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文档介绍
中考数学试题分类等腰三角形
第 23 章 等腰三角形 一、选择题 1. （2011 浙江省舟山，7，3 分）如图，边长为 4 的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边 形 BCED 的面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 2. （2011 四川南充市，10，3 分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点 B,C,D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论： ①tan∠AEC= ;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 【答案】D 3. （2011 浙江义乌，10，3 分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ DAE=90°， 四边形 ACDE 是平行四边形，连结 CE 交 AD 于点 F，连结 BD 交 CE 于点 G，连结 BE. 下列结论中： ① CE=BD； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG； 一定正确的结论有 M E DCB A 32 33 34 36 （第 7 题） A B C D E CD BC A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 4. （2011 台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以 B 为圆心， 长为半径画弧，分别 交 、 于 D、E 两点，并连接 、 ．若∠A=30∘， ＝ ，则∠BDE 的度数为何？ A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 75 【答案】Ｃ 5. （2011 台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形 ABC、DEF，且 D、A 分别为△ABC、 △DEF 的重心．固定 D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得 A 落在 上，如图(十七)所 示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？ A．2：1 B． 3：2 C． 4：3 D． 5：4 【答案】Ｃ 6. （2011 山东济宁，3，3 分）如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 和 6cm，那么此三 角形的周长是 A．15cm B．16cm A B C D EF G BC AC AB BD DE AB AC DE C．17cm D．16cm 或 17cm 【答案】D 7. （2011 四川凉山州，8，4 分）如图，在 中， ， ，点 为 的中点， ，垂足为点 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 二、填空题 1. （2011 山东滨州，15，4 分）边长为 6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为 ________. 【答案】 cm 2. （2011 山东烟台，14,4 分）等腰三角形的周长为 14，其一边长为 4，那么，它的底边 为 . 【答案】4 或 6 3. （2011 浙江杭州，16，4）在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC＝1，过点 C 作直线 l∥AB，F 是 l 上的一点，且 AB＝AF，则点 F 到直线 BC 的距离为 ． 【答案】 4. （2011 浙江台州，14,5 分）已知等边△ABC 中，点 D,E 分别在边 AB,BC 上，把△BDE 沿直 线 DE 翻折，使点 B 落在点 Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边 AC 于点 F，G，若∠ADF=80º ， 则∠EGC 的度数为 ABC△ 13AB AC= = 10BC = D BC DE DE AB⊥ E DE 10 13 15 13 60 13 75 13 3 3 3 1 3 1 2 2 + −或 【答案】80º 5. （2011 浙江省嘉兴，14，5 分）如图，在△ABC 中，AB=AC， ，则△ABC 的外 角∠BCD＝ °． 【答案】110 6. （2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC，∠B=50°，则∠ A=_______。 【答案】80°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。 7. （2011 山东济宁，15，3 分）如图，等边三角形 ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 边上的 两 个 动 点 ， 且 总 使 AD=BE ， AE 与 CD 交 于 点 F ， AG⊥CD 于 点 G ， 则 ． 【答案】 8. （2011 湖南怀化，13，3 分）如图 6，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC 的角平分线交 BC 边于点 D，AB=5，BC=6，则 AD=__________________. °=∠ 40A （第 14 题） A B C D FG AF = G F E C BA 第 15 题 D 1 2 【答案】4 9. （2011 四川乐山 16，3 分）如图，已知∠AOB= ，在射线 OA、OB 上分别取点 OA =OB ，连结 A B ，在 B A 、B B 上分别取点 A 、B ，使 B B = B A ，连结 A B …按此规律上去，记∠A B B = ，∠ ，…，∠ 则⑴ = ； ⑵ = 。 【答案】⑴ ⑵ 10．（2011 湖南邵阳，11，3 分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC，∠B=50°，则∠ A=_______。 【答案】80°。 11. （2011 贵州贵阳，15，4 分）如图，已知等腰 Rt△ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边， 画第三个等腰 Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰 Rt△AFG，则由这五个等腰直 α 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 θ 3 2 3 2A B B θ= n+1 1A n n nB B θ+ = 1 θ n θ 2 180 α+° ( ) n n 2 18012 α+°⋅− 角三角形所构成的图形的面积为______． （第 15 题图） 【答案】 31 2 12. （2011 广东茂名，14，3 分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一 直线上，且 CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度． 【答案】15 三、解答题 1. （2011 广东东莞，21，9 分）如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD 绕点 A 顺时针旋转， 当 DF 边与 AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF （或它们的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ； （2）设 CG＝x，BH＝y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）； （3）问：当 x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？ 【解】（1）△HGA 及△HAB； （2）由（1）可知△AGC∽△HAB ∴ ，即 ， 所以， （3）当 CG＜ 时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH ∵AG＜AC，∴AG＜GH 又 AH＞AG，AH＞GH 此时，△AGH 不可能是等腰三角形； 当 CG= 时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，△AGH 是等腰三角形； 此时，GC= ，即 x= 当 CG＞ 时，由（1）可知△AGC∽△HGA 所以，若△AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH 若 AG=AH，则 AC=CG，此时 x=9 综上，当 x=9 或 时，△AGH 是等腰三角形． 2. （2011 山东德州 19,8 分）如图 AB=AC，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，BE 与 CD 相交 于点 O． （1）求证 AD=AE；(2) 连接 OA，BC，试判断直线 OA，BC 的关系并说明理由． 【答案】（1）证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， CG AC AB BH = 9 9 x y = 81y x = 1 2 BC 1 2 BC 9 22 9 22 1 2 BC 9 22 A B C ED O ∴ △ACD≌△ABE．…………………… 3 分 ∴ AD=AE． ……………………4 分 (2) 互相垂直 ……………………5 分 在 Rt△ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA，AD=AE， ∴ △ADO≌△AEO． ……………………………………6 分 ∴ ∠DAO=∠EAO． 即 OA 是∠BAC 的平分线． ………………………………………7 分 又∵AB=AC， ∴ OA⊥BC． ………………………………………8 分 3. （2011 山东日照，23，10 分）如图，已知点 D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD＝∠CBD ＝15°，E 为 AD 延长线上的一点，且 CE＝CA． （1）求证：DE 平分∠BDC； （2）若点 M 在 DE 上，且 DC=DM， 求证： ME=BD． 【答案】（1）在等腰直角△ABC 中， ∵∠CAD=∠CBD=15o， ∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o， ∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC， ∴∠DCA=∠DCB=45o． 由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o， ∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o， ∴∠BDM=∠EDC， ∴DE 平分∠BDC； （2）如图，连接 MC， ∵DC=DM，且∠MDC=60°， ∴△MDC 是等边三角形，即 CM=CD． A B E C D O 又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°， ∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°， ∴∠EMC=∠ADC． 又∵CE=CA， ∴∠DAC=∠CEM=15°， ∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB． 4. （2011 湖北鄂州，18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC 边 上中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长． 【答案】连结 BD，证△BED≌△CFD 和△AED≌△BFD，求得 EF=5 5. （ 2011 浙 江 衢 州 ， 23,10 分 ） 是 一 张 等 腰 直 角 三 角 形 纸 板 ， . 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1），比较甲、乙 两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. 第 18 题 图 B A E D F C ABC∆ Rt 2C AC BC∠ = ∠ = =， （第 23 题）（第 23 题图 1） P N D F E B A C C A B Q M 图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 ；按照甲种剪法，在余下的 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这 两个正方形面积和为 (如图 2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的方 法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和 为 (如图 3)；继续操作下去…则第 10 次剪取时， . 求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和. 【答案】(1)解法 1：如图甲，由题意得 .如图乙， 设 ，则由题意，得 又 甲种剪法所得的正方形的面积更大 说 明 ： 图 甲 可 另 解 为 ： 由 题 意 得 点 D 、 E 、 F 分 别 为 的 中 点 ， 解法 2：如图甲，由题意得 如图乙，设 甲种剪法所得的正方形的面积更大 (2) (3) (3)解法 1：探索规律可知： ‘ 1S ADE BDF∆ ∆和 2S 2 =S 3S 10S = , 1, 1CFDEAE DE EC EC S= = = =正方形即 MN x= ,AM MQ PN NB MN x= = = = = 2 2 23 2 2, 3 2 2 8( )3 9PNMQ x x S ∴ = = ∴ = =正方形 解得 81 9 > ∴ AB AC BC、 、 1 12 ABCCFDES S= = 正方形 AE DE EC= = ，即EC=1 ,MN x AM MQ QP PN NB MN x= = = = = = =则由题意得 2 23 2 2, 3 2 21 ,3 x x EC MN ∴ = = > > 解得 又 即 ∴ 2 1 2S = 10 9 1 2S = 1 1 2n nS −= 剩余三角形的面积和为： 解法 2：由题意可知， 第一次剪取后剩余三角形面积和为 第二次剪取后剩余三角形面积和为 第三次剪取后剩余三角形面积和为 … 第十次剪取后剩余三角形面积和为 6. (2011 浙江绍兴，23，12 分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点 为 的中点时，如图 1，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出结论： （填“>”,“<”或“=”）. （2）特例启发，解答题目 解：题目中， 与 的大小关系是： （填“>”,“<”或“=”）.理由如下： 如图 2，过点 作 ，交 于点 . （请你完成以下解答过程） 在等边三角形ABC中，点E在AB上， 点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图. 试确定线段AE与DB的大小关系，并说明 理由. E A B CD E A B CD E A B CD ( )1 2 10 9 9 1 1 1 12 2 1 2 4 2 2S S S − + + + = − + + + + = 1 12 =1=S S− 1 2 2 1 11 2 2S S S− = − = = 2 3 3 1 1 1 2 4 4S S S− = − = = 9 10 10 9 1= 2S S S− = E AB AE DB AE DB AE DB AE DB E / /EF BC AC F 第 25 题图 1 第 25 题图 2 （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上，且 .若 的边长为 1， ，求 的长（请你直接写出结果）. 【答案】（1）= . （2）=. 方法一：如图，等边三角形 中， 是等边三角形， 又 . 方法二：在等边三角形 中， E A B CD ABC E AB D BC ED EC= ABC∆ 2AE = CD ABC 60 ,ABC ACB BAC AB BC AC∠ = ∠ = ∠ = ° = =， / / ,EF BC 60 ,AEF AFE BAC∴∠ = ∠ = ° = ∠ AEF∴∆ ,AE AF EF∴ = = , ,AB AE AC AF BE CF∴ − = − =即 60ABC EDB BED∠ = ∠ + ∠ = ° ， 60ACB ECB FCE∠ = ∠ + ∠ = ° , , , , , . ED EC EDB ECB BED FCE DBE EFC DB EF AE BD = ∴∠ = ∠ ∴∠ = ∠ ∴∆ ≅ ∆ ∴ = ∴ = ABC 而由 是正三角形可得 (3)1 或 3. 7. （2011 浙江台州，23,12 分）如图 1，过△ABC 的顶点 A 分别做对边 BC 上的高 AD 和中 线 AE，点 D 是垂足，点 E 是 BC 中点，规定 。特别的，当点 D 重合时，规 定 。另外。对 、 作类似的规定。 （1）如图 2，已知在 Rt△ABC 中，∠A=30º，求 、 ； （2）在每个小正方形边长为 1 的 4×4 方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即 每个小正方形的顶点）上，且 ，面积也为 2； （3）判断下列三个命题的真假。（真命题打√，假命题打×） ① 若△ABC 中， ，则△ABC 为锐角三角形；（ ） ② 若△ABC 中， ，则△ABC 为直角三角形；（ ） ③ 若△ABC 中， ，则△ABC 为钝角三角形；（ ） 60 120 , , , , , , / / , 60 , 180 120 , , ABC ACB ABD ABC EDB BED ACB ECB ACE ED EC EDB ECB BED ACE FE BC AEF AFE BAC AEF EFC ACB ABD EFC DBE DB EF ∠ = ∠ = ° ∠ = ° ∠ = ∠ + ∠ ∠ = ∠ + ∠ = ∴∠ = ∠ ∴∠ = ∠ ∴∠ = ∠ = ° = ∠ ∴∆ ∠ = °− ∠ = ° = ∠ ∴∆ ≅ ∆ ∴ = ， 是正三角形， AEF∆ .EF AE= .AE DB∴ = BE DE A =λ 0=Aλ Bλ cλ Aλ cλ 2=Aλ 1查看更多