中考数学黄金知识点系列专题10统计知识初步

中考数学黄金知识点系列专题10统计知识初步

专题 10 统计知识初步 聚焦考点☆温习理解 一、平均数 1、平均数的概念 （1）平均数：一般地，如果有 n 个数 ,,,, 21 nxxx  那么， )(1 21 nxxxnx   叫做这 n 个数的平均数， x 读作“x 拔”。 （2）加权平均数：如果 n 个数中， 1x 出现 1f 次， 2x 出现 2f 次，…， kx 出现 kf 次（这里 nfff k  21 ）， 那么，根据平均数的定义，这 n 个数的平均数可以表示为 n fxfxfxx kk 2211 ，这样求得的平均数 x 叫做加权平均数，其中 kfff ,,, 21  叫做权。 2、平均数的计算方法 （1）定义法 当所给数据 ,,,, 21 nxxx  比较分散时，一般选用定义公式： )(1 21 nxxxnx   （2）加权平均数法： 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式： n fxfxfxx kk 2211 ，其中 nfff k  21 。 （3）新数据法： 当所给数据都在某一常数 a 的上下波动时，一般选用简化公式： axx  ' 。 其中，常数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数， axx  11' ， axx  22' ，…， axx nn ' 。 )'''(1' 21 nxxxnx   是新数据的平均数（通常把 ,,,, 21 nxxx  叫做原数据， ,',,',' 21 nxxx  叫做新 数据）。 二、统计学中的几个基本概念 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 三、众数、中位数 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据 的中位数。 四、方差 1、方差的概念 在一组数据 ,,,, 21 nxxx  中，各数据与它们的平均数 x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常 用“ 2s ”表示，即 ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxxns n   2、方差的计算 （1）基本公式： ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxxns n   （2）简化计算公式（Ⅰ）： ])[(1 222 2 2 1 2 xnxxxns n   也可写成 222 2 2 1 2 )][(1 xxxxns n   此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 （3）简化计算公式（Ⅱ）： ]')'''[(1 222 2 2 1 2 xnxxxns n   当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数 接 近 的 常 数 a ， 得 到 一 组 新 数 据 axx  11' ， axx  22' ， … ， axx nn ' ， 那 么 ， 222 2 2 1 2 ')]'''[(1 xxxxns n   此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 （4）新数据法： 原数据 ,,,, 21 nxxx  的方差与新数据 axx  11' ， axx  22' ，…， axx nn ' 的方差相等，也就是说， 根据方差的基本公式，求得 ,',,',' 21 nxxx  的方差就等于原数据的方差。 3、标准差 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 ])()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxxnss n   名师点睛☆典例分类 考点典例一、平均数 【例 1】（2016 广西桂林第 3 题）一组数据 7，8，10，12，13 的平均数是（ ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】C. 【解析】 考点：算术平均数． 【点睛】所给数据 ,,,, 21 nxxx  比较分散，选用定义公式： )(1 21 nxxxnx   求解即可. 【举一反三】 （2016 内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第 8 题）从一组数据中取出 a 个 x1，b 个 x2，c 个 x3，组成一个样本，那 么这个样本的平均数是（ ） A. 1 2 3 3 x x x  B. 1 2 3ax ax ax a b c     C. 1 2 3 3 ax ax ax  D. 3 a b c  【答案】B． 【解析】 考点：算术平均数． 考点典例二、众数、中位数 【例 2】（2016 山东济宁第 8 题）在学校开展的“争做最优秀中学生”的一次演讲比赛中，编号 1，2，3，4， 5 的五位同学最后成绩如下表所示： 参赛者编号 1 2 3 4 5 成绩/分 96 88 86 93 86 那么这五位同学演讲成绩的众数与中位数依次是（ ） A．96，88， B．86，86 C．88，86 D．86，88 【答案】D. 【解析】 试题分析：这五位同学演讲成绩为 96，88，86，93，86，按照从小到大的顺序排列为 86，86，88，93，96， 86 出现两次，次数最多，是众数，中位数是中间的数为 88，故答案选 D. 考点：中位数；众数. 【点晴】将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）是中位数；众 数是一组数据中出现次数最多的数．解决这类问题根据定义即可解决. 【举一反三】 1.（2016 山东威海第 9 题）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对 20 位销售员本月的销售量进 行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ） A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20 【答案】C． 【解析】 考点：平均数；中位数；众数. 2.（2016 湖南怀化第 2 题）某校进行书法比赛，有 39 名同学参加预赛，只能有 19 名同学参加决赛，他们 预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这 39 名同学预赛成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B. 【解析】 试题分析：39 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之前的共有 19 个数，所以只要知道自己的成绩和中 位数就可以知道是否获奖了．故答案选 B． 考点：中位数. 3.（2016 湖南长沙第 10 题）已知一组数据 75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（ ） A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80 【答案】D. 【解析】 试题分析：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，80，80，85，90，最中间的数是 80,所以中位数是 80；在这组数据中出现次数最多的是 80，所以众数是 80；故答案选 D． 考点：中位数；众数. 考点典例三、方差 【例 3】（2016 河南第 7 题）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方 差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择【 】 （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 【答案】A. 【解析】 试题分析：在平均数一样的情况下，方差越小，数据的波动越小，由此可得应该选择甲，故答案选 A. 考点：方差. 【点睛】方差反映了一组数据的稳定程度，方差越小，数据波动越小． 【举一反三】 1.（2016 四川达州第 13 题）已知一组数据 0，1，2，2，x，3 的平均数是 2，则这组数据的方差是 ． 【答案】 3 5 . 【解析】 考点：平均数；方差. 2.(2016 湖北襄阳第 6 题)一组数据 2，x，4，3，3 的平均数是 3，则这组数据的中位数、众数、方差分别 是( ) A．3，3，0.4 B．2，3，2 C．3，2，0.4 D．3，3，2 【答案】A. 【解析】 试题分析：依题意得： 1 (2 4 3 3) 35 x     ，解得：x＝3，把原数据由小到大排列为：2，3，3，3，4， 所以中位数为 3，众数为 3，方差为： 1 5 （1＋0＋1＋0＋0）＝0.4，故答案选 A. 考点：中位数；众数；方差. 课时作业☆能力提升 一．选择题 1.（2016 浙江宁波第 7 题）某班 10 名学生校服尺寸与对应人数如下表所示： 尺寸（cm） 160 165 170 175 180 学生人数（人） 1 3 2 2 2 则这 10 名学生校服尺寸的众数和中位数分别为 A. 165cm，165cm B. 165cm，170cm C. 170cm，165cm D. 170cm，170cm 【答案】B. 【解析】 考点：中位数；众数. 2．（2016 浙江宁波第 7 题）某班 10 名学生校服尺寸与对应人数如下表所示： 尺寸（cm） 160 165 170 175 180 学生人数（人） 1 3 2 2 2 则这 10 名学生校服尺寸的众数和中位数分别为 A. 165cm，165cm B. 165cm，170cm C. 170cm，165cm D. 170cm，170cm 【答案】B. 【解析】 试题分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数是 165；把数据按从小到大顺序排列，可得中 位数=（170+170）÷2=170,故答案选 B. 考点：中位数；众数. 3.（2016 山东淄博第 5 题）下列特征量不能反映一组数据集中趋势的是（ ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 【答案】C. 【解析】 试题分析：平均数、众数、中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其 平均数的大小（即波动大小）的特征数．故答案选 C． 考点：统计量的选择. 4.（2016 湖北鄂州第 5 题）下列说法正确的是（ ） A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B. 一组数据 3，6，6，7，9 的中位数是 6 C. 从 2000 名学生中选 200 名学生进行抽样调查，样本容量为 2000 D. 一组数据 1，2，3，4，5 的方差是 10 【答案】B． 【解析】 考点：抽样调查、中位数、样本容量、方差. 5.（2016 湖南怀化第 2 题）某校进行书法比赛，有 39 名同学参加预赛，只能有 19 名同学参加决赛，他们 预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这 39 名同学预赛成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B. 【解析】 试题分析：39 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之前的共有 19 个数，所以只要知道自己的成绩和中 位数就可以知道是否获奖了．故答案选 B． 考点：中位数. 6.（2016 新疆生产建设兵团第 6 题）某小组同学在一周内参加家务劳动时间与人数情况如表所示： 劳动时间（小时） 2 3 4 人数 3 2 1 下列关于“劳动时间”这组数据叙述正确的是（ ） A．中位数是 2 B．众数是 2 C．平均数是 3 D．方差是 0 【答案】B. 【解析】 试题分析：根据众数的定义可知，这组数据的众数是 2，故答案选 B. 考点：众数；中位数；平均数；方差. 7..（2016 湖南永州第 6 题）在“爱我永州”中学生演讲比赛中，五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如 下： 甲：8、7、9、8、8 乙：7、9、6、9、9 则下列说法中错误的是（ ） A．甲、乙得分的平均数都是 8 B．甲得分的众数是 8，乙得分的众数是 9 C．甲得分的中位数是 9，乙得分的中位数是 6 D．甲得分的方差比乙得分的方差小 【答案】C. 【解析】 考点：算术平均数；中位数；众数；方差． 8.（2016 湖南娄底第 7 题）11 名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则， 取前 6 名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需 知道所有参赛学生成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B. 【解析】 试题分析：由于总共有 11 个人，且他们的分数互不相同，第 6 的成绩是中位数，要判断是否进入前 6 名， 知道中位数即可．故答案选 B． 考点：中位数. 9.（2016 湖南株洲第 3 题）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要 根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵ =x x甲 丙 =9.7， 2 2S S甲 乙 ，∴选择丙．故选 C． 考点：方差． 10.2016 年福建龙岩第 6 题）在 2016 年龙岩市初中体育中考中，随意抽取某校 5 位同学一分钟跳绳的次数 分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（ ） A．平均数为 160 B．中位数为 158 C．众数为 158 D．方差为 20.3 【答案】D. 【解析】 考点：1 平均数；2 中位数；3 众数；4 方差. 二．填空题 11.（2016 海南省第 4 题）某班 7 名女生的体重（单位：kg）分别是 35、37、38、40、42、42、74，这组 数据的众数是（ ） A．74 B．44 C．42 D．40 【答案】C 【解析】 试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中 42 出现次数最多，故选 C. 考点：众数. 12．（2016 黑龙江大庆第 13 题）甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投 5 次，所得平均环数相等，其中甲所得 环数的方差为 15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲. 【解析】 考点：方差. 13.(2016 山东潍坊第 15 题)超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表： 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数） 70 80 92 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按 5：3：2 的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分． 【答案】77.4． 【解析】 试题分析：根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值 可得该应聘者的总成绩是：70× 5 10 +80× 3 10 +92× 2 10 =77.4 分． 考点：加权平均数． 14.（2016 内蒙古巴彦淖尔第 14 题）两组数据 3，a，2b，5 与 a，6，b 的平均数都是 8，若将这两组数据 合并为一组数据，则这组新数据的众数为_____________，中位数为_____________． 【答案】12，6． 【解析】 考点：众数；算术平均数；中位数． 15.（2016 福建南平第 11 题）甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 2S甲 =0.2， 2S乙 =0.5，则设两人中成绩更稳定的是 （填“甲”或“乙”） 【答案】甲． 【解析】 试题分析：∵ 2S甲 =0.2， 2S乙 =0.5，则 2S甲 ＜ 2S乙 ，可见较稳定的是甲．故答案为：甲． 考点：方差；算术平均数． 三．解答题 16. （2015 绵阳）（11 分）阳泉同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集到 20 株西红 柿秧上小西红柿的个数：32 39 45 55 60 54 60 28 56 41 51 36 44 46 40 53 37 47 45 46 （1）前 10 株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ； （2）若对这 20 个数按组距为 8 进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图 （3）通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势． 【答案】（1）47；49.5；60；（2）5，7，4，作图见试题解析；（3）①此大棚的西红柿长势普遍较好，最少 都有 28 个；②西红柿个数最集中的株数在第三组，共有 7 株；③西红柿的个数分布合理，中间多，两端少．（3 条信息任答一条即可）． 【解析】 （2）根据题意填表如下： 补图如下： 故答案为：5，7，4； （3）此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有 28 个；西红柿个数最集中的株数在第三组，共 7 株 ；西红 柿的个数分布合理，中间多，两端少．（3 条信息任答一条即可）． 考点：1．频数（率）分布直方图；2．频数（率）分布表；3．加权平均数；4．中位数；5．众数． 16.（2016 广东广州第 19 题）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转 数学”比赛，现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面为各小组打 分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙、丙三个小组各项得分如下表： 小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 91 80 78 乙 81 74 85 丙 79 83 90 （1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序： （2）如果按照研究报告占 40%，小组展示占 30%，答辩占 30%，计算各小组的成绩，哪个小组的成绩最高？ 【答案】(1)丙、甲、乙;(2)甲组的成绩最高. 【解析】 考点：平均数；加权平均数. 17．（2016 黑龙江大庆第 23 题）为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了 该学校初四年级 m 名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形 统计图（图二）： （1）根据以上信息回答下列问题： ①求 m 值． ②求扇形统计图中阅读时间为 5 小时的扇形圆心角的度数． ③补全条形统计图． （2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数． 【答案】（1）①60，②30 度，③图形见解析；（2）众数：3 小时，中位数：3 小时，平均数：2.92 小时. 【解析】 （2）众数为：3 小时；中位数为：3 小时；平均数为： 92.260 55410320215110  （小 时）. 考点：1 统计图；2 频率与频数；3 众数；4 中位数；5 平均数. 18.（2016 湖北武汉第 19 题）（本题 8 分）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节 目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图： 请你根据以上的信息，回答下列问题： (1) 本次共调查了_____名学生，其中最喜爱戏曲的有_____人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形 的圆心角大小是______； (2) 根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中最喜爱新闻的人数． 【答案】(1)50，3，72°；(2)160 人. 【解析】 （2）2000×8%＝160（人）． 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图. 19.（2016 辽宁大连第 20 题）为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查， 以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分 分组 家庭用水量 x/吨 家庭数/户 A 0≤x≤4.0 4 B 4.0＜x≤6.5 13 C 6.5＜x≤9.0 D 9.0＜x≤11.5 E 11.5＜x≤14.0 6 F x＞4.0 3 根据以上信息，解答下列问题 （1）家庭用水量在 4.0＜x≤6.5 范围内的家庭有 户，在 6.5＜x≤9.0 范围内的家庭数占被调 查家庭数的百分比是 %； （2）本次调查的家庭数为 户，家庭用水量在 9.0＜x≤11.5 范围内的家庭数占被调查家庭数 的百分比是 %； （3）家庭用水量的中位数落在 组； （4）若该小区共有 200 户家庭，请估计该月用水量不超过 9.0 吨的家庭数． 【答案】（1）13，30；（2）50，18；（3）C；(4)128 户． 【解析】 （2）调查的家庭数为：13÷26%=50， 6.5＜x≤9.0 的家庭数为：50×30%=15， D 组 9.0＜x≤11.5 的家庭数为：50﹣4﹣13﹣6﹣3﹣15=9， 9.0＜x≤11.5 的百分比是：9÷50×100%=18%； （3）调查的家庭数为 50 户，则中位数为第 25、26 户的平均数，从表格观察都落在 C 组； （4）调查家庭中不超过 9.0 吨的户数有：4+13+15=32， 20050 32  =128（户）， 答：该月用水量不超过 9.0 吨的家庭数为 128 户． 考点：扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．