2010中考数学压轴题精选一

2010中考数学压轴题精选一

‎★★1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-‎3m+2‎ ‎ 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）‎ ‎ j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；‎ ‎ k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。‎ x y O ‎1‎ ‎1‎ O A B C D E P y x 图1‎ 解：（1）∵拋物线y= -x2+x+m2-‎3m+2经过原点，∴m2-‎3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m¹1，∴m=2，‎ ‎∴拋物线的解析式为y= -x2+x，‎ ‎∵点B(2，n)在拋物线y= -x2+x上，‎ ‎∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。‎ ‎ （2）j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，‎2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（‎3a，‎2a），由C点在拋物线上，得‎2a= -´(‎3a)2+´‎3a，即a‎2-a=0，解得a1=，a2=0（舍去），∴OP=。‎ ‎ k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，‎ 点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：‎ ‎ 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。‎ 如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t=。‎ ‎ 第二种情况：PC与MN在同一条直线上。‎ 如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，‎ ‎∴t+2t+2t=10，∴t=2。‎ ‎ 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，‎ 如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10，‎ 图4‎ y x B O Q(P)‎ N C D M E F ‎∴t=。综上，符合题意的t值分别为，2， 。‎ x y O A M ‎(C)‎ B ‎(E)‎ D P Q F N 图3‎ E x O A B C y P M Q N F D 图2‎ ‎★★2、（2010北京）问题：已知△ABC中，ÐBAC=2ÐACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。‎ ‎ 请你完成下列探究过程：‎ 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。‎ ‎ (1) 当ÐBAC=90°时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出ÐDAC=15°时，可进一步推出ÐDBC的度数为 ；可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为 ；‎ ‎ (2) 当ÐBAC¹90°时，请你画出图形，研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。‎ A C B 解：(1) 相等；15°；1：3。‎ ‎(2) 猜想：ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。‎ ‎ 证明：如图2，作ÐKCA=ÐBAC，过B点作BK//AC交CK于点K，‎ ‎ 连结DK。∵ÐBAC¹90°，∴四边形ABKC是等腰梯形，‎ ‎ ∴CK=AB，∵DC=DA，∴ÐDCA=ÐDAC，∵ÐKCA=ÐBAC，‎ B A C D K ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 图2‎ ‎ ∴ÐKCD=Ð3，∴△KCD@△BAD，∴Ð2=Ð4，KD=BD，‎ ‎ ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ÐACB=Ð6，‎ ‎ ∵ÐKCA=2ÐACB，∴Ð5=ÐACB，∴Ð5=Ð6，∴KC=KB，‎ ‎ ∴KD=BD=KB，∴ÐKBD=60°，∵ÐACB=Ð6=60°-Ð1，‎ ‎ ∴ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1，‎ ‎ ∵Ð1+(60°-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°，∴Ð2=2Ð1，‎ ‎ ∴ÐDBC与ÐABC度数的比值为1：3。‎ ‎★★3、（2010郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？‎ ‎（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由. ‎ 第26题 图（1）‎ 图（2）‎ 解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）‎ ‎（2）当b＝0时，直线为，由解得， ‎ 所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2） ‎ ‎，‎ 所以（利用同底等高说明面积相等亦可）‎ 当时，仍有成立. 理由如下 由，解得， ‎ 所以B、C的坐标分别为（－，－+b），（，+b），‎ 作轴，轴，垂足分别为F、G，则，‎ 而和是同底的两个三角形，‎ 所以. ‎ ‎（3）存在这样的b.‎ 因为 所以，所以，即E为BC的中点 所以当OE=CE时，为直角三角形，因为 所以 ，而 所以，解得，‎ 所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形. ‎ ‎★★4、（2010滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点．‎ ‎（1）求A、B、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位?‎ 解：‎ 解：①由抛物线的对称性可知AM=BM 在Rt△AOD和Rt△BMC中，∵OD=MC，AD=BC，‎ ‎∴△AOD≌△BMC．∴OA=MB=MA．‎ 设菱形的边长为‎2m，在Rt△AOD中，‎ ‎，解得m=1．∴DC=2，OA=1，OB=3．‎ ‎∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）‎ ‎②设抛物线的解析式为y=（—2）2+ ‎ 代入A点坐标可得=—‎ 抛物线的解析式为y=—（—2）2+‎ ‎③设抛物线的解析式为y=—（一2）2+k，代入D（0，）可得k=5‎ 所以平移后的抛物线的解析式为y=—（一2）2+5，平移了5一=4个单位． ‎ ‎★★5、（2010长沙）已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．‎ ‎（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；‎ ‎（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；‎ ‎（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1－x2 |的范围．‎ 解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx ‎∵一次函数过（1，－b） ∴y=－bx ‎ ‎（2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2 ‎ 由得 ① ‎ ‎ ∵△＝‎ ‎∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解 ‎∴两函数有两个不同的交点． ‎ ‎（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解 ‎∴ ‎ ‎∴＝‎ 或由求根公式得出。 ∵a>b>0，a+b=2 ∴2>a>1‎ 令函数 ∵在1

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