湖北鄂州有关中考数学试题解析

湖北鄂州有关中考数学试题解析

2018 湖北鄂州有关中考数学试题-解析版 湖北鄂州市 2011 年初中毕业生学业水平考试 一、填空题（共 8 道题，每小题 3 分，共 24 分） 1．（2011 湖北鄂州，1，3 分） 的倒数是________． 【解题思路】： 的倒数是： ，。 【答案】－2 【点评】本题考查了倒数的概念，即当 a≠0 时,a 与 互为倒数。特别要注意的是：负数的倒数还是负数， 此题难度较小。 2．（2011 湖北鄂州，2，3 分）分解因式 8a2－2=____________________________． 【解题思路】本题要先提取公因式 2,再运用平方差公式将 写成 ，即原式可分解 为：8a2－2 【答案】2（2a＋1）（2a－1） 【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解， 分解因式一定要彻底．利用相应的公式和分解因式的先后顺序即可得到答案。（分解因式即将一个多项式 写成几个因式的乘积的形式）。 难度中等。 3．（2011 湖北鄂州，3，3 分）要使式子 有意义，则 a 的取值范围为_________________． 【 解 题 思 路 】 ： 此 式 子 要 有 意 义 首 先 分 母 不 为 0 ， 分 子 中 的 二 次 根 式 中 的 被 开 方 数 ≥ 0 ， 所 以 时，才有意义。 【答案】a≥－2 且 a≠0 【点评】本题考查分式有意义分母不为 0，二次根式有意义被开方数≥0，同时还涉及解不等式的知识，综 合性较强。 难度中等 4．（2011 湖北鄂州，4，3 分）如图：点 A 在双曲线 上，AB⊥x 轴于 B，且△AOB 的面积 S △ AOB=2，则 k=____． 【解题思路】:由反比例函数解析式可知：系数 ， ∵S△AOB=2 即 ，∴ ； 又由双曲线在二、四象限 k＜0，∴k=-4 【答案】－4 【点评】本题考查反比例函数 k 值的确定，结合三角形面积的 2 倍即是 k 的绝对值，再观察反比例函数图 像所在的象限，从而确定 k 的符号。体现数形结合，有一定的综合性。 难度中等 1 2 − 1 2 − 1 21 2 = − − 1 a 2(4 1)a − (2 1)(2 1)a a+ − 22(4 1) 2(2 1)(2 1)a a a= − = + − 2a a + a+2 0 0a≥ ≠且 ky x = A B O x y 第 4 题图 k x y= ⋅ 1 22k x y= ⋅ = 2 2 4k xy= = × = 5．（2011 湖北鄂州，5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之 和为_______． 【解题思路】由矩形性质可知∠B=90°，对角线 AC=10，BC=8 可运用勾股定理得 AC=6；再利用平移的 知识将每个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现 5 个小矩形的周长之和是矩形 ABCD 的周长= （6+8）×2=28。 【答案】28 【点评】本题考查勾股定理和平移的知识，体现图形变换的数学问题，涉及操作与知识相结合。学生比较 容易发现，从而求解。 难度较小 6．（2011 湖北鄂州，6，3 分）如图，在△ABC 中 E 是 BC 上的一点，EC=2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ ABC 、 △ ADF 、 △ BEF 的 面 积 分 别 为 S △ ABC ， S △ ADF ， S △ BEF ， 且 S △ ABC=12 ， 则 S △ ADF － S △ BEF=_________． 【解题思路】由 D 是 AC 的中点且 S△ABC=12，可得 ；同理 EC=2BE 即 EC= ，可得 ，又 等量代换可知 S△ADF－S△ BEF=2 【答案】2 【点评】此题考查高不变，底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积之间的关系，就是底之间 的关系；另考查转换的数学思想方法。 难度较小。 7．（2011 湖北鄂州，7，3 分）若关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 ，则 a 的 取值范围为______． 【解题思路】： 法一： 将（1）+（2）得 ，则 ＜2 ∴a＜4. 法二：也可解方程组（用含 a 的代数式表示 x、y,再用含 a 的代数式表示 x+y,解有关 a 的不等式。 【答案】a＜4 【点评】:此题更侧重考查学生的观察能力（1）+（2）系数相同，用法一易得 x+y,求解较简便,有整体的 数学思想的考查初衷，然后是考查不等式的解法，有一定的综合性。用法二也可，但计算较繁。 难度中等。 8．（2011 湖北鄂州，8，3 分）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 平分线 BP 交于 点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． A B C D 第 5 题图 第 6 题图 A B CE F D 1 1 12 62 2ABD ABCS S∆ ∆= = × = 1 3 BC 1 12 43ABES∆ = × = ,ABE ABF BEF ABD ABF ADFS S S S S S∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆− = − = 3 1 3 3 x y a x y + = +  + = 2x y+ ＜ 3 1 3 3(2) x y a x y + = + (1)  + = 4 4 4x y a+ = + 4 14 4 a ax y ++ = = + 【解题思路】是利用角平分线的性质定理和判定定理证 AP 是∠BAC 外角的平分线！而∠BAC=2∠BPC 也是 可证的！由∠BPC=40°和角平分线性质， 得∠ACD-2∠ABC=2×40°=80°即∠BAC=80°， 则∠BAC 的外角为 100°，∠CAP= ×100°=50°。 【答案】50° 【点评】此题考查学生对角平分线性质和三角形外角的知识，学生要证 AP 是∠BAC 外角的平分线，需要添 加辅助线才行。 难度较大 二、选择题（每小题 3 分，共 21 分） 9．（2011 湖北鄂州，9，3 分）cos30°=（ ） A． B． C． D． 【解题思路】 直接作答：cos30°= 。也可分析 A： 、B： 、D： 【答案】C 【点评】：直接考查特殊三角函数值，学生可通过记忆特殊三角函数值，也可结合画直角三角形求解。 难度较小。 10．（2011 湖北鄂州，10，3 分）计算 =（ ） A．2 B．－2 C．6 D．10 【解题思路】：正面求解：原式= 【答案】A 【点评】此题考查有理数的运算包括 2 的平方的相反数；（-2）的平方；及 的-1 次幂，涉及有理数计 算等问题，尤其符号容易出错，需要细心求解。 难度较小 11．（2011 湖北鄂州，11，3 分）下列说法中 ①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ②数据 5，2，7，1，2，4 的中位数是 3，众数是 2 ③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ④Rt△ABC 中，∠C=90°，两直角边 a，b 分别是方程 x2－7x＋7=0 的两个根，则 AB 边上的中线长 为 正确命题有（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【解题思路】①:画图可发现应考虑 2 种情况，还可以互补，命题不正确；②：排列为 1，2，2，4，5，7 中位数为 =3，众数为 2，命题正确；③等腰梯形只是轴对称图形，不是中心对称图形，命题不正确； ④ ， ∴AB= ，而斜边上的中线等于斜边的一半为 ，正确。 A B C P D 第 8 题图 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 0sin30 0cos45 0tan 60 ( )22 12 2 2 − + − − - 1（- ） 14 4 0 ( 2) 21 2 − + − = − − = − 1 2 − 1 352 2+4 2 [ ]22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ( 7) 2 7 35AB a b x x x x x x= + = + = + − ⋅ = − − − × = 35 1 352 所以正确的有②、④，2 个。 【答案】C 【点评】本题考查概念有角；中位数、众数；特殊四边形的对称性；一元二次方程根与系数的关系、勾股 定理、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等综合了多个基础知识点。认真分析每一个命题，就能正确 解答。难度中等 12．（2011 湖北鄂州，12，3 分）一个几何体的三视图如下：其中主视图都是腰长为 4、底边为 2 的等腰 三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】此题宜正面求解。先判断此几何体为圆锥，侧面展开图为扇形；再由三视图得到扇形母线为 4、弧长为圆锥底面圆的周长；最后运用公式 = 【答案】C 【点评】此题考查学生由三视图判断出几何体为圆锥，再考查圆锥侧面展开图--扇形面积公式 ， 需要利用直径求出圆锥底面周长，并将其准确代入对应的公式是解题的关键。 难度较小 13．（2011 湖北鄂州，13，3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD，则∠PCA=（ ） A．30° B．45° C．60° D．67.5° 【解题思路】PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD 得∠COD=45°、∠PCO=90°。再由 OA=OC，及外角知识得∠ACO=22.5°； 又∠PCA+∠ACO=90°，所以∠PCA=90°-∠ACO=67.5°。 另外也可考虑直径条件连结 BC 求解。 【答案】D 【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角 的内在联系就可顺利求解。 难度较小。 14．（2011 湖北鄂州，14，3 分）如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点 A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x－6 上时，线 段 BC 扫过的面积为（ ） A．4 B．8 C．16 D． 2π 1 2 π 4π 8π 第 12 题 图 4 2 2 4 左视图 右视图 俯视图 1= 2S lR 1 2 4=42 ⋅ ×π π 1= 2S lR C DA O P B 第 13 题 图 8 2 【解题思路】将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x－6 上时即当 y=4 时，解得 x=5，所以平 移的距离为 5-1=4，又知 BC 扫过的图形为平行四边形，高不变为： ，所以平行四边形 面积=底×高=4×4=16. 【答案】C 【点评】此题涉及运用勾股定理；已知一次函数解析式中的 y 值，解函数转化的一元一次方程求出 x 值， 利用横坐标之差计算平移的距离；以及平行四边形面积公式。运用数形结合、平移变换、动静变化的数学 思想方法是解此题的关键，综合性较强。 难度中等 15．（2011 湖北鄂州，15，3 分）已知函数 ，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个， 则 k 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】如图： 利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当 x=3 时，y=k 成立的 x 值恰好有三个，此时 y= ，则 k 的值为 3。 【答案】D 【点评】用数形结合更容易求解，当 y 一定时 x 值得个数也一定，0 个、1 个、2 个、3 个、4 个几种情况。 抓住顶点式和 x 的取值范围作图是解此题的关键所在。 难度中等 三、解答题（共 9 道大题，共 75 分） 16．（2011 湖北鄂州，16，5 分）解方程： 【解题思路】 去括号 ，得 移相合并同类项，得 系数化为 1，得 x=6 检验：当 x=6 时， ，所以 x=6 是原方程的根。 【答案】x=6 【点评】考查解最基本的分式方程的技能，学生只要掌握解分式方程的一般步骤即可得分。这种直接考查 基本技能的考法有效提高了考查结果的效度和信度． 难度较小 17．（2011 湖北鄂州，17，6 分）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用 油共抽取 18 瓶进行检测，检测结果分成“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级，数据处理后制成以下 折线统计图和扇形统计图． ⑴甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？ 第 14 题 图 A B C O y x 2 25 (4 1) 4− − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 5 1 3 x x y x x  − −=  − − ≤ ＞ 2 23-1 - = 3-5 -1=3（ ） 1 3或（ ） 2 13 x x x + =+ ( 3),x x + ⋅ 方程两边同乘 得 2( x+3) +x x=x( x+3) 2 22 6 3x x x x+ + = + -x=-6 x(x+3) 0≠ ⑵在该超市购买一瓶乙品牌食用油，请估计能买到“优秀”等级的概率是多少？ 【解题思路】（1）分别观察折线和扇形图不合格的 1 瓶占甲的 10%，所以甲被抽取了 10 瓶，已被抽取了： 18-10=8 瓶。 （2）结合两图及问题（1）得乙优秀的瓶数共 瓶，所以优秀率为 【答案】 ⑴（由不合格瓶数为 1 知道甲不合格的瓶数为 1）甲、乙分别被抽取了 10 瓶、8 瓶 ⑵P（优秀）= 【点评】评析本题以学生在生活中常见的食用油安全问题为素材，以双图（折线统计图+扇形统计图）的 形式交叉呈现数据。学生需要通过读图，分析图获得信息，进而深入分析两个图之间相互联系，互相补充 获得数据，较好地考查了学生利用统计图描述数据的能力，以及考查学生分析问题和解决问题的能力。在 解决问题的过程中只有读懂图才能完成后边的计算问题，问题设计环环相扣，层层递进，这种考法有利于 落实对学生的综合判断能力的考查． 难度中等 18．（2011 湖北鄂州，18，7 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，∠ABC=90°，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DE⊥DF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若 AE=4，FC=3，求 EF 长． 两种品牌食用油检测结果折线图 瓶数 优秀 合格 不合格 7 10 0 1 等级 不合格的 10% 合格的 30% 优秀 60% 甲种品牌食用油检测结果 扇形分布图 图⑴ 图⑵ 第 17 题 图 第 18 题 图 B A E D F C 10 10 60%=4− × 4 1 8 2 = 1 2 【解题思路】连结 BD，证△BED≌△CFD 和△AED≌△BFD，得 BF=4，BE=3，再运用勾股定理求得 EF= 5 【答案】连结 BD，证△BED≌△CFD 和△AED≌△BFD，求得 EF=5 【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。只要 抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。 难度中等 19．（2011 湖北鄂州，19，7 分）有 3 张扑克牌，分别是红桃 3、红桃 4 和黑桃 5．把牌洗匀后甲先抽取 一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． ⑴先后两次抽得的数字分别记为 s 和 t，则︱s－t︱≥1 的概率． ⑵甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A 方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B 方案：若 两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案胜率更高？ 【解题思路】（1）如下表 甲（s） 乙(t) 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 由上表可知：︱s－t︱≥1 的概率= = （也可画树形图求解）。 （2）方案 A：如表 甲（花色） 乙(花色) 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 红桃 3 同色 同色 不同色 红桃 4 同色 同色 不同色 黑桃 5 不同色 不同色 同色 由上表可得 方案 B：如表 甲 乙 红桃 3 红桃 4 黑桃 5 红桃 3 3+3=6 3+4=7 3+5=8 红桃 4 4+3=7 4+4=8 4+5=9 黑桃 5 5+3=8 5+4=9 5+5=10 由上表可得 因为 ，所以选择 A 方案甲的胜率更高． 【答案】⑴ ⑵A 方案 ，B 方案 ，故选择 A 方案甲的胜率更高． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出 所有可能的结果，列表适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 难度中等 20．（2011 湖北鄂州，20，8 分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水 15 万吨，乙地 13 万 吨．现有 A、B 两水库各调出 14 万吨水支援甲、乙两地抗旱．从 A 地到甲地 50 千米，到乙地 30 千米； 从 B 地到甲地 60 千米，到乙地 45 千米． ⑴设从 A 水库调往甲地的水量为 x 万吨，完成下表 甲 乙 总计 2 2BE BF+ = 3 3 0− = 4 3 1− = 5 3 2− = 3 4 1− = 4 4 0− = 5 4 1− = 3 5 2− = 4 5 1− = 5 5 0− = 6 9 2 3 5= 9P（甲胜） 4= 9P（甲胜） 5 4 9 9 > 2 3 5= 9P（甲胜） 4= 9P（甲胜） 调入地水量/万吨 调出地 A x 14 B 14 总计 15 13 28 ⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨• 千米） 【解题思路】通过读题、审题 （1）完成表格有 2 个思路：从供或需的角度考虑，均能完成上表。 （2）运用公式（调运水的重量×调运的距离） 总调运量=A 的总调运量+B 的总调运量调运水的重量×调运的距离 y=50x+（14－x）30+60（15－x）+（x－1）45=5x+1275（注：一次函数的最值要得到自变量的取值范围）∵ 5＞0∴y 随 x 的增大而增大，y 要最小则 x 应最大 由 解得 1≤x≤14 y=5x+1275 中∵5＞0∴y 随 x 的增大而增大，y 要最小则 x 应最小=1 ∴调运方案为 A 往甲调 1 吨，往乙调 13 吨；B 往甲调 14 吨，不往乙调。 【答案】⑴（从左至右，从上至下）14－x 15－x x－1 ⑵y=50x+（14－x）30+60（15－x）+（x－1）45=5x+1275 解不等式 1≤x≤14 所以 x=1 时 y 取得最小值 y=5+1275=1280 ∴调运方案为 A 往甲调 1 吨，往乙调 13 吨；B 往甲调 14 吨，不往乙调。 【点评】这样的“方案决策类”试题，其所考查的内容和思想方法却是非常重要的，其考查目的也是一 般的函数与不等式题目所不能完全体现的，具有一定的独特性和挑战性．在多数情况下，解这种试题要 以“不等式” 作为解决问题的工具，且由于题中含有由“不确定”中找确定的因素，所以关联了函数与 不等式等数学模型的建立与应用。此题中要确定一个量的范围的问题，就要转化为不等式的问题． 上题对于学生来说问题情境还是比较熟悉的，且题目中都是显性的条件，学生通过认真审题能比较 容易将实际问题转化为数学问题，从而求解。第（2）问需要借助题目中隐含的不等关系--难点，列出不 等式组，并确定出不等数组的解，从而利用一次函数的增减性选择最值，得到最佳方案。 难度较大 21．（2011 湖北鄂州，21，8 分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡比 （指坡面 的铅直高度与水平宽度的比）．且 AB=20 m．身高为 1.7 m 的小明站在大堤 A 点，测得高压电线杆端 点 D 的仰角为 30°．已知地面 CB 宽 30 m，求高压电线杆 CD 的高度（结果保留三个有效数字， 1.732）. 0 14 0 15 0 1 0 x x x x ≥  − ≥ − ≥  − ≥ 1: 3i = 3≈ C D N M A B 第 21 题 图 【解题思路】如图：延长 MA 交 CB 于点 E. CD=DN+CN=DN+ME. 在 中，背水坡 AB 的坡比 可知 ， 得 。又 AB=20 m，所以 AE= ×20=10m,BE=20× = m 所以 NC=ME=MA=AE=1.7+10=11.7m 中，∠AMN=30°，MN=CE=CB+BE=(30+ )m DN= 所以旗杆高度 CD=DN+CN=DN+ME=11.7+ = ≈36.0m 【答案】 ≈36.0 【点评】此题首先将 CD 分成两部分 DN 和 CN，再将坡度概念转化成解直角三角形的知识，利用锐角三角函 数的定义及特殊角的三角函数值，运用线段间的关系即可求出相关线段的长。 难度中等。 22．（2011 湖北鄂州，22，8 分）在圆内接四边形 ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧 AD 上 一点，BC=AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于 E． ⑴求证△ABD 为等腰三角形． ⑵求证 AC•AF=DF•FE 【解题思路】（1）利用同角的补角相等，同弧所对的圆周角相等，等量代换； （2）证等积式就要找三角形相似，发现 AC、AF、FE 所在的三角形，且利用等弧对等弦，同圆中等弦对等 弧，发现 DF 可以被 DC 替换，进而求解。 【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB， 故△ABD 为等腰三角形． ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE ∴AC：FE=CD：AF ∴AC•AF= CD •FE 而 CD=DF， ∴AC•AF=DF•FE C D N M A B 第 21 题 图 E ABERt∆ 1: 3i = 01 3tan = tan3033 ABE∠ = = 030ABE∠ = 1 2 3 2 10 3 AMNRt∆ 10 3 3 (30 10 3) (10 3 10)m3 × + = + 10 3 10+ 21.7 10 3+ 21.7 10 3+ 第 22 题 图 B A F E D C M 【点评】解决此题关键要用到与圆相关的性质、定理以及三角形相似的判定，等角对等边。 有一定的几何知识的综合性。考查学生审图，分析图中边角关系的解题技能。 难度中等 23．（2011 湖北鄂州，23，12 分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府 对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 （万元）．当地政府 拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公 路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外 地 销 售 ． 在 外 地 销 售 的 投 资 收 益 为 ： 每 投 入 x 万 元 ， 可 获 利 润 （万元） ⑴若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？ ⑵若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？ 【解题思路】（1）利用顶点公式即可求解。 （2）前两年：0≤x≤50，在对称轴的左侧，P 随 x 增大而增大，当 x 最大为 50 时，P 值最大且为 40 万 元，所以这两年获利最大为 40×2=80 万元． 后三年：设每年获利为 y，设当地投资额为 x,则外地投资额为 100－x， 关键要注意此时的自变量只有一个，共投资 100 万，将 x 和 100 —x 分别代入相应的关系式即可 得到 y 与 x 的二次函数关系式，进而利用配方法或顶点公式求出最值。 （3）把（1）、（2）中的最值做比较即可发现有极大的实施价值。 【答案】解：⑴当 x=60 时，P 最大且为 41，故五年获利最大值是 41×5=205 万元． ⑵前两年：0≤x≤50，此时因为 P 随 x 增大而增大，所以 x=50 时，P 值最大且为 40 万元，所以这两年 获利最大为 40×2=80 万元． 后三年：设每年获利为 y，设当地投资额为 x,则外地投资额为 100－x，所以 y=P＋Q = + = = ，表明 x=30 时，y 最大且为 1065，那么三年获利最大为 1065×3=3495 万元， 故五年获利最大值为 80＋3495－50×2=3475 万元． ⑶有极大的实施价值． 【点评】此题以实际问题为背景，重在体现数学在生活中的应用。“数学来源于生活，应用于生活。”考查 的知识点是二次函数，利用抛物线顶点或抛物线图像的增减性求出最值得问题，并把最值进行比较，从而 得到最佳方案。虽然看上去关系式较复杂，但给出的是二次函数顶点式，学生做起来还是较易突破的。 难度中等 24．（2011 湖北鄂州，24，14 分）如图所示，过点 F（0，1）的直线 y=kx＋b 与抛物线 交于 M （x1，y1）和 N（x2，y2）两点（其中 x1＜0，x2＜0）． ⑴求 b 的值． ⑵求 x1•x2 的值 ⑶分别过 M、N 作直线 l：y=－1 的垂线，垂足分别是 M1、N1，判断△M1FN1 的形状，并证明你的结 论． ⑷对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切．如果有，请 法度出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由． ( )21 60 41100P x= − − + ( ) ( )299 294100 100 160100 5Q x x= − − + − + ( )21 60 41100 x − − +   299 294 160100 5x x − + +   2 60 165x x− + + ( )230 1065x− − + 21 4y x= 【解题思路】第（1）问，将 F（0，1）代入 y=kx＋b 即可得 b 值。 ⑵要将坐标转化为方程组的解，将方程组 变形得关于 x 的一元二次方程， 再利用根与系数的关系得 =－4 （3）要结合条件并利用（2）中的结论得到 F1M1•F1N1=－x1•x2=4，结合（1）中的结论得 F F1=2，再把两个结论结合得到 F1M1•F1N1=F1F2 判定直角三角形相似，再利用直角三角形的相似性质， 就可得到∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1 是直角三角形． （4）表示线段长利用坐标所在的函数关系，将函数式相加减表示距离。运用梯形中位线的性质，来证明。 【答案】解：⑴b=1 ⑵显然 和 是方程组 的两组解，解方程组消元得 ，依据“根 与系数关系”得 =－4 ⑶△M1FN1 是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由题知 M1 的横坐标为 x1，N1 的横坐标为 x2，设 M1N1 交 y 轴于 F1， 则 F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而 F F1=2，所以 F1M1•F1N1=F1F2， 另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证 Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1， 故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1 是直角三角形． ⑷存在，该直线为 y=－1．理由如下：直线 y=－1 即为直线 M1N1． 如图，设 N 点横坐标为 m，则 N 点纵坐标为 ,计算知 NN1= ， NF= ，得 NN1=NF 同理 MM1=MF． F M N N1M1 F1 O y x l 第 24 题 图 F M N N1M1 F1 O y x l 第 24 题解答用图 P Q 2 1 1 4 y kx y x = + = 1 2x x• 1 1 x x y y =  = 2 2 x x y y =  = 2 1 1 4 y kx y x = + = 21 1 04 x kx− − = 1 2x x• 21 4 m 21 14 m + 2 2 21( 1)4m m+ − = 21 14 m + 那么 MN=MM1＋NN1，作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ，由中位线性质知 PQ= （MM1＋NN1）= MN，即圆心到直线 y=－1 的距离等于圆的半径，所以 y=－1 总与该圆相切． 【点评】： 此题第（1）问，很简单就是代入求值，确定函数的系数。 （2）结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程，利用“根与系数”的关系求解。 （3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。 （4）用函数的加减来求距离，梯形中位线。此题综合性很强，考查学生数形结合的思想，综合了代数、 几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。 难度较大 1 2 1 2