初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型有答案

初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型有答案

‎1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。‎ ‎　　2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。‎ ‎　　3.正确运用正方形的性质解题。‎ ‎　　4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。‎ ‎　　5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。‎ 正方形的性质 ‎　　因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，‎ ‎　　所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。‎ ‎　　正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。‎ ‎　　正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。‎ ‎　　说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。‎ ‎　　小结： ‎ ‎　　（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 ‎　　（2）正方形的性质：‎ ‎　　　①正方形对边平行。‎ ‎　　　②正方形四边相等。‎ ‎　　　③正方形四个角都是直角。‎ ‎　　　④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。‎ 例1．如图，折叠正方形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，使，求．‎ ‎【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．‎ ‎ 由题意可知∠ADG=GDM，‎ ‎ 则△ADG≌△MDG．‎ ‎ ∴DM=DA=2． AC=GM ‎ 又易知：GM=BM．‎ ‎ 而BM=BD-DM=2-2=2（-1），‎ ‎ ∴AG=BM=2（-1）．‎ 例2 ．如图，为正方形内一点，，并且点到边的距离也等于，求正方形的面积？‎ ‎【解析】：过作于交于．‎ ‎ 设，则，．‎ ‎ 由．‎ ‎ 可得：．‎ ‎ 故．‎ ‎ ．‎ 例3. 如图，、分别为正方形的边、上的一点，，垂足为，，则有，为什么？‎ ‎【解析】：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．‎ ‎ 理由：连结AE、AF．‎ ‎ 由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，‎ ‎ ∴△ABE≌△AME．‎ ‎ ∴BE=ME．‎ ‎ 同理可得，△ADF≌△AMF．‎ ‎ ∴DF=MF．‎ ‎∴EF=ME+MF=BE+DF．‎ 例4．如下图、分别在正方形的边、上，且，试说明。‎ ‎【解析】：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG ‎∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG ‎∵∠EAF=45°且四边形是正方形，‎ ‎∴∠ADF﹢∠BAE=45°‎ ‎∴∠GAB﹢∠BAE=45°‎ 即∠GAE=45°‎ ‎∴△AEF≌△AEG（SAS）‎ ‎∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF 例5. 如图，在正方形的、边上取、两点，使，于. 求证： ‎ ‎【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，‎ 应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够. ‎ ‎∠EAF=45°怎么用呢？‎ 显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解决了. ‎ ‎【证明】：把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB. ‎ ‎　∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ‎ ‎　∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. ‎ ‎　又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. ‎ ‎　∴ △AEF≌△AEH. ‎ 例6.(1) 如图1,在正方形中,点,分别在边,‎ 上,,交于点,.‎ 求证：.‎ 图2‎ ‎(2) 如图2,在正方形中,点,,,分别在边,‎ ‎,,上,,交于点,,.‎ 求的长.‎ 1. 已知点,,,分别在矩形的边,,,上，‎ ‎,交于点,,. 直接写出下列两题的答案：‎ ‎①如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长；‎ ‎ ②如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示).‎ 图4‎ 图3‎ 图1‎ ‎【解析】‎ ‎(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ‎ ‎∴ ∠EAB+∠AEB=90°.‎ ‎∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,‎ ‎∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ‎ 图2‎ O′‎ N M ‎∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． ‎ ‎(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，‎ 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，‎ 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ‎ ‎∴ EF=BN,GH=AM， ‎ ‎∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,‎ 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，‎ ‎∴ GH=EF=4． ‎ ‎(3) ① 8．② 4n． ‎ ‎【双基训练】‎ ‎1. 如图6，点在线段上，四边形与都是正方形，其边长分别为和，则的面积为________．‎ ‎ ‎ ‎ (6) (7)‎ ‎2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为________．‎ ‎3.如图9，已知正方形的面积为35平方厘米，、分别为边、上的点．、相交于，并且的面积为14平方厘米，的面积为5平方厘米，那么四边形的面积是________．‎ ‎4. 如图，、、三点在同一条直线上，。分别以 ‎、为边作正方形和正方形，连接，‎ ‎。‎ ‎ 求证：。‎ ‎5.如图 ，是正方形．是上的一点，于 ，于 ． ‎ ‎（1）求证：； ‎A D E F C G B ‎（2）求证：．‎ ‎【纵向应用】‎ ‎6. 在正方形中，．‎ 求证：‎ ‎7. 在正方形中，．,‎ 求证： ‎ ‎8. 如图13，点为正方形对角线上一点, , ‎ A D ‎ 求证：‎ B C F ‎ 13‎ E ‎ ‎ G ‎9.已知：点、分别正方形中和的中点，连接和相交于点,‎ 于点.‎ 一、 求证： ；‎ 一、 如果,求的长；‎ 二、 求证： ‎ ‎【练习题答案】‎ ‎1．6cm2． ‎ ‎2．36．‎ ‎3．4cm2（面积法）．‎ ‎4.证明：FN=EC。‎ 证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中，‎ AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°‎ ‎∵AB=2BC ‎∴EN=BC ‎ ‎∴△FEN≌△EBC ‎ ‎∴FN=EC。 ‎ ‎5.略 ‎6.提示：注意到基本图形中的AE=AF.‎ 一. 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证 二. 过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证. ‎ ‎3， 过点O作OH‖BE, OF= OH=‎ ‎7.提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种 ‎8.提示：延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,‎ 证四边形对角互补,法2：延长FE，AE证全等三角形 ‎9.（1)略（2）（3）作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG ‎（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 ‎ ‎（2）特征：‎ 边：两组对边分别平行；四条边都相等； ‎ 内角：四个角都是90°； ‎ 对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。 ‎ ‎（3）主要识别方法： ‎ ‎1：对角线相等的菱形是正方形 ‎ ‎2：对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎ ‎3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形 ‎ ‎4：一组邻边相等的平行四边形是正方形 ‎ ‎5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。‎ 例1. 已知：如图，是正方形内点，．‎ ‎ 求证：是正三角形．‎ A P C D B ‎【证明】：如下图做△DGC使与△ADP全等，‎ 可得△PDG为等边△，从而可得 ‎△DGC≌△APD≌△CGP,‎ 得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150‎ 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形 P C G F B Q A D E 例2. 如图，分别以的和为一边，在的外侧作正方形和正方形，点是的中点．‎ 求证：点到边的距离等于的一半．‎ ‎【证明】：过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。‎ 可得PQ=。‎ ‎ 由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，‎ 由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。‎ ‎ 从而可得PQ= = ，‎ 从而得证。‎ 例4. 如图，四边形为正方形，，，与相交于．‎ 求证：．‎ ‎【证明】：顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.‎ ‎ 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350‎ ‎ 从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。‎ ‎ 推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。‎ ‎ ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。‎ ‎ 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.‎ A F D E C B ‎ 可证：CE=CF。‎ 例6. 设是正方形一边上的任一点，，平分．‎ 求证：．‎ ‎【证明】：作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。‎ ‎ 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。‎ ‎ tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，‎ ‎ 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，‎ ‎ 得到PA＝PF ，得证 。‎ D F E P C B A D A C B P D 例7. 已知：是边长为1的正方形内的一点，求的最小值．‎ ‎【证明】：顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。‎ 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，‎ 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。‎ 既得AF= = = ‎ ‎ = = ‎ ‎ = 。‎ 例8. 为正方形内的一点，并且，，，求正方形的边长．‎ ‎【证明】顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： ‎ ‎ 既得正方形边长L = = 。‎ A C B P D ‎【双基训练】‎ ‎1.如图，四边形是正方形，对角线、相交于，四边形是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．‎ ‎2.如图，是正方形，为上一点，四边形恰是一个菱形，则=________．‎ ‎【纵向应用】‎ ‎3.如图，四边形是边长为的正方形，点，分别是边，的中点，，且交正方形外角的平分线于点．‎ ‎ （1）证明：；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）求的面积．‎ ‎【横向拓展】‎ ‎4.如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.‎ ‎⑴ 求证：；‎ ‎⑵ ①当点在何处时，的值最小；‎ ‎②当点在何处时，的值最小，并说明理由；‎ ‎⑶ 当的最小值为时，求正方形的边长.‎ E A D B C N M ‎【练习题答案】‎ ‎1．36‎ ‎2．【解析】连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．‎ ‎ 设正方形边长为a，则AC=BD=AE=a ‎ 又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，‎ ‎ ∴BO=EM=BD=a．‎ ‎ 在Rt△AEM中，AE=a，EM=a．‎ ‎ ∴∠CAE=30°．‎ ‎ 则∠EAB=15°．‎ ‎3.（1）证明：∵∠AEF=90o， ‎ ‎∴∠FEC+∠AEB=90o．在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，‎ ‎∴∠BAE=∠FEC；‎ ‎（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，‎ ‎∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o．‎ 又∵CF是∠DCH的平分线，‎ ‎ ∠ECF=90o+45o=135o．‎ 在△AGE和△ECF中，‎ ‎ ‎ ‎ ∴△AGE≌△ECF； ‎ ‎ （3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．‎ 又∵∠AEF=90o，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形．‎ 由AB=a，BE=a，知AE=a，‎ ‎∴S△AEF=a2．‎ ‎4.【解析】：⑴∵△ABE是等边三角形，‎ F E A D B C N M ‎∴BA＝BE，∠ABE＝60°.‎ ‎∵∠MBN＝60°，‎ ‎∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.‎ 即∠BMA＝∠NBE.‎ 又∵MB＝NB，‎ ‎∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ‎⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ‎ ‎②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，‎ AM＋BM＋CM的值最小. ‎ 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，‎ ‎∴AM＝EN.‎ ‎∵∠MBN＝60°，MB＝NB，‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN.‎ ‎∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.‎ ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，‎ ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°.‎ 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.‎ 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，‎ ‎∴（）2＋（x＋x）2＝. ‎ 解得，x＝（舍去负值）.‎ ‎∴正方形的边长为.‎