2010中考数学试题分类综合型问题
一、选择题
1．（2010江苏苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
2．（2010湖北十堰）如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E、F分别是线段CD，AB上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（ ）
（第10题分析图）
C
D
E
F
A
B
P
（第10题）
C
D
E
F
A
B
O
x
y
4
4
A．
O
x
y
4
4
B．
O
x
y
4
4
C．
O
x
y
4
4
D．
【答案】C
3．（2010 重庆江津）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90º）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ）
【答案】A
二、填空题
1．（2010浙江宁波） 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为 ▲ .
【答案】或(对一个得2分)
三、解答题
1．（2010安徽芜湖）（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3，1）、C（－3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－，1）、F（－，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
【答案】
2．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若＝4，求△ABC的周长.
C
P
D
O
B
A
E
【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝OP＝，AF＝BF．
在Rt△OAF中，∵AF＝＝＝，∴AB＝2AF＝．
（2）∠ACB是定值.
理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴
＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．
∵＝4，∴＝4，∴l＝8DE.
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∠ACB＝30°，
∴在Rt△CGD中，CG＝＝＝DE，∴CH＝CG＝DE．
又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，解得DE＝，
∴△ABC的周长为．
3．（2010江苏南京）（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。
（1）设AE=时，△EGF的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。
【答案】
4．（2010江苏南通）（本小题满分12分）
如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
A
B
C
D
E
F
（第27题）
【答案】⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=Rt∠，
∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE ∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED
∴即∴
⑵当=8时， ，化成顶点式: ，
∴当=4时，的值最大，最大值是2.
⑶由，及得的方程: ，得， ，
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时， Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC=2时，=CD=BE=6;
当EC=6时，=CD=BE=2.
即的值应为6或2时， △DEF是等腰三角形.
5．（2010江苏南通）（本小题满分14分）
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．
（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当
△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．
－1
y
x
O
（第28题）
1
2
3
4
－2
－4
－3
3
－1
－2
－3
－4
4
1
2
【答案】（1）因为当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴这条抛物线的解析式为y＝x2-1.
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得
解得
∴这条直线的解析式为y＝-x+1.
（2）依题意，OA=即⊙A的半径为5.
而圆心到直线l的距离为3+2=5.
即圆心到直线l的距离=⊙A的半径，
∴直线l与⊙A相切.
（3）由题意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1，）.
由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-）此时四边形PDOC为梯形，面积为.
6．（2010江苏盐城）（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
（1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．
求 的值．
【答案】
7．（2010山东烟台）（本题满分14分）
如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】
8．（2010四川凉山）已知：抛物线，顶点，与轴交于A、
B两点，。
（1） 求这条抛物线的解析式；
（2） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作于，于，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3） 在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作，分别与边、相交于、，（与、不重合，与、不重合），请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。
第26题图
A
B
x
G
F
M
H
E
N
Q
O
D
C
y
【答案】
9．（2010四川眉山）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
【答案】
解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1分）
∴
∴ ……………………………………………………………（3分）
∴所求函数关系式为： …………（4分）
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分）
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）
当时，
当时，
∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）
（3）设直线CD对应的函数关系式为，则
解得：．
∴ ………（9分）
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t．
则， ，……………………（10分）
∴
∵， ∴当时，，
此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）
10．（2010浙江杭州） (本小题满分12分)
（第24题）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，
点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物
线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点
P(t，0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
【答案】
(本小题满分12分)
（第24题）
(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴ A，B的横坐标分别是2和– 2，
代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，
∴M (0，2)， ---2分
(2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，
由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,
∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2. ---2分
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±,
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2
∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. ---2分
② 分两种情况讨论：
1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，
∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，
∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分
2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM = PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±. ---2分
当x = –时，得t = –––2 = –8 –,
当x=时， 得t =–8. ---2分
11．（2010浙江宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为(-2，0)，点
D的坐标为 (0，)，点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直
线与轴交于点F，与射线DC交于点G.
(1)求∠DCB的度数；
(2)当点F的坐标为(-4，0)时，求点G的坐标；
(3)连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF’，记直线EF’与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标.
（图2）
（图1）
【答案】
解：(1) 在Rt△AOD中，
∵tan∠DAO=，
∴ ∠DAB=60°. 2分
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠DCB=∠DAB=60° 3分
(2) ∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD∥AB
∴∠DGE=∠AFE
又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE
∴△DEG≌△AEF 4分
∴DG=AF
∵AF=OF-OA=4-2=2
∴DG=2
∴点G的坐标为(2，) 6分
(3)①∵CD∥AB
∴∠DGE=∠OFE
∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF’
∴∠OFE=∠OF’E 7分
∴∠DGE=∠OF’E
在Rt△AOD中，∵E是AD的中点 ∴OE=AD=AE
又∵∠EAO=60°
∴∠EOA=60°， ∠AEO=60°
又∵∠EOF’=∠EOA=60°
∴∠EOF’=∠OEA
∴AD∥OF’ 8分
∴∠OF′E=∠DEH
∴∠DEH=∠DGE
又∵∠HDE=∠EDG
∴△DHE∽△DEG 9分
②点F的坐标是F1(，0)，F2(，0). 12分
(给出一个得2分)
对于此小题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求.
过点E作EM⊥直线CD于点M，
M
∵CD∥AB
∴∠EDM=∠DAB=60°
∴
∵
∴
∵△DHE∽△DEG
∴ 即
当点在点的右侧时，设，
∴
解得：（舍）
∵△DEG≌△AEF
∴AF=DG=
∵OF=AO+AF=
∴点F的坐标为(，0)
当点在点的左侧时，设，
∴
解得：（舍）
∵△DEG≌△AEF
∴AF=DG=
∵OF=AO+AF=
∴点F的坐标为(，0)
综上可知， 点F的坐标有两个，分别是F1(，0)，F2(，0).
12．（2010浙江绍兴）如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.
第24题图
（1）求的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的
直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为
(1, 2)，求点N的横坐标；
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横
坐标的取值范围.
【答案】
解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1.
∴ 抛物线C1的解析式为,
设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) .
（2）①如图1，
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
第24题图1
由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，
∴ ME＝4.
设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ , ∴ ,
∴ 点N的横坐标为．
第24题图2
② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，
直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．
过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,
设Ｎ（x，0），
∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),
∴ NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF，
∴ ,
第24题图3
图4
∴ ,
∴ .
当点D移到与点B重合时,如图3，
直线与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),
设N（x，0），
∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，
∴ , ∴ .
∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.
13．（2010山东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A
的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．
E
【答案】解：（1）∵抛物线经过点C（0，－3）∴C＝－3，∴y＝ax2+bx-3，又抛物线经过点A（－1，0），对称轴为x=1，所以
∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x-3
（2）∵点A（－1,0），对称轴为x=1，∴点B（2，0）．
设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得
∴直线BC的函数关系式为y=－3x－3，当x=1时，y＝－6，∴点P的坐标为（1，－6）．
（3）如图，过点P作PD⊥OC，设P（1，y），则PE＝|y|，DC＝｜－3－y｜，
在Rt△PEB中，PB2＝22+|y|2＝4+y2，在Rt△PCD中PC2＝12+|－3－y|2＝10+6y+y2,在Rt△OBC中，BC2＝32+32＝18，∵∠PCD＝90º，∴PB2+PC2＝BC2，∴4+y2+10+6y+y2＝18，整理得y2+3y-2＝0解得y1＝，y2＝．
14．（2010 福建晋江）（13分）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，，，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.
(1)试直接写出点的坐标；
(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.
①若以、、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；
②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.
A
O
x
B
C
M
y
【答案】
A
O
x
D
B
C
M
y
E
P
T
Q
解：(1)依题意得：；…………………………………………………（3分）
(2) ① ∵，，∴.
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为
又抛物线经过点与点
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为.…………………（5分）
∵点在抛物线上，
∴设点.
1)若∽，则， ，解得：(舍去)或
，
∴点.………………………………………………………………（7分）
2)若∽，则， ，解得：(舍去)或，
∴点.……………………………………………………………………（9分）
②存在点，使得的值最大.
抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.………………………………………………………………………（10分）
∵点、点关于直线对称，
∴……………………………………………………………………（11分）
要使得的值最大，即是使得的值最大，
根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大. ……………………………………………………………………………（12分）
设过、两点的直线解析式为，
∴ 解得：
∴直线的解析式为.
当时，.
∴存在一点使得最大.………………………（13分）
15．（2010 四川南充）已知抛物线上有不同的两点E和F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
B
A
M
C
D
O
P
Q
x
y
【答案】
11. 解：（1）抛物线的对称轴为． ……..（1分）
∵ 抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，
∴ 点E和点F关于抛物线对称轴对称，则 ，且k≠－2．
∴ 抛物线的解析式为． ……..（2分）
（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴ AB＝，AM＝BM＝． ……..（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴ ∠BCM＝∠AMD．
故 △BCM∽△AMD． ……..（4分）
∴ ，即 ，．
故n和m
之间的函数关系式为（m＞0）． ……..（5分）
（3）∵ F在上，
∴ ，
化简得，，∴ k1＝1，k2＝3．
即F1（－2，0）或F2（－4，－8）． ……..（6分）
①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为，
则 解得， ∴ 直线MF的解析式为．
直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）．
若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝；
若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝． ……..（7分）
②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为，
则 解得， ∴ 直线MF的解析式为．
直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）．
若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝；
若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝． ……..（8分）
故当 或时，∠PMQ的边过点F．
16．（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝BC．
（1）求∠BAC的度数．
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
A
F
C
D
E
G
H
B
O
A
F
C
D
E
G
H
B
O
【答案】（1）解：连结OB和OC．
A
F
C
D
E
G
H
B
O
∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE．
∵ OE＝BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°．
（2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，
∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，
∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴ 四边形AFHG是正方形．
（3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102．
解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD＝12．
17．（2010 山东济南）如图,已知直线与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
【答案】(1）∵点A横坐标为4 ，
∴当 x = 4时，y = 2
∴ 点A的坐标为（4，2 ） …………2’
∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点，
∴ k = 4×2 = 8 ………….3’
(2)解法一：
∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1
∴ 点C的坐标为（1，8）………..4’
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON
S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4
S△AOC= S矩形ONDM－S△ONC－S△CDA－S△OAM
= 32－4－9－4 = 15 ………..6’
解法二：
过点 C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点C在双曲线上，当y = 8时，x = 1。
∴ 点C的坐标为（1，8）
∵ 点C、A都在双曲线上，
∴ S△COE = S△AOF = 4
∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S梯形CEFA
∵ S梯形CEFA =×（2+8）×3 = 15，
∴ S△COA = 15
（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ，
∴ OP=OQ，OA=OB
∴ 四边形APBQ是平行四边形
∴ S△POA = S平行四边形APBQ =×24 = 6
设点P的横坐标为m（m > 0且），
得P（m，） …………..7’
过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4
若0＜m＜4，
∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF，
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6
∴
解得m= 2，m= － 8（舍去）
∴ P（2，4） ……………8’
若 m＞ 4，
∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE，
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6
∴，
解得m= 8，m =－2 （舍去）
∴ P（8，1）
∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）………….9’
18．（2010江苏泰州）在平面直角坐标系中，直线（k为常数且k≠0）分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O半径为个单位长度．
⑴如图甲，若点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，点P为直线上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，当PC⊥PD时，求点P的坐标．
⑵若，直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b的值．（图乙供选用）
【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.
②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，
∴OD＝PD＝，OP=.
∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，
∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2， 全品中考网
解得m=1或3，
∴P的坐标为（1，3）或（3，1）
⑵分两种情形，y＝－x＋，或y＝－x－。
直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2，可知其所对圆心角为120°，如图，画出弦心距OC，可得弦心距OC=，又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为，即，∴AC=，进而可得AO=，即直线与与x轴交于点（，0）．所以直线与y轴交于点（，0），所以b的值为．
当直线与x轴、y轴的负半轴相交，同理可求得b的值为．
综合以上得：b的值为或．
19．（2010湖南邵阳）如图（十四），抛物线y＝与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交 ，求r的取值范围；
②若r=，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：抛物线y＝的顶点坐标，对称轴x＝.
图（十四）
【答案】解（1）令y=0，求得A点坐标为（－2，0），B点坐标为（6，0）；
令x＝0，求得C点的坐标为（0，3）
设BC直线为y＝kx＋b，把B、C点的坐标代入得： 解得k＝，b=3
故BC的解析式为：y=x＋3
（2）①过点D（2，4）作DG⊥BC于点G，因为抛物线的对称轴是直线x=2，所以点E的坐标为（2，2），所以有EF＝2，FB＝4，EB＝2，DE＝2，从图中可知，，所以有： 解得DG＝ 故当r＞，点P
运动到点D时，⊙P与直线BC相交
②由①知，直线BC上方的点D符合要求。设过点D并与直线BC平行的直线为y＝x＋n，把点D的坐标代入，求得n＝5，所以联立： 解得两点（2，4）为D点，（4，3）也符合条件。
设在直线BC下方到直线BC的距离为的直线m与x轴交于点M，过点M作MN⊥BC于点N，所以MN=，又tan∠NBM＝ 所以NB=，BM＝4，所以点M与点F重合。设直线m为y=x＋b 把点F的坐标，代入得：0＝×2＋b 得b=1，所以直线m的解析式为：y＝ｘ+１
联立方程组： 解得：ｘ＝
所以适合要求的点还有两点即（3－，）与（3＋，）
故当r=，存在点P使⊙P与直线BC相切，符合条件的点P有四个，即是D
（2，4），（4，3）和（3－，），（3＋，）的坐标．
20．（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.
图8
【答案】解：(1) 抛物线y＝－x2＋bx＋c过点 A(4,0)B(1,3).∴
∴，，对称轴为直线，顶点坐标为
（2）∵直线EP∥OA,E与P两点关于直线对称，∴OE=AP,∴梯形OEPA为等腰梯形，
∴∠OEP=∠APE,∵OE=OF, ∴∠OEP=∠AFE,∴∠OFP=∠APE,∴OF∥AP,
∴四边形OAPF为平行四边形，∵四边形OAPF的面积为20，∴，
∴，∴.
21．（2010年上海）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
【答案】解：（1）如图1，∵∠ACB=90°, ∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD=AE=1∴ΔADE为等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠BDE=∠AEP=120°,∠CEP=60°,∴∠EPC=30°=∠B,
∴ΔBDP为等腰三角形，∵ΔAPE与ΔBPD相似，∴ΔAPE为等腰三角形，AE=EP=1,
∴CE=EP=．
（2）设BC=BD=，∠ACB=90°,∴，∴=4 ，BC=BD=4，
过D作DH⊥BC交BC于H,如图2，∴DH∥AC,∴,∴,∴,
同理可得,∵DH∥AC,∴,,∴CP=4, ∵∠ECP=90°,∴=．
（3）如图3，当时，设CE=，∴CP=3,由（2），
∴设BD=，∴，，，，
∴，∴，∴=m＋1＋x＋1＋3m－3x=3x＋3．
22．（2010 江苏连云港）（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t
之间的函数关系，并写出t的取值范围．
AD
BAD
x
P
O
·
·
CFEBAD
y
【答案】
23．（2010 山东莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
（第24题图）
x
y
O
A
C
B
D
E
F
【答案】解：（1）∵抛物线经过点，，．
∴， 解得.
∴抛物线的解析式为：.
（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．
∴劣弧EF的长为：．
x
y
O
A
C
B
D
E
F
P
G
N
M
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.
∴，解得.∴直线AC的解析式为：.
设点，PG交直线AC于N，
则点N坐标为.∵.
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3时，=.
∴此时点P的坐标为. ……………………………10分
②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.当时，=.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为或时，
△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．
24．（2010 广东珠海）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.
(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；
(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM
MN成立的x的取值范围。
【答案】解：（1）∠ABE＝∠CBD=30°
在△ABE中，AB＝6
BC=BE=
CD=BCtan30°=4
∴OD=OC-CD=2
∴B(，6) D(0,2)
设BD所在直线的函数解析式是y=kx+b
∴
所以BD所在直线的函数解析式是
(2)∵EF=EA=ABtan30°= ∠FEG=180°-∠FEB-∠AEB=60°
又∵FG⊥OA
∴FG＝EFsin60°=3 GE=EFcos60°= OG=OA-AE-GE=
又H为FG中点
∴H（，） …………4分
∵B(，6) 、 D(0,2)、 H（，）在抛物线图象上
∴
∴抛物线的解析式是
(2)∵MP=
MN=6-
H=MP-MN=
由得
该函数简图如图所示：
当00，即HP>MN
25．（2010浙江湖州）如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时
S最小，并求出这个最小值.
．
【答案】由题意得：A（0，2）、B（2，2）、C（3，0），设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为，则，解得：，所以．
（2）由＝，所以顶点坐标为G（1，），过G作GH⊥AB，垂足为H，则AH＝BH＝1，GH＝－2＝，∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH，∴GH是△BEA的中位线，∴EA＝3GH＝，过B作BM⊥OC，垂足为M，则MB＝OA＝AB，∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF，∴R t△EBA≌R t△FBM，∴FM＝EA＝，∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝．
（3）设CF＝a，则FM＝ a－1或1－ a，∴BF2＝FM2＋BM2＝(a－1)2＋22＝a2－2a＋5，又∵△EBA≌△FBM，∴BM＝BF，
则，又，
∴S＝ ，即S＝，∴当a＝2（在2＜a＜3）时，．
26．（2010 湖南株洲）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
① 量得；
②
把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．
请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证：．
图1
图2
·
B
【答案】（1）
（2）设抛物线的解析式为：，当时，，即；当时，，即，依题意得：，解得：．
∴抛物线的解析式为：．
（3）方法一：过点作，垂足为，设， ，得： ①
②
又，得，分别代入①、②得：，
∴
得：
又
∴
方法二：过点作，垂足为，设，则，得：
∵
∴
27．（2010 四川成都）已知：如图，内接于⊙O，为直径，弦于，是AD的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．
（1）求证：是的外心；
（2）若,求的长；
（3）求证：．
【答案】（1）证明：∵C是AD的中点，∴AC=CD，
∴∠CAD=∠ABC⌒
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
⌒
⌒
∴在△PCQ中，PC=PQ，
⌒
⌒
∵CE⊥直径AB，∴AC=AE
∴AE=CD
∴∠CAD=∠ACE。
∴在△APC中，有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心。
（2）解：∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，
得。
∴由勾股定理，得
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，
得。
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴
∴。
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴，即
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴
∴
由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴。
28．（2010山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，－3）．以AB为直径做⊙M，过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E．连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN．
（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形EAMD的面积为4，求直线PD的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）因为抛物线与x轴交于点A（－1，0）、B（3，0）两点，设抛物线的函数关系式为y＝a（x＋1）（x－3），∵抛物线与y轴交于C（0，－3），∴－3＝ a（0＋1）（0－3），解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，因此抛物线的顶点坐标为（1，－4）；
（2）连接EM，∵EA、ED是⊙M的切线，∴EA＝ED，EA⊥AM，ED⊥MD，∴△EAM≌△EDM，又四边形EAMD的面积为4，∴S△EAM＝2，∴AM·AE＝2，又AM＝2，∴AE＝2，因此E1（－1，2）或者E2（－1，－2），当点E在第二象限时，切点D在第一象限，在 Rt△EAM中，tan∠EMA＝，故∠EMA＝60°，∴∠DMB＝60°，过切点D作DF⊥AB于F点，∴MF＝1，DF＝，则直线PD过E（－1，2）、D（2， ）的坐标代入，则函数PD的解析式为y＝－．当点E在第三象限时，切点D在第四象限，同理可求直线PD的解析式为y＝，因此直线PD的函数关系式为y＝－或y＝；
（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，又S四边形EAMD＝2S△EAM，S△DAN＝2S△AMD，则S△EAM＝ S△AMD，∴E、D两点到x轴的距离相等，∵PD与⊙M相切，∴点D与点E在x轴同侧，∴切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为y＝2或y
＝－2，当y＝2时，由y＝ x2－2x－3得，x＝1±，当y＝－2时，由y＝ x2－2x－3得，x＝1±，故满足条件点P的位置有4个，分别是P1（1＋，2）、P2（1－，2）、P3（1＋，－2）、P4（1－，－2）．
29．（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).
（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使,若存在，求出P点的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，
得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此
图象有两个公共点时，的取值范围.
图9
【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，
所以
令解之得.
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）
(2) 在二次函数的图象上存在点P，使
设则，又,
∴
∵二次函数的最小值为-4，∴.当时，.故P点坐标为（-2，5）或（4，5）
图1
（3）如图1，当直线经过A点时，可得当直线经过B点时，可得由图可知符合题意的的取值范围为
30．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有
解得
∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4
（2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）.
则AD=m+4，MD=﹣n，n=m2＋m－4 .
∴S = S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO
= ( m+4) (﹣n)＋(﹣n＋4) (﹣m) －×4×4
= ﹣2n-2m-8
= ﹣2(m2＋m－4) -2m-8
= ﹣m2-4m (－4< m < 0)
∴S最大值 = 4
（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），
（-2+，2－），（-2－，2＋）
31．（2010黑龙江哈尔滨） 已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．
（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝MD；
（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。
（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝，
求tan∠ACP的值．
【答案】（1）证明：如图1 连接AD
∵AB=AC BD=CD ∴AD⊥BC 又∵∠ABC=45°
∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM
（2）AE=2MD
（3）解：如图2 连接AD、EP ∵AB=AC
∠ABC=60°D ∴△ABC为等边三角形
又∵D为BC中点 ∴AD⊥BC ∠DAC=30
BD=DC=AB
∵∠BAE=∠BDM ∠ABE=∠DBM
∴△ABE∽△DBM
∠AEB=∠DMB ∴EB=EBM 又∵BM=MP
∴EB=BP 又∵∠EBM=∠ABC=60°
∴△BEP为等边三角形
∴EM⊥BP ∴∠BMD=90° ∴∠AEB=90°
∵D为BC中点 M为PB中点 ∴DM//PC
∴∠MDB=∠PCB ∴∠EAB=∠PCB
过N作NH⊥AC，垂足为H
在
32．（2010江苏徐州）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①,△AEM的周长=_____cm；
②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
【答案】
33．（2010 四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
【答案】（1）由题意，得 解得，b =－1．
所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．
设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3．
所以直线BD的解析式为y =x + 3．
由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，
得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．
同理可求得直线EF的解析式为y =x +．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．
（3）设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则 KN = yK－yN =－（t +）=．
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．
即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．
51．（2010江苏 镇江）探索发现（本小题满分9分）
如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，
试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为 ；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
【答案】
（1）；（1分）
（2）
① （2分）
（3分）
② （4分）（注：不去绝
对值符号不扣分）
（3）[法一]若OB=BD，则
由①得 （5分）
[法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上.
∴直线CM的函数关系式为， ③ （5分）
④
联立③，④得：，
[法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1
过点B作
（4）如果，
①当，如图27 – 2
∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分）
②当如图27 – 3
∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分）
下证平行四边形BDCF为菱形：
[法一]在，
[方法①]上方
（舍去）.
得
[方法②]由②得：
此时
∴此时四边形BDCF为菱形（9分）
[法二]在等腰中
52．（2010 四川泸州）已知二次函数及一次函数.
(1) 求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标;
(2) 将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.请你在图10中画出这个新图象,并求出新图象与直线
有三个不同公共点时的值;
(1) 当0≤≤2时,函数的图象与轴有两个不同公共点,求的取值范围.
【答案】解: (1),
则抛物线的顶点坐标为(1,)
∵的图象与轴相交,∴,
∴,∴,或,
∴抛物线与轴相交于A(,0)、B（3,0）.
（2）翻折后所得新图象如图所示，平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示，
.
①当直线位于时，此时过点A（,0），
∴，即，
②当直线位于时，
此时与函数（≤≤3）的图象有一个公共点，
∴方程，即有一个根，
故△＝＝0,即，
当时，满足≤≤3,
由①②知，，或
（3）∵，
∵当0≤≤2时，函数的图象与轴有两个不同交点，
∴应同时满足下列三个方面的条件：
方程的判别式△＞0，
抛物线的对称轴满足＜＜2，
当时，函数值≥0，
当时，函数值≥0，
即
＞0
0＜＜2
≥0
≥0
解得 ≤＜1，
∴当≤＜1时，函数图象（0≤≤2）
与轴有两个不同交点.
53．（2010 山东淄博）已知直角坐标系中有一点A（—4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．
（1）求满足条件的所有点B的坐标；
（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；
（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．
【答案】解：作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3，OA＝＝5．
（1）当OA＝OB＝5时，
如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0）．
如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）．
x
y
B
C
A
O
x
y
B
C
A
O
(第24题)
(2)
(1)
当OA＝AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0）．
当AB＝OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则，解得OB＝，点B的坐标为（－，0）．y
B
C
A
x
O
(3)
(4)
(第24题)
y
A
B
D
x
O
（2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为，可得方程组，解得a＝，，．
（当OA＝OB时，同理得．
（3）当OA＝AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE，．设BE＝4m，PE＝3m，则点P的坐标为（4m－8，－3m），代入，解得m＝3．
则点P的坐标为（4，－9），
S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48．
若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9），
S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48．
(第24题)
(5)
O
y
B
C
A
x
P
E
(6)
x
y
B
A
O
C
P
(第24题)
F
（当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF，．设BF＝4m，PF＝3m，则点P的坐标为（4m－5，－3m），代入，解得m＝．
则点P的坐标为（1，－），
S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝．
若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF，．设点P的坐标为（－n，－3n），代入，解得n＝9．则点P的坐标为（－9，－27），S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75．
54．（2010 天津） 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.
（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.
【答案】解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.
∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，
∴ 抛物线的解析式为（）．
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
∵ 方程的两个根为，，
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．
E
y
x
F
B
D
A
O
C
如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．
∵ S△BCE = S△ABC，
∴ S△BCF = S△ABC．
∴ ．
设对称轴与轴交于点，
则．
由EF∥CB，得．
∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．
∴ ．结合题意，解得 ．
∴ 点，．
设直线的解析式为，则
解得
∴ 直线的解析式为. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）
则抛物线的解析式为，
此时，抛物线与轴的交点为，
与轴的交点为，.（）
过点作EF∥CB与轴交于点，连接，
则S△BCE = S△BCF.
由S△BCE = 2S△AOC，
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.
设该抛物线的对称轴与轴交于点.
则 .
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．
∴ ，即．
结合题意，解得 ． ①
∵ 点在直线上，有． ②
∴ 由①②，结合题意，解得．
有，．
∴ 抛物线的解析式为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
55．（2010广西桂林）如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，
FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
H
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
（3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．[来源:Zxxk.Com]
【答案】证明（1）连结OF
H
∵FH是⊙O的切线
∴OF⊥FH ……………1分
∵FH∥BC ，
∴OF垂直平分BC ………2分
∴
∴AF平分∠BAC …………3分
（2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分
H
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分
∠FDB=∠FBD
∴BF=FD ………………6分
（3）解： 在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F
∴△BFE∽△AFB ………………7分
∴， ……………8分
∴
∴ ……………………9分
∴
∴AD== …………………10分
56．（2010湖北十堰）（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.
【答案】解：（1）分两种情况讨论：
①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0
不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根
综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.
（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.
则有x1+x2=，x1·x2=
由| x1－x2|====，
由| x1－x2|=2得=2，∴或
∴m=1或m=
∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－
即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.
（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.
，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；
同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.
观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
由
当y1=y2时，有x=2或x=1
当x=1时，y=－1
所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，
综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.
57．（2010 四川自贡）如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点A的右侧，AB＝OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y＝x2的图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H。记C、D的横坐标分别为xC，xD，点H的纵坐标yH。
（1）证明：①S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3
②xC·xD＝－yH
（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0），t＞0，其他条件不变，结论S△CMD：S梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？请说明理由。
（3）若A的坐标（t，0）（t＞0），又将条件y＝x2改为y＝ax2（a＞0），其他条件不变，那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系？写出关系式，并证明。
【答案】 全品中考网
58．（2010宁夏回族自治区）在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．
(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．
【答案】解：（1）∵ADBC
△AEB是由△ADB折叠所得
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=，BE=BD, AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=，FC=CD，AF=AD
∴AE=AF---------------------------------------------2分
又∵∠1+∠2=，
∴∠3+∠4=
∴∠EAF=--------------------------------------3分
∴四边形AEMF是正方形。---------------------5分
（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x
根据题意知：BE=BD, CF=CD
∴BM=x－1; CM=x－2-------------------------------------------------------------------7分
在Rt△BMC中,由勾股定理得：
∴
解之得： (舍去)
∴------------------------------------------10分
方法二：设：AD=x
∴=
∴-----------------------------------------------------------7分
∵
且
∴ 即
解之得： (舍去)
∴---------------------------------------------10分
59．（2010吉林长春）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△A0B的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（3,3），AD为斜边上的高．抛物线与直线交于点O、C，点C的横坐标为6。点P在x轴的正半轴上，过点P作PE//y轴，交射线OA于点E．设点P的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S．
(1)求OA所在直线的解析式．(1分)
(2)求a的值．(2分)
(3)当m≠3时．求S与m的函数关系式．(4分)
(4)如图②．设直线PE交射线0C于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN ．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．(3分)
【答案】
60．（2010广东茂名）已知⊙O1的半径为R，周长为C．
（1）在⊙O1内任意作三条弦，其长分别是、、．求证：++< C； （3分）
(第25题（1）图)
（第25题备用图）
（2）如图，在直角坐标系O中，设⊙O1的圆心为O1．
①当直线：与⊙O1相切时，求的值；（2分）
②当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，
求的取值范围． （3分）
（第25题备用图）
：
【答案】（1）证明：，，．++，
因此，++< C．
（2）解：①如图，根据题意可知⊙O1与轴、轴分别相切，设直线与⊙O1相切于点M，则O1M⊥l，过点O1作直线NH⊥轴，与交于点N，与轴交于点H，又∵直线与轴、轴分别交于点E（，0）、F（0，），∴OE＝OF＝，∴∠NEO＝45o，∴∠ENO1＝45o，在Rt△O1MN中，O1N＝O1Msin45o＝，
∴点N的坐标为N（R，），
把点N坐标代入得：，解得：，
②如图，设经过点O、O1的直线交⊙O1于点A、D，则由已知，直线OO1：是圆与反比例函数图象的对称轴，当反比例函数的图象与⊙O1
直径AD相交时（点A、D除外），则反比例函数的图象与⊙O1有两个交点．
过点A作AB⊥轴交轴于点B，过O1作O1C⊥轴于点C，OO1＝O1Csin45o＝，OA＝，所以OB＝AB＝sin45o＝，
因此点A的坐标是A，将点A的坐标 代入，解得：．
同理可求得点D的坐标为D，
将点D的坐标代入，解得：
所以当反比例函数的图象与⊙O1有两个交点时，的取值范围是：
61．（2010辽宁大连）如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC
（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）
O
C
A
B
D
x
图17
【答案】
62．（2010贵州遵义）如图，在⊿ABC，∠C= 90 °，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E.
(1)当AC=2时，求⊙O的半径；
(2)设AC=χ，⊙O的半径为y,求y与χ的函数关系式。
【答案】【答案】解法一：连接OD、OE、OC……………………………………1分
∵D、E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE…………………………………2分
∵S△ABC=S△AOC+S△BOC
∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分
∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6
∴×2×6=×2×OD+×2×OE ……………………4分
而OD=OE，∴OD=，即⊙O的半径为 ………………5分
解法二：连接OD、OE ………………………………………1分
∵D、E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ……………………………2分
∴∠C＝90°，∴OECD为正方形
∴OD＝OE＝EC＝CD＝t ………………………3分
而△AOD∽△ABC，∴ ………………………4分
∵AC+BC=8,AC =2,∴BC=6，AD=2－t
∴，r=，即⊙O的半径为………………………5分
(2)(7分)连接OD、OE、OC ……………………………………1分
∵D、E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE=y ………………………2分
S△ABC=S△AOC+S△BOC
∴AC×BC=AC×OD+BC×OE ……………………3分
∵AC+BC=8,AC =x,∴BC=8－x ………………………………4分
x(8－x)=xy+(8－x)y ………………………………5分
化简：8x－x2=xy+8y－xy………………………………………6分
即：y=－x2+x ………………………………………………7分
解法二：连接OD、OE ………………………………………1分
∵D、E为切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE ………………………2分
∴∠C＝90°，∴OECD为正方形
∴OD＝OE＝EC＝CD＝y ………………………………3分
由OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，
（或者：OD∥AC，∴△OBE∽△ABC）
∴.
∵AC+BC==8，AC=x，
∴BC=8-x，AD=AC-CD=x-y.
∴.
化简得：xy=（x-y）（8-x），
xy=8x-x2-8y+xy.
所以.
解法三：连接OD、OE.
∵D，E是切点，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE.
∵∠C=90°，∴OECD是正方形.
∴OD=OE=EC=CD=y.
由OD∥BC得：△AOD∽△ABC，
∴，即 ①.
由OE∥AC得：△BOE∽△BAC，
∴，即 ②.
①+②得：，
即.
∴.
63．（2010湖北宜昌）如图①，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D,E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a , h,且是关于x的一元二次方程的两个实数根，设过D,E,F三点的⊙O的面积为,矩形PDEF的面积为。
（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；
（2）求的最小值；
（3）当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分）
A
C
B
(第23题)
解：解法一：
（1）据题意，∵a+h=.
∴所求正方形与矩形的面积之比：
1分
由知同号,
2分
（说明:此处未得出只扣1分, 不再影响下面评分）
3分
即正方形与矩形的面积之比不小于4.
（2）∵∠FED=90º,∴DF为⊙O的直径.
⊙
∴⊙O的面积为：． 4分
矩形PDEF的面积：．
⊙
∴面积之比： 设
⊙
……………………………………………………………6分
,
⊙
，即时（EF=DE）, 的最小值为 7分
⊙
（3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．
过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝ e，
∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.
由BC∥MQ,得：BM =AG =h.
∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP,
∴△FBP∽△ABQ. 8分
M
N
（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）
∴,……9分
∴.∴……10分
……11分
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.
（解题过程叙述基本清楚即可）
解法二：
（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，
∴ah＞０…………1分（说明:此处未得出只扣1分,再不影响下面评分）
∵（a-h）２≥０，当a＝h时等号成立.
故，（a-h）２＝（a＋h）２－４a h≥０． 2分
∴（a＋h）２≥４a h，
∴≥４．（﹡） 3分
这就证得≥４．（叙述基本明晰即可）
（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 .
S⊙O=…………4分, S矩形PDEF=xy
⊙
=
= 6分
由（1）（*）， .
.
⊙
∴的最小值是 7分
⊙
（3）当的值最小时，
这时矩形PDEF的四边相等为正方形.
∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足.
∵△AGB∽△FEB，∴.……8分
∵△AQB∽△FPB, ，……9分
∴=．
而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10分
∴AG=h＝,
或者AG=h＝ 11分
∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关.
64．（2010湖北宜昌）如图，直线y=hx+d与x轴和y轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=在第一象限相交于点C；以AC为斜边、为内角的直角三角形，与以CO为对角线、一边在x轴上的矩形面积相等；点C,P在以B为顶点的抛物线y=上；直线y=hx+d、双曲线y=和抛物线同时经过两个不同的点C，D。
（1）确定t的值
（2）确定m , n , k的值
（3）若无论a , b , c取何值，抛物线都不经过点P，请确定P的坐标
（12分）
（第24题）
【答案】（1）直线过点A，B，则0=－h+d和1=d,即y=x+1. 1分
双曲线y=经过点C（x1，y1），x1y1=t．
以AC为斜边，∠CAO为内角的直角三角形的面积为×y1×(1+x1);
以CO为对角线的矩形面积为x1y1，
×y1×(1+x1)＝x1y1，因为x1，y1都不等于0，故得x1＝1，所以y1=2.
故有，，即t=2. 2分
（2）∵B是抛物线y＝mx2＋nx＋k的顶点，∴有－ ，
得到n=0，k=1. 3分
∵C是抛物线y＝mx2＋nx＋k上的点，∴有2＝m(1)2+1,得m=1． 4分
（3）设点P的横坐标为p，则纵坐标为p2+1.
∵抛物线y=ax2+bx+c经过两个不同的点C，D，
其中求得D点坐标为（－2，－1）． 5分.
解法一：
故 2＝a＋b＋c，
－1＝4a－2b＋c．
解之得，b＝a＋1, c＝1－2a. 6分
（说明：如用b表示a，c，或用c表示a，b，均可，后续参照得分）
∴y=ax2＋( a＋1)x＋（1－2a ）
于是： p2+1≠a p2＋（a＋1）p＋（1－2a） 7分
∴无论a取什么值都有p2－p≠（p2＋p－2）a． 8分[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（或者，令p2-p=(p2+p-2)a 7分
∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点，
∴此方程无解，或有解但不合题意 8分）
．
故∵a≠０，∴①
解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0. 9分
∴符合题意的P点为（0，1）. …………10分
②，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.
得p＝－2. 11分
符合题意的P点为（－2，5）． 12分
∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.
解法二：
则有（a－1）p2+(a+1) p－2a=0 7分
即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0
有p－1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上. 8分
或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p
当p=0时a=0与a≠0矛盾 9分
得点P（0，1） 10分
或者p=－2时，无解 11分[来源:学科网]
得点P（－2，5） 12分
故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5）
解法三：
如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．
(只经过直线CD上的C，D点). 6分
由 7分
解得交点为C（1，2），B（0，1）．
故符合题意的点P为（0，1）. 8分
抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝－2上除D外的其他点. 9分
65．（2010 福建莆田）如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=1,OC=2,点D在边OC上且OD= 。
（1）.求直线AC的解析式；
（2）.在y轴上是否存在点p，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）.抛物线y= 经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上 处？
【答案】【答案】
【答案】
66．（2010广西河池）如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．
（1）线段的长为 ，点的坐标为 ；
（2）求△的面积；
（3）求过，，三点的抛物线的解析式；
（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该
抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形
为平行四边形，求点的坐标．
M
C
B
O
A
图11
【答案】解：（1）4 ；.
（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，
∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM 又 ∵ OA=2BC
∴ AM＝2CM ，CM＝AC 所以
（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）
（3）设抛物线的解析式为
由抛物线的图象经过点,,.所以
解这个方程组，得，，
所以抛物线的解析式为
（4）∵ 抛物线的对称轴是CD，
① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点；
② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以.
同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.（12分）
综上所述，点F的坐标为，.
67．（2010广东肇庆）已知二次函数的图象过点（2，1）
（1）求证：
（2）求的最大值
（3）若二次函数的图象与轴交于点，，，，的面积是，求
【答案】解：（1）∵的图象过点（2，1）
∴
∴
（2）
当时，
此时，
∴当时，有最大值，最大值为2。
（3）由根与系数关系可知：，
，
当或时，
∴的面积是时，或
68．（2010内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0，m是常数）的图像经过点A（1，4）、点B（a，b），其中a＞1.过点A作x中的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，AC与BD相交于点M，连结AD、DC、CB与AB.
（1）求m的值；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式.
【答案】解：（1）∵点A（1，4）在函数y＝的图像上，
∴4＝，得m＝4.……………………………2分
（2）∵点B（a，b）在函数y＝的图像上，∴ab＝4.
又∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D交AC于M，∴AC⊥BD于M
∴M（1，b），D（0，b），C（1，0）
∴tan∠BAC＝＝＝＝，tan∠DCM＝＝……………4分
∴tan∠BAC ＝tan∠DCM，
所以锐角∠BAC＝∠DCM，DC∥AB………………………………………………6分
说明：利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，易证△ABM∽△CDM，易得∠BAC＝∠DCM.评分标准为证出相似得到4分，证出平行得到6分.
（3）设直线AB的解析式为y＝kx＋b
∵AB∥CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形.
① 四边形ABCD是平行四边形时，AC与BD互相平分，
又∵AC⊥BD，∴B（2，2）
∴，解得
∴直线AB的解析式为：y＝－2x＋6.………………8分
②当四边形ABCD是等腰梯形时，
BD与AC相等且垂直，∵AC＝BD＝4，
∴B（4，1）
∴同理可求直线AB的解析式为y＝－x＋5.…………………10分
69．（2010四川攀枝花）如图12，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点（点P不与点B、C重合），过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点。设CP=x, △PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。
（1）求∠CPQ的度数。
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。
F
E
图12（2）
P
D
C
Q
A
B
R
B
图12（1）
P
R
Q
A
C
D
【答案】解：
（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=2,∠C=90°
∴CD=6,BC=2 ∴tan∠CBD＝= ∴∠CBD=60°
∵PQ∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60°………………………2分
（2）如题图12（1）由轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ
∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60° ∴∠RPB=60°,∴RP=2BP
∵CP=x ∴RP=x ,PB=2-x. ………………………4分
∴在△RPB中，有2（2-x）= x ∴x=………………6分
（3）当R点在矩形ABCD的外部时（如题图12（2）），﹤x﹤2
在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x）
∴RP=CP=x ∴ER=RF-PF=3x-4………………………7分
在Rt△ERF中 ∵∠EFR=∠PFB=30° ∴ER=RF·tan30°=x-4
∴Ｓ△ERF=ER×FR=(x-4)( 3x-4)=-12x+8………8分
又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=x×x=
∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△ERF ∴当﹤x﹤2时，函数的解析式为
y=-（-12x+8）
=-+12x-8 （﹤x﹤2）…………10分
∵y=-+12x-8 =-(x-2)+4
∴当﹤x﹤2时，y随x的增大而增大
∴函数值y的取值范围是﹤y﹤4…………12分
70．（2010湖北黄石）在△ABC中，分别以AB、BC为直径⊙O、⊙O，交于另一点D.
⑴证明：交点D必在AC上；
⑵如图甲，当⊙O与⊙O半径之比为4︰3，且DO与⊙O相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠ODB的值；
⑶如图乙，当⊙O经过点O，AB、DO的延长线交于E，且BE＝BD时，求∠A的度数.
【答案】
y
x
由 10分
解得交点P为（－2，5）．……11分
抛物线y=ax2+bx+c不经过直线x＝1上除C外的其他点,
而解得交点为C（1，2）. ……12分
故符合条件的点P为（0，1）或（－2，5）.
