初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型有答案

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初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型有答案

‎1.掌握正方形的定义,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。‎ ‎  2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。‎ ‎  3.正确运用正方形的性质解题。‎ ‎  4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。‎ ‎  5.通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点。‎ 正方形的性质 ‎  因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,‎ ‎  所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生 和老师一起总结)。‎ ‎  正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。‎ ‎  正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。‎ ‎  说明:定理2包括了平行四边形,矩形,菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。‎ ‎  小结: ‎ ‎  (1)正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如上图 ‎  (2)正方形的性质:‎ ‎   ①正方形对边平行。‎ ‎   ②正方形四边相等。‎ ‎   ③正方形四个角都是直角。‎ ‎   ④正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。‎ 例1.如图,折叠正方形纸片,先折出折痕,再折叠使边与对角线重合,得折痕,使,求.‎ ‎【解析】:作GM⊥BD,垂足为M.‎ ‎ 由题意可知∠ADG=GDM,‎ ‎ 则△ADG≌△MDG.‎ ‎ ∴DM=DA=2. AC=GM ‎ 又易知:GM=BM.‎ ‎ 而BM=BD-DM=2-2=2(-1),‎ ‎ ∴AG=BM=2(-1).‎ 例2 .如图,为正方形内一点,,并且点到边的距离也等于,求正方形的面积?‎ ‎【解析】:过作于交于.‎ ‎ 设,则,.‎ ‎ 由.‎ ‎ 可得:.‎ ‎ 故.‎ ‎ .‎ 例3. 如图,、分别为正方形的边、上的一点,,垂足为,,则有,为什么?‎ ‎【解析】:要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM,DF=FM即可,而连结AE、AF.只要能说明△ABE≌△AME,△ADF≌△AMF即可.‎ ‎ 理由:连结AE、AF.‎ ‎ 由AB=AM,AB⊥BC,AM⊥EF,AE公用,‎ ‎ ∴△ABE≌△AME.‎ ‎ ∴BE=ME.‎ ‎ 同理可得,△ADF≌△AMF.‎ ‎ ∴DF=MF.‎ ‎∴EF=ME+MF=BE+DF.‎ 例4.如下图、分别在正方形的边、上,且,试说明。‎ ‎【解析】:将△ADF旋转到△ABC,则△ADF≌△ABG ‎∴AF=AG,∠ADF=∠BAG,DF=BG ‎∵∠EAF=45°且四边形是正方形,‎ ‎∴∠ADF﹢∠BAE=45°‎ ‎∴∠GAB﹢∠BAE=45°‎ 即∠GAE=45°‎ ‎∴△AEF≌△AEG(SAS)‎ ‎∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF 例5. 如图,在正方形的、边上取、两点,使,于. 求证: ‎ ‎【解析】:欲证 AG=AB,就图形直观来看,‎ 应证Rt△ABE与Rt△AGE全等,但条件不够. ‎ ‎∠EAF=45°怎么用呢?‎ 显然∠1+∠2=45°,若把它们拼在一起,问题就解决了. ‎ ‎【证明】:把 △AFD绕A点旋转90°至△AHB. ‎ ‎ ∵∠EAF=45°,∴∠1+∠2=45°. ‎ ‎ ∵∠2=∠3,∴∠1+∠3=45°. ‎ ‎ 又由旋转所得 AH=AF,AE=AE. ‎ ‎ ∴ △AEF≌△AEH. ‎ 例6.(1) 如图1,在正方形中,点,分别在边,‎ 上,,交于点,.‎ 求证:.‎ 图2‎ ‎(2) 如图2,在正方形中,点,,,分别在边,‎ ‎,,上,,交于点,,.‎ 求的长.‎ 1. 已知点,,,分别在矩形的边,,,上,‎ ‎,交于点,,. 直接写出下列两题的答案:‎ ‎①如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长;‎ ‎ ②如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长(用的代数式表示).‎ 图4‎ 图3‎ 图1‎ ‎【解析】‎ ‎(1) 证明:如图1,∵ 四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°, ‎ ‎∴ ∠EAB+∠AEB=90°.‎ ‎∵ ∠EOB=∠AOF=90°,‎ ‎∴ ∠FBC+∠AEB=90°,∴ ∠EAB=∠FBC, ‎ 图2‎ O′‎ N M ‎∴ △ABE≌△BCF , ∴ BE=CF. ‎ ‎(2) 解:如图2,过点A作AM//GH交BC于M,‎ 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/,‎ 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形, ‎ ‎∴ EF=BN,GH=AM, ‎ ‎∵ ∠FOH=90°, AM//GH,EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,‎ 故由(1)得, △ABM≌△BCN, ∴ AM=BN,‎ ‎∴ GH=EF=4. ‎ ‎(3) ① 8.② 4n. ‎ ‎【双基训练】‎ ‎1. 如图6,点在线段上,四边形与都是正方形,其边长分别为和,则的面积为________.‎ ‎ ‎ ‎ (6) (7)‎ ‎2.你可以依次剪6张正方形纸片,拼成如图7所示图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等,那么正方形⑤的面积为________.‎ ‎3.如图9,已知正方形的面积为35平方厘米,、分别为边、上的点.、相交于,并且的面积为14平方厘米,的面积为5平方厘米,那么四边形的面积是________.‎ ‎4. 如图,、、三点在同一条直线上,。分别以 ‎、为边作正方形和正方形,连接,‎ ‎。‎ ‎ 求证:。‎ ‎5.如图 ,是正方形.是上的一点,于 ,于 . ‎ ‎(1)求证:; ‎A D E F C G B ‎(2)求证:.‎ ‎【纵向应用】‎ ‎6. 在正方形中,.‎ 求证:‎ ‎7. 在正方形中,.,‎ 求证: ‎ ‎8. 如图13,点为正方形对角线上一点, , ‎ A D ‎ 求证:‎ B C F ‎ 13‎ E ‎ ‎ G ‎9.已知:点、分别正方形中和的中点,连接和相交于点,‎ 于点.‎ 一、 求证: ;‎ 一、 如果,求的长;‎ 二、 求证: ‎ ‎【练习题答案】‎ ‎1.6cm2. ‎ ‎2.36.‎ ‎3.4cm2(面积法).‎ ‎4.证明:FN=EC。‎ 证明:在正方形ABEF和正方形BCMN中,‎ AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°‎ ‎∵AB=2BC ‎∴EN=BC ‎ ‎∴△FEN≌△EBC ‎ ‎∴FN=EC。 ‎ ‎5.略 ‎6.提示:注意到基本图形中的AE=AF.‎ 一. 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证 二. 过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证. ‎ ‎3, 过点O作OH‖BE, OF= OH=‎ ‎7.提示:一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种 ‎8.提示:延长AE交GF于点M,DC,使CH=DG,连接HF,‎ 证四边形对角互补,法2:延长FE,AE证全等三角形 ‎9.(1)略(2)(3)作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG ‎(1)定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 ‎ ‎(2)特征:‎ 边:两组对边分别平行;四条边都相等; ‎ 内角:四个角都是90°; ‎ 对角线:对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角。 ‎ ‎(3)主要识别方法: ‎ ‎1:对角线相等的菱形是正方形 ‎ ‎2:对角线互相垂直的矩形是正方形 ‎ ‎3:四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形 ‎ ‎4:一组邻边相等的平行四边形是正方形 ‎ ‎5:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。‎ 例1. 已知:如图,是正方形内点,.‎ ‎ 求证:是正三角形.‎ A P C D B ‎【证明】:如下图做△DGC使与△ADP全等,‎ 可得△PDG为等边△,从而可得 ‎△DGC≌△APD≌△CGP,‎ 得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150‎ 所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形 P C G F B Q A D E 例2. 如图,分别以的和为一边,在的外侧作正方形和正方形,点是的中点.‎ 求证:点到边的距离等于的一半.‎ ‎【证明】:过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。‎ 可得PQ=。‎ ‎ 由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,‎ 由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。‎ ‎ 从而可得PQ= = ,‎ 从而得证。‎ 例4. 如图,四边形为正方形,,,与相交于.‎ 求证:.‎ ‎【证明】:顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.‎ ‎ 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350‎ ‎ 从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。‎ ‎ 推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。‎ ‎ ∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠A EC=750。‎ ‎ 又∠EFC=∠DFA=450+300=750.‎ A F D E C B ‎ 可证:CE=CF。‎ 例6. 设是正方形一边上的任一点,,平分.‎ 求证:.‎ ‎【证明】:作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。‎ ‎ 令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。‎ ‎ tan∠BAP=tan∠EPF==,可得YZ=XY-X2+XZ,‎ ‎ 即Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得X=Z ,得出△ABP≌△PEF ,‎ ‎ 得到PA=PF ,得证 。‎ D F E P C B A D A C B P D 例7. 已知:是边长为1的正方形内的一点,求的最小值.‎ ‎【证明】:顺时针旋转△BPC 600 ,可得△PBE为等边三角形。‎ 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,‎ 即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。‎ 既得AF= = = ‎ ‎ = = ‎ ‎ = 。‎ 例8. 为正方形内的一点,并且,,,求正方形的边长.‎ ‎【证明】顺时针旋转△ABP 900 ,可得如下图: ‎ ‎ 既得正方形边长L = = 。‎ A C B P D ‎【双基训练】‎ ‎1.如图,四边形是正方形,对角线、相交于,四边形是菱形,若正方形的边长为6,则菱形的面积为________.‎ ‎2.如图,是正方形,为上一点,四边形恰是一个菱形,则=________.‎ ‎【纵向应用】‎ ‎3.如图,四边形是边长为的正方形,点,分别是边,的中点,,且交正方形外角的平分线于点.‎ ‎ (1)证明:;‎ ‎(2)证明:;‎ ‎(3)求的面积.‎ ‎【横向拓展】‎ ‎4.如图,四边形是正方形,是等边三角形,为对角线(不含点)上任意一点,将绕点逆时针旋转得到,连接、、.‎ ‎⑴ 求证:;‎ ‎⑵ ①当点在何处时,的值最小;‎ ‎②当点在何处时,的值最小,并说明理由;‎ ‎⑶ 当的最小值为时,求正方形的边长.‎ E A D B C N M ‎【练习题答案】‎ ‎1.36‎ ‎2.【解析】连结BD交AC于点O,作EM⊥AC于点M.‎ ‎ 设正方形边长为a,则AC=BD=AE=a ‎ 又∵AC∥BF,BO⊥AC,EM⊥AC,‎ ‎ ∴BO=EM=BD=a.‎ ‎ 在Rt△AEM中,AE=a,EM=a.‎ ‎ ∴∠CAE=30°.‎ ‎ 则∠EAB=15°.‎ ‎3.(1)证明:∵∠AEF=90o, ‎ ‎∴∠FEC+∠AEB=90o.在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90o,‎ ‎∴∠BAE=∠FEC;‎ ‎(2)证明:∵G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,‎ ‎∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180o-45o=135o.‎ 又∵CF是∠DCH的平分线,‎ ‎ ∠ECF=90o+45o=135o.‎ 在△AGE和△ECF中,‎ ‎ ‎ ‎ ∴△AGE≌△ECF; ‎ ‎ (3)解:由△AGE≌△ECF,得AE=EF.‎ 又∵∠AEF=90o,‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形.‎ 由AB=a,BE=a,知AE=a,‎ ‎∴S△AEF=a2.‎ ‎4.【解析】:⑴∵△ABE是等边三角形,‎ F E A D B C N M ‎∴BA=BE,∠ABE=60°.‎ ‎∵∠MBN=60°,‎ ‎∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.‎ 即∠BMA=∠NBE.‎ 又∵MB=NB,‎ ‎∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………5分 ‎⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小. ‎ ‎②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,‎ AM+BM+CM的值最小. ‎ 理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,‎ ‎∴AM=EN.‎ ‎∵∠MBN=60°,MB=NB,‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM=MN.‎ ‎∴AM+BM+CM=EN+MN+CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.‎ ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,‎ ‎∴∠EBF=90°-60°=30°.‎ 设正方形的边长为x,则BF=x,EF=.‎ 在Rt△EFC中,‎ ‎∵EF2+FC2=EC2,‎ ‎∴()2+(x+x)2=. ‎ 解得,x=(舍去负值).‎ ‎∴正方形的边长为.‎
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