哈尔滨工大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习推理与证明

哈尔滨工大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习推理与证明

哈尔滨工程大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．如果有穷数列（为正整数）满足，即，我们称其为“对称数列”。例如：数列，，，，与数列，，，，，都是“对称数列”.设是项数为的“对称数列”，并使得，，，，…，依次为该数列中连续的前项，则数列的前项和可以是：⑴；⑵；（3），其中正确命题的个数为( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎2．下面叙述正确的是( )‎ A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法、分析法是间接证法 C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的 ‎【答案】A ‎3．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）‎ ‎①“若a,bR,则”类比推出“a,bC,则”‎ ‎②“若a,b,c,dR，则复数”类比推出“若，则”；③若“a,bR,则”类比推出 “a,bC,则”，其中类比结论正确的个数是( )‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎4．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )‎ A．三角形 B．梯形[来源:Z#xx#k.Com]‎ C．平行四边形 D．矩形 ‎【答案】C ‎5．已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：‎ ‎ ①△ABC一定是钝角三角形 ‎ ②△ABC可能是直角三角形 ‎ ③△ABC可能是等腰三角形 ‎ ④△ABC不可能是等腰三角形 ‎ 其中，正确的判断是( )‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【答案】B ‎6．下列命题中,真命题是( )‎ A． B． ‎ C．的充要条件是 D．是的充分条件 ‎【答案】D ‎7．已知函数有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则的值可能是( )‎ A． B． C． D． -‎ ‎【答案】C ‎8．下列推理是归纳推理的是( )‎ A．为两个定点，动点满足，，则动点的轨迹是以为焦点的双曲线；‎ B．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇；‎ C．由圆的面积，猜想出椭圆的面积；‎ D．由，求出猜想出数列的前项和的表达式。‎ ‎【答案】D ‎9．已知f(x)=，在[0,2]上任取三个数a、b、c,均存在以f(a)、f(b)、f(c)为边的三角形，则m的范围为( )‎ A．m>2 B．m>4 C．m>6 D．m>8‎ ‎【答案】C ‎10．已知 ，，则分别为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎11．已知直角三角形的三边、、成等差且均为整数，公差为，则下列命题不正确的是( )‎ A．为整数 B．为的倍 C．外接圆的半径为整数 D．内切圆半径为整数 ‎【答案】C ‎12．已知数列的前项和（是不为0的实数），那么( )‎ A． 一定是等差数列 B． 一定是等比数列[来源:学科网ZXXK]‎ C． 或者是等差数列，或者是等比数列 D． 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 ‎【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：‎ f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，‎ f3(x)＝f(f2(x))＝，‎ f4(x)＝f(f3(x))＝，‎ ‎……‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝____________.‎ ‎【答案】[来源:学.科.网]‎ ‎14．数列满足,，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求=____________‎ ‎【答案】‎ ‎15．观察下列各数对 则第60个数对是 。‎ ‎【答案】（5，7）‎ ‎16．观察不等式：，， ，由此猜测第个不等式为 ．‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知抛物线的准线方程为，C1与直线在第一象相交于点，过作C1的切线，过作的垂线交轴正半轴于点，过作的平行线交抛物线于第一象限内的点，过作C1的切线，过作的垂线，交轴正半轴于点 ‎，…，依此类推，在轴上形成一点列A1,A2,A3，…An，设An的坐标为 ‎ (1）求抛物线的方程； (2）试探求关于的递推关系；‎ ‎ (3）证明：‎ ‎【答案】（Ⅰ）由题意知 ‎ 为所求抛物线的方程 ‎ (Ⅱ）由题意知直线与抛物线联立得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 切线的斜率为=‎ 直线的斜率为 直线的方程为 ‎ 令，‎ ‎(Ⅲ）由（Ⅱ）知 ‎ ‎ ‎ ‎ 易知,直线的斜率为； 直线，令 ‎18．已知,且,求证:与中至少有一个小于2.‎ ‎【答案】假设与都大于或等于2,即, ‎ ‎,故可化为,‎ 两式相加,得x+y≤2, ‎ 与已知矛盾.所以假设不成立,即原命题成立.‎ ‎19．设 f(x)＝x2＋a. 记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，‎ M＝{a∈R|对所有正整数n，≤2}．证明，M＝[－2，]．‎ ‎【答案】⑴ 如果a＜－2，则＝|a|＞2，aM．‎ ‎⑵ 如果－2≤a≤，由题意，f1(0)＝a，fn(0)＝(fn－1(0))2＋a，n＝2，3，……．则 ‎① 当0≤a≤时，≤，("n≥1).‎ ‎ 事实上，当n＝1时，＝|a|≤，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数），‎ 则对n＝k，≤＋a≤()2＋＝．‎ ‎② 当－2≤a＜0时，≤|a|，("n≥1)．‎ 事实上，当n＝1时，≤|a|，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数)，则对n＝k，有 ‎－|a|＝a≤＋a≤a2＋a 注意到当－2≤a＜0时，总有a2≤－2a，即a2＋a≤－a＝|a|．从而有≤|a|．由归纳法，推出[－2，]ÍM．‎ ‎⑶ 当a＞时，记an＝fn(0)，‎ 则对于任意n≥1，an＞a＞且an＋1＝fn＋1(0)＝f(fn(0))＝f(an)＝a＋a．‎ 对于任意n≥1，an＋1－an＝a－an＋a＝(an－)2＋a－≥a－．则an＋1－an≥a－．‎ 所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a－)．当n＞时，an＋1＞n(a－)＋a＞2－a＋a＝2，‎ 即fn＋1(0)＞2．因此aM．综合⑴，⑵，⑶，我们有M＝[－2，]‎ ‎20．观察等式，，请写出与以上等式规律相同的一个一般化的正确等式，并给予证明.‎ ‎【答案】一般化的正确等式为.‎ 证明：‎ 分[来源:Zxxk.Com]‎ ‎ ‎ ‎21．汉诺塔问题是根据一个传说形成的一个问题：有三根杆子和套在一根杆子上的若干大小不等的穿孔圆盘，按下列规则，把圆盘从一根杆子上全部移到另一根杆子上.‎ ‎①每次只能移动1个碟片；②大盘不能叠在小盘上面.‎ 如图所示，将A杆上所有碟片移到C杆上，B杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一个杆子移动到另一个标子为移动一次，记将A杆子上的n个碟片移动到C杆上最少需要移动an次. ‎ ‎(Ⅰ）写出a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(Ⅱ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎(Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【答案】（Ⅰ）.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）推测数列的通项公式为 ‎ 下面用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当n=1时，从A杆移到C杆上只有一种方法，即a1=1，这时成立；‎ ‎②假设当时，成立.‎ 则当n=k+1时，将A杆上的k+1个碟片看做由k个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将A杆上的k个碟片移到B杆上有种方法，再将最底层1张碟片移到C杆上有1种移法，最后将B杆上的k个碟片移到C杆上（此时底层有一张最大的碟片）又有种移动方法，故从A杆上的k+1个碟片移到C杆上共有种移动方法.‎ 所以当n=k+1时, 成立.‎ 由①②可知数列{an}的通项公式是.‎ ‎(也可由递推式构造等比数列求解）‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，，所以 ‎[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎22．（1）求证：；‎ ‎(2）已知函数f（x）= +，用反证法证明方程没有负数根.‎ ‎【答案】（1）要证 只需证 ‎ 只需证 即证 ‎ 只需证 只需证 即证 ‎ 上式显然成立，命题得证。 ‎ ‎(2）设存在x0＜0（x0≠－1），使f（x0）=0，则e= —‎ 由于0＜e＜1得0＜—＜1，解得＜x0＜2，与已知x0＜0矛盾，因此方程f（x）=0没有负数根。‎