山东省潍坊市中考数学真题试卷和答案

山东省潍坊市中考数学真题试卷和答案

山东省潍坊市2017年中考数学真题试卷和答案 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，满分36分）。‎ ‎1．下列算式，正确的是（　　）‎ A．a3×a2=a6 B．a3÷a=a3 C．a2+a2=a4 D．（a2）2=a4‎ ‎2．如图所示的几何体，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量．将1000亿用科学记数法可表示为（　　）‎ A．1×103 B．1000×108 C．1×1011 D．1×1014‎ ‎4．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．他放的位置是（　　）‎ A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）‎ ‎5．用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．‎ A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B ‎6．如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（　　）‎ A．∠α+∠β=180° B．∠β﹣∠α=90° C．∠β=3∠α D．∠α+∠β=90°‎ ‎7．甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选选拔赛中，每人射击了10次，甲、乙两人的成绩如表所示．丙、丁两人的成绩如图所示．欲选一名运动员参赛，从平均数与方差两个因素分析，应选（　　）‎ ‎ ‎ ‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 平均数 ‎ 9‎ ‎ 8‎ ‎ 方差 ‎ 1‎ ‎ 1‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎8．一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2‎ ‎10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（　　）‎ A．50° B．60° C．80° D．90°‎ ‎11．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]= x2的解为（　　）#N．‎ A．0或 B．0或2 C．1或 D．或﹣‎ ‎12．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（　　）‎ A．或2 B．或2 C．或2 D．或2‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）。‎ ‎13．计算：（1﹣）÷=　 　．‎ ‎14．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　 　．‎ ‎15．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）‎ ‎16．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是　 　．‎ ‎17．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为　 　个．‎ ‎18．如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD边上，记为B′，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C边上，记为D′，折痕为CG，B′D′=2，BE=BC．则矩形纸片ABCD的面积为　 　．‎ ‎　‎ 三、 解答题：‎ ‎19．本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．‎ ‎（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；‎ ‎（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？‎ ‎（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？‎ ‎20．如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶点E的仰角为30°，AB=14米．求居民楼的高度（精确到0.1米，参考数据：≈1.73）‎ ‎21．某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜苔共用去16万元．‎ ‎（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？‎ ‎（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？‎ ‎22．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．‎ ‎（1）求证：EF为半圆O的切线；‎ ‎（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）‎ ‎23．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）‎ ‎（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？‎ ‎（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？‎ ‎24．边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2‎ ‎（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．‎ ‎（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．‎ ‎①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；‎ ‎②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）‎ ‎25．如图1，抛物线y=ax2+bx+‎ c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；‎ ‎（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ 答案 一、选择题（每小题3分，满分36分）‎ ‎1．D ‎2．D．‎ ‎3．C．‎ ‎4．B．‎ ‎5．A．‎ ‎6．解：过C作CF∥AB，‎ ‎∵AB∥DE，‎ ‎∴AB∥CF∥DE，‎ ‎∴∠1=∠α，∠2=180°﹣∠β，‎ ‎∵∠BCD=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=∠α+180°﹣∠β=90°，‎ ‎∴∠β﹣∠α=90°，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．解：丙的平均数==9，丙的方差= [1+1+1=1]=0.4，‎ 乙的平均数==8.2，‎ 由题意可知，丙的成绩最好，　‎ ‎8.C．‎ ‎9．B ‎10．解：如图，∵A、B、D、C四点共圆，‎ ‎∴∠GBC=∠ADC=50°，‎ ‎∵AE⊥CD，‎ ‎∴∠AED=90°，‎ ‎∴∠EAD=90°﹣50°=40°，‎ 延长AE交⊙O于点M，‎ ‎∵AO⊥CD，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠DBC=2∠EAD=80°．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．解：当1≤x≤2时， x2=1，解得x1=，x2=﹣；‎ 当﹣1≤x≤0时， x2=0，解得x1=x2=0；‎ 当﹣2≤x＜﹣1时， x2=﹣1，方程没有实数解；‎ 所以方程[x]= x2的解为0或．‎ ‎12．解：过B作直径，连接AC交AO于E，‎ ‎∵点B为的中点，‎ ‎∴BD⊥AC，‎ ‎①如图①，‎ ‎∵点D恰在该圆直径的三等分点上，‎ ‎∴BD=×2×3=2，‎ ‎∴OD=OB﹣BD=1，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴DE=BD=1，‎ ‎∴OE=2，‎ 连接OD，‎ ‎∵CE==，‎ ‎∴边CD==；‎ 如图②，BD=×2×3=4，‎ 同理可得，OD=1，OE=1，DE=2，‎ 连接OD，‎ ‎∵CE===2，‎ ‎∴边CD===2，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，满分18分）‎ ‎13．解：（1﹣）÷‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=x+1，‎ ‎14．（x+1）（x﹣2）．‎ ‎15．解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．‎ 理由：∵∠A=∠A， ==，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，‎ ‎∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，‎ ‎∴△BDF∽△EAD．‎ ‎②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，‎ ‎∴△FBD∽△AED．‎ 故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．‎ ‎　‎ ‎16．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4ac≥0，‎ 即：4﹣4k≥0，‎ 解得：k≤1，‎ ‎∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，‎ 故k≤1且k≠0．‎ ‎　‎ ‎17．解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，‎ ‎∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；‎ ‎∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，‎ ‎∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；‎ ‎∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，‎ ‎∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，‎ ‎…，‎ ‎∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．‎ ‎18．解：设BE=a，则BC=3a，‎ 由题意可得，‎ CB=CB′，CD=CD′，BE=B′E=a，‎ ‎∵B′D′=2，‎ ‎∴CD′=3a﹣2，‎ ‎∴CD=3a﹣2，‎ ‎∴AE=3a﹣2﹣a=2a﹣2，‎ ‎∴DB′===2，‎ ‎∴AB′=3a﹣2，‎ ‎∵AB′2+AE2=B′E2，‎ ‎∴，‎ 解得，a=或a=，‎ 当a=时，BC=2，‎ ‎∵B′D′=2，CB=CB′，‎ ‎∴a=时不符合题意，舍去；‎ 当a=时，BC=5，AB=CD=3a﹣2=3，‎ ‎∴矩形纸片ABCD的面积为：5×3=15，　‎ 三、 解答题 ‎19．解：（1）抽取的学生数：16÷40%=40（人）；‎ 抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2=10，‎ 合格所占百分比：10÷40=25%，‎ 优秀人数：12÷40=30%，‎ 如图所示：‎ ‎；‎ ‎（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：25%+5%=30%，‎ 所以600名九年级男生中有600×30%=180（名）；‎ ‎（3）如图：‎ ‎，‎ 可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，‎ 所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率P==．‎ ‎　‎ ‎20．解：设每层楼高为x米，‎ 由题意得：MC′=MC﹣CC′=2.5﹣1.5=1米，‎ ‎∴DC′=5x+1，EC′=4x+1，‎ 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60°，‎ ‎∴C′A′==（5x+1），‎ 在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30°，‎ ‎∴C′B′==（4x+1），‎ ‎∵A′B′=C′B′﹣C′A′=AB，‎ ‎∴（4x+1）﹣（5x+1）=14，‎ 解得：x≈3.17，‎ 则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米．‎ ‎　‎ ‎21．解：（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．‎ 由题意，‎ 解得，‎ 答：第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．‎ ‎（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工吨．‎ 由m≤3，解得m≤75，‎ 利润w=1000m+400=600m+40000，‎ ‎∵600＞0，‎ ‎∴w随m的增大而增大，‎ ‎∴m=75时，w有最大值为85000元．‎ ‎22．（1）证明：连接OD，‎ ‎∵D为的中点，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠BAD=∠ADO，‎ ‎∴∠CAD=∠ADO，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，‎ ‎∴OD⊥EF，‎ ‎∴EF为半圆O的切线；‎ ‎（2）解：连接OC与CD，‎ ‎∵DA=DF，‎ ‎∴∠BAD=∠F，‎ ‎∴∠BAD=∠F=∠CAD，‎ 又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，‎ ‎∴∠F=30°，∠BAC=60°，‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴△AOC为等边三角形，‎ ‎∴∠AOC=60°，∠COB=120°，‎ ‎∵OD⊥EF，∠F=30°，‎ ‎∴∠DOF=60°，‎ 在Rt△ODF中，DF=6，‎ ‎∴OD=DF•tan30°=6，‎ 在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，‎ ‎∴DE=DA•sin30，EA=DA•cos30°=9，‎ ‎∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，‎ ‎∴CD∥AB，‎ 故S△ACD=S△COD，‎ ‎∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．‎ ‎　‎ ‎23．解：‎ ‎（1）如图所示：‎ 设裁掉的正方形的边长为xdm，‎ 由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）=12，‎ 即x2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），‎ 答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；‎ ‎（2）∵长不大于宽的五倍，‎ ‎∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，‎ 设总费用为w元，由题意可知 w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，‎ ‎∵对称轴为x=6，开口向上，‎ ‎∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，‎ 答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．‎ ‎　‎ ‎24．解：（1）当CC'=时，四边形MCND'是菱形．‎ 理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B=∠ACB=60°，‎ ‎∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°，‎ ‎∵CN是∠ACC'的角平分线，‎ ‎∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B，‎ ‎∴∠D'E'C'=∠NCC'，‎ ‎∴D'E'∥CN，‎ ‎∴四边形MCND'是平行四边形，‎ ‎∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，‎ ‎∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，‎ ‎∴MC=CE'，NC=CC'，‎ ‎∵E'C'=2，‎ ‎∵四边形MCND'是菱形，‎ ‎∴CN=CM，‎ ‎∴CC'=E'C'=；‎ ‎（2）①AD'=BE'，‎ 理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，‎ 由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，‎ ‎∴△ACD'≌△BCE'，‎ ‎∴AD'=BE'，‎ 当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，‎ 即：AD'=BE'，‎ 综上可知：AD'=BE'．‎ ‎②如图连接CP，‎ 在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，‎ ‎∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，‎ 如图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'=，‎ ‎∴CP=3，‎ ‎∴AP=6+3=9，‎ 在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'==2．‎ ‎　‎ ‎25．解：‎ ‎（1）由题意可得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）∵A（0，3），D（2，3），‎ ‎∴BC=AD=2，‎ ‎∵B（﹣1，0），‎ ‎∴C（1，0），‎ ‎∴线段AC的中点为（，），‎ ‎∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，‎ ‎∴直线l过平行四边形的对称中心，‎ ‎∵A、D关于对称轴对称，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=1，‎ ‎∴E（3，0），‎ 设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，‎ ‎∴直线l的解析式为y=﹣x+，‎ 联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴F（﹣，），‎ 如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，‎ ‎∵P点横坐标为t，‎ ‎∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），‎ ‎∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，‎ ‎∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，‎ ‎∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，‎ ‎∴最大值的立方根为=；‎ ‎（3）由图可知∠PEA≠90°，‎ ‎∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，‎ ‎①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，‎ ‎∵OA=OE，‎ ‎∴∠OAE=∠OEA=45°，‎ ‎∴∠PAG=∠APG=45°，‎ ‎∴PG=AG，‎ ‎∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），‎ ‎②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，‎ 则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，‎ ‎∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，‎ ‎∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，‎ ‎∴△PKE∽△AQP，‎ ‎∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），‎ 综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．‎ ‎　‎ ‎2017年12月24日