黔东南州中考数学试卷及答案解析

黔东南州中考数学试卷及答案解析

‎2017年贵州省黔东南州中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．|﹣2|的值是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣ D．‎ ‎2．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（　　）‎ A．120° B．90° C．100° D．30°‎ ‎3．下列运算结果正确的是（　　）‎ A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2‎ C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b D．a（a+b）=a2+b ‎4．如图所示，所给的三视图表示的几何体是（　　）‎ A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱 ‎5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　　）‎ A．2 B．﹣1 C． D．4‎ ‎6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（　　）‎ A．2 B．﹣1 C． D．﹣2‎ ‎7．分式方程=1﹣的根为（　　）‎ A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　）‎ A．60° B．67.5° C．75° D．54°‎ ‎9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：‎ ‎①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．‎ 根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）‎ A．2017 B．2016 C．191 D．190‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点A的坐标为　 　．‎ ‎12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件　 　使得△ABC≌△DEF．‎ ‎13．在实数范围内因式分解：x5﹣4x=　 　．‎ ‎14．黔东南下司“蓝每谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是　 　kg．‎ ‎15．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=﹣和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为　 　．‎ ‎16．把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2017的坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，共86分）‎ ‎17．计算：﹣1﹣2+|﹣|+（π﹣3.14）0﹣tan60°+．‎ ‎18．先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x=+1．‎ ‎19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．‎ ‎ 身高分组 ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ 152≤x＜155‎ ‎ 3‎ ‎ 0.06‎ ‎ 155≤x＜158‎ ‎ 7‎ ‎ 0.14‎ ‎ 158≤x＜161‎ ‎ m ‎ 0.28‎ ‎ 161≤x＜164‎ ‎ 13‎ ‎ n ‎ 164≤x＜167‎ ‎ 9‎ ‎ 0.18‎ ‎ 167≤x＜170‎ ‎ 3‎ ‎ 0.06‎ ‎ 170≤x＜173‎ ‎ 1‎ ‎ 0.02‎ 根据以上统计图表完成下列问题：‎ ‎（1）统计表中m=　 　，n=　 　，并将频数分布直方图补充完整；‎ ‎（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在：　 　范围内；‎ ‎（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．‎ ‎21．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．‎ ‎（1）求证：PT2=PA•PB；‎ ‎（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．‎ ‎22．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）‎ ‎（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）‎ ‎23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．‎ ‎（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？‎ ‎（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．‎ ‎24．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：直线l是⊙M的切线；‎ ‎（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎2017年贵州省黔东南州中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．|﹣2|的值是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣ D．‎ ‎【考点】15：绝对值．‎ ‎【分析】根据绝对值的性质作答．‎ ‎【解答】解：∵﹣2＜0，‎ ‎∴|﹣2|=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（　　）‎ A．120° B．90° C．100° D．30°‎ ‎【考点】K8：三角形的外角性质．‎ ‎【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．‎ ‎【解答】解：∠A=∠ACD﹣∠B ‎=120°﹣20°‎ ‎=100°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．下列运算结果正确的是（　　）‎ A．3a﹣a=2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2‎ C．6ab2÷（﹣2ab）=﹣3b D．a（a+b）=a2+b ‎【考点】4I：整式的混合运算．‎ ‎【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、原式=2a，不符合题意；‎ B、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；‎ C、原式=﹣3b，符合题意；‎ D、原式=a2+ab，不符合题意，‎ 故选C ‎　‎ ‎4．如图所示，所给的三视图表示的几何体是（　　）‎ A．圆锥 B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱 ‎【考点】U3：由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】由左视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据主视图是三角形可判断出此几何体为正三棱柱．‎ ‎【解答】解：∵左视图和俯视图都是长方形，‎ ‎∴此几何体为柱体，‎ ‎∵主视图是一个三角形，‎ ‎∴此几何体为正三棱柱．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　　）‎ A．2 B．﹣1 C． D．4‎ ‎【考点】M5：圆周角定理；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．‎ ‎【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．‎ ‎【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，‎ ‎∴CE=DE，∠CEO=90°，‎ ‎∵∠A=15°，‎ ‎∴∠COE=30°，‎ ‎∵OC=2，‎ ‎∴CE=OC=1，‎ ‎∴CD=2OE=2，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（　　）‎ A．2 B．﹣1 C． D．﹣2‎ ‎【考点】AB：根与系数的关系．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算 ‎【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，‎ 所以+===﹣2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．分式方程=1﹣的根为（　　）‎ A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3‎ ‎【考点】B3：解分式方程．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，‎ 解得：x=﹣1或x=3，‎ 经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，‎ 故选C ‎　‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　）‎ A．60° B．67.5° C．75° D．54°‎ ‎【考点】LE：正方形的性质．‎ ‎【分析】如图，连接DF、BF．如图，连接DF、BF．首先证明∠FDB=∠FAB=30°，再证明△FAD≌△FBC，推出∠ADF=∠FCB=15°，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，连接DF、BF．‎ ‎∵FE⊥AB，AE=EB，‎ ‎∴FA=FB，‎ ‎∵AF=2AE，‎ ‎∴AF=AB=FB，‎ ‎∴△AFB是等边三角形，‎ ‎∵AF=AD=AB，‎ ‎∴点A是△DBF的外接圆的圆心，‎ ‎∴∠FDB=∠FAB=30°，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，‎ ‎∴∠FAD=∠FBC，‎ ‎∴△FAD≌△FBC，‎ ‎∴∠ADF=∠FCB=15°，‎ ‎∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：‎ ‎①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；‎ ‎②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，则可作判断；‎ ‎③利用x=﹣1时a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判断；‎ ‎④利用抛物线的对称性得到x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，则可进行判断．‎ ‎【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，‎ ‎∴△=b2﹣4ac＞0，‎ 所以①错误；‎ ‎②∵抛物线开口向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，‎ ‎∴a、b同号，‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∵抛物线与y轴交点在x轴上方，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＞0，‎ 所以②正确；‎ ‎③∵x=﹣1时，y＜0，‎ 即a﹣b+c＜0，‎ ‎∵对称轴为直线x=﹣1，‎ ‎∴﹣=﹣1，‎ ‎∴b=2a，‎ ‎∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，‎ 所以③正确；‎ ‎④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，‎ ‎∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，‎ ‎∴4a﹣2b+c＞0，‎ 所以④正确．‎ 所以本题正确的有：②③④，三个，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．‎ 根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）‎ A．2017 B．2016 C．191 D．190‎ ‎【考点】4C：完全平方公式．‎ ‎【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；‎ ‎【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；‎ ‎（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；‎ ‎（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；‎ 不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），‎ ‎∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，‎ 故选 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后点A的坐标为　（1，﹣1）　．‎ ‎【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．‎ ‎【分析】根据坐标平移规律即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：A的横坐标+3，纵坐标﹣2，即可求出平移后的坐标，‎ ‎∴平移后A的坐标为（1，﹣1）‎ 故答案为：（1，﹣1）‎ ‎　‎ ‎12．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件　∠A=∠D　使得△ABC≌△DEF．‎ ‎【考点】KB：全等三角形的判定．‎ ‎【分析】根据全等三角形的判定定理填空．‎ ‎【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：‎ ‎∵FB=CE，‎ ‎∴BC=EF．‎ 又∵AC∥DF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE．‎ ‎∴在△ABC与△DEF中，，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（AAS）．‎ 故答案是：∠A=∠D．‎ ‎　‎ ‎13．在实数范围内因式分解：x5﹣4x=　x（x2+3）（x+）（x﹣）　．‎ ‎【考点】58：实数范围内分解因式．‎ ‎【分析】先提取公因式x，再把4写成22的形式，然后利用平方差公式继续分解因式．‎ ‎【解答】解：原式=x（x4﹣22），‎ ‎=x（x2+2）（x2﹣2）‎ ‎=x（x2+2）（x+）（x﹣），‎ 故答案是：x（x2+3）（x+）（x﹣）．‎ ‎　‎ ‎14．黔东南下司“蓝每谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是　560　kg．‎ ‎【考点】X8：利用频率估计概率．‎ ‎【分析】根据题意可以估计该果农今年的“优质蓝莓”产量．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 该果农今年的“优质蓝莓”产量约是：800×0.7=560kg，‎ 故答案为：560．‎ ‎　‎ ‎15．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=﹣和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为　﹣8　．‎ ‎【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】设A（a，b），则B（2a，2b），将点A、B分别代入所在的双曲线方程进行解答．‎ ‎【解答】解：设A（a，b），则B（2a，2b），‎ ‎∵点A在反比例函数y1=﹣的图象上，‎ ‎∴ab=﹣2；‎ ‎∵B点在反比例函数y2=的图象上，‎ ‎∴k=2a•2b=4ab=﹣8．‎ 故答案是：﹣8．‎ ‎　‎ ‎16．把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2017的坐标为　（0，﹣）　．‎ ‎【考点】D2：规律型：点的坐标．‎ ‎【分析】根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B2017的坐标．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ OB=OA•tan60°=1×=，‎ OB1=OB•tan60°==（）2=3，‎ OB2=OB1•tan60°=（）3，‎ ‎…‎ ‎∵2017÷4=506…1，‎ ‎∴点B2017的坐标为（0，﹣），‎ 故答案为：（0，﹣）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，共86分）‎ ‎17．计算：﹣1﹣2+|﹣|+（π﹣3.14）0﹣tan60°+．‎ ‎【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=1+（）+1﹣‎ ‎=2‎ ‎　‎ ‎18．先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x=+1．‎ ‎【考点】6D：分式的化简求值．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=•=•=x﹣1，‎ 当x=+1时，原式=．‎ ‎　‎ ‎19．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．‎ ‎【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，‎ 由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，‎ 所以﹣7＜x≤1．‎ 在数轴上表示为：‎ ‎　‎ ‎20．某体育老师测量了自己任教的甲、乙两班男生的身高，并制作了如下不完整的统计图表．‎ ‎ 身高分组 ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ 152≤x＜155‎ ‎ 3‎ ‎ 0.06‎ ‎ 155≤x＜158‎ ‎ 7‎ ‎ 0.14‎ ‎ 158≤x＜161‎ ‎ m ‎ 0.28‎ ‎ 161≤x＜164‎ ‎ 13‎ ‎ n ‎ 164≤x＜167‎ ‎ 9‎ ‎ 0.18‎ ‎ 167≤x＜170‎ ‎ 3‎ ‎ 0.06‎ ‎ 170≤x＜173‎ ‎ 1‎ ‎ 0.02‎ 根据以上统计图表完成下列问题：‎ ‎（1）统计表中m=　14　，n=　0.26　，并将频数分布直方图补充完整；‎ ‎（2）在这次测量中两班男生身高的中位数在：　161≤x＜164　范围内；‎ ‎（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙两班各有2人，现从4人中随机推选2人补充到学校国旗护卫队中，请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同班级的概率．‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；W4：中位数．‎ ‎【分析】（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，再根据频率公式求出m，n．画出直方图即可；‎ ‎（2）根据中位数的定义即可判断；‎ ‎（3）画出树状图即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）设总人数为x人，则有=0.06，解得x=50，‎ ‎∴m=50×0.28=14，n==0.26．‎ 故答案为14，0.26．‎ 频数分布直方图：‎ ‎（2）观察表格可知中位数在 161≤x＜164内，‎ 故答案为 161≤x＜164．‎ ‎（3）将甲、乙两班的学生分别记为甲1、甲2、乙1、乙2树状图如图所示：‎ 所以P（两学生来自同一所班级）==．‎ ‎　‎ ‎21．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．‎ ‎（1）求证：PT2=PA•PB；‎ ‎（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．‎ ‎【分析】（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得=，由此即可解决问题；‎ ‎（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；‎ ‎【解答】（1）证明：连接OT．‎ ‎∵PT是⊙O的切线，‎ ‎∴PT⊥OT，‎ ‎∴∠PTO=90°，‎ ‎∴∠PTA+∠OTA=90°，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ATB=90°，‎ ‎∴∠TAB+∠B=90°，‎ ‎∵OT=OA，‎ ‎∴∠OAT=∠OTA，‎ ‎∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，‎ ‎∴△PTA∽△PBT，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PT2=PA•PB．‎ ‎（2）∵TP=TB=，‎ ‎∴∠P=∠B=∠PTA，‎ ‎∵∠TAB=∠P+∠PTA，‎ ‎∴∠TAB=2∠B，‎ ‎∵∠TAB+∠B=90°，‎ ‎∴∠TAB=60°，∠B=30°，‎ ‎∴tanB==，‎ ‎∴AT=1，‎ ‎∵OA=OT，∠TAO=60°，‎ ‎∴△AOT是等边三角形，‎ ‎∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=﹣•12=﹣．‎ ‎　‎ ‎22．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）‎ ‎（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）‎ ‎【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．‎ ‎【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，‎ ‎∵CD=12米，∠DCE=60°，‎ ‎∴DE=CD•sin60°=12×=6米，CE=CD•cos60°=12×=6米．‎ ‎∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，‎ ‎∴四边形DEE′D′是矩形，‎ ‎∴DE=D′E′=6米．‎ ‎∵∠D′CE′=39°，‎ ‎∴CE′=≈≈12.8，‎ ‎∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．‎ 答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．‎ ‎　‎ ‎23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．‎ ‎（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？‎ ‎（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．‎ ‎【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．列出分式方程组即可解决问题；‎ ‎（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．则+=1，解得x=6．由此可得m的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小；‎ ‎【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天．‎ 由题意，解得，‎ 经检验是分式方程组的解，‎ ‎∴甲、乙两队工作效率分别是和．‎ ‎（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成．‎ 则+=1，解得x=6．‎ ‎∴甲工作6天，‎ ‎∵甲12天完成任务，‎ ‎∴6≤m≤12．‎ ‎∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，‎ ‎∴让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，‎ ‎∴w的最小值为12×1400+6×3000=34800元．‎ ‎　‎ ‎24．如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）求证：直线l是⊙M的切线；‎ ‎（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB；‎ ‎（3））先证明∠FPE=∠FBD．则PF：PE：EF=：2：1．则△PEF的面积=PF2，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣．‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+．‎ ‎（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．‎ 把x=0代入y=﹣x+4得：y=4，‎ ‎∴A（0，4）．‎ 将y=0代入得：0=﹣x+4，解得x=8，‎ ‎∴B（8，0）．‎ ‎∴OA=4，OB=8．‎ ‎∵M（﹣1，2），A（0，4），‎ ‎∴MG=1，AG=2．‎ ‎∴tan∠MAG=tan∠ABO=．‎ ‎∴∠MAG=∠ABO．‎ ‎∵∠OAB+∠ABO=90°，‎ ‎∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．‎ ‎∴l是⊙M的切线．‎ ‎（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，‎ ‎∴∠FPE=∠FBD．‎ ‎∴tan∠FPE=．‎ ‎∴PF：PE：EF=：2：1．‎ ‎∴△PEF的面积=PE•EF=×PF•PF=PF2．‎ ‎∴当PF最小时，△PEF的面积最小．‎ 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣x+），则F（x，﹣x+4）．‎ ‎∴PF=（﹣x+4）﹣（﹣x2﹣x+）=﹣x+4+x2+x﹣=x2﹣x+=（x﹣）2+．‎ ‎∴当x=时，PF有最小值，PF的最小值为．‎ ‎∴P（，）．‎ ‎∴△PEF的面积的最小值为=×（）2=．‎