2015广东高考理科数学试卷

2015广东高考理科数学试卷

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的。 1.若集合   | ( 4)( 1) 0 , | ( 4)( 1) 0M x x x N x x x        ，则 M N  A. 1,4 B. 1, 4  C. 0 D.  【答案】D 【解析】    1,40)1)(4(  xxxM ，    4,10)1)(4(  xxxN  NM 2.若复数 (3 2 )z i i  （ i 是虚数单位），则 z  A. 2 3i B. 2 3i C. 3 2i D. 3 2i 【答案】A 【解析】 23)23(  iiiz ， iz 32  3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 2A. 1y x  1B. y x x   1C. 2 2 x xy   D. xy x e  【答案】D 【解析】A 和 C 选项为偶函数，B 选项为奇函数， D 选项为非奇非偶函数 4. 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球，从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰好有 1 个白球，1 个红球的概率为 5A. 21 10B. 21 11C. 21 D. 1 【答案】B 【解析】 21 10 2 15 1 5 1 10  C CCP 5. 平行于直线 2 + +1=0x y 且与圆 2 2 5x y  相切的直线的方程是 A. 2 5 0 2 5 0x y x y     或 B. 2 5 0 2 5 0x y x y     或 C. 2 5 0 2 5 0x y x y     或 D. 2 5 0 2 5 0x y x y     或 【答案】A 【解析】设所求直线为 02  cyx ，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得 5 5122    ccd ，解得 5c ，所求直线方程为 052052  yxyx 或 6. 若变量 ,x y 满足约束条件 4 5 8 1 3 0 2 x y x y         ，则 3 2z x y  的最小值为 A. 4 23B. 5 C. 6 31D. 5 【答案】B 【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标 函数 3 2z x y  ，则当目标函数过点（1， 8 5 ）， 3 2z x y  取最小值为 23 5 7. 已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   的离心率 5 4e  ，且其右焦点为 2 (5,0)F ，则双曲线 C 的方程为 2 2 A. 14 3 x y  2 2 B. 19 16 x y  2 2 C. 116 9 x y  2 2 D. 13 4 x y  【答案】C 【解析】由双曲线右焦点为 )0,5(2F ，则 c=5， 44 5  aa ce 9222  acb ，所以双曲线方程为 1916 22  yx 8. 若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值 A. 3至多等于 B. 4至多等于 C. 5等于 D. 5大于 【答案】B 【解析】当 3n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当 4n 时，正四面体的四个顶点符 合条件 故可排除 A，C，D 四个选项，故答案选 B 二、填空题：本大题 共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分. （一）必做题（9-13 题） 9. 在 4x（ -1）的展开式中， x 的系数为 . 【答案】6 【解析】       2 4 4 4 4 11 r rrrrr xCxC   ，则当 2r 时， x 的系数为   61 2 4 2  C 10. 在等差数列{ }na 中，若 3 4 5 6 7 25a a a a a     ，则 2 8a a  . 【答案】10 【解析】由等差数列性质得， 255 576543  aaaaaa ，解得 55 a ，所以 102 582  aaa 11. 设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 3a  ， 1sin 2B  ， 6C  ，则 b= . 【答案】1 【解析】 6 5 6,2 1sin  或 BB ，又 6 C ，故 6 B ，所以 3 2A 由正弦定理得， B b A a sinsin  ，所以 1b 12. 某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答） 【答案】1560 13. 已知随机变量 X 服从二项分布 ( , )B n p ， ( ) 30E X  ， ( ) 20D X  ，则 p  . 【答案】 3 1 【解析】   30 npXE ，   20)1(  pnpXD ，解得 3 1p （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）， 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 24     ，点 A 的极坐标 为 7(2 2, )4A  ，则点 A 到直线 l 的距离为 . 【答案】 2 25 【解析】 2)cos2 2sin2 2(2)4sin(2   1cossin   即直线l 的直角坐标方程为 011  yxxy ，即 ，点 A 的直角坐标为（2，-2） A 到直线的距离为 2 25 2 122 d 15. (几何证明选讲选做题)如图 1，已知 AB 是圆 O 的直径， 4AB  , EC 是圆 O 的切线，切点 为 C ， 1BC  ，过圆心 O 作 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则 OD = . 【答案】8 【解析】 图 1 如图所示，连结 O，C 两点，则 CDOC  , ACOD   90ACDCDO  90CABCBACBAACD ， , CABCDO  则 Rt △ CDO ∼ Rt △ CAB ，所以 BC OC AB OD  ,所以 8OD 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m=（ 2 2 ，- 2 2 ），n=（sin x ，cos x ），xÎ （0，π 2 ）. （1）若 m⊥n，求 tan x 的值； （2）若 m 与 n 的夹角为，求 x 的值. 【解析】 （1） ∵ m = 2 2 , − 2 2 ， n = (sinx,cosx) ，且 m ⊥ n ， ∴ m ⋅ n = 2 2 sinx − 2 2 cosx = 0 解得， tan x = 1（2） ∵ m 与 n 的夹角为 π 3 ∴ m ⋅ n = m n cos π 3 = 1 2 ∴ m ⋅ n = 2 2 sin x − cos x = sin x − π 4 = 1 2 ∴ x − π 4 = π 6 + 2kπ k ∈ Z ∵ x ∈ 0 ， π 2 ∴ x = 5π 1217.（本小题满分 12 分） 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表： 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 44 12 38 13 39 14 33 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 （1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里采用随机抽 样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值 x 和方差 2s ； （3）36 名工人中年龄在 x s- 与 x s+ 之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01%）？ 【解析】 （1） 由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 2，6，10，14，18，22，26，30，34 的年 龄数据为样本。 则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37 （2） 由（1）中的样本年龄数据可得，   403743443736433640449 1 x 则有                        2403724043240442403724036240432403624040240449 12s = 9 100 （3） 由题意知年龄在      9 100409 10040 ， 之间，即年龄在 4337， 之间， 由（1）中容量为 9 的样本中年龄在 4337， 之间的有 5 人， 所以在 36 人中年龄在 4337， 之间的有 209 536  （人）， 则所占百分比为 55.56%100%36 20  18.（本小题满分 14 分） 如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB＝6， BC=3，点 E 是 CD 边的中点，点 F，G 分别在线段 AB，BC 上，且 AF＝2FB，CG＝2GB， （1）证明：PE⊥FG； （2）求二面角 P-AD-C 的正切值； （3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值. 【解析】 （1）证明： PCPD  为等腰三角形PDC E 为CD边的中点，所以， DCPE  ABCDPDC 平面平面  ， DCABCDPDC  平面平面 ，且 PDCPE 平面 ∴ PE ABCD 平面 ABCDFG 平面 ， FGPE  （2） 由长方形 ABCD知， DCAD  ABCDPDC 平面平面  ， DCABCDPDC  平面平面 ，且 ABCDAD 平面 PDCAD 平面 PDCPD 平面 ， ADPD  CADDCPDAPCADPDADDC 平面，平面，且，由  CADPPDC  即为二面角 由长方形 ABCD得 6 ABDC ， E 为CD边的中 点，则 32 1  DCDE 73434 22  PEDCPEDEPD ，，， 3 7tan  DE PEPDC 即二面角 CADP  的正切值为 3 7 （3） 如图，连结 A,C GBCGFBAF 22  ， BC BG AB BF  ， ACFG // PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角. 由长方形 ABCD中 36  BCAB ， 得 5336 22 AC 由（2）知 PDAD  ， 43  PDBCAD ， 543 22  AP 由题意知 4PC 25 59 2cos 222   ACAP PCACAPPAC 所以，直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 25 59 19.（本小题满分 14 分） 设 1a > ，函数 2( ) (1 ) xf x x e a= + - . （1）求 ( )f x 的单调区间； （2）证明： ( )f x 在( ),-¥ +¥ 上仅有一个零点； （3）若曲线 ( )y f x= 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 ( , )M m a 的切线与直线 OP 平行（O 是坐标原点），证明： 3 2 1m a e £ - - . 【解析】 （1） 2 2 2 ( ) (1 ) ( )=2 (1 ) (1 ) ( ) 0 ( ) R x x x x f x x e a f x xe x e x e x R f x f x              时， 恒成立 的单调递增区间为 （2）由（1）可知 ( )f x 在 R 上为单调递增函数 ( )=( + ) ( 1) 1 ( ) 0 ( ) ( , ) a a a x a f a a e a e a e a f a f x             当 时， 1 在 上仅有一个零点 （3）令点 P 为 0 0( , )x y 02 0 0 0 2 ( ) P ( )=( 1) 0 2=-1,p(-1, - ) 2 - 2OP 1 M(m,n) OP 2( ) ( 1) x op m y f x x f x x e x ae aek a e f m m e a e                 曲线 在点 处的切线与 轴平行 直线 斜率为 在点 处的切线与直线 平行 33 2 21, ( 1)a m ae e      要证明m 即证 3 2( 1) ( 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0, 0 ( ) + ( ) (0) 0 1 0 1 m m m m m m m m e g m e m g m e g m m g m g m g e m e m                            需证明 需证明 设 令 在(- ,0)上单调递减，在(0， )上单调递增 命题得证. 20.（本小题满分 14 分） 已知过原点的动直线l 与圆 2 2 1 : 6 5 0C x y x+ - + = 相交于不同的两点 A，B. （1）求圆 1C 的圆心坐标； （2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； （3）是否存在实数 k ，使得直线 : ( 4)L y k x= - 与曲线 C 只有一个交点？若存在，求 出 k 的取值范围；若不存在，说明理由. 【解析】 （1）由题意知：圆 1C 方程为： 2 2( 3) 4x y   ∴圆 1C 的圆心坐标为（3,0） （2）由图可知，令 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1( , ),| | ,| | ( 3)M x y OM x y C M x y     2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 | | | | | | 3 ( 3) 3 9( )2 4 OC OM C M x y x y x y              ∵直线 L 与圆 1C 交于 A、B 两点 ∴直线 L 与圆 1C 的距离： 0 2d  2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 ( 3) 4 9 30 ( 3) ( ) 44 2 5 33 3 9 5C ( ) ( ,3]2 4 3 x y x x x x y x                    轨迹 的方程为： （3）∵直线 L： 2 23 9( 4) ( ) 12 4y k x x y    与曲线 仅有 个交点 联立方程： 2 2 ( 4) 5( ,3]3 9 3( )2 4 y k x x x y       ， 得： 2 2 2 2( 1) (8 3) 16 0k x k x k     ， 5( ,3] 13 在区间 有且仅有 个解 2 2 2 2 4=(8 3) -64 +1 = 3k k k k   当 （ ）0时， 此时， 12 5( ,3]5 3x   ，仅有一个交点，符合题意。 2 2 2 20 ( ) ( 1) (8 3) 16x k x k x k      当 时，令g 则有： 5( ) (3) 03g g  解得： 2 5 2 5[ , ]7 7k   ∴ k 的取值范围为： 2 5 2 5[ , ]7 7k   或 4 3k   21.（本小题满分 14 分） 数列{ }na 满足： * 1 2 1 22 4 ,2n n na a na n N - ++ + + = - Î . （1）求 3a 的值； （2）求数列{ }na 的前 n 项和 nT ； （3）令 1 1 1 1 1 1, (1 ) ( 2)2 3 n n n Tb a b a nn n -= = + + + + + ³ ，证明：数列{ }na 的前 n 项和 nS 满足 2 2lnnS n< + . 【解析】 （1）由题意知： 1 2 1 22 4 2n n na a na       1 2 1 1 2 3 2 3 2 1 3 2 2=2 2 =4 2 3 2=3 2 +3 =4 2 3 2 2 2 33 =4 (4 )2 2 4 1= 4 n a a n a a a a a          当 时， 当 时， （2） 1 2 1 1 2 1 22 4 2 32 +( +1) 4 2 n n n n n na a na na a na n a                 1 1 2 3( +1) 2 2 2 4 3 2 1 2 n n n n n n nn a n n n          1 1 1( )2 1( )2 n n n n a a       ∴{ }na 是首相为 1，公比为 1 2 的等边数列 ∴ 1 1 11 ( ) 1 12 2 ( ) 21 2 21 2 n n n nT          （3）由（2）得： 1 12 2n nT   1 1 1 1(2 )(1 )2 2n nS n     已知不等式： 1 1 1 ln(1 )2 3 nn    设 ( ) ln(1 ) , 01 xf x x xx     2 1 ( ) 0, ( ) ( )1 ( ) ln(1 ) (0) 01 ln(1 ) ( )1 1= , 1ln(1 ) ln(1 ) ln ln ln( 1) ln 2 ln1 ln 1 1 1 1ln(1 ) 2 3 1 1 1 1ln 2 3 1 1 1 1 1(2 )(1 ) 2(12 2 2n n xf x f xx xf x x fx xx x x n n n n n nn n n n n S n                                                  在 0,+ 单调递增 在 0,+ 上恒成立 令 1) 2(1 ln 2) 2 2ln 2n     