高考物理二轮复习带电粒子在有界磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧
带电粒子（质量m、电量q确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等，其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小，可归并为同一因素（以“入射速度大小”代表），磁场方向在一般问题中不改变，若改变，也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。
在具体问题中，这五个参量一般都是已知两个，剩下其他参量不确定（但知道变化范围）或待定，按已知参数可将问题分为如下10类（），并可归并为6大类型。
类型
已知参量
类型一
①⑩
入射点、入射方向；出射点、出射方向
类型二
②⑧
入射点、速度大小；出射点、速度大小
类型三
③
入射点、出射点
类型四
⑦
入射方向、出射方向
类型五
⑤⑨
入射方向、速度大小；出射方向、速度大小；
类型六
④⑥
入射点、出射方向；出射点，入射方向
入射点
入射方向
入射速度大小
出射点
出射方向
①
②
③
④
⑧
⑨
⑤
⑤
⑥
⑦
⑩
所有这些问题，其通用解法是：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆（一般至少5画个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
类型一：已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（即轨道半径不确定）
这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。
【例1】如图所示，长为L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度
时粒子能从右边穿出．
粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O′点，有 r2＝
由 r2＝ ，得 v2＝ ，所以v<时粒子能从左边穿出．
【易错提醒】容易漏选A，错在没有将r先取较小值再连续增大，从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。
【练习1】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值．已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2：5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
②
①'
①
图乙
图甲
a
2a
2a
a
【分析】粒子在0a的区域，由对称性可知，粒子在x>a的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，在x=2a直线上取不同点为圆心，半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①'为半径最小的情况，轨迹圆②为题目所要求的速度最大的粒子的轨迹。
【答案】竖直屏上发亮的范围从0到2a，水平屏上发亮的范围从2a到
【解答】 粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动半径为： ①
x
速度小的粒子将在xa的区域中运动的时间，由题意可知
， 由此解得： ② ③
由②③式和对称性可得 ⑤
⑥ 所以 ⑦
即弧长NP为1/4圆周。因此，圆心在x轴上。
设速度为最大值粒子的轨道半径为R，有直角可得
⑧
由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 ⑨
【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件——所有在x>a的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，从而造成在x>a的区域内的作图困难；另一方面，在x>a的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆①半径开始取值，致使轨迹圆①'未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为x=a。
类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定
这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为
圆心，以为半径的圆。
【例2】如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直手xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
(1)速度的大小；
(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O，入射点O到任一圆心的距离均为r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”——以入射点O为圆心、r为半径的圆周上（如图甲）。考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起——取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时（均小于180°），弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长——故轨迹①对应圆心角为90°。
图乙
图甲
①
②
【答案】
【解答】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：
O
y
x
C
R
D
A
a
P
α
α
α
v
， 解得：
当a/20)和初速度v的带电微粒沿x轴正方向射向该区域，其中沿半径AO'方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点O沿y轴负方向离开。
(1)求磁感应强度B的大小和方向。
(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。
C
D
C
D
【分析】（1）从A点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在A点正下方相距R的C处，微粒轨迹如图所示，可知微粒轨迹半径为；（2）所有这些微粒进入磁场后做圆周运动的圆心均在如图所示半圆虚线O'CD上，在该曲线上由上到下取点作为圆心、以R为半径作一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与x轴相交于原点——因为圆心所在曲线半圆O'CD的圆心是原点O。
【答案】(1)，方向垂直xOy平面向外；（2）这束微粒均与x轴相交于原点。
类型六：已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定
这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线”上。
【例6】如图所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x轴射出，在y轴右侧某一圆形区域加一垂直于xoy平面向里匀强磁场，磁感应强度大小为B. 为了使电子能从
x轴上的Q（b，0）点射出磁场。试求满足条件的磁场的最小面积，并求出该磁场圆圆心的坐标。
【分析】本题中，电子初速度所在直线已知，电子进入磁场的入射点在该直线上，则可知电子在磁场中作圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过Q点，所以电子轨迹圆圆心到该直线和到Q点的距离相等，即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、Q点为焦点的抛物线上。
在该抛物线上从左向右去不同点为圆心，做出一些列轨迹圆，可以看出所有这些轨迹中轨迹①所需圆形磁场的直径最小。
①
【答案】，（b,）