中考倒数第二题专项训练

中考倒数第二题专项训练

‎2015年中考倒数第二题专项训练（空间与图形）‎ ‎1.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． ‎ ‎（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证； ‎ ‎（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； ‎ ‎（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．‎ ‎2.如图13，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.  （1）∠BEF=_____(用含a的代数式表示)； （2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想； （3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图14），求EB/EF的值（用含m、n的代数式表示）。 ‎ ‎3已知：线段OA^OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点。连结AC，‎ ‎ BD交于点P。 (1) 如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；‎ ‎ (2) 如图2，当OA=OB，且=时，求tanÐBPC的值；‎ ‎ (3) 如图3，当AD：AO：OB=1：n：2时，直接写出tanÐBPC的值。‎ A B C D P O D C O P A B D C O P A B 圖1‎ 圖2‎ 圖3‎ ‎4原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若 =3，求 的值． （1）尝试探究 在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ， 的值是  ． （2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若 =m（m＞0），则 的值是 （用含有m的代数式表示），试写出解答过程． （3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若 =a， =b（a＞0，b＞0），则 的值是  （用含a、b的代数式表示）．‎ ‎5如图RT△ABC中,∠ACB=90,tanB=4/5,D是BC上一动点,将△ADB沿AD翻折得到△ADB',连B'C,H是AD上一点且∠ACH=∠BCB'.（1）当CD=BD时,求证：CH⊥AD;(2)当BD/CD=2/3时,求AH/HD的值； ‎ ‎6已知点E在△ABC内,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°‎ (1） 求证:BD=√3AE (2)当α=90°时 求BD／AE的值 ‎ ‎7如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N。‎ ‎（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？ （3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等。‎ ‎8.如图△BCD中,∠CBD=120°.BC=BD.AC⊥CD且AC=1/2BD.AB交CD于E（1）求证AE=BE(2)点F为BC的中点，∠BDF=∠FDH点H在AB上，DF交AB于G,@求证 @2若BH=10，求BF的长 ‎9、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”。其中∠B=∠C。‎ ‎（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。‎ ‎（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：‎ ‎（3）在由不平行于BC的直线截ΔPBC所得的四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）‎ ‎ ‎ ‎10．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：‎ ‎（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；‎ 拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．‎ ‎11如图1，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线.‎ ‎（1）如图2，在△中，°，，的平分线交于点，请问点是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论；‎ ‎（2）若△在（1）的条件下，如图（3），请问直线是不是△的黄金分割线，并证明你的结论；‎ ‎（3）如图4，在直角梯形中，，对角线、交于点，延长、交于点，连接交梯形上、下底于、两点，请问直线是不是直角梯形的黄金分割线，并证明你的结论.‎ E A C B A D B C A C D H A B B F C D 图1‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎2015倒数第二题答案 ‎1.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ‎ ‎ ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．‎ ‎（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下： 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，[ ∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．‎ ‎ ∴△ADE∽△DCM，∴，即．（3）．‎ 3. 解：(1) 延长AC至点E，使CE=CA，连接BE，∵C为OB中点，‎ ‎ ∴△BCE@△OCA，∴BE=OA，ÐE=ÐOAC，∴BE//OA， ∴△APD~△EPB，‎ ‎∴=。又∵D为OA中点， OA=OB，∴==。∴==，∴=2。‎ D C O P H A B A B C D P O E ‎ (2) 延长AC至点H，使CH=CA，连结BH，∵C为OB中点， ∴△BCH@△OCA，∴ÐCBH=ÐO=90°，BH=OA。由=， 设AD=t，OD=3t，则BH=OA=OB=4t。在Rt△BOD中， BD==5t，∵OA//BH，∴△HBP~△ADP，∴===4。∴BP=4PD=BD=4t，∴BH=BP。 ∴tanÐBPC=tanÐH===。 (3) tanÐBPC=。‎ 解：（1）∵∴∴又∵DE是∠BDC的平分线 ∴∠BDC=2∠BDE∴∠DAC=∠BDE ∴DE∥AC。（2）（i）当时，得∴BD=DC ∵DE平分∠BDC∴DE⊥BC，BE=EC又∠ACB=90°∴DE∥AC∴即 ∴AD=5。（2）当时，得∴EN∥BD 又∵EN⊥CD ∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC∴CD=∴ 综上，当AD=5或时，△BME与△CNE相似。（3）由角平分线性质易得 ‎ ‎∵∴即∴EM是BD的垂直平分线 ∴∠EDB=∠DBE∵∠EDB=∠CDE ∴∠DBE=∠CDE又∵∠DCE=∠BCD∴ ∴∴即∵∴ 由①得∴∴∴‎ ‎10.（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．‎ ‎∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．（2分）∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．‎ ‎∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．‎ ‎（2）作图如下：‎ ‎（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，∴．‎ ‎11.（1）点是边上的黄金分割点，理由如下：∵°，∴°‎ ‎∵平分∴°∴°∵，∴ ‎ ‎∴又∵∴∴是边上的黄金分割点）‎ ‎（2）直线是△的黄金分割线，理由如下：设的边上的高为，则，，∴，∵是的黄金分割点∴∴∴是△的黄金分割线（3）不是直角梯形的黄金分割线∵∥∴ ， ∴ ① ②由①、 ②得 即 ③同理，由 ， 得 即 ④由③、④得∴∴∴ 梯形与梯形上下底分别相等，高也相等∴梯形梯形梯形∴不是直角梯形的黄金分割线