2013高考真题圆锥曲线

2013高考真题圆锥曲线

‎2013 圆锥曲线 一、选择题 ‎1 ．（2013年高考湖北卷（文））已知,则双曲线:与:的（　　）‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎【答案】D ‎ ‎【解析】本题考查双曲线的方程以及的计算。双曲线中，，所以，离心率为。中，，所以。所以两个双曲线有相同的焦距，选D.‎ ‎2 ．（2013年高考四川卷（文9））从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点,是椭圆与轴正半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由已知得，点在椭圆上，代入椭圆的方程，得，因为AB∥OP，所以，，，所以，，选C.‎ ‎3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文10））设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（ ）‎ ‎（A）或 （B）或 ‎（C）或 （D）或 ‎【答案】C ‎【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2‎ ‎），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2。因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为。所以的方程是或，选C.‎ ‎4 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文8））为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线的焦点,准线方程为。因为，所以，即，所以,即。所以的面积为，选C.‎ ‎【规律总结】与抛物线有关的试题，更多的是考查抛物线的定义，利用到焦点的距离和到准线的距离相等，实现转化。‎ ‎5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文4））已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的离心率为，即，所以。即，所以，即，所以。所以双曲线的渐近线为，选C.‎ ‎6 ．（ 2013年高考福建卷（文））双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】本题考查的是双曲线的性质．因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为，取一条渐近线为，所以点到直线的距离为．‎ ‎7 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由椭圆C的右焦点为，可知，又离心率等于，所以，解得，所以，即椭圆的方程为，选D.‎ ‎8 ．（2013年高考四川卷（文5））抛物线的焦点到直线的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】的焦点为(2,0)，到的距离为，选D.‎ ‎【知识拓展】抛物线的焦点弦：抛物线的过焦点的弦，若，则，弦长．同样可得抛物线，类似的性质．‎ ‎9 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文5））设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以。又 ‎，所以，即椭圆的离心率为，选D.‎ ‎10．（2013年高考大纲卷（文8））已知且垂直于轴的直线交于且则的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】设椭圆方程为，则，①‎ 当时，，所以， ②‎ 解①②得，.故所求的方程为，选C.‎ ‎11．（2013年高考辽宁卷（文11））已知椭圆的左焦点为F两点,连接了,若,则的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由余弦定理，AF=6，所以，又，所以,选B.‎ ‎12．（2013年高考重庆卷（文10））设双曲线的中心为点,若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和,使,其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是zhangwlx（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】本题考查双曲线的性质与方程。因为,所以根据对称性可知，直线,‎ 关于轴对称，因为直线,所成的角为。所以直线的倾斜角为或，即斜率为或，要使直线与双曲线相交，则双曲线渐近线的斜率，当时，，所以，，即，所以。当时，有，即，所以，即，即，所以综上，即双曲线离心率的范围时，选A.‎ ‎13．（2013年高考大纲卷（文12））已知抛物线与点,过的焦点且斜率为的直线与交于两点,若,则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】的焦点为(2,0)，所以，所以，即，，.‎ 又设，，，‎ ‎，即，‎ 所以，‎ ‎，‎ 解得，故选D.‎ ‎14．（2013年高考北京卷（文7））双曲线的离心率大于的充分必要条件是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，，则.‎ ‎15．（2013年上海高考数学试题（文科18））记椭圆围成的区域(含边界)为,当点分别在上时,的最大值分别是,则（　　）‎ A．0 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】 ‎ 选D ‎16．（2013年高考江西卷（文9））已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=（　　）‎ A．2: B．1:‎2 ‎C．1: D．1:3‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】本题考查抛物线的定义及应用。抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点M，做准线的垂线，交准线于B。则，所以 设射线的倾斜角为，则，即，所以，所以|FM|：|MN|，选C。‎ ‎17．（2013年高考山东卷（文11））抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M,若在点M处的切线平行于的一条渐近线,则= （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由题设知：抛物线的焦点F，双曲线的焦点F2(2,0)，所以直线FF2：.由得，即，双曲线C2的渐近线方程为，又由得，解得，所以，故.‎ ‎18．（2013年高考浙江卷（文9））如图F1.F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点（　　）‎ A．B分别是C1.C2在第二.四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是 ‎（第9题图）‎ ‎ （　　）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D．‎ ‎【解析】由已知得设双曲线实半轴为，由椭圆及双曲线的定义和已知得到,解得，。所以双曲线的离心率为，所以选D 二、填空题 ‎19．（2013年高考湖南（文14））设F1,F2是双曲线C, (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF‎1F2=30°,则C的离心率为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】本题考查双曲线的方程和性质。不妨设点P位于双曲线的右支上,因为，PF1⊥PF2，所以。由双曲线的定义可知，，即，所以，即C的离心率为。‎ ‎20．（2013年高考卷（文11））双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎21．（2013年高考辽宁卷（文15））已知为双曲线的左焦点, 为上的点,若 的长等于虚轴长的2倍,点 在线段上,则的周长为____________.‎ ‎【答案】44 ‎ ‎【解析】两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为.‎ ‎22．（2013年上海高考数学试题（文科12））设是椭圆的长轴,点在上,且.若,,则的两个焦点之间的距离为_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，代入椭圆的标准方程得。‎ ‎23．（2013年高考北京卷（文9））若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=____;准线方程为_____.‎ ‎【答案】2, ‎ ‎【解析】由题意，则.‎ ‎24．（2013年高考福建卷（文））椭圆的左、右焦点分别为,焦距为.若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于__________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率．由题意可知，中，，所以有，整理得，故答案为．‎ ‎25．（2013年高考天津卷（文11））已知抛物线的准线过双曲线 的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 【解析】抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在准线上，所以，即，且双曲线的焦点在轴上。又双曲线的离心率为2，即，解得，所以，所以双曲线的方程为。‎ 三、解答题 ‎26．（2013年高考浙江卷（文））已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 过点F作直线交抛物线C于A.B两点.若直线AO.BO分别交直线l:y=x-2于M.N两点,‎ 求|MN|的最小值. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知可得抛物线的方程为:,且,所以抛物线方程是: ; ‎ ‎(Ⅱ)设,所以所以的方程是:, ‎ 由,同理由 ‎ 所以① ‎ 设,由, ‎ 且,代入①得到: ‎ ‎, ‎ 设, ‎ ‎① 当时 ‎ ‎,所以此时的最小值是; ‎ ‎② 当时, ‎ ‎,所以此时的最小值是,此时,; ‎ 综上所述:的最小值是; ‎ ‎27．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为 ‎(I)求椭圆C的方程 ‎(II)A,B为椭圆C上满足的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设,求实数的值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 将代入椭圆方程,得 ‎ ‎ ‎ ‎28．（2013年高考广东卷（文））已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ‎,其中为切点.‎ ‎(1) 求抛物线的方程;‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;‎ ‎(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)依题意,解得(负根舍去) ‎ 抛物线的方程为; ‎ ‎(2)设点,,, ‎ 由,即得. ‎ ‎∴抛物线在点处的切线的方程为, ‎ 即. ‎ ‎∵, ∴ . ‎ ‎∵点在切线上, ∴. ① ‎ 同理, . ② ‎ 综合①、②得,点的坐标都满足方程 . ‎ ‎∵经过两点的直线是唯一的, ‎ ‎∴直线 的方程为,即; ‎ ‎(3)由抛物线的定义可知, ‎ 所以 ‎ 联立,消去得, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,取得最小值为 ‎ ‎29．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.‎ ‎ 如图,已知双曲线:,曲线:.是平面内一点,若存在过点的直线与、都有公共点,则称为“型点”.‎ ‎(1)在正确证明的左焦点是“型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);‎ ‎(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点;‎ ‎(3)求证:圆内的点都不是“型点”.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎30．（2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为.点在抛物线上,以为圆心为半径作圆,设圆与准线的交于不同的两点.‎ ‎(1)若点的纵坐标为2,求;‎ ‎(2)若,求圆的半径.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)抛物线的准线的方程为, ‎ 由点的纵坐标为,得点的坐标为 ‎ 所以点到准线的距离,又. ‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)设,则圆的方程为, ‎ 即. ‎ 由,得 ‎ 设,,则: ‎ ‎ ‎ 由,得 ‎ 所以,解得,此时 ‎ 所以圆心的坐标为或 ‎ 从而,,即圆的半径为 ‎ ‎31．（2013年高考北京卷（文））直线():相交于,两点, 是坐标原点 ‎(1)当点的坐标为,且四边形为菱形时,求的长.‎ ‎(2)当点在上且不是的顶点时,证明四边形不可能为菱形.‎ ‎【答案】解:(I)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. ‎ 所以可设,代入椭圆方程得,即. 所以|AC|=. ‎ ‎(II)假设四边形OABC为菱形. ‎ 因为点B不是的顶点,且AC⊥OB,所以. ‎ 由,消去并整理得. ‎ 设A,C,则,. ‎ 所以AC的中点为M(,). ‎ 因为M为AC和OB的交点,且,,所以直线OB的斜率为. ‎ 因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾. ‎ 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. ‎ ‎32．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长是,求.‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.‎ ‎【答案】解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径;圆N的圆心为N(1,0),半径. ‎ 设知P的圆心为P(x,y),半径为R. ‎ ‎(I) 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 ‎ ‎. ‎ 有椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左定点除外),其方程为. ‎ ‎(II) 对于曲线C上任意一点,由于,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为; ‎ 若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得. ‎ 若l的倾斜角不为90°,则知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q, ‎ 则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l于圆M相切得, ‎ 解得k=±. ‎ 当k=时,将y=x+代入,并整理得, ‎ 解得. ‎ 当k=. ‎ 综上,. ‎ ‎33．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N ‎(1,0)的距离的2倍. ‎ ‎(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. ‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则 ‎ ‎. ‎ 所以,动点M的轨迹为 椭圆,方程为 ‎ ‎(Ⅱ) P(0, 3), 设 ‎ 椭圆经检验直线m不经过这2点,即直线m斜率k存在..联立椭圆和直线方程,整理得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以,直线m的斜率 ‎ ‎34．（2013年高考大纲卷（文））已知双曲线离心率为直线 ‎(I)求;‎ ‎(II)证明:成等比数列 ‎【答案】(Ⅰ)由题设知,即,故. ‎ 所以C的方程为. ‎ 将y=2代入上式,求得,. ‎ 由题设知,,解得,. ‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,C的方程为. ① ‎ 由题意可设的方程为,,代入①并化简得, ‎ ‎. ‎ 设,,则 ‎ ‎,,,. ‎ 于是 ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 由得,,即. ‎ 故,解得,从而. ‎ 由于, ‎ ‎, ‎ 故, ‎ ‎. ‎ 因而,所以、、成等比数列. ‎ ‎35．（2013年高考天津卷（文））设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎36．（2013年高考辽宁卷（文））如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。‎ ‎（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若点到直线的距离为，求圆的方程。‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎38．（2013年高考湖北卷（文））如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别 为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A,B,C,D.记,△和△的面积分别为和.‎ ‎(Ⅰ)当直线与轴重合时,若,求的值;‎ ‎(Ⅱ)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由.‎ 第22题图 ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷 ‎【答案】依题意可设椭圆和的方程分别为 ‎ ‎:,:. 其中, ‎ ‎(Ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则 ‎ ‎,,所以. ‎ 在C1和C2的方程中分别令,可得,,, ‎ 于是. ‎ 若,则,化简得. 由,可解得. ‎ 故当直线与轴重合时,若,则. ‎ 解法2:如图1,若直线与轴重合,则 ‎ ‎,; ‎ ‎,. ‎ 所以. ‎ 若,则,化简得. 由,可解得. ‎ 故当直线与轴重合时,若,则. ‎ 第22题解答图1‎ 第22题解答图2‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性, ‎ 不妨设直线:, ‎ 点,到直线的距离分别为,,则 ‎ 因为,,所以. ‎ 又,,所以,即. ‎ 由对称性可知,所以, ‎ ‎,于是 ‎ ‎. ① ‎ 将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得 ‎ ‎,. ‎ 根据对称性可知,,于是 ‎ ‎. ② ‎ 从而由①和②式可得 ‎ ‎. ③ ‎ 令,则由,可得,于是由③可解得. ‎ 因为,所以. 于是③式关于有解,当且仅当, ‎ 等价于. 由,可解得, ‎ 即,由,解得,所以 ‎ 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得; ‎ 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. ‎ 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性, ‎ 不妨设直线:, ‎ 点,到直线的距离分别为,,则 ‎ 因为,,所以. ‎ 又,,所以. ‎ 因为,所以. ‎ 由点,分别在C1,C2上,可得 ‎ ‎,,两式相减可得, ‎ 依题意,所以. 所以由上式解得. ‎ 因为,所以由,可解得. ‎ 从而,解得,所以 ‎ 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得; ‎ 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. ‎ ‎39．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)‎ 如题(21)图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,.‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx ‎(Ⅱ)取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.求的面积的最大值,并写出对应的圆的标准方程.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎40．（2013年高考湖南（文））已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点.‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线 的方程.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意. ‎ 圆C:到直线的距离. ‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由椭圆的焦半径公式得: ‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当 ‎ ‎41．（2013年高考安徽（文））已知椭圆的焦距为4,且过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为.取点,连接,过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由 ‎【答案】解: (1)因为椭圆过点 ‎ ‎ 且 ‎ ‎ 椭圆C的方程是 ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 由题意,各点的坐标如上图所示, ‎ 则的直线方程: ‎ 化简得 ‎ 又, ‎ 所以带入 ‎ 求得最后 ‎ 所以直线与椭圆只有一个公共点. ‎ ‎42．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3‎ ‎(1) 求椭圆C的方程;‎ ‎(2) 如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明‎2m-k为定值.‎ ‎【答案】解: 所以再由a+b=3得a=2,b=1, ‎ ‎ ‎ ‎ ① ‎ 将①代入,解得 ‎ 又直线AD的方程为 ② ‎ ‎①与②联立解得 ‎ 由三点共线可角得 ‎ 所以MN的分斜率为m=,则(定值) ‎