高考数学考点归纳之 平面向量基本定理及坐标表示

高考数学考点归纳之 平面向量基本定理及坐标表示

高考数学考点归纳之平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．　　　　考点一　平面向量基本定理及其应用[典例]　如图，以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，＝，＝，用a，b表示，，.[解]　∵＝－＝a－b，＝＝a－b，∴＝＋＝a＋b.∵＝a＋b，∴＝＋＝＋＝＝a＋b，∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. [解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，则＝(　　)A.a＋b　　　　　　　B．－a＋bC.a－bD．－a－b解析：选A　由题意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.2．已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．解析：依题意，设＝λ(0<λ<1)，由＋＋＝0，知＝－(＋)， 所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2,0)．答案：(－2,0)[典例]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求M，N的坐标及向量的坐标．[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．[变透练清]1.本例条件不变，若a＝mb＋nc，则m＝________，n＝________.解析：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝(5，－5)， ∴解得答案：－1　－12．已知O为坐标原点，向量＝(2,3)，＝(4，－1)，且＝3，则||＝________.解析：设P(x，y)，由题意可得A，B两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由＝3，可得解得故||＝.答案：[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．[典例]　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的取值为(　　)A．－　　　　　　　　　B. C．－3D．3解析：选A　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(ka＋b)∥(a－3b)得(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以k＝－.2．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝(　　)A．－3B．3C．1D．－1解析：选D　设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4－x,2－y)，＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴解得故点D的坐标为(2,4)．答案：(2,4) 1．(2019·昆明调研)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝(　　)A.　　　　　　　　　B．2C.D．10解析：选C　由已知，易得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝＝.故选C.2．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)A．(－23，－12)B．(23,12)C．(7,0)D．(－7,0)解析：选A　由题意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．3．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A　若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.4．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝(　　)A.＋B.＋C.＋D.＋解析：选C　如图，因为＝2，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋ .5．已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在直线AB上，则实数m＝(　　)A．－12B．13C．－13D．12解析：选C　因为点C在直线AB上，所以与同向．又＝(－7，－2)，＝(2m－9，m＋3)，故＝，所以m＝－13.故选C.6．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)A．2B.C．2D．4解析：选A　因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.7．已知||＝1，||＝，⊥，点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则等于(　　)A.B．3C.D.解析：选B　如图，由已知||＝1，||＝，⊥，可得AB＝2，∠A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD⊥OA，垂足为点D，则OD＝，CD＝，所以＝， ＝，即＝＋，所以＝3.8.(2019·深圳模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)A.B.C.D．2解析：选B　以点A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)，所以λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，所以解得所以λ＋μ＝.9．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴∴∴m－n＝2－5＝－3.答案：－310．已知向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数m＝________.解析：因为a＋b＝(5,2m)≠0，所以由(2|a|－|b|)(a＋b)＝0得2|a|－|b|＝0，所以|b|＝2|a|，所以＝2，解得m＝±2. 答案：±211．(2019·南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，则m－n＝________.解析：∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2，得m2＋n2＝20，　①由a＝λb(λ<0)，得　②由①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.答案：－612．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.答案：13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若＋＋＝0，求||；(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n.解：(1)∵＋＋＝0，＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)， ∴解得x＝2，y＝2，即＝(2,2)，故||＝2.(2)∵＝m＋n，＝(1,2)，＝(2,1)．∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，即两式相减，得m－n＝y－x.第三节平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．　(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向．2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零．3．平面向量数量积的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a，b的夹角，则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在向量b的方向上的投影．(2)a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．　　　　　　　　　4．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则(1)|a|＝；　　(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；(2)a·b＝x1x2＋y1y2;_(4)cosθ＝.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．[典例]　(1)(2018·新乡二模)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4,1)共线，则m·n＝(　　)A．0　　　　　　　　B．4C．－D．－(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)A．－15B．－9C．－6D．0 [解析]　(1)∵向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4,1)共线，∴2k－1－4k＝0，解得k＝－，∴m＝，∴m·n＝－2×4＋×1＝－.(2)法一：如图，连接MN.∵＝2，＝2，∴＝＝.∴MN∥BC，且＝.∴＝3＝3(－)．∴·＝3(·－2)＝3(2×1×cos120°－12)＝－6.法二：在△ABC中，不妨设∠A＝90°，取特殊情况ON⊥AC，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON＝120°，ON＝2，OM＝1，所以O，C，M，B.故·＝·＝－－＝－6.[答案]　(1)D　(2)C[解题技法]　求非零向量a，b的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a， b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．[题组训练]1．(2019·济南模拟)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝(　　)A．1　　　　　　　　　B．－1C.D．2解析：选B　设＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.2．(2019·南昌调研)已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(　　)A.B．－C．－D．－解析：选D　由a＝(1,2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，∴向量b在a方向上的投影为＝－.3．(2018·石家庄质检)在△ABC中，已知与的夹角为90°，||＝2，| |＝1，M为BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________．解析：法一：∵＝－，·＝0，∴(λ＋μ)·(－)＝0，∵与的夹角为90°，||＝2，||＝1，∴－λ||2＋μ||2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴＝.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.答案：考法(一)　平面向量的模[典例]　(1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　)A．6　　　　　　　　　　B．3C．2D．3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　) A．1B.C.D.[解析]　(1)∵a·b＝0，|a|＝3，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cos，∴|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.(2)∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)·a·b＋t2b2，∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.[答案]　(1)D　(2)D考法(二)　平面向量的夹角[典例]　(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　)A.B.C.D.(2)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)且b在a方向上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．[解析]　(1)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3， 所以|a＋2b|＝.又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.(2)因为b在a方向上的投影为－3，所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.[答案]　(1)A　(2)考法(三)　平面向量的垂直[典例]　(1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D．π(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．[解析]　(1)设a与b的夹角为θ，因为|a|＝|b|，(a－b)⊥(3a＋2b)， 所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝|b|2－2|b|2－|b|2cosθ＝0，解得cosθ＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.(2)由⊥，知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1)·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝.[答案]　(1)A　(2)[解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．(2018·深圳高级中学期中)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)A．－4　　　　　　　　　B．－3C．－2D．－1解析：选B　∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.2．(2018·永州二模)已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝(　　)A.B．1C.D．2 解析：选A　∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×＝，∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝，故选A.3．(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，记向量a，b的夹角为θ，则tanθ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝1＋3，∴a·b＝－，∴cosθ＝＝－，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝－.答案：－1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．－1C．－6D．－18解析：选D　∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)A.B．－C.D．－ 解析：选D　∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa＋b与b垂直，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝(　　)A.B.C．2D.解析：选A　因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝.故选A.4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)A.B.C.D.解析：选D　设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(a＋c)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，即3m＋2n＝－7，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，联立解得所以c＝.5．(2018·襄阳调研)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)A.∪B.C．(－∞，－2)∪D. 解析：选C　不妨令i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b＝1－2λ>0且a，b不共线，所以λ<且λ≠－2，故选C.6．(2019·石家庄质检)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)A.B.C.D.解析：选A　∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，∴|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，∴|a|＝|b|，cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝＝，故a＋b与a的夹角为.7．(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝(　　)A．0B．1C.D．－解析：选B　以点C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1，0)，B(0,1)，不妨设P，所以·＋·＝·(＋)＝＋＝1.故选B.8．(2019·武汉调研)已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为(　　)A．－1B．－2 C．－D．－解析：选D　不妨设e＝(1,0)，则a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则a＋b＝(－1，m＋n)，所以|a＋b|＝＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，当且仅当m＝n时等号成立，所以mn≤，所以a·b＝－2＋mn≤－，综上可得a·b的最大值为－.9．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为________．解析：∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝.答案：10．(2018·湖北八校联考)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，若(λa＋b)⊥(a－2b)，则λ＝________.解析：∵|a|＝1，|b|＝2，且a，b的夹角为，∴a·b＝1×2×＝－1，又∵(λa＋b)⊥(a－2b)，∴(λa＋b)·(a－2b)＝0，即(λa＋b)·(a－2b)＝λa2－2b2＋(1－2λ)a·b＝λ－8－(1－2λ)＝0，解得λ＝3.答案：311．(2018·合肥一检)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．解析：∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝， ∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.答案：－12.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.解析：由已知得||＝，||＝，则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos＋×＝－.答案：－13．(2019·南昌质检)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|2a－b|＝.(1)求|2a－3b|的值；(2)求向量3a－b与a－2b的夹角θ.解：(1)∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4a·b＋1＝5，∴a·b＝0，∴|2a－3b|＝＝＝.(2)cosθ＝＝＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.