2012年厦门中考数学试卷

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2012年厦门中考数学试卷

‎2012年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试 数 学 ‎(试卷满分:150分 考试时间:120分钟)‎ ‎ 准考证号 姓名 座位号 ‎ 注意事项:‎ ‎1.全卷三大题,26小题,试卷共4页,另有答题卡.‎ ‎2.答案一律写在答题卡上,否则不能得分.‎ ‎3.可直接用2B铅笔画图.‎ 一、选择题(本大题有7小题,每小题3分,共21分.每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确)‎ ‎1. -2的相反数是 A.2 B.-‎2 ‎ C.±2 D.- ‎2.下列事件中,是必然事件的是 A. 抛掷1枚硬币,掷得的结果是正面朝上 B. 抛掷1枚硬币,掷得的结果是反面朝上 C. 抛掷1枚硬币,掷得的结果不是正面朝上就是反面朝上 D.抛掷2枚硬币,掷得的结果是1个正面朝上与1个反面朝上 ‎3.图1是一个立体图形的三视图,则这个立体图形是 A.圆锥 B.球 C.圆柱 D.三棱锥 ‎4.某种彩票的中奖机会是1%,下列说法正确的是 A.买1张这种彩票一定不会中奖 B.买1张这种彩票一定会中奖 C.买100张这种彩票一定会中奖 D.当购买彩票的数量很大时,中奖的频率稳定在1%‎ ‎5.若二次根式有意义,则x的取值范围是 A.x>1 B.x≥1‎ C.x<1 D.x≤1‎ ‎6.如图2,在菱形ABCD中,AC、BD是对角线,‎ 若∠BAC=50°,则∠ABC等于 A.40° B.50°‎ C.80° D.100°‎ ‎7.已知两个变量x和y,它们之间的3组对应值如下表所示.‎ x ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ y ‎-1‎ ‎1‎ ‎3‎ 则y 与x之间的函数关系式可能是 A.y=x B.y=2x+‎1 ‎ C.y=x2+x+1 D.y= 二、填空题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)‎ ‎8.计算: ‎3a-‎2a= .‎ ‎9.已知∠A=40°,则∠A的余角的度数是 .‎ ‎10.计算: m3÷m2= . ‎ ‎11.在分别写有整数1到10的10张卡片中,随机抽取1张 卡片,则该卡片上的数字恰好是奇数的概率是 .‎ ‎12.如图3,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC ‎ 与BD相交于点O,若OB=3,则OC= .‎ ‎13.“x与y的和大于‎1”‎用不等式表示为 .‎ ‎14.如图4,点D是等边△ABC内一点,如果△ABD绕点A ‎ 逆时针旋转后能与△ACE重合,那么旋转了 度.‎ ‎15.五边形的内角和的度数是 .‎ ‎16.已知a+b=2,ab=-1,则‎3a+ab+3b= ;‎ a2+b2= .‎ ‎17.如图5,已知∠ABC=90°,AB=πr,BC=,半径为r 的⊙O从点A出发,沿A→B→C方向滚动到点C时停止.‎ 请你根据题意,在图5上画出圆心O运动路径的示意图;‎ 圆心O运动的路程是 .‎ 三、解答题(本大题有9小题,共89分)‎ ‎18.(本题满分18分)‎ ‎(1)计算:4÷(-2)+(-1)2×40; ‎ ‎(2)画出函数y=-x+1的图象;‎ ‎(3)已知:如图6,点B、F、C、E在一条直线上,‎ ‎∠A=∠D,AC=DF,且AC∥DF.‎ 求证:△ABC≌△DEF.‎ ‎19.(本题满分7分)解方程组: ‎20.(本题满分7分)已知:如图7,在△ABC中,∠C=90°,点D、E分别在边AB、AC 上,DE∥BC,DE=3, BC=9.‎ ‎(1)求 的值;‎ ‎(2)若BD=10,求sin∠A的值. ‎ ‎21.(本题满分7分)已知A组数据如下:‎ ‎0,1,-2,-1,0,-1,3.‎ ‎ (1)求A组数据的平均数;‎ ‎(2)从A组数据中选取5个数据,记这5个数据为B组数据. 要求B组数据满足两个条件:①它的平均数与A组数据的平均数相等;②它的方差比A组数据的方差大.你选取的B组数据是 ,请说明理由.‎ ‎【注:A组数据的方差的计算式是 SA2=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(x5-)2+(x6-)2+(x7-)2]】‎ ‎22.(本题满分9分)工厂加工某种零件,经测试,单独加工完成这种零件,甲车床需用 x小时,乙车床需用 (x2-1)小时,丙车床需用(2x-2)小时. ‎ ‎(1)单独加工完成这种零件,若甲车床所用的时间是丙车床的 ,求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间;‎ ‎(2)加工这种零件,乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同?请说明理由.‎ ‎23.(本题满分9分)已知:如图8,⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,弦CD交AB于E,∠BCD=∠BAC . ‎ ‎(1)求证:AC=AD;‎ ‎(2)过点C作直线CF,交AB的延长线于点F,‎ 若∠BCF=30°,则结论“CF一定是⊙O的切线”‎ 是否正确?若正确,请证明;若不正确,请举反例.‎ ‎24.(本题满分10分)如图9,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3)、B(6,3),连结AB. 如果点P在直线y=x-1上,且点P到直线AB的距离小于1,那么称点P是线段AB 的“邻近点”.‎ ‎  (1)判断点C( , ) 是否是线段AB的“邻近点”,并说明理由;‎ ‎(2)若点Q (m,n)是线段AB的“邻近点”,求m的取值范围.‎ ‎25.(本题满分10分)已知□ABCD,对角线AC与BD相交于点O,点P在边AD上,过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD,垂足分别为E、F,PE=PF.‎ ‎ (1)如图10,若PE=,EO=1,求∠EPF的度数;‎ ‎ (2)若点P是AD的中点,点F是DO的中点,‎ BF =BC+3-4,求BC的长.‎ ‎26.(本题满分12分)已知点A(1,c)和点B (3,d )是直线y=k1x+b与双曲线y=(k2>0)的交点.‎ ‎  (1)过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连结BM.若AM=BM,求点B的坐标;‎ ‎ (2)设点P在线段AB上,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,并交双曲线y=(k2>0)于点N.当 取最大值时,若PN= ,求此时双曲线的解析式.‎ ‎2012年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试 数学参考答案及评分标准 说明:‎ ‎1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准相应评分;‎ ‎2.评阅试卷,要坚持每题评阅到底,不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果考生的解答在某一步出现错误,影响后续部分而未改变本题的内容和难度,视影响的程度决定后继部分的给分,但原则上不超过后续部分应得分数的一半;‎ ‎3.解答题评分时,给分或扣分均以1分为基本单位.‎ 一、选择题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 选项 A C A D B C B 二、填空题(本大题共10小题,每题4分,共40分)‎ ‎8. a. 9. 50°. 10. m. 11. . ‎ 12. 3. 13‎. x+y>1. 14. 60.‎ ‎15. 540°. 16. 5; 6. 17. ;2πr.‎ 三、解答题(本大题共9小题,共89分)‎ ‎18.(本题满分18分)‎ ‎(1)解:4÷(-2) +(-1)2×40‎ ‎=-2+1×1 4分 ‎=-2+1 5分 ‎=-1. 6分 ‎(2)解:正确画出坐标系 8分 正确写出两点坐标 10分 画出直线 12分 ‎(3)证明:∵ AC∥DF, ……13分 ‎∴ ∠ACB=∠DFE. ……15分 又∵ ∠A=∠D, ……16分 AC=DF, ……17分 ‎∴ △ABC≌△EDF. ……18分 ‎19.(本题满分7分)‎ 解1: ‎ ‎①+②,得 1分 ‎5x=5, 2分 x=1. 4分 将x=1代入 ①,得 ‎3+y=4, 5分 y=1. 6分 ‎∴ 7分 解2:由①得 y=4-3x. ③ 1分 将③代入②,得 ‎2x-(4-3x) =1. 2分 得x=1. 4分 将x=1代入③ ,得 ‎ y=4-3×1 5分 ‎=1. 6分 ‎∴ 7分 ‎20.(本题满分7分)‎ ‎(1)解:∵ DE∥BC ,∴ △ADE∽△ABC. ……1分 ‎∴ = . ……2分 ‎∴ =. ……3分 ‎(2)解1:∵ =,BD=10,‎ ‎∴ = 4分 ‎∴ AD=5 5分 经检验,符合题意. ∴ AB=15.‎ 在Rt△ABC中, 6分 sin∠A==. 7分 ‎ 解2: ∵ =,BD=10,‎ ‎∴ = 4分 ‎∴ AD=5 5分 经检验,符合题意.‎ ‎∵ DE∥BC,∠C=90°‎ ‎∴ ∠AED=90°‎ 在Rt△AED中, 6分 sin∠A==. 7分 ‎ 解3:过点D作DG⊥BC,垂足为G. ∴ DG∥AC.‎ ‎∴∠A=∠BDG. 4分 又∵ DE∥BC,∴四边形ECGD是平行四边形.‎ ‎∴ DE=CG. 5分 ‎∴ BG=6.‎ 在Rt△DGB中, 6分 ‎∴ sin∠BDG==. 7分 ‎∴ sin∠A=.‎ ‎21.(本题满分7分)‎ ‎(1)解:A组数据的平均数是 1分 ‎=0. 3分 ‎(2)解1:选取的B组数据:0,-2,0,-1,3. 4分 ‎∵ B组数据的平均数是0. 5分 ‎∴ B组数据的平均数与A组数据的平均数相同. ‎ ‎∴ SB2= ,SA2= . 6分 ‎∴ >. 7分 ‎∴ B组数据:0,-2,0,-1,3.‎ ‎ 解2:B组数据:1,-2,-1,-1,3. 4分 ‎∵ B组数据的平均数是0. 5分 ‎∴ B组数据的平均数与A组数据的平均数相同. ‎ ‎∵SA2=, SB2= . 6分 ‎ ‎∴> 7分 ‎∴ B组数据:1,-2,-1,-1,3. ‎ ‎22.(本题满分9分)‎ ‎(1)解:由题意得, ‎ x=(2x-2) 1分 ‎∴ x=4. 2分 ‎∴ x2-1=16-1=15(小时). 3分 答:乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时. 4分 ‎(2)解1:不相同. 5分 若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同,由题意得, 6分 = . 7分 ‎∴ =. ‎ ‎∴ x=1. 8分 经检验,x=1不是原方程的解. ∴ 原方程无解. 9分 答:乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同.‎ ‎ 解2:不相同. 5分 若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同,由题意得, 6分 x2-1=2x-2. 7分 解得,x=1. 8分 此时乙车床的工作时间为0小时,不合题意. 9分 答:乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同. ‎ ‎23.(本题满分9分)‎ ‎(1)证明1:∵∠BCD=∠BAC,‎ ‎∴ = . ……1分 ‎∵ AB为⊙O的直径,‎ ‎∴ AB⊥CD, ……2分 CE=DE. ……3分 ‎∴ AC=AD . ……4分 ‎ 证明2:∵∠BCD=∠BAC,‎ ‎∴ = . 1分 ‎∵ AB为⊙O的直径, ∴ = . 2分 ‎∴ = . 3分 ‎∴ AC=AD . 4分 ‎ 证明3:∵ AB为⊙O的直径,∴ ∠BCA=90°. 1分 ‎∴ ∠BCD+∠DCA=90°, ∠BAC+∠CBA=90°‎ ‎∵∠BCD=∠BAC,∴∠DCA=∠CBA 2分 ‎∴ = . 3分 ‎∴ AC=AD . 4分 ‎(2)解1:不正确. 5分 连结OC.‎ 当 ∠CAB=20°时, 6分 ‎∵ OC=OA,有 ∠OCA=20°.‎ ‎∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠OCB=70°. 7分 又∵∠BCF=30°,‎ ‎∴∠FCO=100°, 8分 ‎∴ CO与FC不垂直. 9分 ‎∴ 此时CF不是⊙O的切线. ‎ ‎ 解2:不正确. 5分 连结OC.‎ 当 ∠CAB=20°时, 6分 ‎∵ OC=OA,有 ∠OCA=20°.‎ ‎∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠OCB=70°. 7分 又∵∠BCF=30°,‎ ‎∴∠FCO=100°, 8分 在线段FC的延长线上取一点G,如图所示,使得∠COG=20°.‎ 在△OCG中, ∵∠GCO=80°, ∴∠CGO=80°.‎ ‎∴ OG=OC. 即OG是⊙O的半径.‎ ‎∴ 点G在⊙O上. 即直线CF与圆有两个交点. 9分 ‎∴ 此时CF不是⊙O的切线.‎ ‎ 解3:不正确. 5分 连结OC.‎ 当 ∠CBA=70°时, 6分 ‎∴ ∠OCB=70°. 7分 又∵∠BCF=30°,‎ ‎∴∠FCO=100°, 8分 ‎∴ CO与FC不垂直. 9分 ‎∴ 此时CF不是⊙O的切线.‎ ‎24.(本题满分10分)‎ ‎(1)解:点C(,) 是线段AB的“邻近点”. 1分 ‎∵-1=, ∴点C(,)在直线y=x-1上. 2分 ‎∵点A的纵坐标与点B的纵坐标相同,‎ ‎∴ AB∥x轴. 3分 ‎∴C(,) 到线段AB的距离是3-,‎ ‎∵3-=<1, 4分 ‎∴C(,)是线段AB的“邻近点”.‎ ‎(2)解1:∵点Q(m,n)是线段AB的“邻近点”,‎ ‎∴ 点Q(m,n)在直线y=x-1上,‎ ‎∴ n=m-1. 5分 ‎① 当m≥4时, 6分 有n=m-1≥3.‎ 又AB∥x轴,‎ ‎∴ 此时点Q(m,n)到线段AB的距离是n-3. 7分 ‎∴0≤n-3<1.‎ ‎∴ 4≤m<5. 8分 ‎② 当m≤4时, 9分 有n=m-1≤3.‎ 又AB∥x轴,‎ ‎∴ 此时点Q(m,n)到线段AB的距离是3-n.‎ ‎∴0≤3-n<1.‎ ‎∴ 3<m≤4. 10分 综上所述, 3<m<5.‎ ‎ 解2:∵点Q(m,n)是线段AB的“邻近点”,‎ ‎∴ 点Q(m,n)在直线y=x-1上,‎ ‎∴ n=m-1. 5分 又AB∥x轴,‎ ‎∴ Q(m,n)到直线AB的距离是n-3或3-n, 6分 ‎① 当0≤n-3<1时, 7分 即 当0≤m-1-3<1时,‎ 得 4≤m<5. 8分 ‎② 当0≤3-n<1时, 9分 有0≤3-(m-1)<1时,‎ 得 3<m≤4. 10分 综上所述,3<m<5.‎ ‎25.(本题满分10分)‎ ‎(1)解1:连结PO , ‎ ‎∵ PE=PF,PO=PO,‎ PE⊥AC、PF⊥BD,‎ ‎∴ Rt△PEO≌Rt△PFO.‎ ‎∴ ∠EPO=∠FPO. ……1分 在Rt△PEO中, ……2分 tan∠EPO==, ……3分 ‎∴ ∠EPO=30°. ‎ ‎∴ ∠EPF=60°. 4分 ‎ 解2:连结PO ,‎ 在Rt△PEO中, 1分 PO= =2.‎ ‎∴ sin∠EPO==. 2分 ‎∴ ∠EPO=30°. 3分 在Rt△PFO中,cos∠FPO==,∴∠FPO=30°.‎ ‎∴ ∠EPF=60°. 4分 ‎ 解3:连结PO ,‎ ‎∵ PE=PF,PE⊥AC、PF⊥BD,垂足分别为E、F,‎ ‎∴ OP是∠EOF的平分线.‎ ‎∴ ∠EOP=∠FOP. 1分 在Rt△PEO中, 2分 tan∠EOP== 3分 ‎∴ ∠EOP=60°,∴ ∠EOF=120°.‎ 又∵∠PEO=∠PFO=90°,‎ ‎∴ ∠EPF=60°. 4分 ‎(2)解1:∵点P是AD的中点,∴ AP=DP.‎ 又∵ PE=PF,∴ Rt△PEA≌Rt△PFD.‎ ‎∴ ∠OAD=∠ODA.‎ ‎∴ OA=OD. 5分 ‎∴ AC=2OA=2OD=BD.‎ ‎∴□ABCD是矩形. 6分 ‎ ‎∵ 点P是AD的中点,点F是DO的中点,‎ ‎∴ AO∥PF. 7分 ‎∵ PF⊥BD,∴ AC⊥BD.‎ ‎∴□ABCD是菱形. 8分 ‎∴□ABCD是正方形. 9分 ‎∴ BD=BC. ‎ ‎∵ BF=BD,∴BC+3-4=BC.‎ 解得,BC=4. 10分 ‎ 解2:∵ 点P是AD的中点,点F是DO的中点,‎ ‎∴ AO∥PF. 5分 ‎∵ PF⊥BD,∴ AC⊥BD.‎ ‎∴□ABCD是菱形. 6分 ‎∵ PE⊥AC,∴ PE∥OD. ‎ ‎∴ △AEP∽△AOD.‎ ‎∴ ==.‎ ‎∴ DO=2PE.‎ ‎∵ PF是△DAO的中位线,‎ ‎∴ AO=2PF.‎ ‎∵ PF=PE,‎ ‎∴ AO=OD. 7分 ‎∴ AC=2OA=2OD=BD.‎ ‎∴ □ABCD是矩形. 8分 ‎∴ □ABCD是正方形. 9分 ‎∴ BD=BC.‎ ‎∵ BF=BD,∴BC+3-4=BC.‎ 解得,BC=4. 10分 ‎ 解3:∵点P是AD的中点,∴ AP=DP.‎ 又∵ PE=PF, ∴ Rt△PEA≌Rt△PFD. ‎ ‎∴ ∠OAD=∠ODA.‎ ‎∴ OA=OD. 5分 ‎∴ AC=2OA=2OD=BD.‎ ‎∴□ABCD是矩形. 6分 ‎ ‎∵点P是AD的中点,点O是BD的中点,连结PO.‎ ‎∴PO是△ABD的中位线,‎ ‎∴ AB=2PO. 7分 ‎∵ PF⊥OD,点F是OD的中点,‎ ‎∴ PO=PD.‎ ‎∴ AD=2PO.‎ ‎∴ AB=AD. 8分 ‎∴□ABCD是正方形. 9分 ‎ ‎∴ BD=BC.‎ ‎∵ BF=BD,∴BC+3-4=BC.‎ 解得,BC=4. 10分 ‎ 解4:∵点P是AD的中点,∴ AP=DP.‎ 又∵ PE=PF, ∴ Rt△PEA≌Rt△PFD.‎ ‎∴ ∠OAD=∠ODA.‎ ‎∴ OA=OD. 5分 ‎∴ AC=2OA=2OD=BD.‎ ‎∴□ABCD是矩形. 6分 ‎ ‎∵PF⊥OD,点F是OD的中点,连结PO.‎ ‎∴PF是线段OD的中垂线,‎ 又∵点P是AD的中点,‎ ‎∴PO=PD=BD 7分 ‎∴△AOD 是直角三角形, ∠AOD=90°. 8分 ‎∴□ABCD是正方形. 9分 ‎ ‎∴ BD=BC.‎ ‎∵ BF=BD,∴BC+3-4=BC.‎ 解得,BC=4. 10分 ‎26.(本题满分12分)‎ ‎(1)解:∵点A(1,c)和点B (3,d )在双曲线y=(k2>0)上,‎ ‎∴ c=k2=3d 1分 ‎∵ k2>0, ∴ c>0,d>0. ‎ A(1,c)和点B (3,d )都在第一象限.‎ ‎∴ AM=3d. 2分 过点B作BT⊥AM,垂足为T.‎ ‎∴ BT=2. 3分 TM=d.‎ ‎∵ AM=BM, ∴ BM=3d. ‎ 在Rt△BTM中,TM 2+BT2=BM2,‎ ‎∴ d2+4=9d2, ∴ d=. ‎ 点B(3,) . 4分 ‎(2)解1:∵ 点A(1,c)、B(3,d)是直线y=k1x+b与双曲线y=(k2>0)的交点,‎ ‎∴ c=k2,,3d=k2,c=k1+b,d=3k1+b. 5分 ‎∴ k1=-k2,b=k2. ‎ ‎∵ A(1,c)和点B (3,d )都在第一象限,∴ 点P在第一象限.‎ ‎∴ = ‎ ‎=x2+x ‎=-x2+x. 6分 ‎∵ 当x=1,3时,=1;‎ 又∵当x=2时, 的最大值是.‎ ‎∴ 1≤≤. 7分 ‎∴ PE≥NE. 8分 ‎∴ =-1=-x2+x-1. 9分 ‎∴ 当x=2时,‎ 的最大值是. 10分 由题意,此时PN=,‎ ‎∴ NE=. 11分 ‎∴ 点N(2,) . ∴ k2=3.‎ ‎∴ y=. 12分 ‎ 解2:∵ A(1,c)和点B (3,d )都在第一象限,∴ 点P在第一象限.‎ ‎∵ = =x2+x,‎ 当点P与点A、B重合时,=1,‎ 即当x=1或3时,=1. ‎ ‎∴ 有 +=-1, +=-1. 5分 解得,k1=-k2,b=k2.‎ ‎∴ =-x2+x. 6分 ‎∵ k2=-3k1,k2>0,∴ k1<0.‎ ‎∵ PE-NE=k1x+b-=k1x-4k1+ ‎=k1( )= , 7分 又∵当1≤x≤3时,‎ ‎(x-1) (x-3) ≤0,‎ ‎∴ k1( ) ≥0.‎ ‎∴ PE-NE≥0. 8分 ‎∴ =-1‎ ‎=-x2+x-1. 9分 ‎∴ 当x=2时,的最大值是. 10分 由题意,此时PN=,‎ ‎∴ NE=. 11分 ‎∴ 点N(2,) . ∴ k2=3.‎ ‎∴ y=. 12分 ‎ 解3:∵ 点A(1,c)、B(3,d)是直线y=k1x+b与双曲线y=(k2>0)的交点,‎ ‎∴ c=k2,,3d=k2,c=k1+b,d=3k1+b. 5分 k2=3d, k1=-d,b=4d.‎ ‎∴ 直线y=-dx+4d,双曲线y=. ‎ ‎∵ A(1,c)和点B (3,d )都在第一象限,∴ 点P在第一象限.‎ ‎∴ PN=PE-NE=-dx+4d- ‎=-d( )=- , 6分 又∵当1≤x≤3时,(x-1) (x-3) ≤0,‎ ‎∴- ≥0.‎ ‎∴ PN=PE-NE≥0. 7分 ‎∴ = 8分 ‎=-x2+x-1. 9分 ‎∴ 当x=2时,的最大值是. 10分 由题意,此时PN=,‎ ‎∴ NE=. 11分 ‎∴ 点N(2,) .‎ ‎∴ k2=3.‎ ‎∴ y=. 12分
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