中考数学专题特训第一讲：实数(含详细参考答案)

中考数学专题特训第一讲：实数(含详细参考答案)

中考数学专题复习第一讲 实数（含详细参考答案） 【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数 2、按实数的正负分类： 实数 【提醒：1、正确理解实数 的分类。如： 是 数，不 是 数， 是 数，不是 数。2、0 既不是 数，也不是 数， 但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质 1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是 一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。 2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0 的 相反数是 ，a、b 互为相反数 3、倒数：实数 a 的倒数是 ， 没有倒数，a、b 互为倒数 4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。 = 因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非 负数有三个： 、 、 。 【提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0 是唯一一个没有倒 数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对 值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。 1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记 2 π 7 22 ⇔ ⇔ a                             正无理数无理数 负分数 ＿ 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数       负有理数负 零 正无理数正 实数 实数 （a＞0） （a＜0） 0 （a=0） 数法。其中 a 的取值范围是 。 2、近似数和有效数字： 一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数 字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。 【提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中 a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一， 表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零 的个数（含整数数位上的零）。2、近似数 3.05 万是精确到 位，而不是百 分位】 四、数的开方。 1、若 x2=a(a 0),则 x 叫做 a 的 ，记做± ，其中正数 a 的 平方 根叫做 a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ， 0 的平方根是 ，负数 平方根。 2、若 x3=a,则 x 叫做 a 的 ，记做 ，正数有一个 的立方根，0 的 立方根是 ，负数 立方根。 【提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ， 立方根等于本身的数有 。】 【重点考点例析】 考点一：无理数的识别。 例 1 （2012•六盘水）实数 中是无理数的个数有（　　）个． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 思路分析：先把 化为 ，再根据无理数的定义进行解答即可。根据无理数的三种 形式，结合所给的数据判断即可． 解： ，所以数字 中无理数的有： ，共 3 个． 故选 C． 点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开 不尽的数，②无限不循环小数，③含有 π 的数。 对应训练 1．（2012•盐城）下面四个实数中，是无理数的为（　　） 　 A．0 B． C．﹣2 D． 1．B 考点二、实数的有关概念。 a 3 a 312, , , 8,cos45 ,0.323 π    cos45 2 2 3 28 2,cos45 2 = = 312, , , 8,cos45 ,0.323 π    2, ,cos45π  3 2 7 例 2 （2012•乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入 500 元记作 500 元，那么支出 237 元应记作（　　） 　 A．﹣500 元 B．﹣237 元 C．237 元 D．500 元 思路分析：根据题意 237 元应记作﹣237 元． 解：根据题意，支出 237 元应记作﹣237 元． 故选 B． 点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意 义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 例 3 （2012•遵义）﹣（﹣2）的值是（　　） 　 A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 思路分析：根据相反数的定义可知，﹣（﹣2）是﹣2 的相反数，由于﹣2＜0，所以﹣ （﹣2）=2． 解：∵﹣（﹣2）是﹣2 的相反数，﹣2＜0， ∴﹣（﹣2）=2． 故选 B． 点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数 的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0． 例 4 （2012•扬州）﹣3 的绝对值是（　　） 　 A．3 B．﹣3 C．﹣3 D． 思路分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据 绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 解：﹣3 的绝对值是 3． 故选：A． 点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数 的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 例 5 （2012•黄石） 的倒数是（　　） 　 A． B．3 C．﹣3 D． 思路分析：一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到． 解： 的倒数是 ． 故选 C． 点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 例 6 （2012•怀化）64 的立方根是（　　） 　 A．4 B．±4 C．8 D．±8 思路分析：如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根，根据此定义求解即可． 解：∵4 的立方等于 64， ∴64 的立方根等于 4． 故选 A． 1 3 − 1 3 1 3 − 1 3 − 3 31 − = − 点评： 此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的 立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根 与原数的性质符号相同． 例 7 （2012•荆门）若 与 互为相反数，则 x+y 的值为（　　） 　 A．3 B．9 C．12 D．27 思路分析：根据互为相反数的和等于 0 列式，再根据非负数的性质列出关于 x、y 的二元一 次方程组，求解得到 x、y 的值，然后代入进行计算即可得解． 解：∵ 与 互为相反数， ∴ + =0， ∴ ， ②﹣①得，y=12， 把 y=12 代入②得，x﹣12﹣3=0， 解得 x=15， ∴x+y=12+15=27． 故选 D． 点评： 本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、 二次根式（算术平方根）．当它们相加和为 0 时，必须满足其中的每一项都等于 0． 对应训练 2．（2012•丽水）如果零上 2℃记作+2℃，那么零下 3℃记作（　　） 　 A．﹣3℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．+2℃ 2．A 3．（2012•张家界）﹣2012 的相反数是（　　） 　 A．﹣2012 B．2012 C． D． 3．B 4．（2012•铜仁地区）|﹣2012|=　 　．4．2012． 5．（2012•常德）若 a 与 5 互为倒数，则 a=（　　） 　 A． B．5 C．﹣5 D． 5．A 6．（2011•株洲）8 的立方根是（　　） 　 A．2 B．﹣2 C．3 D．4 6．A 7．（2012•广东）若 x，y 为实数，且满足|x﹣3|+ =0，则（ ）2012 的值是　 　． 7．1 解：根据题意得： ， 2 9x y− + | 3|x y− − 2 9x y− + | 3|x y− − 2 9x y− + | 3|x y− − 1 2012 − 1 2012 1 5 1 5 解得： ． 则（ ）2012=（ ）2012=1． 故答案是：1． 考点三、实数与数轴。 例 8 （2012•乐山）如图，A、B 两点在数轴上表示的数分别为 a、b，下列式子成立的是 （　　） A．ab＞0 B．a+b＜0 C．（b-1）（a+1）＞0 D．（b-1）（a-1）＞0 思路分析：根据 a、b 两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即 可． 解：a、b 两点在数轴上的位置可知：-1＜a＜0，b＞1， ∴ab＜0，a+b＞0，故 A、B 错误； ∵-1＜a＜0，b＞1， ∴b-1＞0，a+1＞0，a-1＜0 故 C 正确，D 错误． 故选 C． 点评：本题考查了数轴．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形” 结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注 意培养数形结合的数学思想． 对应训练 8．（2012•常德）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（　　） A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|+b＜0 D．a-b＞0 8．A 考点四、科学记数法。 例 9 （2012•潍坊）许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断．根据测 定，一般情况下一个水龙头“滴水”1 个小时可以流掉 3.5 千克水，若 1 年按 365 天计算， 这个水龙头 1 年可以流掉（　　）千克水．（用科学记数法表示，保留 3 个有效数字） A．3.1×104 B．0.31×105 C．3.06×104 D．3.07×104 思路分析：先列式表示 1 年水龙头滴水的重量，再把结果用科学记数法表示．有效数字是从 左边第一个不是 0 的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效 数字只与前面的 a 有关，与 10 的多少次方无关． 解：3.5×24×365=30660=3.066×104≈3.07×104 故选 D． 点评：此题主要考查了有理数的乘法在实际生活中的应用以及科学记数法的表示方法。用科 学记数法表示一个数的方法是： （1）确定 a：a 是只有一位整数的数； （2）确定 n：当原数的绝对值≥10 时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减 1；当原数的 绝对值＜1 时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数 位数上的零）． 对应训练 9．（2012•鸡西）2012 年 5 月 8 日，“最美教师”张丽莉为救学生身负重伤，张老师舍己救 人的事迹受到全国人民的极大关注，在住院期间，共有 691 万人以不同方式向她表示问候和 祝福，将 691 万人用科学记数法表示为 人．（结果保留两个有效数字） 9．6.9×106 【聚焦山东中考】 一、选择题 1．（2012•临沂） 的倒数是（　　） 　 A．6 B．﹣6 C． D． 1．B． 1．（2012•青岛）﹣2 的绝对值是（　　） 　 A． B．﹣2 C． D．2 1．D 2．（2012•济宁）在数轴上到原点距离等于 2 的点所标示的数是（　　） A．-2 B．2 C．±2 D．不能确定 2．C． 3．（2012•聊城）在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数 分别是 和-1，则点 C 所对应的实数是（　　） A． B． C． D． 3．D 解：设点 C 所对应的实数是 x． 则有 ， 解得 ． 故选 D． 4．（2012•烟台） 的值是（　　） 1 6 − 1 6 1 6 − 1 2 − 1 2 3 1 3+ 2 3+ 2 3 1− 2 3 1+ 3 3 ( 1)x − = − − 2 3 1x = + 　 A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 4．B． 5．（2012•日照）据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有 194 亿立方米．194 亿用科学记数法表示为（　　） A．1.94×1010 B．0.194×1010 C．19.4×109 D．1.94×109 5．A 6．（2012•济南）2012 年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为 12800 公里，数字 12800 用科学 记数法表示为（　　） A．1.28×103 B．12.8×103 C．1.28×104 D．0.128×105 6．C 7．（2012•泰安）已知一粒米的质量是 0.000021 千克，这个数字用科学记数法表示为（　　） A．21×10-4 千克 B．2.1×10-6 千克 C．2.1×10-5 千克 D．21×10-4 千克 7．C 二、填空题 8．（2012•德州）﹣1，0，0.2， ，3 中正数一共有　 　个． 8．3 9．（2012•青岛）为改善学生的营养状况，中央财政从 2011 年秋季学期起，为试点地区在校 生提供营养膳食补助，一年所需资金约为 160 亿元，用科学记数法表示为 元． 9．1.6×1010 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2012•陕西）如果零上 5℃记作+5℃，那么零下 7℃可记作（　　） 　 A．﹣7℃ B．+7℃ C．+12℃ D．﹣12℃ 1．A 2．（2012•河北）下列各数中，为负数的是（　　） 　 A．0 B．﹣2 C．1 D． 2．B． 3．（2012•义乌市）﹣2 的相反数是（　　） 　 A．2 B．﹣2 C．±2 D． 3．A 4．（2012•江西）﹣1 的绝对值是（　　） 　 A．1 B．0 C．﹣1 D．±1 4．A 5．（2012•襄阳）一个数的绝对值等于 3，这个数是（　　） 　 A．3 B．﹣3 C．±3 D． 5．C 6．（2012•宜昌）如图，数轴上表示数-2 的相反数的点是（　　） 1 7 1 2 1 2 − 1 3 A．点 P B．点 Q C．点 M D．点 N 6．A 解：从数轴可以看出 N 表示的数是-2，M 表示的数是-0.5，Q 表示的数是 0.5，P 表示的数 是 2， ∵-2 的相反数是 2， ∴数轴上表示数-2 的相反数是点 P， 故选 A． 7．（2012•攀枝花）﹣3 的倒数是（　　） 　 A．3 B．﹣3 C． D． 7．D． 8．（2012•黄冈）下列实数中是无理数的是（　　） A． B． C． D． 8．D 9．（2012•丽水）如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A，B 表示的数的绝对值相等，那么 点 A 表示的数是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C． 0 D．4 9．B 10．（2012•毕节地区）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（　　） A．a＜b B．|a|＞|b| C．-a＜-b D．b-a＞0 10．C 11．（2012•遵义）据有关资料显示，2011 年遵义市全年财政总收入 202 亿元，将 202 亿用 科学记数法可表示（　　） A．2.02×102 B．202×108 C．2.02×109 D．2.02×1010 11．D 12．（2012•南京）PM2.5 是大气压中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法表示为（　　） A．0.25×10-5 B．0.25×10-6 C．2.5×10-5 D．2.5×10-6 12．D 13．（2012•恩施州）恩施生态旅游初步形成，2011 年全年实现旅游综合收入 908600000 元．数 908600000 用科学记数法表示（保留三个有效数字），正确的是（　　） A．9.09×109 B．9.087×1010 C．9.08×109 D．9.09×108 13．A 1 3 1 3 − 4 3 8 0π 2 14．（2012•达州）今年我市参加中考的学生人数约为 6.01×104 人．对于这个近似数，下列 说法正确的是（　　） A．精确到百分位，有 3 个有效数字 B．精确到百位，有 3 个有效数字 C．精确到十位，有 4 个有效数字 D．精确到个位，有 5 个有效数字 14．B 15．（2012•台湾）如图，数在线的 A、B、C、D 四点所表示的数分别为 a、b、c、d，且 O 为原点．根据图中各点位置，判断|a-c|之值与下列何者不同？（　　） A．|a|+|b|+|c| B．|a-b|+|c-b| C．|a-d|-|d-c| D．|a|+|d|-|c-d| 15．A 解：A、∵|a|+|b|+|c|=AO+BO+CO≠AC，故本选项正确； B、∵|a-b|+|c-b|=AB+BC=AC，故本选项错误； C、∵|a-d|-|d-c|=AD-CD=AC，故本选项错误； D、∵|a|+|d|-|c-d|=AO+DO-CD=AC，故本选项错误； 故选 A． 二．填空题 16．（2012•连云港）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，该药品在　 　℃ 范围内保存才合适． 16．18℃～22℃ 解：温度是 20℃±2℃，表示最低温度是 20℃﹣2℃=18℃，最高温度是 20℃+2℃=22℃，即 18℃～22℃之间是合适温度． 故答案为：18℃～22℃． 17．（2012•上海）计算 =　 　． 17． 18．（2012•湘潭）5 月 4 日下午，胡锦涛总书记在纪念中国共产主义青年团成立 90 周年大 会上指出：希望广大青年坚持远大理想、坚持刻苦学习、坚持艰苦奋斗、坚持开拓创新、坚 持高尚品行．我国现有约 78000000 名共青团员，用科学记数法表示为 名． 18．7.8×107 19 ．（ 2012 • 绥 化 ） 已 知 1 纳 米 =0.000000001 米 ， 则 2012 纳 米 用 科 学 记 数 法 表 示 为 米． 19．2.012×10-6 20．（2012•玉林）某种原子直径为 1.2×10 -2 纳米，把这个数化为小数是 纳 米． 20．0.012 21．（2012•资阳）为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011 年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为 330000 毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保 留三个有效数字为 毫克/千瓦时． 21．3.30×105 22．（2012•泰州）如图，数轴上的点 P 表示的数是-1， 将点 P 向右移动 3 个单位长度得到点 P′， 则点 P′表示的数是 ． 1| 1|2 − = 1 2 22．2 23．（2012•广安）实数 m、n 在数轴上的位置如图所示， 则|n-m|= ． 23．m-n 24．（2012•娄底）写出一个 x 的值，使|x﹣1|=x﹣1 成立，你写出的 x 的值 是　 　． 24．2（答案不唯一）． 25．（2012•哈尔滨）化简： =　 　． 25．3 26．（2012•张家界）已知 ，则 x+y=　 　． 26．1 9 2( 3) 2 0x y y− + + − =