2015高考数学人教A版本（5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)(2013·哈尔滨质检)已知平面向量a＝(‎2m＋1,3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则|b|等于(　　)‎ A.　　　　　　　 　 B．2 C. D.或2 ‎[答案]　B ‎[解析]　据题意a∥b则m(‎2m＋1)－3×2＝0，解得m＝－2或m＝，当m＝时a＝(4,3)，b＝(2，)，则a＝2b，此时两向量同向，与已知不符，故m＝－2，此时b＝(2，－2)，故|b|＝2.‎ ‎(理)(2013·广州综合测试二)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(m，m＋1)，若∥，则实数m的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　依题意得，＝(3,1)，由∥得3(m＋1)－m＝0，m＝－，选A.‎ ‎2．(文)已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与b垂直，则λ的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a＝(3,4)，b＝(2，－1)，∴a＋λb＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－，故选D.‎ ‎(理)(2014·金陵中学检测)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥‎ ‎(a＋b)，则c＝(　　)‎ A．(，) B．(－，－)‎ C．(，) D．(－，－)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，则有－3×(1＋m)＝2×(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有‎3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.‎ ‎3．(2013·安庆二模)已知a，b是不共线的两个向量，＝xa＋b，＝a＋yb(x，y∈R)，若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴存在实数λ，使＝λ.‎ 则xa＋b＝λ(a＋yb)⇒⇒xy＝1，故选B.‎ ‎4．(文)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　　)‎ A．‎3a＋b B．‎3a－b C．－a＋3b D．a＋3b ‎[答案]　B ‎[解析]　设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，‎ 即解得 ‎∴c＝‎3a－b.‎ ‎(理)已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(1,1)，则用a、b表示向量c为(　　)‎ A．‎2a－b B．－a＋2b C．a－2b D．‎3a＋2b ‎[答案]　D ‎[解析]　设c＝xa＋yb，∴(1,1)＝(x－y，－x＋2y)，‎ ‎∴解之得 ‎∴c＝‎3a＋2b，故选D.‎ ‎5．(文)(2013·福州质检)如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为(　　)‎ A．3e2－e1 B．－2e1－4e2‎ C．e1－3e2 D．3e1－e2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　如图所示，a－b＝＝e1－3e2，故应选C.‎ ‎(理)(2013·江南十校联考)已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为θ，若m＝2e1＋3e2，则|m|＝1的充要条件是(　　)‎ A．θ＝π B．θ＝ C．θ＝ D．θ＝ ‎[答案]　A ‎[解析]　由|m|＝1，得m2＝1，即(2e1＋3e2)2＝1.展开得，4e＋9e＋12e1·e2＝1，即4＋9＋12cosθ＝1，所以cosθ＝－1.又θ∈[0，π]，所以θ＝π.‎ ‎6．(2013·荆州质检)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－ D. ‎[答案]　C ‎[解析]　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(‎2m－n,‎3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(‎2m－n)×(－1)－(‎3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.‎ 二、填空题 ‎7．(文)(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　易知⊥，而＝－＝(3,2－t)，＝(2,2)，∴·＝0，‎ 即3×2＋2(2－t)＝0，∴t＝5.‎ ‎(理)(2013·安徽省级示范高中联考)设向量a＝(x,3)，b＝(2,1)，若对任意的正数m，n，向量ma＋nb始终具有固定的方向，则x＝________.‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　当a与b共线时，向量ma＋nb始终具有固定的方向，则1×x＝2×3，所以x＝6.‎ ‎8．(2013·烟台调研)在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　由题意可知，AD＝BC＝＝，‎ ‎(＋)·＝2·＝2||2＝4.‎ ‎9.‎ ‎(2012·江西八校联考)如图所示，设P、Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．‎ ‎[答案]　 ‎[分析]　因三角形的面积与底和高有关，所以可利用“同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比．题设条件中用和给出了点P和点Q，故可利用和构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决．‎ ‎[解析]　‎ 根据题意，设＝，＝，则由平行四边形法则，得＝＋，且四边形AMPN为平行四边形，于是NP∥AB，‎ 所以＝＝，‎ 同理，可得＝.故＝.‎ 三、解答题 ‎10.‎ ‎(2014·宁阳一中检测)如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值．‎ ‎[解析]　设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2，‎ ‎∵A、P、M和B、P、N分别共线，‎ ‎∴存在λ、μ∈R，使＝λ＝－λe1－3λe2，‎ ＝μ＝2μe1＋μe2.‎ 故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，‎ 而＝＋＝2e1＋3e2，‎ ‎∴由平面向量基本定理得∴ ‎∴＝，即AP:PM＝4:1.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(文)‎ ‎(2013·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　方法一：以O为原点，向量，所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，设〈，〉＝θ，θ∈[0，]，则＝(1,0)，＝(0,1)，＝(cosθ，sinθ)．‎ ‎∵＝x＋y，∴ ‎∴x＋y＝cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)，‎ 又θ＋∈[，]，‎ ‎∴x＋y的最大值为.‎ 方法二：因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，‎ 所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2＝1≥.所以x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．‎ ‎(理)‎ ‎(2013·皖南八校联考)已知正方形ABCD(字母顺序是A→B→C→D)的边长为1，点E是AB上的动点(可以与A或B重合)，如图所示，则·的最大值是(　　)‎ A．1 B. C．0 D．－1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设＝a，＝b，‎ 则＝λ＝λa(0≤λ≤1)．‎ ＝－＝λa－b，‎ ‎∴·＝·(－)‎ ‎＝(λa－b)·(－a)‎ ‎＝－λa2＋a·b＝－λ.‎ 又0≤λ≤1，‎ ‎∴·的最大值为0，故选C.‎ ‎12．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．2或－2 D.或－ ‎[答案]　C ‎[解析]　以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|＋|＝|－|得，平行四边形OACB为矩形，⊥.由图形易知直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2，所以选C.‎ ‎13．(文)在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于G点．若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b ‎[答案]　C ‎[解析]　∵B、G、F三点共线，‎ ‎∴＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a.‎ ‎∵E、G、C三点共线，‎ ‎∴＝μ＋(1－μ)＝μa＋(1－μ)(a＋b)．‎ 由平面向量基本定理得， ‎∴∴＝a＋b.‎ ‎(理)(2012·沈阳质检)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)‎ A.　　　B.　　　C.　　　D．1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查向量的线性运算．据已知N为AM的中点，可得＝＝λ＋μ，整理得＝2λ＋2μ，由于点M在直线BC上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝.‎ 二、填空题 ‎14．(2013·开封第一次模拟)已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，且λb－a与a垂直，则实数λ＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　依题意得(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0，λ＝.‎ ‎15．(文)(2014·广雅中学月考)梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别是CD、AB的中点，设＝a，＝b.若＝ma＋nb，则＝________.‎ ‎[答案]　－4‎ ‎[解析]　＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b，∴m＝，n＝－1，∴＝－4.‎ ‎(理)‎ ‎(2014·南安一中质检)如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，用基底a、b表示向量＝________.‎ ‎[答案]　a＋b ‎[分析]　先利用三点共线进行转化，再通过用基底表示向量的唯一性进行求解．‎ ‎[解析]　易得＝＝b，＝＝a，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.‎ 由C、E、M三点共线知存在实数n，满足＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.‎ 所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b.‎ 由于a、b为基底，所以解得 所以＝a＋b.‎ 三、解答题 ‎16．(文)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：‎ ‎(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；‎ ‎(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；‎ ‎(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.‎ ‎[解析]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，‎ 所以得 ‎(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，‎ ‎∵(a＋kc)∥(2b－a)，‎ ‎∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，‎ ‎∴k＝－.‎ ‎(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，‎ 由题意得 解得或∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．‎ ‎(理)设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R)．‎ ‎(1)记＝a，＝tb，＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？‎ ‎(2)若|a|＝|b|＝1且a与b夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－xb|的值最小？‎ ‎[解析]　(1)∵A、B、C三点共线，∴与共线，‎ 又∵＝－＝tb－a，＝－＝b－a，‎ ‎∴存在实数λ，使＝λ，‎ 即tb－a＝b－a，∴t＝.‎ ‎(2)∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝120°，∴a·b＝－，‎ ‎∴|a－xb|2＝|a|2＋x2|b|2－2x·a·b＝1＋x2＋x ‎＝(x＋)2＋≥，‎ ‎∴|a－xb|的最小值为，此时x＝－.‎ 考纲要求 了解平面向量的基本定理及其意义．‎ 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．‎ 补充说明 ‎1．证明共线(或平行)问题的主要依据：‎ ‎(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．‎ ‎(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b.‎ ‎(3)对于向量a，b，若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线．‎ 要注意向量平行与直线平行是有区别的．‎ ‎2．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．‎ ‎3．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．‎ 备选习题 ‎1．(2012·郑州质检)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且·＝0，若存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，则实数λ，μ的关系为(　　)‎ A．λ2＋μ2＝1 B.＋＝1‎ C．λ·μ＝1 D．λ＋μ＝1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由＝λ＋μ得||2＝(λ＋μ)2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·.因为·＝0，所以λ2＋μ2＝1，所以选A.‎ ‎2．已知两个非零向量a＝(m－1，n－1)，b＝(m－3，n－3)，且a与b的夹角是钝角或直角，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．[，3] B．[2,6]‎ C．(，3) D．(2,6)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　根据a与b的夹角是钝角或直角得a·b≤0，即(m－1)(m－3)＋(n－1)(n－3)≤‎ ‎0.整理得：(m－2)2＋(n－2)2≤2.所以点(m，n)在以(2,2)为圆心，为半径的圆上或圆内．令m＋n＝z，则n＝－m＋z表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z的直线，显然直线与圆相切时，z取最大(小)值，∴2≤z≤6，即2≤m＋n≤6.当取等号时有m＝n＝1或m＝n＝3，均不合题意，故选D.‎ ‎3．已知A(－2,3)，B(3，－1)，点P在线段AB上，且|AP|:|PB|＝1:2，则P点坐标为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设P(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(3－x，－1－y)，‎ ‎∵P在线段AB上，且|AP||PB|＝12，‎ ‎∴＝，∴(x＋2，y－3)＝，‎ ‎∴∴即P.‎ ‎4．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1) 的距离之和最小的点的坐标是________．‎ ‎[答案]　(2,4)‎ ‎[解析]　取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：‎ 假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC>AC，在△BPD中，有PB＋PD>BD，‎ 而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD＝BD.‎ 如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．易求得P(2,4)．‎