中考数学复习专题三圆的证明与计算试题含答案

中考数学复习专题三圆的证明与计算试题含答案

专题三 圆的证明与计算 类型一 切线的判定 判定某直线是圆的切线，首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．‎ ‎ (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD，‎ ‎(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；‎ ‎(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．‎ ‎ ‎ ‎【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求AC的长；(2)连接OC，利用AC是∠DAB的平分线，证得∠OAC＝∠CAD，再结合半径相等，可得OC∥AD，进而结论得证．‎ ‎ ‎ ‎1．(2016·六盘水)如图，在⊙O中，AB为直径，D，E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E＋∠C＝90°.‎ ‎(1)求证：BC为⊙O的切线；‎ ‎(2)若sin A＝，BC＝6，求⊙O的半径．‎ ‎ ‎ ‎2．(2017·济宁)如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)求AE的长．‎ ‎ ‎ 类型二 切线的性质 已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．‎ ‎ (2016·资阳)如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.‎ ‎(1)求证：∠A＝∠BDC；‎ ‎(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．‎ ‎ ‎ ‎【分析】 (1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．‎ ‎ ‎ ‎3．(2016·南平)如图，PA，PB是⊙O切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于点D.‎ ‎(1)求证：OC＝AD；‎ ‎(2)若∠P＝50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长(精确到0.1，参考数据sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．‎ ‎ ‎ ‎4．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝.‎ ‎(1)求证：OA＝OB；‎ ‎(2)已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ 类型三 圆与相似的综合 ‎ 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定及性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．‎ ‎ (2016·荆门)如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E.‎ ‎(1)求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．‎ ‎ ‎ ‎【分析】 (1)连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE即可；(2)连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求得半径．‎ ‎ ‎ ‎5．(2017·德州)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．‎ ‎ ‎ ‎6．(2017·黄冈)如图，已知MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN.‎ 求证：(1)DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)ME2＝MD·MN.‎ ‎ ‎ ‎7．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：∠BDC＝∠A；‎ ‎(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．‎ ‎ ‎ 参考答案 ‎【例1】 (1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴AC＝＝4.‎ ‎(2)如图，连接OC，‎ ‎∵AC平分∠DAB，‎ ‎∴∠OAC＝∠CAD.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，‎ ‎∴∠OCA＝∠CAD，‎ ‎∴OC∥AD.‎ ‎∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.‎ ‎∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线．‎ ‎【变式训练】 ‎ ‎1．(1)证明：∵∠A与∠E所对的弧都是，‎ ‎∴∠A＝∠E.‎ ‎∵∠E＋∠C＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，‎ ‎∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.即AB⊥BC.‎ ‎∵AB是直径，∴BC为⊙O的切线．‎ ‎(2)解：∵sin A＝＝，BC＝6，∴AC＝10.‎ 在Rt△ABC中，AB＝＝8，‎ ‎∴AO＝AB＝4，即⊙O的半径是4.‎ ‎2．(1)证明：如图，连接OD.∵D是的中点，∴＝，‎ ‎∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE.‎ ‎∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°.‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE是⊙O 的切线．‎ ‎(2)解：如图，过点O作OF⊥AC于点F.‎ ‎∵AC＝10，‎ ‎∴AF＝CF＝AC＝×10＝5.‎ ‎∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，‎ ‎∴四边形OFED是矩形，‎ ‎∴FE＝OD＝AB＝6，‎ ‎∴AE＝AF＋FE＝5＋6＝11.‎ ‎【例2】 (1)如图，连接OD，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ODC＝90°，‎ ‎∴∠BDC＋∠ODB＝90°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠A＋∠ABD＝90°.‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠OBD＝∠ODB，‎ ‎∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.‎ ‎(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.‎ ‎∵∠A＝∠BDC，‎ ‎∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.‎ 即∠DMN＝∠DNM.‎ ‎∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，‎ ‎∴MN＝＝.‎ ‎【变式训练】 ‎ ‎3．(1)证明：∵PA是⊙O的切线，A为切点，‎ ‎∴OA⊥PA，即∠OAD＝90°.‎ ‎∵OC∥AP，‎ ‎∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°.‎ ‎∵CD⊥PA，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°，‎ ‎∴四边形AOCD是矩形，∴OC＝AD.‎ ‎(2)解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°.‎ ‎∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°.‎ 在Rt△OBC中，sin∠BCO＝，OB＝4，‎ ‎∴OC＝≈5.22，‎ ‎∴矩形OADC的周长为2(OA＋OC)＝2×(4＋5.22)≈18.4.‎ ‎4．(1)证明：如图，连接OC.‎ ‎∵AB与⊙O相切于点C，‎ ‎∴∠ACO＝90°.‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC，‎ ‎∴∠A＝∠B，‎ ‎∴OA＝OB.‎ ‎(2)解：由(1)可知△OAB是等腰三角形，‎ ‎∴BC＝AB＝2，∴sin∠COB＝＝，‎ ‎∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°，‎ ‎∴OC＝OB＝2，∴S扇形OCE＝＝，‎ S△OCB＝×2×2＝2，‎ ‎∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCE＝2－.‎ ‎【例3】 (1)如图，连接CO，‎ ‎∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.‎ ‎∵AC平分∠FAB，∴∠OAC＝∠FAC，‎ ‎∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥FD.‎ ‎∵CE⊥FD，∴CE⊥OC.‎ ‎∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．‎ ‎(2)如图，连接BC，‎ 在Rt△ACE中，AC＝＝.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，‎ ‎∴∠BCA＝∠CEA.‎ ‎∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，‎ ‎∴＝，即＝，∴AB＝5，‎ ‎∴AO＝AB＝2.5即⊙O的半径是2.5.‎ ‎【变式训练】 ‎ ‎5．(1)证明：如图，连接OE，CE.‎ ‎∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°.‎ ‎∵D是BC的中点，‎ ‎∴ED＝BC＝DC，∴∠1＝∠2.‎ ‎∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，‎ ‎∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACD.‎ ‎∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE.‎ 又∵E是⊙O上一点，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)解：由(1)知∠BEC＝90°.‎ 在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B为公共角，‎ ‎∴△BEC∽△BCA，‎ ‎∴＝，‎ 即BC2＝BE·BA.‎ ‎∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x.‎ 又∵BC＝6，∴62＝2x·3x.∴x＝，即AE＝.‎ ‎6．证明：(1)∵ME平分∠DMN，∴∠OME＝∠DME.‎ ‎∵OM＝OE，∴∠OME＝∠OEM，‎ ‎∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM.‎ ‎∵DM⊥DE，∴OE⊥DE.‎ ‎∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)如图，连接EN，‎ ‎∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，‎ ‎∴∠MDE＝∠MEN＝90°，‎ ‎∵∠NME＝∠DME，‎ ‎∴△MDE∽△MEN，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴ME2＝MD·MN.‎ ‎7．(1)证明：如图，连接OD，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ODC＝90°.‎ 即∠ODB＋∠BDC＝90°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.‎ 即∠ODB＋∠ADO＝90°.‎ ‎∴∠BDC＝∠ADO.‎ ‎∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.‎ ‎(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，‎ ‎∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.‎ ‎∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.‎ 又∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，‎ ‎∴＝，∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)．∴AD＝6.‎