2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第四章4-5第1课时简单的三角恒等变换

2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第四章4-5第1课时简单的三角恒等变换

‎1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β))‎ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C(α＋β))‎ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β))‎ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β))‎ tan(α－β)＝，(T(α－β))‎ tan(α＋β)＝.(T(α＋β))‎ ‎2.二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α，(S2α)‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，(C2α)‎ tan 2α＝.(T2α)‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.‎ ‎3.辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.(　√　)‎ ‎(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.(　×　)‎ ‎(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.(　√　)‎ ‎(4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin ＋cos )2.(　√　)‎ ‎(5)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)‎ ‎(6)在非直角三角形中，tan A＋tan B＋tan C ‎＝tan Atan Btan C.(　√　)‎ ‎1.tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .‎ 答案　 解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，‎ ‎∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)‎ ‎＝－tan 20°tan 40°，‎ ‎∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.‎ ‎2.(2016·四川)cos2－sin2＝ .‎ 答案　 解析　由题意可知，cos2－sin2＝cos＝(二倍角公式).‎ ‎3.(2016·全国丙卷改编)若tan θ＝－，则cos 2θ＝ .‎ 答案　 解析　tan θ＝－，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ‎＝＝＝.‎ ‎4.(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为 .‎ 答案　3‎ 解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]‎ ‎＝＝＝3.‎ ‎5.(2016·全国甲卷改编)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为 .‎ 答案　5‎ 解析　由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，所以当sin x＝1时函数的最大值为5.‎ 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一　和差公式的直接应用 例1　(2016·盐城模拟)已知α为锐角，cos(α＋)＝.‎ ‎(1)求tan(α＋)的值；‎ ‎(2)求sin(2α＋)的值.‎ 解　(1)因为α∈(0，)，所以α＋∈(，)，‎ 所以sin(α＋)＝ ＝，‎ 所以tan(α＋)＝＝2.‎ ‎(2)因为sin(2α＋)＝sin 2(α＋)‎ ‎＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，‎ cos(2α＋)＝cos 2(α＋)‎ ‎＝2cos2(α＋)－1＝－，‎ 所以sin(2α＋)＝sin[(2α＋)－]‎ ‎＝sin(2α＋)cos －cos(2α＋)sin ＝.‎ 思维升华　(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.‎ ‎(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.‎ ‎　(1)(2016·全国丙卷改编)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝ .‎ ‎(2)计算：的值为 .‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝＝.‎ 题型二　和差公式的综合应用 命题点1　角的变换 例2　(1)设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .‎ ‎(2)(2016·镇江期末)由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为 .‎ 答案　(1)　(2)－ 解析　(1)依题意得sin α＝＝，‎ cos(α＋β)＝±＝±.‎ 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β).‎ 因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.‎ 于是cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎(2)由sin 36°＝cos 54°，得sin 36°＝2sin 18°cos 18°＝cos(36°＋18°)＝cos 36°cos 18°－sin 36°sin ‎ 18°＝(1－2sin218°)·cos 18°－2sin218°cos 18°＝cos 18°－4sin218°·cos 18°，即4sin218°＋2sin 18°－1＝0，解得sin 18°＝＝，cos 2 016°＝cos(6×360°－144°)＝cos 144°＝－cos 36°＝2sin218°－1＝－.‎ 命题点2　三角函数式的变形 例3　(1)(2016·无锡调研)若tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝ .‎ 答案　－ 解析　方法一　因为tan α＝，‎ 所以tan 2α＝＝＝.‎ 又tan(α－β)＝＝＝－，‎ 故tan β＝1.‎ 所以tan(β－2α)＝＝＝－.‎ 方法二　tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)‎ ‎＝－＝－＝－.‎ ‎(2)求值：－sin 10°(－tan 5°).‎ 解　原式＝－sin 10°(－)‎ ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 引申探究 化简： (0<θ<π).‎ 解　∵0<<，∴＝2sin ，‎ 又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2 ‎＝2sin (sin ＋cos )‎ ‎∴原式＝ ‎＝－cos θ.‎ 思维升华　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.‎ ‎(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等.‎ ‎　(1)(2016·泰州模拟)若sin(＋α)＝，则cos(－2α)＝ .‎ ‎(2)(2016·南京模拟)化简(tan α＋)·sin 2α－2cos2α＝ .‎ ‎(3)计算：sin 50°(1＋tan 10°)＝ .‎ 答案　(1)－　(2)－cos 2α　(3)1‎ 解析　(1)∵sin(＋α)＝，∴cos(－α)＝，‎ ‎∴cos(－2α)＝cos 2(－α)＝2×－1＝－.‎ ‎(2)原式＝·sin 2α－2cos2α ‎＝1－2cos2α＝－cos 2α.‎ ‎(3)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋)‎ ‎＝sin 50°× ‎＝sin 50°× ‎＝＝＝＝1.‎ ‎8.利用联系的观点进行角的变换 典例　(1)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为 .‎ ‎(2)若tan α＝2tan，则＝ .‎ 思想方法指导　三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有＝(α－)－(－β)；α＝(α－β)＋β；α＋＝(α＋)－；15°＝45°－30°等.‎ 解析　(1)∵α为锐角且cos(α＋)＝>0，‎ ‎∴α＋∈(，)，∴sin(α＋)＝.‎ ‎∴sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]‎ ‎＝sin 2(α＋)cos －cos 2(α＋)sin ‎＝sin(α＋)cos(α＋)－[2cos2(α＋)－1]‎ ‎＝××－[2×()2－1]‎ ‎＝－＝.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝3.‎ 答案　(1)　(2)3‎ ‎1.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan(α＋)＝ .‎ 答案　 解析　由α∈(0，π)，cos α＝－，得tan α＝－，‎ 则tan(α＋)＝＝＝.‎ ‎2.(2016·盐城三模)若角α＋的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则tan α的值为 .‎ 答案　－ 解析　若角α＋的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则tan(α＋)＝，‎ 又tan(α＋)＝，所以tan α＝－.‎ ‎3.(2015·重庆改编)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.‎ 答案　 解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.‎ ‎4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若α、β均为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝ .‎ 答案　 解析　由于α、β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，‎ 又cos α＝，cos(α＋β)＝－，‎ 所以sin α＝，sin(α＋β)＝，‎ 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ ‎5.的值是 .‎ 答案　 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎6.已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是 .‎ 答案　β<α 解析　∵α为锐角，sin α－cos α＝>0，∴α>.‎ 又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝，‎ ‎∴α＋β＝，又α>，∴β<<α.‎ ‎7.化简·＝ .‎ 答案　 解析　原式＝tan(90°－2α)· ‎＝·· ‎＝··＝.‎ ‎8.(2016·江苏无锡普通高中期末)已知sin(α－45°)＝－且0°<α<90°，则cos 2α的值为 .‎ 答案　 解析　因为sin(α－45°)＝－且0°<α<90°，‎ 所以cos(α－45°)＝ ＝.‎ cos 2α＝sin(90°－2α)＝－sin(2α－90°)‎ ‎＝－sin[2(α－45°)]＝－2sin(α－45°)cos(α－45°)‎ ‎＝－2×(－)×＝.‎ ‎*9.(2016·南京模拟)已知cos(＋θ)cos(－θ)＝，则sin4θ＋cos4θ的值为 .‎ 答案　 解析　因为cos(＋θ)cos(－θ)‎ ‎＝(cos θ－sin θ)(cos θ＋sin θ)‎ ‎＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.‎ 所以cos 2θ＝.‎ 故sin4θ＋cos4θ＝()2＋()2‎ ‎＝＋＝.‎ ‎10.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m (m>0)个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 .‎ 答案　 解析　y＝cos x＋sin x＝2sin(x＋)，‎ 所以此函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到y＝2sin(x＋m＋)的图象，由题意得m＋＝＋kπ(k∈Z)，∵m>0，∴m＝＋kπ(k∈Z且k≥0)，‎ ‎∴m的最小值是.‎ ‎11.已知α∈(，π)，sin α＝.‎ ‎(1)求sin(＋α)的值；‎ ‎(2)求cos(－2α)的值.‎ 解　(1)因为α∈(，π)，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin(＋α)＝sin cos α＋cos sin α ‎＝×(－)＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α ‎＝2××(－)＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，‎ 所以cos(－2α)＝cos cos 2α＋sin sin 2α ‎＝(－)×＋×(－)＝－.‎ ‎12.已知α∈(0，)，tan α＝，求tan 2α和sin(2α＋)的值.‎ 解　∵tan α＝，‎ ‎∴tan 2α＝＝＝，‎ 且＝，即cos α＝2sin α，‎ 又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，‎ 而α∈(0，)，∴sin α＝，cos α＝.‎ ‎∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，‎ ‎∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ‎＝×＋×＝.‎ ‎*13.已知cos(＋α)cos(－α)＝－，α∈(，).‎ ‎(1)求sin 2α的值；‎ ‎(2)求tan α－的值.‎ 解　(1)cos(＋α)·cos(－α)‎ ‎＝cos(＋α)·sin(＋α)‎ ‎＝sin(2α＋)＝－，‎ 即sin(2α＋)＝－.‎ ‎∵α∈(，)，∴2α＋∈(π，)，‎ ‎∴cos(2α＋)＝－，‎ ‎∴sin 2α＝sin[(2α＋)－]‎ ‎＝sin(2α＋)cos －cos(2α＋)sin ＝.‎ ‎(2)∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，‎ 又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.‎ ‎∴tan α－＝－＝ ‎＝＝－2×＝2.‎