中考攻略中考数学专题9几何三大变换之对称探讨

中考攻略中考数学专题9几何三大变换之对称探讨

‎【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个 图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。轴对称具有这样的重要性质： （1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。‎ 在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。‎ 结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。‎ 一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：‎ 典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】轴对称图形。‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。因此，‎ A、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，故本选项正确；‎ C、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、不是轴对称图形，故本选项错误。‎ 故选B。‎ 例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】轴对称图形。‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此 A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；‎ C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。‎ 故选A。‎ 例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】轴对称图形，中心对称图形。‎ ‎【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：‎ A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；‎ C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。‎ 故可得选项A与其他图形的对称性不同。故选A。‎ 例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【 】‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】轴对称图形。‎ ‎【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可：‎ ‎ A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；‎ B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；‎ C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；‎ D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。‎ 故选C。‎ 例5. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），‎ C（－1，－3）.‎ ‎①画出△ABC关于x轴对称的△A1B‎1C1，并写出点A1的坐标；（4分）‎ ‎②画出△ABC关于原点O对称的△A2B‎2C2，并写出点A2的坐标.（4分）‎ ‎【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。‎ ‎②如图所示，A2（2，1）。 ‎ ‎【考点】轴对称和中心对称作图。‎ ‎【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出A1、A2的坐标。‎ 例6. （2012四川乐山9分）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．‎ ‎（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B‎1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）‎ ‎（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB‎1C1C的面积．‎ ‎【答案】解：（1）如图，△A1B‎1C1 是△ABC关于直线l的对称图形。‎ ‎（2）由图得四边形BB‎1C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4。‎ ‎∴S四边形BB‎1C1C。‎ ‎【考点】作图（轴对称变换）。‎ ‎【分析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作BM⊥直线l于点M，并延长到B1，使B‎1M=BM，同法得到A，C的对应点A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形。‎ ‎（2）由图得四边形BB‎1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可。‎ 例7. （2012贵州安顺4分）在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是　 ▲ 　．‎ ‎【答案】309087。‎ ‎【考点】镜面对称。‎ ‎【分析】拿一面镜子放在题目所给数字的对面，很容易从镜子里看到答案是309087。‎ 例8. （2012福建宁德4分）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线 裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】剪纸问题 ‎【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现，展开得到的图形如选项B中所 示。故选B。‎ 例9. （2012福建龙岩12分）如图1，过△ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且△BED和△CFD都是等腰三角形，再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为△ABC的边BC上的折合矩形． ‎ ‎（1）若△ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为 ；‎ ‎（2）如图4，已知△ABC，在图4中画出△ABC的边BC上的折合矩形EFGH；‎ ‎（3）如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=‎2a，那么，BC边上的高AD= ，正方形EFGH的对角线长为 ．‎ ‎【答案】解：（1）3。 ‎ ‎（2）作出的折合矩形EFGH： ‎ ‎（3）‎2a ； 。 ‎ ‎【考点】新定义，折叠问题，矩形和正方形的性质，勾股定理。 ‎ ‎【分析】（1）由折叠对称的性质，知折合矩形EFGH的面积为△ABC的面积的一半，‎ ‎ （2）按题意，作出图形即可。‎ ‎ （3）由如果△ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC=‎2a，那么，正方形边长为a，BC边上的高AD为EFGH边长的两倍‎2a。‎ ‎ 根据勾股定理可得正方形EFGH的对角线长为。 ‎ 例10.（2012山东潍坊3分）‎ 甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【 】．[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]‎ A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)‎ C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】利用轴对称设计图案。‎ ‎【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：‎ A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；‎ B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形；‎ C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形；‎ D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形。‎ 故选C。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012浙江宁波3分）下列交通标志图案是轴对称图形的是【 】‎ ‎　　A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎2. （2012江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【 】‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3. （2012贵州遵义4分）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有　 ▲ 　种．‎ ‎4.（2012贵州遵义3分）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是【 】‎ ‎　 A． B． C． D．‎ ‎5.（2012广西钦州3分）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是【 】‎ A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 ‎6. （2012四川广安8分）现有一块等腰三角形板，量得周长为‎32cm，底比一腰多‎2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．‎ ‎7. （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为 ▲ ．‎ ‎8. （2012广东广州12分）如图，⊙P的圆心为P（﹣3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．‎ ‎（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．‎ ‎（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．‎ ‎9. （2012湖南郴州6分）作图题：在方格纸中：画出△ABC关于直线MN对称的△A1B‎1C1．‎ 二、线段、角的轴对称性：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012湖北恩施3分）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于【 】‎ A．50° B．60° C．65° D．90°‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】平行线的性质，角平分线的定义。‎ ‎【分析】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。‎ ‎∵∠1=50°，∴∠BEF=130°（等量代换）。‎ ‎∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=65°（角平分线的定义）。‎ ‎∴∠2=∠BEG=65°（两直线平行，内错角相等定理）。故选C。‎ 例2. （2012海南省3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O. 过O点作DE∥BC，分别交 AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ▲ .‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】∵OB是∠B的平分线，∴∠DBO=∠OBC。‎ ‎ 又∵DE∥BC，∴∠OBC =∠BOD。∴∠DBO=∠BOD。∴DO=DB。‎ ‎ 同理，EO=EC。‎ ‎ 又∵AB=5，AC=4，‎ ‎ ∴△ADE的周长=AD＋DE＋AE=AD＋DO＋EO＋AE=AD＋DB＋EC＋AE=AB＋AC=5＋4=9。‎ 例3.（2012广东梅州3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=　 ▲ ．‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】作EG⊥OA于F，‎ ‎∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，‎ ‎∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。‎ ‎∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。‎ 例3.（2012贵州铜仁5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）‎ ‎【答案】解：作图如下：M即为所求。‎ ‎【考点】作图（应用与设计作图）。‎ ‎【分析】连接AB，作出线段AB的垂直平分线，在矩形中标出点M的位置（以点C为圆心，AB长为半径画弧交AB的垂直平分线于点M）。‎ 例4.（2012山东德州8分）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2‎ 的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）‎ ‎【答案】解：作图如下：C1，C2就是所求的位置。‎ ‎【考点】作图（应用与设计作图）。‎ ‎【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点。‎ ‎（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG。则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012湖南怀化3分）如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C=110°，则∠EAB为【 】‎ A．30° B．35° C．40° D．45°‎ ‎2. （2012贵州黔南4分）如图，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=1500，则∠C的度数是【 】‎ A．1500 B．‎1300 C．1200 D．1000‎ ‎3. （2012云南省3分）如图，在中，，，AD是的角平分线，则∠CAD的度数为【 】‎ ‎4. （2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　 ▲ 　．‎ ‎5.（2012湖南娄底4分）如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE=　 ▲ 　度．‎ 三、等腰（边）三角形的轴对称性：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012黑龙江牡丹江6分）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线 ‎【答案】解：能拼成3种平行四边形，如图：‎ ‎ 图1中，对角线的长为5；‎ ‎ 图2中，对角线的长为3和；‎ 图3中，对角线的长为4和 ‎【考点】拼图，等腰三角形的的性质，平行四边形、矩形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质拼图。图1中，拼成的平行四边形是矩形，对角线的长为5；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为；图2中，一条对角线的长为3，另一条对角线的长为。‎ 例2.（2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】‎ A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。‎ ‎ ∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。‎ 例3. （2012湖北荆门3分）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为【 】‎ A． 2 B． ‎2 ‎C． D． 3‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。‎ ‎【分析】∵△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，‎ ‎∵BF=2，FQ⊥BP，∴BQ=BF•cos30°=2×。‎ ‎∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2。‎ 在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°，∴PE=BP=。故选C。‎ 例4. （2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。‎ ‎【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：，‎ ‎ ∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，‎ ‎∴，解得a=3。‎ ‎∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=。‎ 例5. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= ▲ ‎ ‎【答案】4或1或9。‎ ‎【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，根据题意，‎ ‎ ∵AB=10，BC=3，E为AB边的中点，‎ ‎ ∴AE=5，AD=3。‎ ‎ 若AE=AP=5，则在Rt△ADP1中，‎ ‎ 由勾股定理，得DP1=4。‎ ‎ 若AE=PE=5，A作EF⊥CD于点F，则EF=3，DF=5‎ 在Rt△EFP2中，P‎2F=4，∴DP2=DF－P‎2F=1：在Rt△EFP3中，P‎3F=4，∴DP3=DF＋P‎3F=9。‎ 另AP=EP=5不成立。‎ 综上所述，DP=4或1或9。‎ 例6. （2012湖北随州8分）如图,在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.‎ 求证：（1）ΔABD≌ΔACD；(2)BE=CE ‎【答案】证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD。‎ ‎ 在△ABD和△ACD中，∵BD=CD，AB=AC，AD=AD(公共边)，‎ ‎∴△ABC≌△ACD（SSS）。‎ ‎（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE。‎ 在△ABE和△ACE中， ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AE，‎ ‎∴△ABE≌△ACE （SAS）。∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SSS可以证得△ABD≌△ACD。‎ ‎（2）由（1）的全等三角形的对应角相等可以推知∠BAE=∠CAE；根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABE≌△ACE；由全等三角形的对应边相等知BE=CE。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【 】‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C． D．‎ ‎2. （2012湖北孝感3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36º，BD平分∠ABC交AC于点D．若 AC＝2，则AD的长是【 】‎ ‎3. （2012江苏淮安3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=700，则∠BAD=‎ ‎ ▲ 0。‎ ‎4. （2012四川泸州5分）如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连结AE。‎ 求证：AE∥BC ‎5. （2012甘肃白银10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．‎ ‎（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；‎ ‎（2）若BF=EF，求证：AE=AD．‎ 四、矩形、菱形、正方形等腰梯形的轴对称性：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】‎ A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。‎ ‎【分析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。‎ ‎∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。故选C。‎ 例2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为 ‎，则阴影部分的面积为【 】‎ A.2 B. ‎3‎ C. 4 D.5‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。‎ ‎【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：‎ ‎。故选A。‎ 例3. （2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为‎6cm、‎8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是【 】‎ ‎　 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】菱形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=，AO⊥BO，‎ ‎∴。∴。‎ 又∵，∴BC·AE=24，即。故选D。‎ 例4. （2012江苏南通3分）如图，矩形ABCD的对角线AC＝‎8cm，∠AOD＝120º，则AB的长为【 】‎ A．cm B．‎2cm C．‎2cm D．‎‎4cm ‎【答案】D。‎ ‎【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=‎4cm，‎ ‎∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。∴△AOB是等边三角形。‎ ‎∴AB=AO=‎4cm。故选D。‎ 例5. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】‎ A． B．‎2 ‎‎ C．3 D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】如图，设BF、CE相交于点M，‎ ‎∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，‎ ‎∴△BCM∽△BGF，∴，即。‎ 解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。‎ ‎∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。‎ ‎∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×，‎ 菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。‎ ‎∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。‎ 例6. （2012广东深圳3分）如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ▲ ．‎ 例7. （2012上海市12分）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．‎ ‎（1）求证：BE=DF；‎ ‎（2）当时，求证：四边形BEFG是平行四边形．‎ ‎【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，‎ ‎∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。‎ ‎∴△BAE≌△DAF（ASA）。∴BE=DF。‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴。‎ 又∵BE=DF ，，∴。∴GF∥BC。‎ ‎∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。‎ 又∵BE=DF ，∴BE=GF。∴四边形BEFG是平行四边形。‎ ‎【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】（1）由菱形的性质和∠BAF=∠DAE，证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论。‎ ‎（2）由AD∥BC证得△ADG∽△EBG，从而；由和BE=DF即可得证得。从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，根据等腰三角形等角对等边的判定和BE=DF ，证得BE=GF。利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形。‎ 例8. （2012湖南娄底9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．‎ ‎（1）求证：△MBA≌△NDC；‎ ‎（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°。‎ ‎ ∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD．BC的中点，∴AM=AD，CN=BC。‎ ‎∴AM=CN。‎ 在△MAB和△NDC中，‎ ‎∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN ‎ ‎∴△MAB≌△NDC（SAS）。‎ ‎（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：‎ 连接AN，易证：△ABN≌△BAM，‎ ‎∴AN=BM。‎ ‎∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN。‎ ‎∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ。‎ ‎∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，‎ ‎∴△MQD≌△NPB（SAS）。∴MQ=PN。 ‎ ‎∴四边形MPNQ是平行四边形。‎ ‎∵M是AB中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM。‎ 又∵MP=BM，∴MP=MQ。∴四边形MQNP是菱形。‎ ‎【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC。‎ ‎（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，由（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，从而证明四边形MQNP是菱形。‎ 例9.（2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC ‎ 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. ‎ 求证：AM⊥DF.‎ ‎【答案】证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC。‎ ‎ 又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OF=OE。‎ 在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO ，∠AOD=∠DOF， OE=OF ，‎ ‎∴△AOE≌△DOF（SAS）。∴∠OAE=∠ODF。‎ ‎∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。‎ ‎【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。‎ ‎【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，‎ 然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论。‎ 例10.（2012贵州贵阳10分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．‎ 练习题：‎ ‎1. （2012陕西省3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=1300，则∠AOE的大小为【 】‎ A．75° B．65° C．55° D．50°‎ ‎2. （2012江苏苏州3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，‎ 则四边形CODE的周长是【 】‎ A.4 B‎.6 C.8 D. 10‎ ‎3. （2012江苏徐州3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC。图中相似三角形共有【 】‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎4. （2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】‎ ‎（参考数据：，π取3.14）‎ A. 0.64 B. ‎1.64 ‎‎ C. 1.68 D. 0.36‎ ‎5. （2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：‎ ‎ ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ‎ ‎ ③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.‎ ‎6. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　 ▲ 　．‎ ‎7. （2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．‎ ‎（1）若CE=1，求BC的长；‎ ‎（2）求证：AM=DF+ME．‎ ‎8. （2012四川凉山7分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．‎ ‎（1）求证：△ABE∽△DEF；‎ ‎（2）求EF的长．‎ ‎9.（2012四川内江9分）如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，‎ 点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。‎ （1） 求证：四边形ABCD是正方形；‎ （2） 当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。‎ ‎10. （2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2‎ ‎（1）求EC：CF值；‎ ‎（2）延长EF交正方形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；‎ ‎（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。‎ 五、等腰梯形的轴对称性：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【 】‎ ‎　　A．26　　B．‎25　‎　C．21　　D．20‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。∴BE=AD=5。‎ ‎∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。‎ ‎∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选C。‎ 例2. （2012福建漳州4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80o，则∠D的度数是【 】‎ ‎ A．120o B．110o C．100o D．80o ‎【答案】C。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。‎ ‎【分析】∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠A=180°－∠B=180°－80°=100°。‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°。故选C。‎ 例3. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是【 】‎ A．AC=BD　　B．OB=OC　　C．∠BCD=∠BDC　　D．∠ABD=∠ACD ‎【答案】C。‎ ‎【考点】‎ 等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确。‎ B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，‎ ‎∵在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，‎ ‎∴△ABC≌△DCB（SAS）。∴∠ACB=∠DBC。∴OB=OC。故本选项正确。‎ C．∵BC和BD不一定相等，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误。‎ D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD。故本选项正确。‎ 故选C。‎ 例4. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为 ‎（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为【 】‎ ‎　　A．4　　B．‎5　‎　C．6　　D．不能确定 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，连接BD，‎ 由题意得，OB=4，OD=3，∴根据勾股定理，得BD=5。‎ 又∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5。故选B。‎ 例5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】‎ A．25 B．‎50 C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】 过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F。‎ ‎∵AD∥BC，DE∥AC，‎ ‎∴四边形ACED是平行四边形。∴AD=CE=3，AC=DE。‎ 在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE。‎ ‎∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE。‎ ‎∴△BDE是等腰直角三角形。∴DF=BE=5。‎ S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25。故选A。　‎ 例6. （2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 ‎（1）求证：四边形EFGH为正方形；‎ ‎（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。‎ ‎【答案】（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。‎ 同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。‎ ‎∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。‎ ‎∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。‎ 设AC与EH交于点M，‎ 在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。‎ 又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。‎ ‎∴四边形EFGH是正方形。‎ ‎（2）解：连接EG。‎ 在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，‎ ‎∴。‎ 在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，‎ ‎∴，即四边形EFGH的面积为。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。‎ ‎（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出 ，也即得出了正方形EHGF的面积。‎ 例7. （2012湖南永州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．‎ ‎【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，‎ ‎∴∠B=∠C（等腰梯形底角相等）。‎ ‎∵GF=GC，∴∠GFC=∠C（等边对等角）。∴∠GFC=∠B（等量代换）。‎ ‎∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）。‎ 又∵AE=GF，‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。‎ ‎【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。‎ ‎【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论。　‎ 练习题：‎ ‎1. （2012江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【 】‎ ‎　 A． 17 B． ‎18 ‎C． 19 D． 20‎ ‎2. （2012福建厦门4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC 与BD相交于点O，若OB＝3，则OC＝ ▲ ．‎ ‎3. （2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点D作DF⊥BC于F．若AD=2，‎ BC=4，DF=2，则DC的长为 ▲ ．‎ ‎4. （2012江苏苏州6分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，‎ 连接AE、AC.‎ ‎ ⑴求证：△ABE≌△CDA；‎ ‎ ⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.‎ ‎5. （2012湖南怀化10分）如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连结AE、DE．求证：AE=DE．‎ ‎6. （2012四川南充6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD，求证：∠B=∠E 六、圆的轴对称性：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012陕西省3分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【 】‎ A．3 B．‎4 C． D．‎ 例2. （2012江苏泰州3分）如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是【 】‎ A．40° B．45° C．50° D．60°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。‎ ‎【分析】连接OB，‎ ‎ ∵∠A和∠BOC是弧所对的圆周角和圆心角，且∠A=50°，‎ ‎∴∠BOC=2∠A=100°。‎ 又∵OD⊥BC，∴根据垂径定理，∠DOC=∠BOC=50°。‎ ‎∴∠OCD=1800－900－500=400。故选A。‎ 例3. （2012四川内江3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥A，∠CDB=300，CD=，则阴影部分图形的面积为【 】‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。‎ ‎【分析】连接OD。‎ ‎∵CD⊥AB，CD=，∴CE=DE=（垂径定理）。‎ ‎∴。∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积。‎ 又∵∠CDB=30°，∠COB=∠BOD，∴∠BOD=60°（圆周角定理）。‎ ‎∴OC=2。‎ ‎∴，即阴影部分的面积为。故选D。‎ 例4. （2012山东泰安3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是【 】‎ ‎　　A．CM=DM　　B．　　C．∠ACD=∠ADC　　D．OM=MD ‎【答案】D。‎ ‎【考点】垂径定理，弦、弧和圆心角的关系，全等三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，‎ ‎∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；‎ ‎∵B为的中点，即，选项B成立；‎ 在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，‎ ‎∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立。‎ 而OM与MD不一定相等，选项D不成立。‎ 故选D。‎ 例5. （2012浙江衢州4分）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是‎10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为‎8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为　 ▲ 　mm．‎ ‎【答案】8。‎ ‎【考点】垂径定理的应用，勾股定理。‎ ‎【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，‎ ‎∵钢珠的直径是‎10mm，∴钢珠的半径是‎5mm。‎ ‎∵钢珠顶端离零件表面的距离为‎8mm，∴OD=‎3mm。‎ 在Rt△AOD中，∵mm，‎ ‎∴AB=2AD=2×4=‎8mm。‎ 例6. （2012山东东营4分）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚 度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=‎48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值 是 　▲ cm． ‎ ‎【答案】30。‎ ‎【考点】垂径定理的应用，勾股定理。‎ ‎【分析】‎ 当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径：‎ 如图，连接OB， ‎ 当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大。‎ ‎∵AD垂直平分BC，AD=BC=‎48cm，∴O点在AD上，BD=‎24cm。‎ 在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48－r。‎ ‎∴r2=（48－r）2＋242，解得r=30。‎ ‎∴圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为‎30cm。‎ 例7. （2012青海省2分）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，则∠AED的度数为 ▲ 度．‎ ‎【答案】69。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，∴∠AOD=138°（等弧所对圆心角相等）。‎ ‎∴∠AED=138°÷2=69°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）。　‎ 例8. （2012江苏南通8分）如图，⊙O的半径为‎17cm，弦AB∥CD，AB＝‎30cm，CD＝‎16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．‎ ‎【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。‎ ‎∵AB=30，CD=16，∴AE=AB=15，CF=CD=8。‎ 又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。‎ ‎∴在Rt△AOE中，。‎ 在Rt△OCF中，。‎ ‎∴EF=OF－OE=15－8=7。‎ 答：AB和CD的距离为‎7cm。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离。‎ 例9. （2012湖南岳阳6分）如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．‎ ‎（1）求证：AC2=AB•AF；‎ ‎（2）若⊙O的半径长为‎2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．‎ ‎【答案】（1）证明：∵，∴∠ACD=∠ABC。‎ 又∵∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC。‎ ‎∴，即AC2=AB•AF。‎ ‎（2）解：如图，连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，‎ ‎∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°。‎ 又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°。‎ 在Rt△AOE中，OA=2， OE=OAcos60°=1‎ ‎∴。∴AC=2AE=2。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。‎ ‎【分析】（1）由，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF∽△ABC，根据相似得比例可得证。‎ ‎（2）连接OA，OC，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由扇形AOC的面积﹣△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义求出各线段长即可。‎ 例10. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．‎ ‎【答案】12。‎ ‎【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。‎ ‎【分析】∵⊙O2的面积为π，∴⊙O2的半径是1。‎ ‎∵AB和AH是⊙O1的切线，∴AB=AH。‎ 设⊙O2的半径是R，连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O‎2F⊥BC于F。‎ ‎∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA，∠ADC=60°‎ ‎∴D．O2、O1三点共线，∠CDO1=30°。‎ ‎∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。‎ ‎∴四边形CFO2E是矩形，‎ ‎∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°。‎ ‎∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，R+1=2（R﹣1），解得：R=3。‎ 即DO1=2+1+3=6，‎ 在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD=。‎ ‎∵∠HO‎1A=90°﹣60°=30°，HO1=3，∴AH==AB。‎ ‎∴四边形ABCD的面积是：×（AB+CD）×BC=×（+）×（3+3）=12。‎ 例11.（2012广东佛山11分）‎ ‎（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．‎ 若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？‎ ‎（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．‎ ‎【答案】解：（1）作图如下：‎ 能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4。‎ ‎（2）连接BD，交AC于E，‎ ‎∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。‎ 设CE=x，则AE=4－x，‎ ‎∵BC= b=3，AB= a=2，‎ ‎∴由勾股定理得：‎ 解得：。‎ ‎∴。‎ ‎∴四边形ABCD的面积是。‎ 答：四边形ABCD的面积是。‎ ‎【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；‎ ‎（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012湖北恩施3分）如图，两个同心圆的半径分别为‎4cm和‎5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为【 】‎ A．‎3cm B．‎4cm C．‎6cm D．‎‎8cm ‎2. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则⊙O 的直径为【 】‎ A. 8 B. ‎10 ‎‎ C.16 D.20‎ ‎3. （2012河北省2分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是【 】‎ A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE ‎4. （2012浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 ▲ 厘米．‎ ‎5. （2012辽宁朝阳3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙O的半径为 ▲ 。‎ ‎6. （2012辽宁锦州3分）如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3㎝，DB=10㎝，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长是 ▲ ㎝.‎ ‎7. （2012青海西宁2分）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为‎2m，净高CD为‎5m，则圆拱 形门所在圆的半径为 ▲ m．‎ ‎8. （2012辽宁沈阳10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD. ‎ ‎(1)求证：BD平分∠ABC；‎ ‎(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.‎ ‎9. （2012吉林长春5分）如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．‎ ‎10. （2012广西桂林10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，顺次连接 A、O1、B、O2．‎ ‎(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；‎ ‎(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE＝2O2D；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．‎ 七、折叠的轴对称性：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012广东梅州3分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】‎ ‎　　A．150°　　B．210°　　C．105°　　D．75°‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。‎ ‎【分析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。‎ ‎∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。‎ 故选A。‎ 例2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】延长DC与A′D′，交于点M，‎ ‎∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，‎ ‎∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。‎ ‎∴∠D=180°-∠A=120°。‎ 根据折叠的性质，可得 ‎∠A′D′F=∠D=120°，‎ ‎∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。‎ ‎∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。‎ ‎∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M。‎ ‎∴BC=CM。‎ 设CF=x，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y，‎ 在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=，∴。‎ ‎∴。故选A。‎ 例3. （2012湖北荆门3分）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】‎ A． 8 B． ‎4 ‎C． 8 D． 6‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，∵正方形ABCD的对角线长为2，‎ 即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，‎ ‎∴AB=BD•cos∠ABD=BD•cos45°=2。‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=2。‎ 由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，‎ ‎∴图中阴影部分的周长为 A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。‎ 故选C。‎ 例4.（2012山东泰安3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为【 】‎ ‎　　A．9：4　　B．3：‎2　‎　C．4：3　　D．16：9‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】设BF=x，则由BC=3得：CF=3﹣x，由折叠对称的性质得：B′F=x。‎ ‎∵点B′为CD的中点，AB=DC=2，∴B′C=1。‎ 在Rt△B′CF中，B′F2=B′C2+CF2，即，解得：，即可得CF=。‎ ‎∵∠DB′G=∠DGB′=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，∴∠DGB′=∠CB′F。∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′。‎ 根据面积比等于相似比的平方可得： 。故选D。‎ 例5.（2012青海西宁3分）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手 指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过 折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论 ‎【 】‎ A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）。‎ ‎【分析】如图②，∵△CDE由△ADE翻折而成，∴AD=CD。‎ 如图③，∵△DCF由△DBF翻折而成，∴BD=CD。‎ ‎∴AD=BD=CD，点D是AB的中点。∴CD=AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。‎ 故选C。‎ 例6.（2012黑龙江绥化3分）长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为 ▲ .‎ 例7. （2012海南省11分）如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D分别落在对角线BC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN.‎ ‎（1）求证：△AND≌△CBM.‎ ‎（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形，四边形MFNE是菱形吗？请说明理由？‎ ‎（3）P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的长度.‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。‎ ‎ ∴∠DAC=∠BCA。‎ ‎ 又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。‎ ‎ ∴△AND≌△CBM（ASA）。‎ ‎（2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。‎ ‎ 又由翻折的性质，得DN=FN，BM=EM，‎ ‎ ∴FN=EM。‎ ‎ 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，‎ ‎ ∴FN∥EM。∴四边形MFNE是平行四边形。‎ 四边形MFNE不是菱形，理由如下：‎ 由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900，‎ ‎∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。‎ ‎∴FM＞EM。∴四边形MFNE不是菱形。‎ ‎（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。‎ ‎ 设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC得 ‎3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。‎ 过点N作NH⊥AB于H，则HM=4－3=1。‎ 在△NHM中，NH=3，HM=1，‎ 由勾股定理，得NM=。‎ ‎∵PQ∥MN，DC∥AB，‎ ‎∴四边形NMQP是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM=。‎ 又∵PQ=CQ，∴CQ=。‎ 在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。‎ ‎∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。‎ ‎【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用ASA即可得到△AND≌△CBM。‎ ‎ （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。‎ ‎ （3）设DN=x，则由S△ADC=S△AND＋S△NAC可得DN=BM=。过点N作NH⊥AB于H，则由勾股定理可得NM=，从而根据平行四边形的性质和已知PQ=CQ，即可求得CQ=‎ ‎。因此，在△CBQ中，应用勾股定理求得BQ=1。从而求解。‎ 例8. （2012广东深圳8分）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.‎ ‎(1)求证：四边形AFCE为菱形；‎ ‎(2)设AE=a，ED=b，DC=c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．‎ ‎【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC。‎ 由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF。‎ ‎∴CF=CE。∴AF=CF=CE=AE。∴四边形AFCE为菱形。 （2）解：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。理由如下：‎ 由折叠的性质，得：CE=AE。‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°。‎ ‎∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a。‎ 在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2=b2+c2。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质，折叠的性质，平等的性质，菱形的判定，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形。‎ ‎（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2。（答案不唯一）‎ 例9.（2012广东珠海9分） 已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．‎ ‎（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；‎ ‎（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；‎ ‎（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．‎ ‎【答案】解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC。‎ ‎（2）（1）中的结论PO∥BC成立。理由为：‎ 由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO。‎ 又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。‎ 又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。‎ ‎∴PO∥BC。‎ ‎（3）证明：∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD。‎ 又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。‎ 由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP。‎ 又∵OA=OP，∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。‎ ‎∴∠AOP=60°。‎ 又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°。‎ 又∵OC=OB，∴△BC为等边三角形。∴∠COB=60°。‎ ‎∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°。‎ 又∵OP=OC，∴△POC也为等边三角形。∴∠PCO=60°，PC=OP=OC。‎ 又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°。‎ 在Rt△PCD中，PD=PC，‎ 又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】‎ A．＋1 B．＋‎1 ‎‎ C．2.5 D．‎ ‎2. （2012福建南平4分）‎ 如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】‎ A． B． C． D．3 ‎ ‎3. （2012湖北武汉3分）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A 恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是【 】‎ A．7 B．‎8 C．9 D．10‎ ‎4. （2012四川内江3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【 】‎ A.15 B‎.20 C.25 D.30‎ ‎5. （2012山东潍坊3分）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ΔABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=【 】．‎ ‎ A． B． C . D．2‎ ‎6. （2012广东省9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．‎ ‎（1）求证：△ABG≌△C′DG；‎ ‎（2）求tan∠ABG的值；‎ ‎（3）求EF的长．‎ ‎7. （2012吉林省8分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直 线折叠，点O恰好落在 上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．‎ ‎8.（2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．‎ ‎（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；‎ ‎ ②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；‎ ‎ ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；‎ ‎（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．‎ ‎①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；‎ ‎②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．‎ 八、利用轴对称性求最值：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】‎ A．130° B．120° C．110° D．100°‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。‎ ‎【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：‎ 如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值。作DA延长线AH。‎ ‎∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°。‎ ‎∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°。‎ ‎∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，‎ 且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，‎ ‎∠NAD＋∠A″＝∠ANM，‎ ‎∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°。‎ 故选B。‎ 例2. （2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角 坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，‎ 则＝　　▲　　．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论：‎ 连接AB并延长交x轴于点P，‎ 由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。‎ ‎∵点B是正方形ADPC的中点，‎ ‎∴P（3，0）即OP=3。‎ 作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值。‎ ‎∵A′（-1，2），B（2，1），‎ 设过A′B的直线为：y=kx+b，‎ 则 ，解得 。∴Q（0， ），即OQ=。‎ ‎∴OP•OQ=3×=5。‎ 例3.（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】轴对称（最短路线问题），正方形的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】连接DE，交BD于点P，连接BD。‎ ‎∵点B与点D关于AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值。‎ ‎∵AB=4，E是BC的中点，∴CE=2。‎ 在Rt△CDE中，。‎ 例4. （2012四川凉山8分）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题。‎ 如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？‎ 你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？‎ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：‎ ‎①作点B关于直线l的对称点B′．‎ ‎②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．‎ 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．‎ ‎（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．‎ ‎（2）请直接写出△PDE周长的最小值： ‎ ‎．‎ ‎【答案】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。‎ ‎（2）8．‎ ‎【考点】轴对称（最短路线问题），三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求。‎ ‎（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：‎ ‎∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线。‎ ‎∵BC=6，BC边上的高为4，∴DE=3，DD′=4。‎ ‎∴。‎ ‎∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=8。‎ 例5. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为‎12cm、底面周长为‎18cm，在杯内离杯底‎4cm的点 C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿‎4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离为 ▲ cm．‎ ‎【答案】15。‎ ‎【考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。‎ ‎ 由轴对称的性质和三角形三边关系知AP＋PC为蚂 蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP。‎ ‎ 由已知和矩形的性质，得DC=9，BD=12。‎ ‎ 在Rt△BCD中，由勾股定理得 ‎。‎ ‎ ∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短 距离为‎15cm。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012广西贵港2分）如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，‎ 过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是 ‎　　▲　　。‎ ‎2. （2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】‎ ‎　 A． 1 B． C． 2 D．＋1‎ ‎3. （2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】‎ ‎ A、2 B、‎4 C、 D、‎ ‎4.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的 任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为【 】‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎5.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的 中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎6.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ▲ ．‎ 九、解析几何中图形的轴对称性：‎ 典型例题：‎ 例1. （2012广东深圳3分）已知点P(a＋l，‎2a －3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是【 】‎ A. B. C. D.‎ 例2. （2012江苏南通3分）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴对称，‎ 则点M的对应的点M1的坐标为【 】‎ A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】平面坐标系与坐标，关于y轴对称的点的坐标特征。‎ ‎【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点M(－4，－2)关于y轴对称的点M1的坐标是(4，－2)。故选D。‎ 例3. （2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，‎ E为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)‎ 和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标 ▲ ．‎ ‎【答案】（8，0），（，0）。‎ ‎【考点】菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8。‎ ‎∴在Rt△AOD中，AD=。‎ ‎∵E为AD中点，∴OE=AD=×10=5。‎ ‎①当OP=OE时，P点坐标（-5，0）和（5，0）。‎ ‎②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）。‎ ‎③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P。‎ ‎∴EK∥OA。∴EK：OA=ED：AD=1：2。∴EK=OA=3。‎ ‎∴OK=。‎ ‎∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。‎ ‎∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。‎ ‎∴P点坐标为（，0）。‎ ‎∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0），（，0）。‎ 例4. （2012江苏常州2分）已知二次函数，当自变量x分别取 ‎，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 B。‎ ‎【考点】二次函数的图象和性质。‎ ‎【分析】由二次函数知，‎ 它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。‎ 根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。‎ 由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，。故选B。‎ 例5.（2012吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ▲ .‎ ‎【答案】18。‎ ‎【考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。‎ ‎【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为x=3。‎ ‎ ∵A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一 点，且AB∥x轴。‎ ‎ ∴A，B关于x=3对称。∴AB=6。‎ 又∵△ABC是等边三角形，∴以AB为边的等边三角形ABC的周长为6×3=18。‎ 例6.（2012山东滨州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．‎ ‎（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；‎ ‎（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．‎ ‎【答案】解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得 ‎，解这个方程组，得。‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x。‎ ‎（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。‎ ‎∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。‎ 连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。‎ 过点A作AN⊥x轴于点N，‎ 在Rt△ABN中，，‎ 因此OM+AM最小值为。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。‎ ‎（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。‎ 对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：‎ O M′+A M′= B M′+A M′＞AB=OM+AM，‎ 即OM+AM为最小值。‎ 例7. （2012黑龙江牡丹江6分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，－4）和（－2，5），请解答下列问题：‎ ‎ (1)求抛物线的解析式；‎ ‎ (2)若与轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D,使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由 注：抛物线的对称轴是 ‎【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（1，－4）和（－2，5），‎ ‎ ∴，解得，。‎ ‎ ∴抛物线的解析式为。‎ ‎ （2）存在。‎ ‎ ∵抛物线的对称轴为，‎ ‎ ∴根据轴对称的性质，点C关于的对称点D即为所求，此时，‎ ‎∵AB=BA，AC=BD，BC=AD，∴△ABC≌△BAD（SSS）。‎ 在中令，得，∴C（0，－3）。∴D（2，－3）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点有坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质。‎ ‎【分析】（1）用待定系数法，将（1，－4）和（－2，5）分别代入y=x2+bx+c得方程组，解之即可求得 抛物线的解析式。‎ ‎（2）根据抛物线的轴对称性质即可求解。‎ 例8. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x 轴相交于点B、‎ C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.‎ ‎(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．‎ ‎(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．‎ ‎(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．‎ ‎(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴，解得m=4。‎ ‎（2）由（1）得。‎ ‎ 令x=0，得。∴E（0，2），OE=2。‎ ‎ 令y=0，得，解得x1=－2，x=4。‎ ‎∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。‎ ‎ ∴△BCE的面积=。‎ ‎（3）由（2）可得的对称轴为x=1。‎ ‎ 连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。‎ ‎ 设直线CE的解析式为，则 ‎ ，解得。∴直线CE的解析式为。‎ ‎ 当x=1时，。∴H（1，）。‎ ‎（4）存在。分两种情形讨论：‎ ‎ ①当△BEC∽△BCF时，如图所示。‎ 则，∴BC2=BE•BF。‎ 由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE，‎ ‎∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。‎ 作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。‎ ‎∴令F（x，－x－2）（x＞0），‎ 又点F在抛物线上，∴－x－2=，‎ ‎∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=‎2m，F（‎2m，－‎2m－2）。‎ 此时，‎ 又BC2=BE•BF，∴（m+2）2= •，解得m=2±。‎ ‎∵m＞0，∴m=+2。‎ ‎②当△BEC∽△FCB时，如图所示。‎ 则，∴BC2=EC•BF。‎ 同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，‎ ‎∴。‎ ‎∴令F（x，－（x+2））（x＞0），‎ 又点F在抛物线上，∴－（x+2）=。‎ ‎∵x+2＞0（∵x＞0），‎ ‎∴x=m+2。∴F（m+2，－（m+4）），，BC=m+2。‎ 又BC2=EC•BF，∴（m+2）2= .‎ 整理得：0=16，显然不成立。‎ 综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。‎ ‎（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。‎ ‎（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。‎ ‎（4）分两种情况进行讨论：‎ ‎①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得+2。‎ ‎②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。‎ 例9. （2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；‎ ‎（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；‎ ‎（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。‎ ‎ 由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。‎ ‎ ∴点C的坐标为（4，0）。‎ ‎ （2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，‎ ‎ 将A（0，2）代入，得，解得。‎ ‎ ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。‎ ‎ ∵，∴抛物线的对称轴为。‎ ‎ （3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。‎ ‎ ∵点P（m，n）在上，‎ ‎ ∴P。‎ ‎ ∴，‎ ‎ ，。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎ ∵，∴当时，S最大。‎ 当时，。∴点P的坐标为（2，3）。‎ ‎（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。‎ ‎【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得，从而求出点C的坐标。‎ ‎（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。‎ ‎（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。‎ ‎　　另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。‎ ‎　　由点P在和可得。‎ ‎　　∴，整理，得。‎ ‎　　要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的△＝0，即，‎ 解得。‎ ‎　　将代入得，将代入得。‎ ‎　　∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。‎ ‎（4）设点M（），‎ ‎ ∵C（4，0）, P（2，3）,‎ ‎ ∴PC=,‎ PM=,‎ ‎ CM=。‎ 分三种情况讨论：‎ ‎　　①当点M是顶点时，PM= CM，即，解得，。∴M1（）。‎ ‎　　　　　②当点C是顶点时，PC= CM，即，解得，。‎ ‎ ∴M2（），M2（）。‎ ‎ ③当点P是顶点时，PC= PM，即，解得，。‎ ‎ ∴M4（），M5（）。‎ ‎ 　 综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（‎ ‎）或（）时，△MPC为等腰三角形。‎ 例10. （2012山东威海12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）。直线与抛物线交于点D、E（点E在对称轴的右侧）。抛物线的对称轴交直线于点C，交x轴于点G。PM⊥x轴，垂足为点F。点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形。‎ ‎ （1）求该抛物线的表达式；‎ ‎ （2）求点P的坐标；‎ ‎ （3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；‎ ‎（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）∵抛物线的顶点为B（2，1），‎ ‎ ∴可设抛物线的解析式为。‎ ‎ 将A（0，2）代入，得，解得。‎ ‎ ∴该抛物线的表达式。‎ ‎（2）将代入，得，‎ ‎ ∴点C的坐标为（2，2），即CG=2。‎ ‎ ∵△PCM为等边三角形，∴∠CMP=600，CM=PM。‎ ‎ ∵PM⊥x轴，，∴∠CMG=300。∴CM=4，GM=。∴OM=，PM=4。‎ ‎ ∴点P的坐标为（，4）。‎ ‎（3）相等。理由如下：‎ ‎ 联立和得，解得，。‎ ‎ ∵不合题意，舍去，‎ ‎∴EF=，点E的坐标为（，）。‎ ‎ ∴。‎ ‎ 又∵，∴。‎ ‎ ∴CE=EF。‎ ‎（4）不存在。理由如下：‎ ‎ 假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，则CN=CE，∠MCN=∠PCE。‎ ‎ ∵∠MCP=600，∴∠NCE=600。‎ ‎∴△CNE是等边三角形。‎ ‎∴EN=CE，∠CEN=600。‎ 又∵由（3）CE=EF，∴EN=EF。‎ 又∵点E是直线上的点，∴∠CEF=450。‎ ‎∴点N与点F不重合。‎ ‎∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点N不存在。‎ ‎【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，反证法，全等三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的顶点，设顶点式表达式，将点A的坐标人代入即可求解。‎ ‎（2）由点C是抛物线对称轴x=2和直线的交点可求得点C的坐标，由△PCM为等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得点P的坐标。‎ ‎（3）计算出CE和EF的值即可得出结论。‎ ‎（4）用反证法证明，假设在x轴上点M的右侧存在一点N，使△CMN≌△CPE，推出与公理矛盾的结论。‎ 练习题：‎ ‎1. （2012广东佛山3分）在平面直角坐标系中，点M（－3，2）关于x轴对称的点在【 】‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2. （2012湖北荆门3分）已知点M（1﹣‎2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是【 】‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. （2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】‎ ‎　　A．（﹣3，0）　　B．（﹣2，0）　　C．x=﹣3　　D．x=﹣2‎ ‎4. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．‎ ‎（1）抛物线及直线AC的函数关系式；‎ ‎（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；‎ ‎（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．‎ ‎5. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及对称轴．‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎6. （2012湖南湘潭10分）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；‎ ‎（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．‎