数学广东各地前高考数学联考试题分类汇编7立体几何

数学广东各地前高考数学联考试题分类汇编7立体几何

广东省各地市2010年高考数学最新联考试题（3月-6月）分类汇编第7部分:立体几何 一、选择题:‎ ‎7. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科） 用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（ ）.‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎【答案】A ‎【解析】由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有3个小正方体，上面有2个，共5个；体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，故这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.故选A.‎ ‎9．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）‎ 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那 么这个几何体的全面积为 （　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图知空间几何体为圆柱，∴全面积为，∴选A．‎ ‎【考点定位】本题考查立体几何中三视图，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加大的趋势。‎ ‎【备考要点】复习时，仍要立足课本，务实基础。‎ ‎（3）（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）如图，在矩形中，是的中点，沿将折起，使二面角 为，则四棱锥的体积是（ A ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点﹐球面上有两个点，的坐标分别为，，则（ C ）‎ A． B．‎12 ‎C． D．‎ ‎5．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）已知：直线与平面内无数条直线垂直，：直线与平面垂直．则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由线面垂直的判定定理容易得出答案B.‎ ‎【考点定位】本题考查立体几何中垂直关系的判定以及简易逻辑的有关知识.这两部分知识都是高考的重点，在高考中选择题、填空题和解答题出现,同时在知识的交汇点命题也是高考的热点.‎ ‎【备考要点】立足课本，务实基础,同时要注意各部分知识的整合.‎ ‎3．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是 由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，‎ 俯视图是一个半径为的圆（包括圆心）．则该 ‎ 组合体的表面积（各个面的面积的和）等于( C )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是( B )‎ A．‎ B．12‎ C．‎ D．8‎ ‎2．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知，，，是空间四点，命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的( A )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题:‎ ‎11．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）‎ 某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视 图如右图示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），‎ 则制作该工件用去的铁皮的面积为 ．‎ ‎（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知,该几何体的形状如图，它是底面为正方形，‎ 各个侧面均为直角三角形[的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的 表面积为[.‎ ‎【考点定位】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图.‎ 三视图是新课标的新增内容,在以后的高考中有加在的力度.‎ ‎13．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）如图4，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．①②③‎ 三、解答题 ‎18．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）（本小题满分14分）‎ 如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9．‎ ‎ （1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的正切值．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ ‎（本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）‎ ‎（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，‎ ‎∴． ‎ 在正方形中，，‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面． ‎ ‎（2）解法1：∵平面，平面，‎ ‎∴． ‎ ‎∴为圆的直径，即．‎ 设正方形的边长为，‎ 在△中，，‎ 在△中，，‎ 由，解得，． ‎ ‎∴． ‎ 过点作于点，作交于点，连结，‎ G F 由于平面，平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵，，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎∴是二面角的平面角．‎ 在△中，，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴． ‎ 在△中，， ‎ ‎∴．‎ 故二面角的平面角的正切值为． ‎ 解法2：∵平面，平面，‎ ‎∴．‎ ‎∴为圆的直径，即． ‎ 设正方形的边长为，‎ 在△中，，‎ 在△中，，‎ 由，解得，．‎ ‎∴． ‎ x y z 以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，[来源:学§科§‎ ‎． ‎ 设平面的法向量为， ‎ 则即 取，则是平面的一个法向量．‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 取，则是平面的一个法向量．‎ ‎∵， ‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故二面角的平面角的正切值为．‎ A B C D ‎ E ‎ 图5‎ ‎17．（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）（本小题满分14分）‎ 如图6，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面，且，．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎（2）求凸多面体的体积．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）‎ ‎（1）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴． ‎ 在正方形中，，‎ ‎∵，∴平面．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面．‎ 故所求凸多面体的体积为． ‎ 解法2：在△中，，，‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ ‎∴． ‎ 连接，则凸多面体分割为三棱锥 和三棱锥． ‎ 由（1）知，．‎ ‎∴．‎ 又，平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎∴点到平面的距离为的长度．‎ ‎∴． ‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故所求凸多面体的体积为．‎ A1‎ A B1‎ C1‎ D1‎ B C D F E ‎18. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（本小题满分14分） 如图所示，在正方体中，E为AB的中点 ‎(1)若为的中点，求证: ∥面；‎ ‎(2) 若为的中点,求二面角的余弦值；‎ ‎（3）若在上运动时（与、不重合），‎ 求当半平面与半平面成的角时，线段的比.‎ 为等腰梯形， ………………………5分 又 ， ………………7分 ‎∴ ∴ 二面角的余弦值为。 ………9分 ‎（3）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，，则 ‎ ，‎ ‎∵ ， ‎ A1‎ A B1‎ C1‎ D1‎ B C D F E x z y ‎∴ 取 ………11分 设面的法向量为，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 取，则 ‎∵ 半平面与半平面成角[‎ ‎∴ ………………………13分 ‎∴ ，即∴ 线段的比为。 …………14分 注：本题的方法多样，不同的方法请酌情给分。‎ ‎18．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）（本题满分14分）‎ 证明：（1），∴ ……2分 ‎ ‎ 又 P B C A D E ‎ …………5分 ‎ ‎ ∴ ∴ …………7分 ‎ ‎（2）连结交于点，并连结EO， 四边形 为平行四边形 ‎∴为的中点 又为的中点 ∴在中EO为中位线， ‎ ‎ ∴ …………………………14分 ‎ ‎18．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）（本题满分14分）‎ 右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，‎ ‎，且， ‎ ‎（1）求证：BE//平面PDA；‎ ‎（2）若N为线段的中点，求证：平面；‎ ‎（3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．‎ ‎18．解：（1）证明：∵，平面，平面 ‎∴EC//平面,‎ 同理可得BC//平面----------------------------------------------------------------------------------2分 ‎∵EC平面EBC,BC平面EBC且 ‎ ‎∴平面//平面---------------------------------------------------------------------------------3分 又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA--------------------------------------------------------------4分 ‎（2）证法1：连结AC与BD交于点F, 连结NF，‎ ‎∵F为BD的中点，‎ ‎∴且,--------------------------6分 又且 ‎∴且 ‎∴四边形NFCE为平行四边形-------------------------7分 ‎∴‎ ‎∵,平面,‎ 面 ∴，‎ 又 ‎∴面 ∴面------------------------------------------------------------9分 ‎[证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，‎ 则 ‎,--------------------------------6分 ‎∴,,‎ ‎∵,‎ ‎ ‎ ‎17．（2010年广东省揭阳市高考一模试题文科）（本题满分14分）‎ 右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，‎ ‎，且=2 .‎ ‎（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框 内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；‎ ‎（2）求四棱锥B－CEPD的体积；‎ ‎（3）求证：平面． ‎ ‎17．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分 ‎(2)∵平面，平面 ‎∴平面平面ABCD ‎∵ ∴BC平面----------5分 ‎∵--6分 ‎∴四棱锥B－CEPD的体积 ‎.----8分 ‎(3) 证明：∵，平面，‎ 平面 ‎∴EC//平面,------------------------------------10分 同理可得BC//平面----------------------------11分 ‎∵EC平面EBC,BC平面EBC且 ‎ ‎∴平面//平面-----------------------------13分 又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分 D P A B C ‎（18）（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）（本题满分14分）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.‎ ‎（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离.‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在一点,使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由。‎ ‎（18）（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ‎ ‎∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC. ………1分 y z D P A B C x ‎∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ………2分 设C到面PBD的距离为d，由，‎ 有， ‎ 即，…4分 得………5分 ‎（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系 因为在上，所以可设，………6分 又,‎ ‎ ‎ ‎,.………8分 易求平面的法向量为，………10分（应有过程）‎ 所以设与平面所成的角为，则有：‎ ‎………12分 所以有，，， ………13分 所以存在且………14分 ‎18．（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）（本题满分14分）‎ ‎ 在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯，，‎ 与底面成30°角.‎ ‎ （1）若为垂足，求证：；‎ ‎ （2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成 角的余弦值；‎ ‎ （3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.‎ ‎18．(本小题满分14分)‎ 解法一：（1）‎ ‎ ‎ ‎ …………4分 ‎（2）过点E作EM//CD交PC于M，连结AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成角 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴异面直线AE与CD所成角的余弦值为 ‎ ‎…………9分 ‎ （3）延长AB与DC相交于G点，连PG，则面PAB ‎ 与面PCD的交线为PG，易知CB⊥平面PAB，过B作 ‎ ‎ ‎=‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （3）易知，‎ ‎ 则的法向量.‎ ‎ ‎ ‎ ∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的正切值为2. …………14分 ‎ ‎ ‎17．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)（本小题满分12分）‎ 如图5，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．‎ ‎（1）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ 解：（1）线段的中点就是满足条件的点．…1分 证明如下：‎ 取的中点连结，则 ‎，， …………………2分 取的中点，连结，‎ ‎∵且，‎ ‎∴△是正三角形，∴．‎ ‎∴四边形为矩形，‎ ‎∴．又∵，………3分 ‎∴且，‎ 四边形是平行四边形．……………………4分 ‎∴，‎ 而平面，平面，‎ ‎∴平面． ……………………6分 ‎（2）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，‎ ‎∵，∴，‎ 是平面与平面所成二面角的棱．……8分 ‎∵平面平面，，∴平面，‎ 又∵平面，∴平面，∴，‎ ‎∴是所求二面角的平面角．………………10分 设，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ………12分 ‎（法2）∵，平面平面，‎ ‎∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系 ‎，则轴在平面内（如图）．‎ 设，由已知，得，，．‎ ‎∴，， ………………………8分 设平面的法向量为，‎ 则且，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解之得 取，得平面的一个法向量为 ‎. …………………………10分 又∵平面的一个法向量为． ‎ ‎．………………………12分 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．‎ ‎18．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)（本小题满分14分）‎ B E A D C 如图，在长方体中，点在棱的延长线上，‎ 且．‎ ‎(Ⅰ) 求证：//平面 ；‎ ‎(Ⅱ) 求证：平面平面； ‎ ‎（Ⅲ）求四面体的体积．‎ 解：（Ⅰ）证明：连 ‎ 四边形是平行四边形 ………2分 则 ‎