高考数学试题分类汇编——选修不等式选讲

高考数学试题分类汇编——选修不等式选讲

‎2010-2014年高考数学试题分类汇编——不等式选讲 ‎ 班级 姓名 ‎ 一、 选择题：‎ ‎1.(2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为( )‎ ‎（A）[-5.7] （B）[-4,6] （C） （D）‎ ‎【解析】由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确 ‎2.(2011天津理)已知集合 ‎，则集合=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎3.对于实数x，y，若，，则的最大值为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎4.(2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.‎ ‎【解析】。由题得 所以不等式的解集为。‎ ‎5．(2011年高考陕西卷理科15)若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】：因为所以存在实数解，‎ 有或 ‎6．（2012年高考陕西理）若存在实数使成立,则实数的取值范围是___________.‎ ‎7．（2012年高考山东理）若不等式的解集为,则实数__________.‎ ‎8．（2012年高考江西理）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。‎ ‎9．（2012年高考广东理）不等式的解集为__________________.‎ ‎10．（2012年高考（湖南理））不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.‎ ‎11．（2013年重庆理）若关于实数的不等式无解,则实数的取值范围是_________‎ ‎【答案】 ‎ 2．（2013年高考陕西卷理）已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______. ‎ ‎【答案】2 ‎ ‎13．（2013年高考江西理）在实数范围内,不等式的解集为_________‎ ‎【答案】 ‎ ‎14．（2013年高考湖北理）设,且满足:,,则 ‎_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎15.(2014江西)对任意,的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ B【解析】‎ ‎16.(2014湖南)的不等式的解集为，则________.‎ ‎17.(2014陕西)设，且，则的最小值为 ‎ ‎18.(2014重庆)若不等式 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【解析】‎ 二、解答题 ‎1、（2010福建理数）已知函数。‎ ‎（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得，解得，‎ 又已知不等式的解集为，所以，解得。‎ ‎（Ⅱ）当时，，设，于是 ‎=，所以 当时，；当时，；当时，。‎ ‎2、（2010江苏卷）设a、b是非负实数，求证：。‎ ‎[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。‎ 证明：由a、b是非负实数，作差得 当时，，从而，得；‎ 当时，，从而，得；‎ 所以。‎ ‎3、（2010辽宁理数）已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。‎ 证明：（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 ‎ ①, 所以 ② ……6分 故.‎ 又 ③所以原不等式成立. ……8分 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。‎ 即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分 ‎（证法二）因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 ‎， ， ‎ 所以 ①‎ 同理 ② ……6分 故 ③‎ 所以原不等式成立. ……8分 当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。 ……10分 ‎4、(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f（x）=|x－2|－|x－5|.‎ ‎（I）证明：－3≤f（x）≤3；‎ ‎（II）求不等式f（x）≥x2－8x＋15的解集.‎ 解：（I）‎ ‎ 当 所以 ‎ ‎ （II）由（I）可知，‎ ‎ 当的解集为空集；‎ ‎ 当；‎ ‎ 当.‎ 综上，不等式 ‎ ‎5、(2011年高考全国新课标卷理科24)设函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎(2) 如果不等式的解集为，求的值。‎ 分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值；‎ 解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，， ，‎ 所以不等式的解集为 ‎（Ⅱ）因为，所以，，可化为，‎ ‎，即 因为，所以，该不等式的解集是，再由题设条件得 点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。‎ ‎6、(2011年高考江苏卷21)解不等式：‎ 解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。[来源:学#科#网]‎ 原不等式等价于：，解集为 ‎7、(2011年高考福建卷理科21)设不等式|2x－1|<1的解集为M．‎ ‎（I）求集合M； （II）若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．‎ 解析：本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，‎ 解：（I）由 所以[‎ ‎（II）由（I）和，所以 故 ‎8．（2012年高考新课标理）已知函数 ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若的解集包含,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)当时, ‎ 或或 或 ‎ ‎(2)原命题在上恒成立在上恒成立 ‎ 在上恒成立 ‎ ‎9．（2012年高考辽宁理）已知,不等式的解集为}.‎ ‎(Ⅰ)求a的值;‎ ‎(Ⅱ)若恒成立,求k的取值范围.‎ 0．（2012年高考（江苏））已知实数x，y满足:求证:.‎ 证明:∵, ‎ 由题设∴.∴. ‎ ‎【考点】绝对值不等式的基本知识.‎ ‎11.（2012年高考福建理）已知函数，且的解集为。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求证：。‎ ‎【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。‎ ‎【解析】(1)∵‎ 的解集是，故。‎ ‎(2)由（1）知,由柯西不等式得 ‎。‎ ‎12．（2013年高考新课标Ⅱ理）设均为正数,且,证明:‎ ‎(Ⅰ); (Ⅱ).‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎13．（2013年高考辽宁理）已知函数,其中.‎ ‎(I)当时,求不等式的解集; ‎ ‎(II)已知关于的不等式的解集为,求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎14．（2013年高考福建理）设不等式的解集为,且,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求函数的最小值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)因为,且,所以,且 ‎ 解得,又因为,所以 ‎ ‎(Ⅱ)因为 ‎ 当且仅当,即时取得等号,所以的最小值为 ‎ ‎15．（2013年高考江苏）已知>0,求证:‎ 证明:∵ ‎ ‎ ‎ 又∵>0,∴>0,,∴ ‎ ‎∴， ∴ ‎ ‎16．（2013年高考新课标1（理））已知函数=,=.‎ ‎(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;‎ ‎(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.‎ ‎【答案】当=-2时,不等式<化为, ‎ 设函数=,=,其图像如图所示 ‎ ‎ ‎ 从图像可知,当且仅当时,<0,∴原不等式解集是.‎ ‎(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为, ‎ ‎∴对∈[,)都成立,故,即≤,∴的取值范围为(-1,]. ‎ ‎17. (2014新课标I) 若，且.‎ ‎(Ⅰ) 求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎【解析】：(Ⅰ) 由，得，且当时等号成立，‎ 故，且当时等号成立，∴的最小值为…5分 ‎（Ⅱ）由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，‎ 所以不存在，使得成立. ……………10分 ‎18. (2014新课标II) 设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎19. （2014辽宁）设函数，，记的解集为M，的解集为N.‎ ‎（1）求M； （2）当时，证明：.‎ ‎【答案】 （1） （2） ‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）‎ ‎20.（2014福建）已知定义在R上的函数的最小值为.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）若为正实数，且，求证：.‎ 解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，‎ 所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.‎ ‎(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又p，q，r是正实数，‎ 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，‎ 即p2＋q2＋r2≥3.‎