高考全国数学卷一理科试卷与答案

高考全国数学卷一理科试卷与答案

‎2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）‎ 数 学（理工类）‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 P( A + B) = P( A) + P(B)‎ S = 4p R2‎ 如果事件相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P( A ?B) P( A) P( B)‎ 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 V =‎ ‎4‎ pR3‎ ‎3‎ 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 k k n- k ‎⋯, n)‎ Pn ( k) = Cn p (1- p)‎ ‎( k = 0,1,2,‎ 第一部分 ‎（选择题 共 60 分）‎ 注意事项：‎ ‎1、选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。‎ ‎2、本部分共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。‎ 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、 (1 x)7‎ 的展开式中 x2 的系数是（‎ ‎）‎ A、 42‎ B ‎、 35‎ C ‎、 28‎ D ‎、 21‎ ‎2、复数 (1‎ i )2‎ ‎（‎ ‎）‎ A、 1‎ ‎2i ‎、 1‎ ‎、 i ‎、 i B C D ‎3、函数 f ( x)‎ x2‎ ‎9‎ ‎, x ‎3‎ 在 x ‎3 处的极限是（‎ x ‎3‎ ‎）‎ ln( x ‎2), x ‎3‎ ‎6‎ ‎、等于 0‎ ‎、不存在 B ‎、等于 C ‎、等于 ‎3‎ D A ‎4、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E ，使 AE ‎1，连接 EC 、 ED 则 sin CED ‎（‎ ‎）‎ A、 3 10‎ B ‎、 10‎ C ‎、‎ ‎5‎ D ‎、‎ ‎5‎ ‎10‎ ax 1 (a ‎10‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎5、函数 y ‎0, a 1) 的图象可能是（‎ ‎）‎ a ‎6、下列命题正确的是（ ）‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 ‎7、设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a b 成立的充分条件是（‎ ‎）‎ ‎| a |‎ ‎| b |‎ A、 a b B ‎、 a // b C ‎、 a ‎2b D ‎、 a // b 且 | a | |b |‎ ‎8、已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 ‎3 ，则 | OM |‎ ‎（‎ ‎）‎ A、 2 2‎ B ‎、 2 3‎ C ‎、 4‎ D ‎、 2 5‎ ‎9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 ‎1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 ‎1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克。每 桶甲产品的利润是 ‎300 元，每桶乙产品的利润是 ‎400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 ‎12 千克。通过合理安排生 ‎）‎ 产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（‎ A、 1800‎ 元B ‎、 2400 元 C ‎、 2800‎ 元 D ‎、 3100 元 ‎10、如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 内，过点 O 作平面 的垂线交半球面于点 A ，过圆 O 的直径 CD 作平面 成 45‎ 角的平面与半球面 相交，所得交线上到平面 的距离最大的点为 B ，该交线上的一点 P 满足 BOP 60‎ ‎，则 A 、 P 两点间的球面距离为（‎ ‎）‎ A、 R arccos ‎2‎ B ‎、‎ R C ‎、 R arccos 3‎ D ‎、‎ R ‎4‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎11、方程 ay b2 x2‎ c 中的 a, b, c ‎{ 3, 2,0,1,2,3} ，且 a, b, c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（‎ ‎）‎ A、 60 条 B ‎、 62 条 C ‎、 71 条 D ‎、 80 条 ‎12、设函数 f ( x)‎ ‎2x cos x ， { an } 是公差为 的等差数列，‎ f (a1)‎ f ( a2 )‎ f (a5 )‎ ‎5 ，则 [ f (a3)] 2‎ a1a3 （‎ ‎）‎ ‎8‎ A、 0‎ B ‎、 1 2‎ C ‎、 1 2‎ D ‎、 13 2‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎16‎ 第二部分 ‎（非选择题 共 90 分）‎ 注意事项：‎ ‎（1）必须使用 0.5‎ 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 ‎0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试 题卷上无效。‎ ‎（2）本部分共 10‎ 个小题，共 ‎90 分。‎ 二、填空题（本大题共 ‎4 个小题，每小题 4 分，共 ‎16 分。把答案填在答题纸的相应位置上。‎ ‎）‎ ‎13、设全集 U { a,b, c, d} ，集合 A { a, b} ， B ‎{ b, c, d} ，则 U A ‎(‎ U B ‎___________‎ ‎。‎ ‎(痧 ‎)‎ ‎)‎ ‎14、如图，在正方体 ABCD A1 BC11 D1 中， M 、 N 分别是 CD 、 CC1‎ 的中 D1‎ C1 点 ， 则 异 面 直 线 A1 M 与 DN 所 成 角 的 大 小 是 ‎____________。‎ A B1‎ ‎1‎ N ‎15 、椭圆 x2‎ y2‎ ‎1‎ 的左焦点为 F ，直线 x m 与椭圆相交于点 A 、 B ，‎ 当 FAB 的 周 长 最 大 时 ，‎ FAB 的 面 积 是 ‎4‎ ‎3‎ D C ‎____________。‎ M A ‎16‎ ‎[ x]‎ x ‎[2]‎ ‎2‎ ‎[1.5]‎ ‎1 [‎ ‎0.3]‎ ‎1‎ B 设 a 为 正 整 数 ， 数 列 ‎{‎ xn ‎}‎ x1‎ a 为不超过实数 ‎。‎ 满 足 ‎，‎ ‎、记 的最大整数，例如，‎ ‎，‎ ‎，‎ xn [ a ]‎ xn 1‎ ‎[‎ ‎2‎ xn ]( n N ) ，现有下列命题：‎ ‎①当 a ‎5 时，数列 { xn} 的前 3 项依次为 5,3,2‎ ‎；‎ ‎②对数列 ‎{ xn} 都存在正整数 k ，当 n k 时总有 xn xk ；‎ ‎③当 n ‎1时， xn a ‎1 ；‎ ‎④对某个正整数 k ，若 xk 1 xk ，则 xn [‎ a] 。‎ 其中的真命题有 ____________ 。（写出所有真命题的编号）‎ 三、解答题（本大题共 ‎6 个小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎）‎ ‎17、 ( 本小题满分 ‎12 分 )‎ 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）‎ A 和 B ，系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 ‎1 和 p 。‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ‎49 ，求 p 的值；‎ ‎50‎ ‎（Ⅱ）设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ‎，求 的概率分布列及数学期望 E 。‎ ‎18、 ( 本小题满分 ‎12 分 )‎ 函数 f ( x)‎ ‎6cos 2‎ x ‎3 cos x 3(0) 在一个周期内的图象如图所示，‎ A 为图象的最高点，‎ B 、 C 为图象与 x 轴的交点，且 ABC 为正三 ‎2‎ 角形。‎ ‎（Ⅰ）求 的值及函数 f ( x) 的值域；‎ ‎（Ⅱ）若 f ( x0 )‎ ‎8 3‎ ‎，且 x0 ( 10 , 2 ) ，求 f ( x0‎ ‎1)‎ 的值。‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎19、 ( 本小题满分 ‎12 分 )‎ 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中 ，‎ APB 90‎ ‎，‎ P ‎（Ⅰ）求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求二面角 B AP C 的大小。‎ ‎20、( 本小题满分 ‎12 分)‎ 已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ， A ‎（Ⅰ）求 a1 ， a2 的值；‎ ‎‎ PAB 60 ， AB BC CA ，平面 PAB 平面 ABC 。‎ C B 且 a2 an S2 Sn 对一切正整数 n 都成立。‎ ‎（Ⅱ）设 a1 0 ，数列 {lg 10a1 } 的前 n 项和为 Tn ，当 n 为何值时， Tn 最大？并求出 Tn 的最大值。‎ an ‎21、 ( 本小题满分 ‎12 分 )‎ 如图，动点 M 到两定点 A(‎ ‎1,0) 、 B(2,0) 构成 MAB ，且 MBA ‎2 MAB ，设动点 M 的轨迹为 C 。‎ ‎（Ⅰ）求轨迹 C 的方程；‎ y ‎（Ⅱ）设直线 y ‎2x m 与 y 轴交于点 P ，与轨迹 C 相交 M 于点 Q、 R ，且 | PQ | | PR |，求 ‎| PR |‎ 的取值范围。‎ ‎| PQ |‎ ‎22 、 ( 本小题满分 14 分 )‎ x2an A O B x 已知 a 为正实数， n 为自然数， 抛物线 y 与 x 轴正半轴相交于点 A ，设 f (n) 为该抛物线在点 A 处的切线 在 y 轴上的截距。‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）用 a 和 n 表示 f (n) ；‎ ‎（Ⅱ）求对所有 n 都有 f (n)‎ ‎1‎ n3‎ 成立的 a 的最小值；‎ f (n)‎ ‎1‎ n3‎ ‎1‎ n ‎1‎ 与 27‎ f (1)‎ f ( n) 的大小，并说明理由。‎ ‎（Ⅲ）当 0 a ‎1时，比较 k ‎1‎ f (k)‎ f (2k)4‎ f (0)‎ f (1)‎