3( ) 0 [ 1,1]2f x x= ⇒ = ∉ − 0a ≠ ( )f x 4 8 (3 ) 0 11 12 a a a ∆ = + + =− ≤ − ≤ ( 1) (1) 0f f•− ≤ 3 7 2a − −= 1 5a≤ ≤ ( )f x 4 8 (3 ) 0 11 12 ( 1) (1) 0 a a a f f• ∆ = + + > − ≤ − ≤  − > 3 7 3 7 2 2 1 1 2 2 1 5 a a a a a a  − − − +< >   ≤ − ≥  < >  或 或 或 3 7 52a a − −< >或 a 3 7( , ] [1, )2 − −−∞ +∞ 2 22 2 3 0 (2 1) 3 2ax x a x a x+ − − = ⇔ − = − [ 1,1]x∈ − 2 3 2 2 1 xa x −= − 3 2 [1,5]t x= − ∈ 2 7 6 a t t = + − ( ) log ( 0, 1)af x x a a= > ≠ log 2 0a < log 2 0a ≥ ( ) log ( 0, 1)af x x a a= > ≠ B. 若 ，则函数 在其定义域内不是减函数 C. 若 ，则函数 在其定义域内是减函数 D. 若 ，则函数 在其定义域内是减函数 (2009 年高考广东卷第 4 小题)若函数 是函数 的反函数，且 ，则 A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】函数 的反函数是 ,又 ,即 , 所以, ,故 ,选 A. (2010 年高考广东卷第 2 小题)函数 的定义域是 B A．(2， ) B．(1, ) C．[1， ) D．[2， ) (2010 年高考广东卷第 3 小题)若函数 与 的定义域均为 ，则 D A． 与 均为偶函数 B． 为奇函数， 为偶函数 C． 与 均为奇函数 D． 为偶函数， 为奇函数 (2010 年高考广东卷第 20 小题)已知函数 对任意实数 均有 ，其中常数 为负数，且 在区间 上有表达式 . （1）求 ， 的值； （2）写出 在 上的表达式，并讨论函数 在 上的单调性； （3）求出 在 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. 20．解：（1）∵ ，且 在区间[0,2]时 ∴ 由 得 ∴ （2）若 ，则 ∴当 时， 若 ，则 ∴ log 2 0a < ( ) log ( 0, 1)af x x a a= > ≠ log 2 0a ≥ ( ) log ( 0, 1)af x x a a= > ≠ log 2 0a < ( ) log ( 0, 1)af x x a a= > ≠ ( )y f x= 1xy a a a= ≠（ >0，且 ） (2) 1f = ( )f x = x2log x2 1 x 2 1log 2−x 1xy a a a= ≠（ >0，且 ） ( ) logaf x x= (2) 1f = log 2 1a = 2a = 2( ) logf x x= ( ) lg( 1)f x x= − +∞ +∞ +∞ +∞ ( ) 3 3x xf x −= + ( ) 3 3x xg x −= − R ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x x ( ) ( 2)f x kf x= + k ( )f x [ ]0,2 ( ) ( 2)f x x x= − ( 1)f − (2.5)f ( )f x [ ]3,3− ( )f x [ ]3,3− ( )f x [ ]3,3− )2()( += xkfxf )(xf )2()( −= xxxf kkkfkff −=−⋅⋅==+−=− )21(1)1()21()1( )2()( += xkfxf )(1)2( xfkxf =+ kkfkff 4 3)25.0(5.01)5.0(1)25.0()5.2( −=−⋅⋅==+= ]2,0[∈x ]4,2[2∈+x ]4)2][(2)2[(1)2(1)(1)2( −+−+=−==+ xxkxxkxfkxf ]4,2[∈x )4)(2(k 1)( −−= xxxf )0,2[−∈x )2,0[2∈+x )2(]2)2)[(2()2( +=−++=+ xxxxxf ∴ 若 ，则 ∴ ∴ ∵ ∴当 时， ∵ ,∴当 时， ，由二次函数的图象可知， 为增函数； 当 时， ，由二次函数的图象可知， 当 时， 为增函数， 当 时， 为减函数； 当 时， ，由二次函数的图象可知，当 时， 为减函数； 当 时， 为增函数； 当 时， ，由二次函数的图象可知， 为增函数。 （3）由（2）可知，当 时，最大值和最小值必在 或 处取得。（可画图分析） ∵ ， ， ， ∴当 时， ; 当 时， 当 时， . (2011 年高考广东卷第 4 小题)函数 的定义域是 C A． B. C. D. (2011 年高考广东卷第 10 小题)设 是 上的任意实值函数，如下定义两个函数 对任意 则下列等式恒成立的 是 B )2()2()( +=+= xkxxkfxf )2,4[ −−∈x )0,2[2 −∈+x )4)(2(]2)2)[(2()2( ++=+++=+ xxkxxkxf )4)(2()2()( 2 ++=+= xxkxkfxf )2,4[)2,3[],4,2[]3,2( −−⊂−−⊂ ]3,3[−∈x        ∈−− ∈− −∈+ −−∈++ = ]3,2(),4)(2(1 ]2,0[),2( )0,2[),2( )2,3[),4)(2( )( 2 xxxk xxx xxkx xxxk xf 0 R ( )f x R ( ) 23 2 1f x x kx′ = − + 24 12k∆ = − 0∆ ≤ 3 0k− ≤ < ( ) 0f x′ ≥ R ( )f x [ ],k k− ( )m f k k= = ( ) 32M f k k k= − = − − 0∆ > 3k < − ( ) 0f x′ = 2 1 3 3 k kx − −= 2 2 3 3 k kx + −= 1 2k x x k< < < − ( )f x ( )1,k x ( )1 2,x x ( )2 ,x k− ( ) ( ){ }2min ,m f k f x= ( ) ( ){ }1max ,M f k f x= − ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0f x f k x kx x k x k x− = − + − = − + > ( )m f k k= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 2 3 2 1 1 1 1 1 12 1 0f x f k x kx x k k x k x k k − − = − + − − − = + − + + <  ( ) 32M f k k k= − = − − 0k < ( )f x [ ],k k− ( )m f k k= = ( ) 32M f k k k= − = − − (( ) )( ) (( ) ( ))( )f g h x f h g h x• = • •  (( ) )( ) (( ) ( ))( )f g h x f h g h x• = •   (( ) )( ) (( ) ( ))( )f g h x f h g h x=     (( ) )( ) (( ) ( ))( )f g h x f h g h x• • = • • • 3( ) cos 1. ( ) 11, ( )f x x x f a f a= + = − =若 则 siny x= 3y x= xy e= 2ln 1y x= + x xy 1+= ),0()0,1[ +∞∪− 3 2x kx x− + 6.导数 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 5 分 17 分 19 分 14 分 14 分 14 分 5 分 (2007 年高考广东卷第 12 小题)函数 的单调递增区间是 ． (2008 年高考广东卷第 9 小题)设 a∈R，若函数 ，x∈R 有大于零的极值点，则（ ） 【解析】题意即 有大于 0 的实根,数形结合令 ,则两曲线交点在第一象限,结合图像易 得 ,选 A. A. a < －1 B. a > －1 C. a < －1/e D. a > －1/e (2008 年高考广东卷第 17 小题)某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为 x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x（单位： 元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f（x）元，则 , 令 得 当 时， ；当 时， 因此 当 时，f（x）取最小值 ； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 15 层。 (2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 的单调递增区间是 A. B.(0,3) C.(1,4) D. 【答案】D 【解析】 ,令 ,解得 ,故选 D (2009 年高考广东卷第 21 小题) 已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行,且 在 =－1 处取得最小值 m－1(m ). 设函数 (1)若曲线 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 ,求 m 的值 (2) 如何取值时,函数 存在零点,并求出零点. 【解析】（1）设 ，则 ； 又 的图像与直线 平行 又 在 取极小值， ， ， ； ( ) ln ( 0)f x x x x= > 1 ,e  +∞  xy e ax= + 0xe a+ = 1 2,xy e y a= = − 1 1a a− > ⇒ < − ( ) ( ) 2160 10000 10800560 48 560 482000f x x xx x ×= + + = + + ( )10,x x Z +≥ ∈ ( ) 2 1080048f x x ′ = − ( ) 0f x′ = 15x = 15x > ( ) 0f x′ > 0 15x< < ( ) 0f x′ < 15x = ( )15 2000f = xexxf )3()( −= )2,(−∞ ),2( +∞ ( )( ) ( 3) ( 3) ( 2)x x xf x x e x e x e′′ ′= − + − = − ( ) 0f x′ > 2x > )(xgy = 2y x= )(xgy = x 0≠ x xgxf )()( = )(xfy = 2 )( Rkk ∈ kxxfy −= )( ( ) 2g x ax bx c= + + ( ) 2g x ax b′ = + ( )g x′ 2y x= 2 2a∴ = 1a = ( )g x 1x = − 12 b− = − 2b = ( )1 1 2 1g a b c c m∴ − = − + = − + = − c m= ， 设 则 ； （2）由 ， 得 当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ； 当 时，方程 有二解 ，若 ， ， 函数 有两个零点 ；若 ， ，函数 有两个零点 ； 当 时，方程 有一解 , , 函数 有一零点 (2010 年高考广东卷第 21 小题) 已知曲线 ，点 是曲线 上的点（n=1,2,…）. （1）试写出曲线 在点 处的切线 的方程，并求出 与 轴的交点 的坐标； （2）若原点 到 的距离与线段 的长度之比取得最大值，试求试点 的坐标 ；（3）设 与 为两个给定的不同的正整数， 与 是满足（2）中条件的点 的坐标， 证明： 21．解：（1） ，设切线 的斜率为 ，则 ∴曲线 在点 处的切线 的方程为： 又∵点 在曲线 上, ∴ ∴曲线 在点 处的切线 的方程为： 即 令 得 ，∴曲线 在 轴上的交点 的坐标为 ( ) ( ) 2g x mf x xx x = = + + ( ),o oP x y ( ) 2 2 22 2 0 0 0 0 0 2 mPQ x y x x x  = + − = + +    2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2mx mx = + + ≥ + 22 2 2 4m∴ + = 2 2m = ± ( ) ( )1 2 0my f x kx k x x = − = − + + = ( ) 21 2 0k x x m− + + = ( )* 1k = ( )* 2 mx = − ( )y f x kx= − 2 mx = − 1k ≠ ( )* ( )4 4 1 0m k⇔ ∆ = − − > 0m > 11k m > − ( )y f x kx= − ( ) ( ) ( )2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 m k m kx k k − ± − − ± − −= =− − 0m < 11k m < − ( )y f x kx= − ( ) ( ) ( )2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 m k m kx k k − ± − − ± − −= =− − 1k ≠ ( )* ( )4 4 1 0m k⇔ ∆ = − − = 11k m = − ( )y f x kx= − 1 1x k = − 2 nC y nx=： ( , )( 0, 0)n n n n nP x y x y> > nC nC nP nl nl y nQ (0,0)O nl n nP Q nP ( ,n nx y ) m k nx ny nP 1 ( 1) ( 1)2 s n n n m x k y ms ks = + − + < −∑ ( 1,2, )s = … nxy 2=′ nl k nn nxxxyk 2| ==′= nC nP nl )(2 nnn xxnxyy −=− nP nC 2 nn nxy = nC nP nl )(22 nnn xxnxnxy −=− 02 2 =−− nn nxyxnx 0=x 2 nnxy −= nC y nQ ),0( 2 nnx− （2）原点 到直线 的距离与线段 的长度之比为： 当且仅当 即 时，取等号。此时， 故点 的坐标为 （3）证法一：要证 只要证 只要证 ，又 所以： (2011 年高考广东卷第 19 小题) 设 讨论函数 解：函数 的定义域为 当 的判别式 ①当 有两个零点， 且当 内为增函数； 当 内为减函数； ②当 内为增函数； ③当 内为增函数； )0,0(O nl nP nQ 4 1 41 1 41)( 14 || 222222 22 2 ≤ + = + = ++ + − n n n n nnn n n nxnx xn nx nxnxx xn nx n n nxnx 41 = nxn 2 1= nnxy nn 4 12 == nP )4 1,2 1( nn ),2,1s(|ksms||y)1k(2 x)1m(| s 1n n n =−<+−+∑ = ),2,1s(|km|s n2 11k1m s 1n =−<+−+ ∑ = ),2,1s( km 1k1ms n2 1s 1n = + +++×<∑ = 1nn 1nn 1 nn 1 n2 1 −−= −+ < + =  1 km 1k1m > + +++ ),2,1s(s)1ss()23()12(1 n2 1s 1n  ==−−++−+−+<∑ = ),2,1s( km 1k1ms = + +++×< 0,a > 2( ) (1 ) 2(1 )f x Inx a a x a x= + − − − 的单调性。 ( )f x (0, ).+∞ 22 (1 ) 2(1 ) 1( ) ,a a x a xf x x − − − +′ = 21 2(1 ) 1 0a a x≠ − − + =时, 方程2a( 1- a) x 112( 1) .3a a ∆ = − −   10 , 0, ( )3a f x′< < ∆ >时 1 2 ( 1)(3 1) ( 1)(3 1)1 10,2 2 (1 ) 2 2 (1 ) a a a ax xa a a a a a − − − −≠ − > = +− − 1 2 1 20 , ( ) 0, ( ) (0, ) ( , )x x x x f x f x x x′< < > > +∞或 时 在 与 1 2 1 2, ( ) 0, ( ) ( , )x x x f x f x x x′< < <时 在 1 1 , 0, ( ) 0, ( ) (0, )3 a f x f x′≤ < ∆ ≤ ≥ +∞时 所以 在 11 , ( ) 0( 0), ( ) (0, )a f x x f xx ′= = > > +∞时 在 ④当 在定义域内有唯一零点 ， 且当 内为增函数；当 时， 内为减 函数。 的单调区间如下表： （其中 ） (2012 年高考广东卷第 21 小题)（本小题满分 14 分） 设 ，集合 ， ， ． (1) 求集合 （用区间表示）； (2) 求函数 在 内的极值点． 解：（1） 集合 B 解集：令 (1):当 时，即： ，B 的解集为： 此时 （2）当 此时，集合 B 的二次不等式为： ， ，此时，B 的解集为： 故： （3）当 即 此时方程的两个根分别为： 1 ( 1)(3 1)11 , 0, 0,2 2 (1 ) a aa x a a a − −> ∆ > = − >−时 2 ( 1)(3 1)1 0, ( )2 2 (1 ) a ax f xa a a − − ′= + <− 所以 1x 1 10 , ( ) 0, ( ) (0, )x x f x f x x′< < >时 在 1x x> 1( ) 0, ( ) ( , )f x f x x′ < +∞在 ( )f x 10 3a< < 1 13 a≤ ≤ 1a > 1(0, )x 1 2( , )x x 2( , )x +∞ (0, )+∞ 1(0, )x 1( , )x +∞ 1 2 ( 1)(3 1) ( 1)(3 1)1 1,2 2 (1 ) 2 2 (1 ) a a a ax xa a a a a a − − − −= − = +− − 0 1a< < { }0A x R x= ∈ > { }22 3(1 ) 6 0A x R x a x a= ∈ − + + > D A B= D 3 2( ) 2 3(1 ) 6f x x a x ax= − + + D 06)1(32 2 =++− axax aa 624)]1(3[ 2 ××−+−=∆ )3)(13(3 −−= aa 0<∆ 时13 1 << a }|{ Rxx ∈ )0|{ >∈==∩= xRxABAD )3(,3 10 舍去时，解得 ===∆ aa 0242 2 >+− xx 0)1( 2 >−x }1,{ ≠∈ xRx 且 ),1()1,0( +∞∪=∩= BAD 时，0>∆ 舍去）3(3 10 ><< aa 很明显， 故此时的 综上所述： 当 当 时， 当 ， (2) 极值点，即导函数的值为 0 的点。 即 此时方程的两个根为： （ⅰ）当 4 )3)(31(3)13 1 aaax −−−+= （ =2x 4 )3)(31(3)13 aaa −−++（ 0,3 10 12 >><< xxa 时 ),4 )3)(31(3)13()4 )3)(31(3)13,0( ,(),0( 21 +∞−−++∪−−−+= +∞∪= ∩= aaaaaa xx BAD （（ ） =<< D,3 10 时a ),4 )3)(31(3)13()4 )3)(31(3)13,0( +∞−−++∪−−−+ aaaaaa （（ 3 1=a ),1()1,0( +∞∪=∩= BAD 时13 1 << a )0|{ >∈= xRxD 0)( =′ xf 06)1(66)( 2 =++−=′ axaxxf 0)1(2 =++− axax 0)1)(( =−− xax 12 1 = = x ax =<< D,3 10 时a ),(),0( 21 +∞∪ xx ),4 )3)(31(3)13(4 )3)(31(3)130 +∞−−++∪−−−+= aaaaaaD （）（，（即： 故当 分子做差比较： 所以 又 分子做差比较法： ， 故 ,故此时 时的根取不到， （ⅱ） 当 时， ，此时，极值点取不到 x=1 极值点为( , （ⅲ） 当 ， ,极值点为： 和 总上所述： 当 有 1 个 当 ， 有 2 个极值点分别为 和 （2013 年高考广东卷）12.曲线 在点 处的切线平行于 x 轴，则 0.5 7.三角函数与解三角形 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 ax aa a aa aaa aaa ax >∴ >−∴ << −= −−−− −−−−= − 1 2 1 0)3(8 3 10 )3(8 )3)(31(3)3 4 )3)(31(33  （ 将分子做差比较： ，是一个极值点ax = =−11x 4 )3)(31(3)1(314 )3)(31(3)13 aaaaaa −−−−=−−−−+（ 11 −=−−−− aaaa 12 >x 1=x 3 1=a ),1()1,0( +∞∪=∩= BAD 3 1 )27 16− 时13 1 << a )0|{ >∈= xRxD 1 a ,3 10 时≤< a )(xf ,a极值点 时13 1 << a )(xf 1 a 2 lny ax x= − ( )1,a a = 0)13(8)3)(31(3)13( 2 <−=−−−− aaaa 17 分 17 分 22 分 19 分 12 分 17 分 17 分 (2007 年高考广东卷第 9 小题)已知简谐运动 的图象经过点 ，则该简谐运 动的最小正周期 和初相 分别为（　A　） Ａ． ， Ｂ． ， Ｃ． ， Ｄ． ， (2007 年高考广东卷第 16 小题)已知 三个顶点的直角坐标分别为 ， ， ． （1） 若 ，求 的值；（2）若 ，求 的值． 16.解: (1) ， 得 (2) (2008 年高考广东卷第 5 小题)已知函数 ， ，则 是（ D ） A. 最小正周期为 π 的奇函数 B. 最小正周期为 π/2 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的偶函数 D. 最小正周期为 π/2 的偶函数 (2008 年高考广东卷第 16 小题)已知函数 ， 的最大值是 1，其图像 经 过 点 M （ π/3 ， 1/2 ）。（ 1 ） 求 的 解 析 式 ； （ 2 ） 已 知 、 ， 且 ， ，求 的值。 16.（本小题满分 13 分） 已知函数 的最大值是 1，其图像经过点 。 （1）求 的解析式；（2）已知 ，且 求 的值。 【解析】（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得 ，而 ， ， ，故 ； （2）依题意有 ，而 ， ， 。 π π( ) 2sin 3 2f x x ϕ ϕ  = + <     (01)， T ϕ 6T = π 6 ϕ = 6T = π 3 ϕ = 6πT = π 6 ϕ = 6πT = π 3 ϕ = ABC△ (3 4)A ， (0 0)B ， ( 0)C c， 0AB AC• =  c 5c = sin A∠  ( 3, 4)AB = − − ( 3, 4)AC c= − − ∴ 3( 3) 16 25 3 0AB AC c c• = − − + = − =  25 3c =  ( 3, 4)AB = − − (2, 4)AC = − ∴ 6 16 1cos 5 20 5 AB ACA AB AC • • − +∠ = = =     ∴ 2 2 5sin 1 cos 5A A∠ = − ∠ = 2( ) (1 cos2 )sinf x x x= + x R∈ ( )f x ( ) sin( )( 0,0 )f x A x Aϕ ϕ π= + > < < x R∈ ( )f x α (0, / 2)β π∈ ( ) 3/5f α = ( ) 12/13f β = ( )f α β− ( ) sin( )( 0,0 ),f x A x a x Rϕ ϕ π= + > < < ∈ 1( , )3 2M π ( )f x , (0, )2 πα β ∈ 3 12( ) , ( ) ,5 13f fα β= = ( )f α β− 1A = ( ) sin( )f x x ϕ= + 1( , )3 2M π 1sin( )3 2 π ϕ+ = 0 ϕ π< < 5 3 6 π ϕ π∴ + = 2 πϕ∴ = ( ) sin( ) cos2f x x x π= + = 3 12cos ,cos5 13 α β= = , (0, )2 πα β ∈ 2 23 4 12 5sin 1 ( ) ,sin 1 ( )5 5 13 13 α β∴ = − = = − = 3 12 4 5 56( ) cos( ) cos cos sin sin 5 13 5 13 65f α β α β α β α β− = − = + = × + × = (2009 年高考广东卷第 7 小题)已知 中， 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 且 ， 则 b= A.2 B．4＋ C．4— D． 【答案】A 【解析】 由 a=c= 可知, ,所以 , 由正弦定理得 ,故选 A (2009 年高考广东卷第 8 小题)函数 是 A．最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 【答案】A 【解析】因为 为奇函数, ,所以选 A. (2009 年高考广东卷第 16 小题) 已知向量 与 互相垂直，其中 （1）求 和 的值 （2）若 ， ,求 的值 【解析】（１） , ,即 又∵ , ∴ ,即 ,∴ 又　 , (2) ∵ , ,即 又 , ∴ w (2010 年高考广东卷第 13 小题) .已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a=1，b= ，A+C=2B，则 sinA= . (2010 年高考广东卷第 16 小题) ABC∆ CBA ∠∠∠ ,, 26 + 75A∠ =  2 3 2 3 6 2− 0 0 0 0 0 0 0 2 6sin sin 75 sin(30 45 ) sin30 cos45 sin 45 cos30 4A += = + = + = 26 + 075C∠ = 030B∠ = 1sin 2B = 2 6 1sin 2sin 22 6 4 ab BA += ⋅ = × = + 1)4(cos2 2 −−= π xy π π 2 π 2 π 22cos ( ) 1 cos 2 sin 24 2y x x x π π = − − = − =   2 2T π π= = )2,(sin −= θa )cos,1( θ=b )2,0( πθ ∈ θsin θcos ϕϕθ cos53)cos(5 =− << ϕ0 2 π ϕcos a b⊥  sin 2cos 0a b θ θ∴ = − = sin 2cosθ θ= 2sin cos 1θ θ+ = 2 24cos cos 1θ θ+ = 2 1cos 5 = 2 4sin 5 θ = 2 5(0, ) sin2 5 πθ θ∈ ∴ = 5cos 5 θ = 5cos( ) 5(cos cos sin sin )θ ϕ θ ϕ θ ϕ− = + 5 cos 2 5 sinϕ ϕ= + 3 5 cosθ= cos sinϕ ϕ∴ = 2 2 2cos sin 1 cosϕ ϕ ϕ∴ = = − 2 1cos 2 ϕ = << ϕ0 2 π 2cos 2 ϕ = 3 2 1 设函数 ， ， ，且以 为最小正周期． （1） 求 ；（2）求 的解析式；（3）已知 ，求 的值． 16.解：（1）由已知可得： （2）∵ 的周期为 ，即 ∴ 故 （3）∵ ∴由已知得： 即 ∴ 故 的值为 或 (2011 年高考广东卷第 16 小题) 已知函数 （1） 求 的值； （2） 设 16．（本小题满分 12 分） 解：（1） ； （2） 故 (2012 年高考广东卷第 6 小题) 在 中，若 ， ， ，则 =(B) A． B． C． D． (2012 年高考广东卷第 6 小题)（本小题满分 12 分） ( ) 3sin 6f x x πω = +   0ω＞ ( ),x∈ −∞ +∞ 2 π ( )0f ( )f x 9 4 12 5f α π + =   sinα 2 3 6sin3)0( == π f )(xf 2 π 2 2 π ω π = 4=ω )64sin(3)( π+= xxf ]6)124(4sin[3)124( πππ ++×=+ aaf )2sin(3 π+= a acos3= 5 9cos3 =a 5 3cos =a 5 4)5 3(1cos1sin 22 ±=−±=−±= aa asin 5 4 5 4− 1( ) 2sin( ),3 6f x x x R π= − ∈ (0)f 10 6, [0, ], (3 ) , (3 2 ) , sin( )2 2 13 5f f π πα β α β π α β∈ + = + = +求 的值. (0) 2sin 6f π = −   2sin 16 π= − = − 10 13 2sin 3 2sin ,13 2 3 2 6f π π πα α α    = + = × + − =         6 1(3 2 ) 2sin (3 2 ) 2sin 2cos ,5 3 6 2f π πβ π β π β β   = + = × + − = + =       5 3sin ,cos ,13 5 α β∴ = = 2 2 5 12cos 1 sin 1 ,13 13 α α  ∴ = − = − =   2 2 3 4sin 1 cos 1 ,5 5 β β  = − = − =   5 3 12 4 63sin( ) sin cos cos sin .13 5 13 5 65 α β α β α β+ = + = × + × = ABC∆ °60A∠ = °45B∠ = 3 2BC = AC 4 3 2 3 3 3 2 已知函数 ,且 ． （1） 求 的值； （2） 设 ， ，求 的值． word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站：析 解： （2）： （2013 年广东高考卷）4.已知 ，那么 （ C ） ),64cos()( π+= xAxf Rx ∈ 2)3( =π f A ],2,0[, πβα ∈ 17 30)3 44( −=+ παf 5 8)3 24( =− πβf )cos( βα + 分 分 分 42 322 2 4cos 1)634 1cos()3(    =⇒ =•== +×= A AA Af π πππ 分 分 分 分 ，由于 分 分 分 分 1285 13 5 3 17 15 5 4 17 8 11sinsincoscos)cos( 105 3)5 4(1cos1sin 917 8)17 15(1sin1cos ],2,0[ 85 4cos 5 8cos2 ]6)3 24(4 1cos[2 )3 24( 717 15sin 617 30sin2 5)2cos(2 ]6)3 44(4 1cos[2 )3 44( 22 22         −= ×−×= −=+ =−=−= =−=−= ∈ =⇒ == +−= − =⇒ −=−= += ++= + βαβαβα ββ αα πβα β β ππβ πβ α α πα ππα πα f f 5 1sin 2 5 π α + =   cosα = A. B. C. D. （2013 年广东高考卷）16．(本题满分 12 分) 已知函数 ， . （1）求 的值； （2）若 ，求 的值. 16. 解：（1）f（ ）= cos（ ）= ·cos = 1 （2）∵cos = ， ∈（ ，2π） ∴sin =－ =－ ∴f（ － ）= cos[( － ) － ] = cos ( － )=cos + sin =－ 8.不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 22 分 12 分 10 分 5 分 5 分 (2008 年高考广东卷第 10 小题) 设 a、b∈R，若 a － |b| > 0，则下列不等式中正确的是（D ） A. b － a > 0 B. a3 + b3 < 0 C. a2 － b2 < 0 D. b + a > 0 (2008 年高考广东卷第 12 小题) 若变量 x、y 满足 ，则 的最大值是__70_____。 (2008 年高考广东卷第 17 小题)某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为 x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x（单 位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均 2 5 − 1 5 − 1 5 2 5 ( ) 2 cos 12f x x π = −   x R∈ 3f π     3 3cos , ,25 2 πθ θ π = ∈   6f πθ −   2 40 2 50 0 0 x y x y x y + ≤  + ≤ ≥  ≥ 3 2z x y= + 建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f（x）元，则 , 令 得 当 时， ；当 时， 因此 当 时，f（x）取最小值 ； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为 15 层。 (2010 年高考广东卷第 19 小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质 和 6 个单位的维生素 ；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物，6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物，42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生 素 .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应 当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19．解：设应当为该儿童分别预订 个单位的午餐， 个单位的晚餐，所花的费用为 ，则依题意得： 满足条件 即 ， 目标函数为 ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把 变形为 ，得到斜率 为 ，在 轴上的截距为 ，随 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线 经过可行域上的点 M 时截距最小， 即 最小. 解方程组： , 得点 M 的坐标为 所以， 22 答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐，3 个单位的晚餐，此花的费用最 少为 22 元. w(2011 年高考广东卷第 5 小题)不等式 的解积是 D A． B. C. D. ( ) ( ) 2160 10000 10800560 48 560 482000f x x xx x ×= + + = + + ( )10,x x Z +≥ ∈ ( ) 2 1080048f x x ′ = − ( ) 0f x′ = 15x = 15x > ( ) 0f x′ > 0 15x< < ( ) 0f x′ < 15x = ( )15 2000f = C C C x y z yx, 12 8 64 6 6 42 6 10 54 x y x y x y x N y N + ≥  + ≥ + ≥  ∈ ∈ 3 2 16 0 7 0 3 5 27 0 x y x y x y x N y N + − ≥  + − ≥ + − ≥  ∈ ∈ yxz 45.2 += yxz 45.2 += 48 5 zxy +−= 8 5− y 4 z z 48 5 zxy +−= ( 7 0x y x y+ − =即直线 与直线3 +5 -27=0的交点) z 7 0 3 5 27 0 x y x y + − =  + − = 3,4 == yx =minz 22 1 0x x− − > 1( ,1)2 − (1, )+∞ ( ,1) (2, )−∞ +∞ 1( , ) (1, )2 −∞ − +∞ (2011 年高考广东卷第 6 小题)已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定,若 为 上的动点,点 的坐标为 的最大值为 B A．3 B.4 C. D. (2012 年高考广东卷第 5 小题)已知变量 满足约束条件 则 的最小值为(C) A． B． C． D （2013 年高考广东卷）13.已知变量 x,y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值是 5 9.概率统计 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 17 分 18 分 18 分 22 分 18 分 18 分 13 分 (2007 年高考广东卷第 9 小题)在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的 数字外完全相同．现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是（ A ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． (2007 年高考广东卷第 18 小题) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤） 的几组对照数据． （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ； （3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值： ） 18 解: (1) 散点图略 (2) xOy D 0 2 2 2 x y x y  ≤ ≤  ≤  ≤ ( , )M x y D A ( 2,1), z OM OA=   则 3 2 4 2 ,x y 1 1, 1 0 x y x y x + ≤  − ≤  + ≥ 2z x y= + 3 1 5− 6− 3 0 1 1 1 x y x y − + ≥ − ≤ ≤  ≥ 3 10 1 5 1 10 1 12 x y x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 y x ˆ ˆy bx a= + 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5× + × + × + × =  4 1 66.5i i i X Y = =∑ 4 2 2 2 2 2 1 3 4 5 6 86i i X = = + + + =∑ 4.5X = 3.5Y = ； 所求的回归方程为 (3) 当 时 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 (吨) (2008 年高考广东卷第 11 小题) 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位 工人某天生产该产品的数量。产品数量的分组区间为 [45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）， 由此得到频率分布直方图如图 3，则这 20 名工人中一 天生产该产品数量在[55，75）的人数是__13_____。 (2008 年高考广东卷第 19 小题) 某初级中学共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如下表： 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到初二年级女生的概率是 0.19。 （1）求 x 的值； （2）现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3）已知 y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率。 19.解：（1）因为 ，所以 （2）初三年级人数为 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在初三年级抽取的人数为 名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为 ,初三年级女生男生数记为 ，由（2）知 ，且 基本事件共有 共 11 个， 事件 包含的基本事件 有 共 5 个， 所以 (2009 年高考广东卷第 12 小题) 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1－200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（1－5 号，6－10 号…，196－200 号）.若第 5 组抽出的号码为 22， 则第 8 组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 【答案】37, 20 【解析】由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号 码为 22，所以第 6 组抽出的号码为 27，第 7 组抽出的号码为 32， 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z ∴ 2 66.5 4 4.5 3.5 66.5 63ˆ 0.786 4 4.5 86 81b − × × −= = =− × − ˆˆ 3.5 0.7 4.5 0.35a Y bX= − = − × = 0.7 0.35y x= + 100x = 0.7 100 0.35 70.35y = × + = 90 70.35 19.65− = 0.192000 x = 380x = 2000 (373 377 380 370) 500y z+ = − + + + = 48 500 122000 × = A ( ),y z 500y z+ = ,y z Z +∈ ( ) ( ) ( ) ( )245,255 , 246,254 , 247,253 , 255,245 A ( ) ( ) ( ) ( )251,249 , 252,248 , 253,247 , 254,246 , ( )255,245 5( ) 11P A = 第 8 组抽出的号码为 37. 40 岁以下年龄段的职工数为 ,则应抽取的人数为 人. (2009 年高考广东卷第 18 小题) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得 身高数据的茎叶图如图 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身 高为 176cm 的同学被抽中的概率. 【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于 之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班 平均身高高于甲班; (2) 甲班的样本方差为 ＝57 （3）设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A； 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有：（181，173）（181，176）（181，178） （181， 179） （179，173） （179，176）（179，178）（178，173）(178, 176)（176，173）共 10 个基本事件， 而事件 A 含有 4 个基本事件； ； (2010 年高考广东卷第 12 小题)某市居民 2005～2009 年家庭年平均收入 x（单位：万元）与年平均支出 Y（单 位：万元）的统计资料如下表所示： 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入 x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有 Y=X-3 线性相关关系. (2010 年高考广东卷第 17 小题) 某电视台在一 次对收看文艺节目 和新闻节目观众的 抽样调查中，随机 200 0.5 100× = 40 100 20200 × = 160 179 170 180 158 162 163 168 168 170 171 179 179 182 17010x + + + + + + + + += = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 221[(158 170) 162 170 163 170 168 170 168 17010 − + − + − + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2170 170 171 170 179 170 179 170 182 170 ]+ − + − + − + − + − ( ) 4 2 10 5P A∴ = = 抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m （1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？w. k#s5_u.c o*m （2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应该抽取几名？ （3）在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.w_w*w 17．解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析，得到 的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关； （2）在 100 名电视观众中，收看新闻的观众共有 45 人，其中 20 至 40 岁的观众有 18 人，大于 40 岁的观众 共有 27 人。故按分层抽样方法，在应在大于 40 岁的观众中中抽取 人. （3）法一：由（2）可知，抽取的 5 人中，年龄大于 40 岁的有 3 人，分别记作 1，2，3；20 岁至 40 岁的观 众 有 2 人 ， 分 别 高 为 ， 若 从 5 人 中 任 取 2 名 观 众 记 作 ， 则 包 含 的 总 的 基 本 事 件 有 ： 共 10 个。其中恰有 1 名观众的年龄为 20 岁至 40 岁 包含的基本事件有： 共 6 个. 故 (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)= ； (2011 年高考广东卷第 13 小题) 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时 间 （单位：小时）与当天投篮命中率 之间的关系： 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这 5 天的平均投篮命中率为 0.5 ；用线形回归分析的方法，预测小李该月 6 号打 6 小时篮球 的投篮命中率为 0.53 ． (2011 年高考广东卷第 17 小题) 在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分，用 表示编号为 的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下： 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 70 76 72 70 72 （1） 求第 6 位同学的成绩 ，及这 6 位同学成绩的标准差 ； （2） 从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间（68，75）中的概率. 17. 解：（1） 32745 5 =× ba, ),( yx ),(),,3(),,3(),,2(),,2(),3,2(),,1(),,1(),3,1(),2,1( babababa ),3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1( bababa P 5 3 10 6 = x y nx ( 1,2,...,6)n n = nx 6x s 6 1 1 756 n n x x = = =∑ 5 6 1 6 6 75 70 76 72 70 72 90,n n x x x = ∴ = − = × − − − − − =∑ ， （2）从 5 位同学中随机选取 2 位同学，共有如下 10 种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的 2 位同学中，恰有 1 位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下 4 种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，故所求概率为 (2012 年高考广东卷第 13 小题)由整数组成的一组数据 其平均数和中位数都是 2，且标准差等于 1， 则这组数据位_______________________．(从小到大排列) 1 1 3 3 (2012 年高考广东卷第 17 小题)（本小题满分 13 分） 某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是： ， ， ， ， ． (1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示，求数学成绩在 之外的人数． 分数段 x ：y 1：1 2：1 3：4 4：5 解 (1): (2):50-60 段语文成绩的人数为： 3.5 分 60-70 段语文成绩的人数为： 4 分 70-80 段语文成绩的人数为： 80-90 段语文成绩的人数为： 90-100 段语文成绩的人数为： 6 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1( ) (5 1 3 5 3 15 ) 496 6n n s x x = = − = + + + + + =∑ 7.s∴ = 2.5 ,,,, 4321 xxxx [ )60,50 [ )70,60 [ )80,70 [ )90,80 [ ]100,90 ( )x ( )y [ )90,50 [ )60,50 [ )70,60 [ )80,70 [ )90,80 分 分 3005.0 21)02.003.004.0(10   = =++++× a aa 人5100%100005.010 =××× 人40100%10004.010 =××× 人30100%10003.010 =××× 分人 520100%10002.010 =××× 5.55100%100005.010 人=××× (3):依题意： 50-60 段数学成绩的人数=50-60 段语文成绩的人数为=5 人………………………………9 分 60-70 段数学成绩的的人数为= 50-60 段语文成绩的人数的一半= ……10 分 70-80 段数学成绩的的人数为= ………………………………………11 分 80-90 段数学成绩的的人数为= ………………………………………12 分 90-100 段数学成绩的的人数为= ……………………13 分 （2013 年高考广东卷）17．(本题满分 13 分) 从一批苹果中，随机抽取 50 只，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 5 10 20 15 （1）根据频数分布表计算苹果的重量在 的频率； （2）用分层抽样的方法从重量在 和 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在 的有几个？ （3）在（2）中抽出的 4 苹果中，任取 2 个，求重量在 和 中各有一个的概率. 17．解：（1）抽取的苹果总数为 50 个，重量在[ 90,95）的苹果有 20 个，所以苹果重量在[ 90,95）的频率= = =0.4 （2）重量在[ 80,85）的苹果数= ×4=1（个） （3）重量在[ 95,100）的苹果数= ×4=3（个） 记重量在[ 80,85）的 1 个苹果为 A，重量在[ 95,100）的三个苹果分别是 B1，B2，B3。 在这四个苹果中任取两个，包括 6 个基本事件，分别是： A 和 B1、 A 和 B2、 A 和 B3、 B1 和 B2、 B1 和 B3、 B2 和 B3 符合要求的基本事件有：A 和 B1、 A 和 B2、 A 和 B3 ，共 3 个， 所以重量在[ 80,85）和[ 95，100）中各有一个的概率 P= = 分873 5.7100 595208530754065555   = ×+×+×+×+×=x 人20402 1 =× 人40303 4 =× 人25204 5 =× 人102540205100 =−−−− [ )80,85 [ )85,90 [ )90,95 [ )95,100 [ )90,95 [ )80,85 [ )95,100 [ )80,85 [ )80,85 [ )95,100 10.立体几何 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 17 分 17 分 18 分 19 分 24 分 19 分 24 分 (2007 年高考广东卷第 6 小题) 若 是互不相同的空间直线， 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　D　） Ａ．若 ，则 Ｂ．若 ，则 Ｃ．若 ，则 Ｄ．若 ，则 (2007 年高考广东卷第 17 小题) 已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个 底边长为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形． （1）求该几何体的体积 ； （2）求该几何体的侧面积 ． 17 解: 由已知可得该几何体是一个底面边长为 8 和 6 的矩形，高为 4，顶点 在底面的射影是矩形中心的四棱锥 V-ABCD ； (1) (2) 该四棱锥有两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为 , 另两个侧面 VAB、VCD 也是全等的等腰三角形, AB 边上的高为 因此 (2008 年高考广东卷第 7 小题) 将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A、B、 C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如 图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 （或称左视图）为（A. ） (2008 年高考广东卷第 18 小题) 如图所示，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径，∠ABD=60°， , ,l m n α β, l nα β α β⊂ ⊂， ，∥ l n∥ lα β α⊥ ⊂， l β⊥ l n m n⊥ ⊥， l m∥ l lα β⊥ ， ∥ α β⊥ V S ( )1 8 6 4 643V = × × × = 2 2 1 84 4 22h  = + =   2 2 2 64 52h  = + =   1 12( 6 4 2 8 5) 40 24 22 2S = × × + × × = + 8 图 5 6 ∠BDC=45°，△ADP∽△BAD。 （1）求线段 PD 的长； （2）若 PC = R，求三棱锥 P-ABC 的体积。 【解析】（1） BD 是圆的直径 又 , , ; (2 ) 在 中， 又 底面 ABCD 三棱锥 的体积为 . (2009 年高考广东卷第 6 小题)给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( ) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【答案】D 【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D (2009 年高考广东卷第 17 小题) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P－EFGH,下半部分是长方体 ABCD－EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线 BD 平面 PEG 11  ∴ 90BAD∠ =  ~ADP BAD  ∴ AD DP BA AD = ( ) ( ) 22 2 34sin 60 4 31sin30 2 2 RBDADDP RBA BD R × = = = = ×   Rt BCD cos45 2CD BD R= =  2 2 2 2 2 29 2 11PD CD R R R PC+ = + = = ∴ PD CD⊥ 90PDA∠ =  ∴ PD ⊥ ( ) 21 1 3 2 1 2 3 1sin 60 45 22 2 2 2 2 2 4ABCS AB BC R R R   += + = + =         P ABC− 2 31 1 3 1 3 133 3 4 4P ABC ABCV S PD R R R− + += = =     ⊥ 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示. 　　　（２）该安全标识墩的体积为： 　　　　　　 　　 　　　（３）如图,连结 EG,HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, 平面 EFGH , 又 平面 PEG 又 平面 PEG； (2010 年高考广东卷第 9 小题) 如 图 1 ， 为 正 三 角 形 ， ， ， 则 多 面 体 的正视图(也称主视图)是 wDDddD (2010 年高考广东卷第 18 小题) 如图 4，弧 是半径为 的半圆， 为直径，点 为弧 AC 的中 点，点 和点 为线段 的三等分点，平面 外一点 满足 P EFGH ABCD EFGHV V V− −= = 2 21 40 60 40 20 32000 32000 640003 = × × + × = + = ( )2cm PO ⊥ PO HF∴ ⊥ EG HF⊥ HF∴ ⊥ BD HF BD∴ ⊥ ABC∆ ' ' '/ / / /AA BB CC ' ' ' '3 2CC BB CC AB⊥ = = =平面ABC且3AA ' ' 'ABC A B C− AEC a AC E B C AD AEC F FC ⊥ 平面 ， = . （1）证明： ； （2）求点 到平面 的距离. 18．法一：（1）证明：∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点， ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点，AC 为直径， ∴ 即 ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 又 平面 ， 平面 且 ∴ 平面 又∵ 平面 ， ∴ （2）解：设点 B 到平面 的距离（即三棱锥 的高）为 . ∵ 平面 , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高，且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 ，又 ∴ 在 中， ，故 , ∴ , 又∵ 平面 ，故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形, ∴ ，在 中， , ∴ , ∵ 即 ， 故 , 即点 B 到平面 的距离为 . (2011 年高考广东卷第 7 小题)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个正五棱柱的对角线条数共有 D A．20 B.15 C.12 D. 10 (2011 年高考广东卷第 9 小题) 如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形，则该几何体体 积为 C A． B.4 C. D. 2 (2011 年高考广东卷第 18 小题) 下图所示的几何体是将高为 2，底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一般沿切面向右水平 aFB 5= BED FB 5a EB FD⊥ B FED EBBC ⊥ EBBD ⊥ ⊥FC BDE ⊂EB BDE EBFC ⊥ ⊂BD FBD ⊂FC FBD CFCBD = ⊥EB FBD ⊂FD FBD FDEB ⊥ FED B FED− h ⊥FC BDE aBC = aaaFC 2)5( 22 =−= BDERt∆ aBEaBD == ,2 222 1 aaaS BDE =××=∆ 32 3 223 1 3 1 aaaFCSV BDEBDEF =××=⋅= ∆− ⊥EB FBD aDEaEF 5,6 == FCDRt∆ aFD 5= =∆FEDS 2 2 21 a FEDBBDEF VV −− = 32 3 2 2 21 3 1 aha =⋅⋅ ah 21 214= FED ah 21 214= 4 3 2 3 俯视图侧视图正视图 2 3 2 2 // 平移得到的。 分别为 的中点。 (1)证明： 四点共面； (2)设 为 的中点，延长 证明：（1） 中点， 连接 BO2 直线 BO2 是由直线 AO1 平移得到 共面。 （2）将 AO1 延长至 H 使得 O1H=O1A，连接 由平移性质得 =HB (2012 年高考广东卷第 7 小题)某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为(C) A． B． C． D． (2012 年高考广东卷第 7 小题)（本小题满分 13 分）如图 5 所示，在四棱锥 P-ABCD 中,AB 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点，F 是 DC 上的点且 DF= AB,PH 为 PAD 中 AD 边上的高．    , , , , , ,A A B B CD C D DE D E′ ′ ′ ′ ′ ′分别为 的中点， 1 1 2 2, , ,O O O O′ ′ , ,CD C D′ ′ ,DE D E′ ′ 1 2, , ,O A O B′ ′ G AA′ 1 1 1 2A O H O H A O BO H B G′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= ⊥到 ，使得 ，证明： 平面 。  , ,A A CD C D′ ′ ′ 分别为 1 1/ /O A O A′ ′∴  1 2/ /AO BO∴ 1 2/ /O A BO′ ′∴ 1 2, , ,O A O B′ ′∴ 1 , ,HO HB H H′ ′ ∴ 1 2O O′ ′ 2 1/ /BO HO′ ′∴ 1 1, , 2A G H O H H A H O H H GA H π′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = ∠ = ∠ = 1GA H O H H′′ ′ ′∴∆ ≅ ∆ 1 2H O H GH A π′′ ′∴∠ + = 1O H H G′ ′∴ ⊥ 2BO H G′ ′∴ ⊥ 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2, ,O O B O O O O O B O O O O′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′⊥ ⊥ ∩ = 1 2 2 2O O B BO O′ ′ ′′∴ ⊥ 平面 1 2 2O O BO′ ′ ′∴ ⊥ 2BO H B′ ′ ′∴ ⊥ H B H G H′ ′ ′ ′∩ = 2 .BO H B G′ ′ ′∴ ⊥ 平面 72π 48π 30π 24π ⊥ 2 1 ∆ C′ 1O′ A′ D′ 2O′ E′ H′ B′ G C 1O D 2O E A B （1） 证明：PH 平面 ABCD； （2） 若 PH=1，AD= ,FC=1，求三棱锥 E-BCF 的体积； （3） 证明：EF 平面 PAB． 解： （1）： …………………………………………………………………………4 分 (2):过 B 点做 BG ； 连接 HB,取 HB 中点 M，连接 EM，则 EM 是 的中位线 即 EM 为三棱锥 底面上的高 = ………………………………………………………………………6 分 ………………………………………………………………………………………………………………………8 分 （3）：取 AB 中点 N，PA 中点 Q，连接 EN，FN，EQ，DQ …………………………………………………………………………………………………………………13 分 （2013 高考广东卷）6.某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三棱锥的体积是（ B ） A. B. C. D. 1 1 6 1 3 2 3 ⊥ 2 ⊥ ABCDPH PAD PADAB PAD 平面所以 平面 ，面又 中的高为 ⊥ =∩ ⊥∴ ⊂ ⊥ ⊥∴ ∆ AADAB ABPH PH ADPH PH GCDBG ，垂足为⊥ BPH∆ ABCD)1( 平面知：由 ⊥PH ABCD平面⊥∴EM BCF平面ＥＭ ⊥∴ BCF-E BGFC •=∆ 2 1S BCF 2 2212 1 =×× NFNEN FNAB NADF AB2 1DF //EN PABEN PAD PADAB PAD,// =∩ ⊥∴ ∴ = ⊥∴ ∴ ∆ ⊥∴ ⊂ ⊥∴ ⊥ 是距形四边形 又 的中位线是又 平面 ，平面 平面    ENAB PA PAAB PA CDCDAB 2 1 2 1 =PHＥＭ＝ 12 2 2 1 2 2 3 1 3 1 = ××= ••=− EMSV BCFBCFE NEFAB NNENF NFAB NADF ABEF NEFEF NEFAB 平面 是距形四边形 平面又 平面 ⊥∴ =∩ ⊥∴ ∴ ⊥∴ ⊂ ⊥∴ （2013 高考广东卷）8.设 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ B ） A. 若 ，则 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 （2013 高考广东卷）18．(本题满分 14 分) 如图 4，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D,E,分别为 AB,AC 上的点，AD=AE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G，将△ABF 沿 AF 折起，得到如图 5 所示的三棱锥 A-BCF，其中 。 （1）证明：DE//平面 BCF； （2）证明：CF⊥平面 ABF； （3）当 AD= 时，求三棱锥 F-DEG 的体积 V. 18（1）证明：在等边三角形 ABC 中，∵AD=AE， ∴ △ADE 为等边三角形，∠ADE=∠ABC=60° ∴ DE∥BC， 在三棱锥 A-BCF 中， ∵ DE∥BC，BC 平面 BCF，DE 不 平面 BCF ∴DE∥平面 BCF （2）证明：由题意可知，AF⊥BF，AF⊥CF，∴AF⊥平面 BCF ∵CF 平面 BCF，∴AF⊥CF 在△BCF 中，可求得 BF=CF= ， BC= ∴BF²+CF²=BC² ∴BF⊥CF ∵AF BF=F ∴CF⊥平面 ABF （3）解：（粗略写）平面 DEG∥平面 BCF，三棱锥 F-DEG 的高为 FG, FG= AF= DG=EG= S△DGE= × × = V= FG = l ,α β // , //l lα β //α β //α β ,l lα β⊥ ⊥ //α β , //l lα β⊥ //α β , //lα β α⊥ l β⊥ 2 2BC = 2 3 图5图4 F E D G C B AA B C GD E F 11.平面几何与圆锥曲线 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 19 分 19 分 19 分 19 分 19 分 19 分 24 分 (2007 年高考广东卷第 11 小题)在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于 轴对称，顶点在原点 ，且过点 ，则该抛物线的方程是 ． (2007 年高考广东卷第 19 小题)在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限，半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 ，椭圆 与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ． （1）求圆 的方程； （2）试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的长．若存在，请求 出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 19 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)（m<0,n>0） 依题意可得 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0)； 设 ，依题意 解得 或 （舍去） 存在点 (2008 年高考广东卷第 6 小题)经过圆 的圆心 C，且与直线 垂直的直线方程是（ C ） A. x + y + 1 = 0 B. x + y － 1 = 0 C. x － y + 1 = 0 D. x － y － 1 = 0 (2008 年高考广东卷第 20 小题)设 b>0，椭圆方程为 ，抛物线方程为 。如图所示，过 点 F（0，b + 2）作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点 为 G。已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1。 （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； xOy x O (2 4)P ， 2 8y x= xOy 2 2 C y x= O 2 2 2 19 x y a + = C 10 C C Q Q F OF Q 2 2 1 2 2 n m m n  = −  + = 2 2 m n = −  = ∴ 2 2( 2) ( 2) 8x y+ + − = 2 10a = ∴ 5a = ∴ 2 2 125 9 x y+ = 0 0( , )Q x y 2 2 0 0 2 2 0 0 ( 2 ) ( 2 ) 8 ( 4 ) 1 6 x y x y  + + − = − + = 0 0 4 12,5 5x y= = 0 00, 0x y= = ∴ 4 12( , )5 5Q 2 22 0x x y+ + = 0x y+ = 2 2 2 2 12 x y b b + = 2 8( )x y b= − （2）设 A、B 分别是椭圆长轴的左、右端点， 试探究在抛物线上是否存在点 P，使得△ABP 为直角三角形？ 若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。 【解析】（1）由 得 ， 当 得 ， G 点的坐标为 ， ， ， 过点 G 的切线方程为 即 ， 令 得 ， 点的坐标为 ，由椭圆方程得 点的坐标为 ， 即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ； （2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只有一个， 同理 以 为直角的 只有一个。 若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ， 。 关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个， 因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。 (2009 年高考广东卷第 13 小题)以点（2， ）为圆心且与直线 相切的圆的方程是 . 【答案】 【 解 析 】 将 直 线 化 为 , 圆 的 半 径 , 所 以 圆 的 方 程 为 (2009 年高考广东卷第 19 小题)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆 G 上一点到 和 的距离之和为 12.圆 : 的圆心为点 . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 的面积 (3)问是否存在圆 包围椭圆 G?请说明理由. 【解析】（1）设椭圆 G 的方程为： （ ）半焦距为 c; 则 , 解得 , 所求椭圆 G 的方程为： . (2 )点 的坐标为 2 8( )x y b= − 21 8y x b= + 2y b= + 4x = ± ∴ (4, 2)b + 1' 4y x= 4'| 1xy = = ( 2) 4y b x− + = − 2y x b= + − 0y = 2x b= − 1F∴ (2 ,0)b− 1F ( ,0)b 2 b b∴ − = 1b = 2 2 12 x y+ = 2 8( 1)x y= −  A x P ∴ PAB∠ Rt ABP∆ ∴ PBA∠ Rt ABP∆ APB∠ P 21( , 1)8x x + A B ( 2,0)− ( 2,0) 2 2 2 4 21 1 52 ( 1) 1 08 64 4PA PB x x x x= − + + = + − =   2x x∴ APB∠ Rt ABP∆ ABP∆ 1− 6x y+ = 2 2 25( 2) ( 1) 2x y− + + = 6x y+ = 6 0x y+ − = | 2 1 6 | 5 1 1 2 r − −= = + 2 2 25( 2) ( 1) 2x y− + + = x 2 3 1F 2F 1F 2F kC 0214222 =−−++ ykxyx )( Rk ∈ kA 21FFAk∆ kC 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 12 3 2 a c a = = 6 3 3 a c = = 2 2 2 36 27 9b a c∴ = − = − = 2 2 136 9 x y+ = KA ( ),2K− 1 2 1 2 1 12 6 3 2 6 32 2KA F FS F F= × × = × × =  （3）若 ，由 可知点（6，0）在圆 外， 若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外； 不论 K 为何值圆 都不能包围椭圆 G. (2010 年高考广东卷第 6 小题)若圆心在 轴上、半径为 的圆 位于 轴左侧，且与直线 相切， 则圆 的方程是 D A． B． C． D． (2010 年高考广东卷第 7 小题)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 B A． B． C． D． (2011 年高考广东卷第 8 小题)设圆 A A．抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆 (2011 年高考广东卷第 21 小题) 在平面直角坐标系 中，直线 轴于点 ，设 是 上一点， 是线段 的垂直平分线上的一点，且满足 （1） 当点 在 上与动时，求点 的轨迹 的方程； （2） 已知 设 是 上动点，求 的最小值，并给出此时点 的坐标； （3） 过点 且不平行于 轴的直线 与轨迹 有且只有两个不同的交点，求直线 的斜率 的取 值范围。 21．（本小题满分 14 分） 解：（1）如图 1，设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 Q， 因此 即 ① 另一种情况，见图 2（即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧）。 MQ 为线段 OP 的垂直平分线， 0k ≥ 2 26 0 12 0 21 5 12 0k k+ + − − = +  kC 0k < 2 2( 6) 0 12 0 21 5 12 0k k− + − − − = −  kC ∴ kC x 5 O y 2 0x y+ = O 2 2( 5) 5x y− + = 2 2( 5) 5x y+ + = 2 2( 5) 5x y− + = 2 2( 5) 5x y+ + = 4 5 3 5 2 5 1 5 2 2( 3) 1 0C x y y C+ − = =与圆 外切，与直线 相切，则圆 的圆心轨迹为 xOy : 2l x x= − 交 A P l M OP .MPO AOP∠ = ∠ P l M E (1, 1),T − H E HO HT+ H (1, 1)T − y 1l E 1l k , , | | | | .MPQ AOP MP l MO MP∠ = ∠ ∴ ⊥ = 且 2 2 | 2 |,x y x+ = + 2 4( 1)( 1).y x x= + ≥ −  .MPQ MOQ∴∠ = ∠ 又 因此 M 在 轴上，此时，记 M 的坐标为 为分析 的变化范围，设 为 上任意点 由 （即 ）得， 故 的轨迹方程为 ② 综合①和②得，点 M 轨迹 E 的方程为 （2）由（1）知，轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成（见图 3）： ； 当 时 ， 过 Ｔ 作 垂 直 于 的 直 线 ， 垂 足 为 ， 交 E1 于 。 再过 H 作垂直于 的直线，交 因此， （抛 物线的性质）。 （该等 号仅当 重合（或 H 与 D 重合）时取得）。 当 时，则 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为 3，且此时点 H 的坐标为 （3）由图 3 知，直线 的斜率 不可能为零。 设 故 的方程得： 因判别式 所以 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。 又由 E2 和 的方程可知，若 与 E2 有交点， 则此交点的坐标为 有唯一交点 ，从而 表三个不同的交点。 因此，直线 的取值范围是 , .MPQ AOP MOQ AOP∠ = ∠ ∴∠ = ∠ x ( ,0).x ( ,0)M x x中 ( 2, )P a− l ( ).a R∈ | | | |MO MP= 2 2| | ( 2)x x a= + + 211 1.4x a= − − ≤ − ( ,0)M x 0, 1y x= ≤ − 2 4( 1), 1, 0, 1. x xy x + ≥ −=  < − 2 1 : 4( 1)( 1)E y x x= + ≥ − 2 : 0, 1.E y x= < − 1H E∈ l T′ 3 , 14D − −   l .l H ′于 | | | |HO HH ′= | | | | | | | | | | 3HO HT HH HT TT′ ′∴ + = + ≥ = H T′ ′与 2H E∈ | | | | | | | | 1 5 3.HO HT BO BT+ > + > + > 3 , 1 .4  − −   1l k 1 : 1 ( 1)( 0).l y k x k+ = − ≠ 1 1 ( 1) 1,x y Ek = + + 代入 2 4 4 8 0.y yk k  − − + =   2 2 16 4 44 8 2 28 0.k kk    ∆ = + + = + + >       1l 1l 1l 1 2 1 1 1,0 , 1. 0 ,2 k k k l Ek k + +  < − − < <   且 即当 时 与 1,0k k +     1l 1l k斜率 1( , ] (0, ).2 −∞ − ∪ +∞ (2012 年高考广东卷第 8 小题) 在平面直角坐标系 中，直线 与圆 相交 于 、 两点，则弦 的长等于 (B) A． B． C． D． (2012 年 高 考 广 东 卷 第 20 小 题 ) （ 本 小 题 满 分 14 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 椭 圆 的左焦点为 ，且点 在 上． （1） 求椭圆 的方程；(2)设直线 与椭圆 和抛物线 相切，求直线 的方程． 解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1 分 则： ,…………………………………………………………………………2 分 设椭圆方程为： ………………………………………………………………3 分 将 点坐标代入，解得： …………………………………………………………4 分 所以 故椭圆方程为： …………………………………………………………………………5 分 （2）设所求切线的方程为： ……………………………………………6 分 消除 y ………7 分 化简得： ①………………………………………………………8 分 同理：联立直线方程和抛物线的方程得： 消除 y 得： ……………………………………………………………………9 分 化简得： ② …………………………………………………………………………10 分 将②代入①解得： xOy 3 4 5 0x y+ − = 2 2 4x y+ = A B AB 3 3 2 3 3 1 xOy 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1( 1,0)F − (0,1)P 1C 1C l 1C 2 2 : 4C y x= l 122 += ba 11 2 2 2 2 =++ b y b x )1,0(P 12 =b 211122 =+=+= ba 12 2 2 =+ yx mkxy +=    =+ += 12 2 2 yx mkxy )22)(12(4)4( 222 1 −+−=∆ mkkm 12 22 =− km    = += xy mkxy 42 0)42( 222 =+−+ mxkmxk 04)42( 222 2 =−−=∆ mkkm 1=km 012 24 =−+ kk 0)22(4)12( 222 =−+++ mkmxxk 解得： ………………………………………………………12 分 故切线方程为： …………………………………………………14 分 （2013 高考广东卷）7.垂直于直线 y=x+1 且与圆 相切于第一象限的直线方程是( A ) A. B. C. D. （2013 高考广东卷）9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于 ，则 C 的方程是（ D ） A. B. C. D. （2013 高考广东卷）20．(本题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F（0，c）（c＞0）到直线 L:x-y-2=0 的距离为 . 设 P 为直线 L 上的 点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB,其中 A,B 为切点。 （1） 求抛物线 C 的方程； （2） 当点 P（x0，y0）为直线 L 上的定点时，求直线 AB 的方程； （3） 当点 P 在直线 L 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值. 20、解：（Ⅰ）由 得， 或 （舍去）， 所以抛物线 的方程为 . （Ⅱ）设 ，则有 ，即 ， 因为 ，所以 ， 化简可得 …①. 同理，设 ，可得 …②. 由①②可得直线 的方程为 . （Ⅲ）联立 ，得 ， ∴ ， . 2 2 1x y+ = 2 0x y+ − = 1 0x y+ + = 1 0x y+ − = 2 0x y+ + = 1 2 2 2 13 4 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 14 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 0 2 3 2 22 c− − = 1c = 5c = − C 2 4x y= ( )1 1,A x y 1 0 1 1 0 1 2 y y xx x − =− 2 1 0 1 0 12 2y y x x x− = − 2 1 14x y= 1 0 1 0 12 2 4y y y x x− = − 0 1 1 02 2 0x x y y− − = ( )2 2,B x y 0 2 2 02 2 0x x y y− − = AB 0 02 2 0x x y y− − = 0 0 2 2 2 0 4 x x y y x y − − = = ( )2 2 2 0 0 02 0y y x y y+ − + = 2 1 2 0 02y y x y+ = − 2 1 2 0y y y= 2 2,2 21(,2 1 22 −==−== kkkk 或者舍去），故 21,21 −=−=== mkmk 时，当时，当 22 222 2 −−=+= xyxy 或者 3 2 2 由抛物线的定义可知 ， ， ∴ ∵ 点 在直线 上移动，所以 ， ∴ ， ∴ 当 时， 有最小值，且最小值为 . 12.数列 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 19 分 19 分 19 分 5 分 19 分 19 分 19 分 (2007 年高考广东卷第 13 小题) 已知数列 的前 项和 ，则其通项 ； 若它的第 项满足 ，则 ．2n-10 ； 8 (2007 年高考广东卷第 20 小题) 已 知 函 数 ， 是 方 程 的 两 个 根 ， 是 的导数．设 ， ． （1）求 的值； （2）已知对任意的正整数 有 ，记 ．求数列 的前 项和 ． 20 解:(1) 由 得 (2) 又 数列 是一个首项为 ,公比为 2 的等比数列； 1 1AF y= + 2 1BF y= + ( )( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 0 0 01 1 1 2 1AF BF y y y y y y y x y⋅ = + + = + + + = + − + P l 0 0 2 0x y− − = 2 2 2 0 0 0 0 02 1 2 2 5y x y y y+ − + = + + 0 1 2y = − AF BF⋅ 9 2 { }na n 2 9nS n n= − na = k 5 8ka< < k = 2( ) 1f x x x= + − α β， ( ) 0f x = ( )α β> ( )f x′ ( )f x 1 1a = 1 ( ) ( 1 2 )( ) n n n n f aa a nf a+ = − =′ ，， α β， n na α> ln ( 12 )n n n ab na β α −= =− ，， { }nb n nS 2 1 0x x+ − = 1 5 2x − ±= 1 5 2 α − +=∴ 1 5 2 β − −=  ( ) 2 1f x x′ = + ∴ 2 2 1 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n a a aa a a a+ + − += − =+ + ∴ ( ) ( ) 22 2 2 1 2 21 1 1 5 3 5 1 51 52 1 2 2 2 1 1 5 3 5 1 51 52 1 2 2 2 n n n n n n n n nn n n n n a a a aa a a a aa a a aa β β α α + + + +  + ++ + + + +   − + − = = = =  − −+ − − −   + + − + + +   ∴ 1 2n nb b+ = 1 1 1 3 5 1 5ln ln 4ln 23 5 ab a β α − + += = =− − ∴ { }nb 1 54ln 2 + (2008 年高考广东卷第 4 小题) 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4，S4=20，则该数列的公差 d =（ B ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 (2008 年高考广东卷第 21 小题)设数列 满足 ， ， （n = 3，4，…）。数列 满足 ， （n = 2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数 m 和自然数 k，都有－1≤ … ≤1。 （1）求数列 和 的通项公式； （2）记 （n = 1，2，…），求数列 的前 n 项和 。 【解析】（1）由 得 又 ， 数列 是首项为 1 公比为 的等比数列， ， 由 得 ，由 得 ，… 同理可得当 n 为偶数时， ；当 n 为奇数时， ；因此 （2） 当 n 为奇数时， 当 n 为偶数时 令 ……① ∴ ( ) ( ) 1 54ln 1 2 1 52 4 2 1 ln1 2 2 n n nS + − += = −− { }na 1 1a = 2 2a = 1 2 1 ( 2 )3n n na a a− −= + { }nb 1 1b = nb 1m mb b ++ + m kb ++ { }na { }nb n n nc na b= { }nc nS 1 2 1 ( )3n n na a a− −= − 1 1 2 2 ( )3n n n na a a a− − −− = − − ( 3)n ≥ 2 1 1 0a a− = ≠ ∴ { }1n na a+ − 2 3 − 1 1 2 3 n n na a − +  − = −   1 2 1 3 2 4 3 1( ) ( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a a a −= + − + − + − + + − 2 22 2 21 1 3 3 3 n−     = + + − + − + + −           1 1 21 8 3 231 2 5 5 31 3 n n − −  − −    = + = − −  + 1 2 2 2 2 1 1 1 1 , 0 b b b b Z b − ≤ + ≤  − ≤ ≤  ∈ ≠ 2 1b = − 2 3 3 3 3 1 1 1 1 , 0 b b b b Z b − ≤ + ≤  − ≤ ≤  ∈ ≠ 3 1b = 1nb = − 1nb = 1 -1nb =   1 1 8 3 2 5 5 3 8 3 2 5 5 3 n n n n n n n c na b n n − −   −    = =   − −     1 2 3 4n nS c c c c c= + + + + + 0 1 2 3 18 8 8 8 8 3 2 2 2 2 2( 2 3 4 ) 1 2 3 45 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 n nS n n −          = − × + × − × + + − × + × + × + × + +                       ( ) 0 1 2 3 14 1 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3 nn n − +          = − × + × + × + × + +                      0 1 2 3 18 8 8 8 8 3 2 2 2 2 2( 2 3 4 ) 1 2 3 45 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 n nS n n −          = − × + × − × + − − × + × + × + × + +                       0 1 2 3 14 3 2 2 2 2 21 2 3 45 5 3 3 3 3 3 nn n −          = − − × + × + × + × + +                      0 1 2 3 12 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3 n nT n −         = × + × + × + × + +                   当 n 为奇数时 当 n 为偶数时 当 n 为奇数时 当 n 为偶数时 ①× 得: ……② ①-②得: 因此 (2009 年高考广东卷第 5 小题)已知等比数列 的公比为正数，且 · =2 ， =1，则 = A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为 ,由已知得 ,即 ,因为等比数列 的公比为正数， 所以 ,故 ,选 B (2009 年高考广东卷第 20 小题) 已知点（1， ）是函数 且 ）的图象上一点，等比数列 的前 n 项和为 ,数列 的首项为 c，且前 n 项和 满足 － = + （n 2）. （1）求数列 和 的通项公式； （2）若数列{ 前 n 项和为 ，问 > 的最小正整数 n 是多少? 【解析】（1） , , , . 又数列 成等比数列， ，所以 ； 又公比 ，所以 ； 2 3 1 2 3 42 2 2 2 2 21 2 3 43 3 3 3 3 3 n nT n         = × + × + × + × + +                   1 2 3 4 11 2 2 2 2 2 213 3 3 3 3 3 3 n n nT n −           = + + + + + + −                       ( ) 21 2 23 3 32 3 31 3 n n n n n  −      = − = − +      − ∴ ( ) 29 9 3 3 n nT n  = − +    ( ) ( ) 9 34 23 2 5 5 3 9 34 27 2 5 5 3 n n n nn S nn  +−  +    =  ++  − +     }{ na 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 2 2 2 q ( )2 8 4 1 1 12a q a q a q⋅ = 2 2q = }{ na 2q = 2 1 1 2 22 aa q = = = 3 1 ,0()( >= aaxf x 1≠a }{ na cnf −)( }{ nb )0( >nb nS nS 1−nS nS 1+nS ≥ }{ na }{ nb }1 1+nnbb nT nT 2009 1000 ( ) 11 3f a= = ( ) 1 3 x f x  ∴ =    ( )1 11 3a f c c= − = − ( ) ( )2 2 1a f c f c= − − −       2 9 = − ( ) ( )3 23 2 27a f c f c= − − − = −       { }na 2 2 1 3 4 2 181 2 3 3 27 aa ca = = = − = − − 1c = 2 1 1 3 aq a = = 12 1 123 3 3 n n na −   = − = −       *n N∈ ( )( )1 1 1 1n n n n n n n nS S S S S S S S− − − −− = − + = + ( )2n ≥ 当 n 为奇数时 当 n 为偶数时 又 , , ； 数列 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列， ， 当 ， ； ( )； （2） ； 由 得 ，满足 的最小正整数为 112. (2010 年高考广东卷第 4 小题) 已知数列{ }为等比数列， 是它的前 n 项和，若 ，且 与 的 等差中项为 ，则 S5= C A．35 B．33 C．31 D．29 (2011 年高考广东卷第 11 小题) 已知 是递增等比数列， 2 . (2011 年高考广东卷第 20 小题) 设 数列 （1） 求数列 的通项公式；证明：对于一切正整数 20．解：（1）由 令 当 ①当 ②当 时， （2）当 只需 0nb > 0nS > 1 1n nS S −∴ − = { }nS ( )1 1 1nS n n= + − × = 2 nS n= 2n ≥ ( )22 1 1 2 1n n nb S S n n n−= − = − − = − 2 1nb n∴ = − *n N∈ 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 n n n T b b b b b b b b + = + + + + ( ) 1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 (2 1) 2 1n n = + + + +× × × − × + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1n n        = − + − + − + + −       − +        1 112 2 1 2 1 n n n  = − = + +  1000 2 1 2009n nT n = >+ 1000 9n > 1000 2009nT > na nS 2·a a a３ １＝2 4a 72a 5 4 { }na 2 4 32, 4,a a a q= − = =则此数列的公比 0,b > { } 1 1 1 , ( 2).1 n n n n nbaa a b a na n − − = = ≥+ −满足 { }na 1,2 1.n nn a b +≤ + 1 1 1 0, 01 n n n nbaa b a a n − − = > = >+ −知 1 1 1 1 n n n n a b b a − −= + 1 1, ,n n nA Aa b = = 1 1 12 , n nn A Ab b −≥ = +时 11 1 1 1 1 n n Ab b b− −= + + + 1 1 1 1 .n nb b b−= + + + 1 11 11 , 1 ( 1)1 nn n n bb bb A b b b  −  − ≠ = = −− 时 1b = .nA n= ( 1) , 11 1, 1 n n n nb b ba b b  − ≠∴ = −  = 12 ( 1)1 ,( 2 1,1 n n n n nb bb a bb +−≠ = ≤ +−时 欲证 1 12 ( 1) )1 n n n bnb b b + −≤ + − 综上所述 (2012 年高考广东卷第 12 小题)若等比数列 满足 ，则 _______________． (2012 年高考广东卷第 19 小题)（本小题满分 14 分）设数列 的前 项和 ，数列 的前 项和为 ， 满足 ． （1） 求 的值； （2） 求数列 的通项公式． 解：(1): ………………………………………………3 分 …………………………………………………………5 分 （2） ① ②…………………………6 分 ①-②得： ……………… ③………………………7 分 在向后类推一次 ……… ④…………………………8 分 ③-④得： …………………………………………9 分 …………………………………………………10 分 ……………………………………………12 分 …………13 分 ………………………………………………14 分 1 2 2 1 1 1 21( 1) 11 n n n n n n nbb b b b b bb + − + − −−+ = + + + + + + +−   1 1 1 1 1n n n n nb b b b bb b − −  = + + + + + +   (2 2 2)nb> + + + 2 ,nnb= 12 ( 1)2 1 .1 n n n n nb ba bb +−∴ = < +− 12 1.n na b +≤ + }{ na 2 1 42 =aa =5 2 31 aaa 4 1 { }na n ns { }ns n { }nT 2 *2 ,n nT S n n N= − ∈ 1a { }na 2 11 12 −= aa 11 =a 122 +−= naS nn 1)1(22 11 +−−= −− naS nn 222 1 −−= −nnn aaa 22 1 += −nn aa )2(22 1 +=+ −nn aa 的数列公比为是以首项为 2,32}2{ 1 =++ aan 1232 −×=+∴ n na 223 1 −×=∴ −n na  22 nST nn −=  2 11 )1(2 −−= −− nST nn （2013 高考广东卷）11.设数列 是首项为 1，公比为-2 的等比数列，则 15 （2013 高考广东卷）19．(本题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 的前 n 项的和为 Sn，满足 ， ，且 构成等比数 列。 （1）证明： ； （2）求数列 的通项公式； （3）证明：对一切的正正数 n，有 . 19、（1）证明：当 n=1 时，a1=S1， 且 4S1=a22-4-1 ，所以 4a1= a22-5 ∴ a22=4a1+5， ∵ 数列 各项均为正数，∴ （2）证明: …………… ① 当 n 2 时， 4Sn—1=an2－4（n－1）－1 …………② ①－②得: 4an =an+12 － an2 － 4 ∴an+12 = an2 + 4an +4 =(an+2)2 ∵ 数列{an} 各项均为正数，an+1= an + 2, (n ≥ 2) 即 an+1 －an = 2 ∴数列{an}是从第三项开始，公差 d=2 的等差数列 ∵a2, a5, a14 成等比数列, ∴a52 = a2 a14 ∴ (a2+3d)2=a2 ( a2+12d) 解得 a2=3 ∴a1=（32—5）÷4=1， ∴a2—a1=3—2=1 ∴数列{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列 ∴an=a1+(n－1)d=1+2(n－1)=2n－1 (3) （输入好累啊，不详写了） 裂项相消法： = （1- ）+ （ - ）…………… = （1— ）＜ 13.新题型 2007 2008 2009 2010 2011 2012 { }na 1 2 3 4a a a a+ + + = { }na 2 14 4 1n nS a n+= − − *n N∈ 2 5 14, ,a a a 2 14 5a a= + { }na 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1... 2n na a a a a a a a + + + + + < { }na 2 14 5a a= + 2 14 4 1n nS a n+= − − 5 分 5 分 5 分 (2007 年高考广东卷第 10 小题) 图 3 是 某 汽 车 维 修 公 司 的 维 修 点 环 形 分 布 图 ． 公 司 在 年 初 分 配 给 四 个 维 修 点 某 种 配 件 各 50 件 ． 在 使 用 前 发 现 需 将 四个维修点的这批配件分别调整为 ， ， ， 件，但 调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（ 件 配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 ）为（　C　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． (2009 年高考广东卷第 10 小题) 广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、 E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以 A 为 起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A. B.21 C.22 D.23 【答案】B 【解析】由题意知,所有可能路线有 6 种: ① ,② , ③ ,④ , ⑤ ,⑥ , 其中, 路线③ 的距离最短, 最短路线距离等于 ,故选 B. (2010 年高考广东卷第 10 小题) 在 集 合 {a ， b ， c ， d} 上 定 义 两 种 运 算 和 如 下 ： w_w w. k#s5_u.c o*m 那么 d A A．a B．b C．c D．d 14.极坐标系与参数方程 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 5 分 5 分 5 分 5 分 5 分 5 分 5 分 (2007 年高考广东卷第 14 小题）在极坐标系中，直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离为 2 ． (2008 年高考广东卷第 14 小题）已知曲线 C1、C2 的极坐标方程分别为 ， （ ， ），则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为___ _____ A B C D， ， ， A B C D， ， ， 40 45 54 61 n n 18 17 16 15 20.6 A B C D E→ → → → A B D C E→ → → → A C B D E→ → → → A C D B E→ → → → A D B C E→ → → → A D C B E→ → → → A C B D E→ → → → 4 9 6 2 21+ + + = ⊕ ⊗ ⊗ ( )a c⊕ = l sin 3ρ θ = π2 6     ， l cos 3ρ θ = 4cosρ θ= 0ρ ≥ 0 2 πθ≤ < (2 3, )6 π A D CB 图 3 (2009 年高考广东卷第 14 小题）若直线 （t 为参数）与直线 垂直，则常数 = . 【答案】 【解析】将 化为普通方程为 ,斜率 , 当 时,直线 的斜率 ,由 得 ; 当 时,直线 与直线 不垂直. 综上可知, . (2010 年 高 考 广 东 卷 第 14 小 题 ） 在 极 坐 标 系 （ ρ ， ）（ ） 中 ， 曲 线 与 的交点的极坐标为 . (2011 年高考广东卷第 14 小题）已知两曲线参数方程分别为 和 ，它 们的交点坐标为 ． (2011年高考广东卷第14小题）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中 中，曲线 和曲线 的 参数方程分别为 （ 为参数， ）和 （ 为参数），则曲线 和曲线 的 交点坐标为 ． （2013 年高考广东卷）14. （坐标系与参数方程选做题） 已知曲线 C 的极坐标方程是 。以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 参 数方程是 为参数） 15.几何证明选讲 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 5 分 5 分 5 分 5 分 5 分 5 分 5 分 (2007 年高考广东卷第 15 小题）如图 4 所示，圆 的直径 ， 为圆周上一 点， ，过 作圆的切线 ，过 作 的垂线 ，垂足为 ，则 ． (2008 年高考广东卷第 15 小题）已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA=2。AC 是 1 2 2 3 x t y t = −  = + 4 1x ky+ = k 6− 1 2 2 3 x t y t = −  = + 3 7 2 2y x= − + 1 3 2k = − 0k ≠ 4 1x ky+ = 2 4k k = − 1 2 3 4 12k k k    = − × − = −       6k = − 0k = 3 7 2 2y x= − + 4 1x = 6k = − θ 0 2θ π≤ ＜ ( )cos sin 1ρ θ θ+ = ( )sin cos 1ρ θ θ− = (1, )2 π 5 cos (0 ) sin x y θ θ π θ  = ≤ ≤ = 25 ( )4x t t R y t  = ∈  = 2 51, 5       xoy 1C 2C    = = θ θ sin5 cos5 y x θ 20 πθ ≤≤       −= −= 2 2 2 21 ty tx t 1C 2C )1,2( 2cosρ θ= 1 cos (sin x y θ θθ = +  = O 6AB = C 3BC = C l A l AD D DAC∠ = 30° A D C BO l 图 4 圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于点 B，PB=1，则圆 O 的半径 R = ________ (2009 年高考广东卷第 15 小题），点 A、B、C 是圆 O 上的点，且 AB=4， ，则圆 O 的面积等于 . 【答案】 【解析】连结 AO,OB, 因为 , 所以 , 为等边三角形, 故圆 O 的半径 ,圆 O 的面积 . (2010 年高考广东卷第 15 小题）如图 3，在直角梯形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB， AB=AD=a，CD= ，点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF= . (2011 年高考广东卷第 15 小题）如图，在梯形 中， 则梯形 与梯形 的面积比为 ． 15．（几何证明选讲选做题） 如 图 3 ， 直 线 PB 与 圆 相 切 与 点 B ， D 是 弦 AC 上 的 点 ， ， 若 ， 则 AB= ． 15.（几何证明选讲选做题） 如图 3，在矩形 ABCD 中， 垂足为 E， 则 ED= 3 30ACB∠ =  16π 30ACB∠ =  60AOB∠ =  AOB∆ 4r OA AB= = = 2 16S rπ π= = 2 a 2 a ABCD / / ,AB CD 4, 2, , 3 / /AB CD E F AD BC EF EF AB= = =分别为 ， 上的点，且 ， ， ABFE EFCD 5 7 O DBAPBA ∠=∠ ,AD m AC n= = mn 3 3 ,AB BC BE AC= = ⊥， ， F D C BA E 图 3 O A B C P D · 图3 A B C D E