中考数学易错题之填空题

中考数学易错题之填空题

中考数学易错题之填空70题 ‎1．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E、F分别在线段AB、BC上，将△BEF沿EF折叠，点B落在B′ 处．如图1，当B′ 在AD上时，B′ 在AD上可移动的最大距离为_________；如图2，当B′ 在矩形ABCD内部时，AB′ 的最小值为______________．‎ A D B CF B′ ‎ EF FF 图1‎ A D B CF B′ ‎ EF FF 图2‎ CF B A ‎2．如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若AB＝80cm，则AC＝______________cm．（结果保留根号）‎ ‎3．已知抛物线y＝ax 2－2ax－1＋a（a ＞0）与直线x＝2，x＝3，y＝1，y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是___________________．‎ ‎4．如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为_______________．‎ A1‎ A2‎ A6‎ A10‎ A3‎ A7‎ A4‎ A5‎ A9‎ A8‎ x y O ‎5．如图，已知A1（1，0），A2（1，－1），A3（－1，－1），A4（－1，1），‎ A5（2，1），…，则点A2010的坐标是__________________．‎ ‎6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是_________________．‎ ‎7．已知⊙A和⊙B相交，⊙A的半径为5，AB＝8，那么⊙B的半径r的取值范围是_________________．‎ ‎8．已知抛物线F1：y＝x 2－4x－1，抛物线F2与F1关于点（1，0）中心对称，则在F1和F2围成的封闭图形上，平行于y轴的线段长度的最大值为_____________．‎ ‎9．如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝7，CD＝2，AD＝x，则x的取值范围是（ ）．‎ A x D B C ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎10．已知正数a、b、c满足a 2＋c 2＝16，b 2＋c 2＝25，则k＝a 2＋b 2的取值范围是_________________．‎ ‎11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，BD＝AB，则∠A的取值范围是_________________．‎ A D B C ‎12．函数y＝2x 2＋4|x|－1的最小值是____________．‎ ‎13．已知抛物线y＝ax 2＋2ax＋4（0＜ a ＜3），A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2，且x1＋x2＝1－a，则y1 __________ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）‎ ‎14．如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，若AB＝6，AC＝4，∠A＝60°，则AD的长为___________．‎ A D B C A D B y＝‎ P O C y＝‎ y x ‎15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB上，DE⊥AC交AC于E，DF⊥AB交BC于F，设AD＝x，四边形CEDF的面积为y，则y关于x的函数解析式为__________________________，自变量x的取值范围是_____________________．‎ A D B C E F ‎16．两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点P在y＝的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．‎ 其中一定正确的是_________________．（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．‎ A D B C E F G H K ‎17．如图，△ABC中，BC＝8，高AD＝6，矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H分别在边AC、AB上，则矩形EFGH的面积最大值为___________．‎ ‎18．已知二次函数y＝a(a＋1)x 2－(2a＋1)x＋1，当a依次取1，2，…，2010时，函数的图像在x轴上所截得的线段A1B1，A2B2，…，A2010B2010的长度之和为_____________．‎ ‎19．如图是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．则小球所走的路径的长为_____________．‎A C B S D Q P R A B C G D E F ‎20．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝AB，AF＝AD，连结EF交对角线AC于G，则＝_____________．‎ ‎21．已知m，n是关于x的方程x 2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值为_____________．‎ A C B F D E G ‎22．如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG : DF : CE＝_____________．‎ A P B C ‎23．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝________．‎ O C D A B ‎24．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，∠AOB与∠C互补，∠COD与∠A相等，则∠AOB的度数是________．‎ ‎25．如图，一个半径为的圆经过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为_____________．‎ A C B D D1‎ D2‎ D3‎ C1‎ C2‎ C3‎ C4‎ ‎26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2．作△ABC的高CD，作△CDB的高DC1，作△DC1B的高C1D1，……，如此下去，则得到的所有阴影三角形的面积之和为__________．‎ ‎27．已知抛物线y＝x 2－(2m＋4)x＋m 2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线顶点，若△ABC为直角三角形，则m＝__________．‎ ‎28．已知抛物线y＝x 2－(2m＋4)x＋m 2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线顶点，若△ABC为等边三角形，则该抛物线的解析式为___________________________．‎ ‎29．已知抛物线y＝ax 2＋(＋3a)x＋4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若△ABC为直角三角形，则a＝__________．‎ ‎30．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，点D在斜边BC上，点E、F分别在直角边AB、AC上，且BD＝5，CD＝9，四边形AEDF是正方形，则阴影部分的面积为__________．‎ B A D E F C ‎31．小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：‎ x ‎…‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎11‎ ‎2‎ ‎－1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎…‎ 由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝__________．‎ ‎32．等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边上的高OA在y轴上。一只电子虫从A点出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，若电子虫在y轴上运动的速度是它在GC上运动速度的2倍，那么要使电子虫走完全程的时间最短，G点的坐标为_____________．‎ A C D B E F O A B x y C ‎33．如图，等腰梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，折叠纸片，使点B与点D重合，折痕为EF，若DF⊥BC，则下列结论：①EF∥AC；②梯形ABCD的面积为25；③△AED∽△DAC；④∠B＝67.5°；⑤DE⊥DC；⑥EF＝，其中正确的是______________________．‎ A C B E F G 图3‎ D ‎34．如图1是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是___________．‎ A C B E D F 图1‎ A C B E F G 图2‎ D O A C B D M ‎35．如图，在一块等边三角形铁皮的每个顶点处各剪掉一个四边形，用剩余部分做成一个底面是等边三角形的无盖的盒子（接缝忽略不计）．若等边三角形铁皮的边长为10cm，做成的盒子的侧面积等于底面积，那么，盒子的容积为___________cm3．‎ ‎36．已知AC、BD是半径为2的⊙O的两条相互垂直的弦，M是AC与BD的交点，且OM＝，则四边形ABCD的面积最大值为___________．‎ C A B D O2‎ O1‎ ‎37．如图，半径为r1的⊙O1内切于半径为r2的⊙O2，切点为P，⊙O2的弦AB过⊙O1的圆心O1，与⊙O1交于C、D，且AC : CD : DB＝3 : 4 : 2，则＝___________．‎ ‎38．已知实数x ，y满足方程组，则x 2＋y 2＝___________．‎ ‎39．拋物线y＝ax 2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若△ABC是直角三角形，则ac＝___________．‎ C A B D E ‎40．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠C＝90°，BC＝5，CD＝3，AE⊥BC于点E，则AE＝__________．‎ ‎41．已知⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是___________．‎ ‎42．已知二次函数y＝a(a＋1)x 2－(2a＋1)x＋1（a＞0）的图像顶点为A，与x轴的交点为B、C，则tan∠ABC＝__________．‎ O B x y A ‎43．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标为（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．若点B的对应点B′ 的坐标为（a，b），则点B的坐标为_________________．‎ C A x O B y A′‎ B′‎ ‎-1‎ A B N M O P ‎44．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN 上一动点，则PA＋PB的最小值为____________．‎ ‎45．如图，抛物线y＝x 2－x－与直线y＝x－2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点E的坐标为____________，点F的坐标为____________，点P运动的总路径的长为____________．‎ A B N M C D G E F ‎46．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，CD⊥AB于点D，过AC的中点E作AC的垂线，交AB于点F，交CD的延长线于点G，M为CD中点，连结AM交EF于点N，则＝____________．‎ ‎47．圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为：AB＝2，BC＝7，CD＝6，DA＝9，则四边形ABCD的面积为____________．‎ ‎48．已知直角三角形的一边为11，其余两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长等于____________．‎ ‎49．如图，△ABC中，AB＝AC＝16，sinA＝．O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于D，且⊙O与AC相切，则D到AC的距离为_________．‎ A B O ‎6‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ x y A B C D O A B C O ‎50．如图，△ABC内接于⊙O，CB＝a，CA＝b，∠A－∠B＝90°，则⊙O的半径为_______________．‎ ‎51．如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，如图，A、B两点在函数y＝（x＞0）的图象上，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标为_____________________________________．‎ ‎52．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝n·90°，则n＝_________．‎ A B C D E F G ‎53．如图，在边长为46cm的正方形铁皮上剪下一块圆形和一块扇形铁皮，恰好做成一个圆锥模型，则该圆锥模型的底面半径是______________cm．‎ ‎54．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，DE⊥BE，若AD＝6，AE＝，则BE＝__________．‎ A B C D E A B C D I1‎ I2‎ ‎55．如图，CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，若AC＝3，BC＝4，则I1I2＝__________．‎ ‎56．已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点，顶点为C，当△ABC为等腰直角三角形时，b 2－4ac＝__________；当△ABC为等边三角形时，b 2－4ac＝__________．‎ ‎57．已知抛物线y＝x 2＋kx＋1与x轴交于A、B两点，顶点为C，且∠ACB＝90°，若使ACB＝60°，应将抛物线向________（填“上”、“下”、“左”或“右”）平移________个单位．‎ A C O B x y ‎58．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，顶点A、C分别在x轴、轴的正半轴上滑动，则点B到原点的最大距离是__________．‎ A C O B x y ‎59．如图，边长为1的正三角形ABC的顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，则OC的长的最大值是__________．‎ ‎60．已知实数a≠b，且满足(a＋1)2＝3－3(a＋1)，3(b＋1)＝3－(b＋1)2，则的值为__________．‎ A C D B E F ‎61．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，AD是∠BAC的平分线，E是BC的中点，FE∥AD，则FC的长为__________．‎ ‎62．已知a，b均为正数，抛物线y＝x 2＋ax＋2b和y＝x 2＋2bx＋a都与x轴 有公共点，则a 2＋b 2的最小值为__________．‎ ‎63．如图，△ABC中，AB＝7，BC＝12，CA＝11，内切圆O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F，则AD : BE : CF＝_______________．‎ A C D B E F ‎64．如图，△ABC的面积为1，AD为中线，点E在AC上，且AE＝2EC，AD与BE相交于点O，则△AOB的面积为__________．‎ A′‎ D C F E A B B′‎ B C F E A D P Q R B C D E A O ‎65．如图，等边三角形ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD＝2DC，BE＝2EC，CF＝2FA，AD与BE相交于点P，BE与CF相交于点Q，CF与AD相交于点R，则AP : PR : RD＝_______________．若△ABC的面积为1，则△PQR的面积为__________．‎ ‎66．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°．将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转，得△A′B′C，斜边A′B′分别与BC、AB相交于点D、E，直角边A′C与AB交于点F．若CD＝AC＝2，则△ABC至少旋转_________度才能得到△A′B′C，此时△ABC与△A′B′C的重叠部分（即四边形CDEF）的面积为_______________．‎ C B x O A y ‎67．如图，已知反比例函数y＝（m为常数）的图象经过点A（－1，6），过A点的直线交函数y＝的图象于另一点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，则点C的坐标为_____________．‎ ‎68．若实数x、y满足＝1，＝1，‎ 则x＋y＝___________．‎ ‎69．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个 圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有__________个．‎ A′‎ N M A B y x O ‎70．如图，直角三角形纸片AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1．折叠纸片，使顶点A落在底边OB上的A′处，折痕为MN，若NA′⊥OB，则点A′ 的坐标为________________．‎ 答案 ‎1．2 －5‎ 解：如图1，当点F与点C重合时，B′D＝＝＝＝4‎ AB′＝5－4＝1‎ 如图2，当点E与点A重合时，AB′＝AB＝3‎ 所以B′ 在AD上可移动的最大距离为3－1＝2‎ 如图3，当B′ 在对角线AC上时，AB′ 最小（连结AC、AB′ 、B′C，则AB′ ≥AC－B′C，当且仅当点B′ 在线段AC上时取等号，所以AB′ 的最小值为AC－B′C，即AC－BC）‎ AB′＝－5＝－5‎ A D B CF B′ ‎ EF ‎(F)‎ 图3‎ A D B CF B′ ‎ EF ‎(F)‎ 图1‎ A D B CF B′ ‎ FF 图2‎ ‎(E)‎ ‎2．40(－1)‎ 解：设AC＝x，则AB＝x＝x＝80，x＝40(－1)‎ ‎3．≤ a ≤3‎ 解：当a ＞0时，a值越大，抛物线开口越小 设正方形的四个顶点为A、B、C、D（如图），显然抛物线经过A（2，2）和C（3，1）时，分别得到a的最大值和最小值 把A（2，2）和C（3，1）分别代入y＝ax 2－2ax－1＋a，得a＝和a＝3，∴≤ a ≤3‎ O B x y y＝2‎ y＝1‎ x＝2‎ x＝3‎ A C D x＝1，y＝2代入y＝ax 2，得a＝2；把x＝2，y＝1代入y＝ax 2，得a＝，故 ‎4．‎ 解：添加辅助线如图 ‎5．（503，－503）‎ 解：通过观察，不难发现以下规律：‎ A1、A5、A9、…An在同一直线上，其通式为4n－3（n为正整数）‎ A2、A6、A10、…An在同一直线上，其通式为4n－2（n为正整数）‎ A3、A7、A11、…An在同一直线上，其通式为4n－1（n为正整数）‎ A4、A8、A12、…An在同一直线上，其通式为4n（n为正整数）‎ 当An为A2010时，只有4n－2＝2010的解为整数，n＝503‎ 故点A2010的坐标是（503，－503）‎ ‎6．r＝或3＜r≤4‎ 解：过C作CD⊥AB于D，则CD＝‎ 当r＝CD＝时，圆与斜边AB只有一个公共点D；‎ 当＜r≤AC＝3时，圆与斜边AB有两个公共点；‎ ‎1‎ y O x F1‎ F2‎ 当3＜r≤BC＝4时，圆与斜边AB也只有一个公共点 当r＞4时，圆与斜边AB没有公共点 综上所述，r＝或3＜r≤4‎ ‎7．解：当⊙A和⊙B外切时，r＝3；当⊙A和⊙B内切时，r＝13，故3＜r＜13‎ ‎8．解：F1：y＝x 2－4x－1＝(x－2)2－5‎ ‎∵F2与F1关于点（1，0）中心对称，∴F2：y＝－x 2＋5‎ 联立 解得x＝－1或x＝3‎ ‎∴当－1≤ x ≤3时，F1和F2围成的一个封闭图形，如图所示 封闭图形上，平行于y轴的线段的长度就是对应于同一个横坐标，两抛物线上的点的纵坐标的差 当－1≤ x ≤3时，设F1上的点P1（x1，y1），F2上的点P1（x2，y2）‎ 则y2－y1＝(－x 2＋5)－(x 2－4x－1)＝－2x 2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8‎ ‎∵－2＜0，∴y2－y1有最大值 当x＝1时，y2－y1的最大值为8，即线段长度的最大值是8‎ ‎9．1＜x＜13‎ 解：考虑图1和图2的两种极端情形 A D B C ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ 图1‎ x A D B C ‎7‎ ‎4‎ ‎2‎ 图2‎ x ‎10．9＜a 2＋b 2＜41‎ 解：∵a 2＋c 2＝16，∴c 2＝16－a 2，∴0＜c 2＜16‎ 同理，由b 2＋c 2＝25得，0＜c 2＜25，∴0＜c 2＜16‎ 两式相加，得a 2＋b 2＋2c 2＝41，a 2＋b 2＝41－2c 2‎ 由0＜c 2＜16得9＜41－2c 2＜41，即9＜a 2＋b 2＜41‎ ‎11．60°＜∠A＜90°‎ x y O 解：∵BD＝AB＝AC，∴∠ADB＝∠A，∠C＝(180°－∠A)‎ ‎∵∠ADB＞∠C，∴∠A＞(180°－∠A)，∴∠A＞60°‎ 由∠A＋∠ADB＜180°，得2∠A＜180°，A＜90°‎ 故60°＜∠A＜90°‎ ‎12．－1‎ ‎（x≥0）‎ ‎（x≤0）‎ 解：y＝2x 2＋4|x|－1＝2(|x|＋1)2－3＝‎ 其图象如图，由图象可知，当x＝0时，y最小为－1‎ ‎13．＜‎ 解：由题意得：y1＝ax 12＋2ax1＋4，y2＝ax 22＋2ax2＋4‎ y1－y2＝a(x 12－x 22)＋2a(x 1－x 2)＝a(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a(x 1－x 2)(3－a)‎ ‎∵x1＜x2，0＜ a ＜3，∴y1－y2＜0，∴y1＜y2‎ ‎14．‎ 解：过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G A D B C E F G ‎∵S△ABC ＝AB·CE＝AB·AC·sin60°‎ S△ABC ＝S△ABD＋S△ADC ＝AB·DF＋AC·DG＝AB·AD·sin30°＋AC·AD·sin30°‎ ‎∴AB·AC·sin60°＝AB·AD·sin30°＋AC·AD·sin30°‎ 解得AD＝‎ ‎15．y＝－x 2＋x－，＜x＜10‎ 解：AB2＝AC 2＋BC 2＝6 2＋8 2＝100，AB＝10‎ 由△ADE∽△ABC得DE＝x，AE＝x，CE＝6－x 由△BFD∽△ABC得BF＝－x，CF＝8－(－x)＝x－‎ y＝(CF＋DE)·CE＝(x－＋x)(6－x)＝－x 2＋x－‎ 当点F与点C重合时，由△ACD∽△ABC得AD＝‎ 故＜x＜10‎ ‎16．①②④‎ ‎17．12‎ 解：设FG＝x，则AK＝6－x ‎∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC ‎∴＝，HG＝(6－x)‎ S矩形EFGH＝(6－x)x＝－(x－3)2＋12‎ 当x＝3时，矩形EFGH的面积取得最大值12‎ ‎18．‎ 解：设An（x1，0），Bn（x2，0），则x1，x2是方程y＝a(a＋1)x 2－(2a＋1)x＋1的两个不相等的实数根 故x1＋x2＝，x1x2＝‎ ‎|AnBn|＝|x1－x2|＝＝＝‎ ‎∵a为正整数，∴|AnBn|＝‎ 当a依次取1，2，…，2010时，所截得的线段长分别为|A1B1|＝，|A2B2|＝，…，‎ ‎|A2010B2010|＝‎ ‎∴|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2010B2010|＝＋＋…＋‎ ‎＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝‎ ‎19．34‎ 解：方法一：易知四边形PQRS是平行四边形．‎ 由△QBR≌△SDP及△SDP∽△SCR，得＝，∴DS＝‎ SP＝＝，PQ＝＝4×‎ 因而小球所走的路径长为：2(SP＋PQ)＝10×＝34‎ 方法二：利用轴对称可发现SP＋PQ＝DB＝＝17‎ 所以2(SP＋PQ)＝34‎ A B C G H D E F ‎20．‎ 解：如图，延长EF交CD的延长线于H ‎∵AB∥CD，∴＝＝，∴DH＝3AE，‎ ‎∴＝＝＝＝，∴＝‎ ‎21．8‎ 解：由题意得m＋n＝2a，mn＝a＋6‎ ‎△＝4a 2－4(a＋6)≥0，即a 2－a －6≥0，解得a ≤－2或a ≥3‎ ‎(m－1)2＋(n－1)2＝m 2＋n 2－2(m＋n)＋2＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a 2－6a－10＝4(a－)2－‎ ‎∴a＝3时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，最小值为4(3－)2－＝8‎ A C B F D E G ‎22．1 :: 1‎ 解：如图，连结BD、BF．‎ ‎∵∠ABG＋∠GBD＝∠DBF＋∠GBD＝45°，∴∠ABG＝∠DBF．‎ 又∵＝＝，∴△ABG∽△DBF．‎ ‎∵AB＝BC，∠ABG＝90°－∠GBC＝∠CBG，BG＝BE ‎∴△ABG≌△CBE，∴AG＝CE．‎ ‎∴AG : DF : CE＝1::1．‎ ‎23．‎ 解：∵∠APB＋∠BPC＋∠CPA＝360°，∠APB＝∠BPC＝∠CPA ‎∴∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴∠PCB＋∠PBC＝60°‎ 又∠ABC＝∠ABP＋∠PBC＝60°，∴∠PCB＝∠ABP ‎∴△PAB∽△PBC，∴＝‎ 即＝，∴PB＝‎ ‎24．108°‎ 解：设∠AOB＝x，则∠C＝∠D＝180°－x ‎∠COD＝180°－2∠C＝2x－180°‎ ‎∠A＝∠B＝(180°－x)‎ ‎∵∠COD＝∠A ‎∴2x－180°＝(180°－x)‎ 解得x＝108°‎ O1‎ C A B O2‎ ‎25．2‎ 解：如图，连结O1O2、AB，则有O1O2⊥AB于点C 在Rt△AO1C和Rt△ACO2中，AC 2＝AO1 2－O1C 2＝AO2 2－O2C 2‎ ‎∴2 2－(±O2C)2＝()2－O2C 2，∴O2C ＝0‎ 即点O2在AB上且与点C重合，易知AB是圆O2的直径，△AO1B是等腰直角三角形 所以S阴影＝×π×()2－(×π×2 2－×2 2)＝2‎ ‎26．‎ 解：由已知条件得AB＝4，BC＝，CD＝‎ ‎∵所有的直角三角形都是相似三角形 ‎∴RtCDC1的面积 : Rt△△ACD的面积＝CD 2 : AC 2＝()2 : 2 2＝‎ 从而Rt△tCDC1的面积 : 直角梯形ACC1D的面积＝‎ 叠加得所有阴影三角形的面积之和 : Rt△ABC的面积＝‎ 故所有阴影三角形的面积之和＝××2×＝‎ ‎27．－‎ 解：设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程x 2－(2m＋4)x＋m 2－10＝0的两个不相等的实数根 故x1＋x2＝2m＋4，x1x2＝m 2－10‎ ‎∴AB＝|x1－x2|＝＝＝‎ 判别式△＝(2m＋4) 2－4(m 2－10)＞0，解得m＞－‎ ‎∵y＝x 2－(2m＋4)x＋m 2－10，∴－＝m＋2，＝＝－4m－14‎ ‎∴A（m＋2，－4m－14）‎ 由抛物线的对称性可知，AC＝BC，若△ABC为直角三角形，则△ABC为等腰直角三角形 ‎∴AB＝2(4m＋14)，即＝2(4m＋14)‎ 整理得8m 2＋54m＋91＝0，即(2m＋7)(4m＋13)＝0，解得m＝－或m＝－‎ ‎∵m＞－，∴m＝－不合题意，舍去；而m＝－＞－，符合题意 ‎∴m＝－‎ ‎28．y＝x 2＋x－‎ 解：设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程x 2－(2m＋4)x＋m 2－10＝0的两个不相等的实数根 故x1＋x2＝2m＋4，x1x2＝m 2－10‎ ‎∴AB＝|x1－x2|＝＝＝‎ 判别式△＝(2m＋4) 2－4(m 2－10)＞0，解得m＞－‎ ‎∵y＝x 2－(2m＋4)x＋m 2－10，∴－＝m＋2，＝＝－4m－14‎ ‎∴A（m＋2，－4m－14）‎ 若△ABC为等边三角形，则4m＋14＝AB ‎∴4m＋14＝×，即4m＋14＝‎ 整理得8m 2＋50m＋77＝0，即(2m＋7)(4m＋11)＝0，解得m＝－或m＝－‎ ‎∵m＞－，∴m＝－不合题意，舍去；而m＝－＞－，符合题意，∴m＝－‎ 把m＝－代入y＝x 2－(2m＋4)x＋m 2－10并整理得：y＝x 2＋x－‎ ‎29．－‎ 解：令x＝0，得y＝4，∴C（0，4）‎ 设A（x1，0），B（x2，0），令y＝ax 2＋(＋3a)x＋4＝0，解得x1＝－3，x2＝－‎ ‎∴A（－3，0），B（－，0）‎ ‎∴AB＝|－＋3|，AC＝＝＝5，BC＝＝‎ ‎∴AB 2＝|－＋3|2＝－＋9，AC 2＝25，BC 2＝＋16‎ ‎①若∠ACB＝90°，则AB 2＝AC 2＋BC 2，得－＋9＝25＋＋16，解得a＝－‎ 当a＝－时，点B的坐标为（，0），AB 2＝，AC 2＝25，BC 2＝‎ 于是AB 2＝AC 2＋BC 2‎ ‎∴当a＝－时，△ABC为直角三角形 ‎②若∠ABC＝90°，则AC 2＝AB 2＋BC 2，得25＝－＋9＋＋16，解得a＝‎ 当a＝时，－＝－＝－3，点B（－3，0）与点A重合，不合题意 ‎③若∠BAC＝90°，则BC 2＝AB 2＋AC 2，得＋16＝－＋9＋25，解得a＝，不合题意 综上所述，当a＝－时，△ABC为直角三角形．‎ B A D E F C G ‎30．‎ 解：如图，将△BDE绕点D顺时针旋转90°，得到直角三角形GDC 故阴影部分的面积＝×5×9＝‎ ‎31．2‎ 解：由（－1，2），（0，－1），（1，2）可知该二次函数的图象的对称轴为y轴 因为（－2，11），所以由抛物线的对称性可知当x＝2时，y＝11，故算错的y值所对应的x＝2‎ ‎32．（0，－）‎ 解：如图，过C点作CH⊥AB于点H，则CH与y轴的交点即为所求的G点，理由如下：‎ O A B x y C H G 假设电子虫在y轴上运动的速度与它在GC上运动的速度相同，那么，要使电子虫在y轴上运动的时间不变，在y轴上所走的路程应该是原来的一半。因为∠BAO＝30°，所以当CG⊥AB时，电子虫在y轴上所走的路程是原来的一半，即HG＝AG ‎∵△ABC为等边三角形，AC＝6，∴OC＝3，∠BCH＝30°‎ 在Rt△OCG中，OG＝OC·tan∠BCH＝3tan30°＝‎ ‎∴G点的坐标为（0，－）‎ ‎33．①②⑤‎ 解：如图，过D作DG∥AC交BC的延长线于点G，连结BD，交EF于点H，则BH＝DH ‎∵AD∥BC，DG∥AC，∴四边形ACGD是平行四边形 A C D B E F H G K M ‎∴CG＝AD＝3，DG＝AC ‎∵AB＝DC，∴DB＝AC＝DG ‎∵DF⊥BC，∴BF＝FG ‎∴FH是△BGD的中位线，∴FH∥DG ‎∴EF∥AC，故①对 BG＝BC＋CG＝7＋3＝10‎ ‎∵BF＝DF，BF＝FG，∴BF＝DF＝FG＝5‎ ‎∴S梯形ABCD ＝×(3＋7)×5＝25，故②对 ‎∵DF⊥BC，∴△DBG、△DBF、△DFG都是等腰直角三角形，∴∠DBF＝∠G＝45°‎ FC＝BC－BF＝7－5＝2，∴DC＝＝＝，∴AB＝‎ ‎∵EF∥AC，∴＝＝，∴AE＝AB＝‎ ‎∴＝，而＝＝，∴≠‎ ‎∴△AED与△DAC不相似，故③错 ‎∵∠DBF＝45°，∴∠DAC＝∠D ‎∵△AED与△DAC不相似，∴∠AED≠∠DAC 又∠DAC＝∠ACB＝∠DBF＝45°，∴∠AED≠45°‎ ‎∵∠EBD＝∠EDB，∠AED＝∠EBD＋∠EDB，∴∠EBD＝∠AED ‎∴∠EBD≠22.5°，∴∠B≠67.5°，故④错 设AC与BD相交于点K，AC与DE相交于点M，则∠DKM＝90°‎ ‎∴∠DMC＋∠EDB＝90°，又∠DCM＝∠EBD＝∠EDB ‎∴∠DMC＋∠DCM＝90°，∴DE⊥DC，故⑤对 ‎∵DBG是等腰直角三角形，∴DB＝＝AC ‎∵EF∥AC，∴＝＝，∴EF＝AC＝，故⑥错 综上所述，正确的结论是①②⑤‎ ‎34．108°‎ 解：∠EFG＝∠DEF＝24°，∠FGD＝∠BGE＝2∠DEF＝48°‎ ‎∠GFC＝180°－48°＝132°，∠CFE＝132°－24°＝108°‎ ‎35．‎ 解：如图，设盒子底面等边三角形的边长为x，盒子的高为y，则有：‎ x＋y＝10，∴x＝10－y 由题意得：3xy＝x 2，即3y＝x，‎ ‎∴3y＝(10－y)，解得：y＝，代入得x＝‎ 盒子的容积V＝×()2×＝（cm3）‎ ‎36．5‎ 解：如图，过O分别作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，则四边形MEOF为矩形 O A C B D E F M ‎∴OE 2＋OF 2＝MF 2＋OF 2＝OM 2＝3‎ S四边形ABCD＝AC·BM＋AC·DM＝AC·BD ‎≤×( AC 2＋BD 2)＝( 4AE 2＋4BF 2)‎ ‎＝AE 2＋BF 2＝OA 2－OE 2＋OB 2－OF 2‎ ‎＝2OA 2－(OE 2＋OF 2)＝2×2 2－3＝5‎ 故四边形ABCD的面积最大值为5‎ ‎37．‎ 解：如图，过O2作O2H⊥AB于H，连结O2A、O2O1‎ 设AC＝3k，则CD＝4k，DB＝2k，∴r1＝2k，AO1＝5k，O1B＝4k，AB＝9k，O2O1＝r2－r1＝r2－2k ‎∴HO1＝5k－k＝k 在Rt△O2AH中，O2H 2＝O2A 2－AH 2＝r22－(k)2在Rt△O2HO1中，∵O2H 2＋HO12＝O2O12‎ C A B D O2‎ O1‎ H ‎∴r22－(k)2＋(k)2＝(r2－2k)2，解得r2＝6k ‎∴＝＝‎ ‎38．13‎ 解：由x 3＋y 3＝19得(x＋y)[(x＋y)2－3xy]＝19，把x＋y＝1代入，得xy＝－6‎ 所以x 2＋y 2＝(x＋y)2－2xy＝13‎ ‎39．－1‎ 解：易知C点坐标为（0，c），若△ABC是直角三角形，则∠C＝90°‎ 设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程ax 2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根 故x1＋x2＝－，x1x2＝‎ ‎∴AB 2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－)2－4×＝‎ AC 2＝x12＋c 2，BC 2＝x22＋c 2‎ 由AC 2＋BC 2＝AB 2得x12＋c 2＋x22＋c 2＝，即(x1＋x2)2－2x1x2＋2c 2＝‎ C A B D E F ‎∴(－)2－2×＋2c 2＝‎ 整理得ac＝－1‎ ‎40．4‎ 解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF，则AE＝4‎ 图1‎ O B A C 图2‎ O B A C ‎41．15°或75°‎ 解：如图1，当AB、AC在OA的同侧时，∠BAC＝15°；‎ 如图2，当AB、AC在OA的异侧时，∠BAC＝75°‎ ‎42．‎ 解：如图，设B（x1，0），C（x2，0）‎ 令a(a＋1)x 2－(2a＋1)x＋1＝0，即(ax－1 )[(a＋1)x－1]＝0‎ O B x y A C D ‎∵a＞0，∴x1＝，x2＝‎ ‎∴BC＝x2－x1＝－＝，BD＝‎ 又∵顶点A（，），∴AD＝‎ A B N M O P A′‎ 故tan∠ABC＝tan∠ABD＝＝＝‎ ‎43．（－，－）‎ ‎44．‎ 解：如图，作点A关于MN的对称点A′，连结A′B，交MN于点P，连结OB、OA′，则PA＋PB最小 易证∠A′OB＝90°，所以△A′OB是等腰直角三角形 故PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝OB＝MN＝‎ ‎45．E（，－）、F（，0），点P运动的总路径的长为 解：联立 解得 ‎ ‎∵点A在点B的左侧，∴A（，－），B（1，－1）‎ 抛物线的对称轴为x＝，如图，作点A关于对称轴的对称点A′，点B关于x轴的对称点B′‎ 则A′（0，－），B′（1，1）‎ 设直线A′B′ 的解析式为y＝kx＋b，则：‎ ‎ 解得 ‎∴直线A′B′ 的解析式为y＝x－，令y＝0，得x＝，∴直线A′B′ 与x轴的交点为F（，0）‎ 把x＝代入y＝x－，得y＝－，∴直线A′B′ 与直线x＝的交点为E（，－）‎ O B x y A C F E A′‎ B′‎ H 故点E（，－）、F（，0）为所求 过点B 作BH ⊥ AA′ 的延长线于点H ，则A′ H＝1，B′ H＝‎ 在Rt△A′B′ H中，A′B′＝＝‎ ‎∴点P运动的总路径的长为AE＋EF＋FB＝A′B′＝‎ ‎46．‎ A B N M C D G E F H 解：如图，延长AM交BC于H，设BC＝1，则AC＝2，AB＝，从而CD＝‎ 由EC＝AC＝1＝BC，∠GCE＝∠ABC，可证Rt△GCE≌Rt△ABC 得CG＝AB＝，∴DG＝，∴＝‎ 由Rt△FGD∽Rt△BCD得FG＝·BC＝‎ 由M为CD中点得MG＝MD＋DG＝＋＝，∴MG＝4CM 设EN＝x，则CH＝2x 由△MNG∽△MHC得NG＝·CH＝8x 又由Rt△GCE≌Rt△ABC得EG＝AC＝2‎ 而EG＝EN＋NG＝x＋8x＝9x ‎∴9x＝2，x＝，即EN＝‎ ‎∴＝＝‎ ‎47．30‎ 解：∵7 2＋6 2＝85＝9 2＋2 2，即BC 2＋CD 2＝DA 2＋AB 2‎ ‎∴△BCD与△DAB都是直角三角形 故S四边形ABCD＝S△BCD＋S△DAB＝(7×6＋9×2)＝30‎ ‎48．132‎ 解：若11为直角边，设另一条直角边为a，斜边为c，则a 2＋11 2＝c 2‎ 即(c＋a)(c－a)＝11 2＝121×1‎ ‎∴c＋a＝121，c－a＝1，解得a＝60，c＝61，‎ ‎∴三角形的周长为11＋60＋61＝132‎ 若11为斜边，设两条直角边分别为a，b，则a 2＋b 2＝11 2＝121，方程无正整数解，这种情况不存在 故三角形的周长等于132‎ ‎49．15‎ 解：如图，设⊙O与AC相切于E点，连接OE，则OE⊥AC A B C D O E F 过D作DF⊥AC于F，连结OD，则OE∥DF ‎∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠B＝∠C＝∠ODB ‎∴OD∥AC，∴四边形ODFE是平行四边形 又OD＝OE，∠OEF＝90°，∴四边形ODFE是正方形，∴DF＝OE 在Rt△AOE中，sinA＝＝，∴OA＝OE 又AB＝OA＋OB＝16，∴OE＋OE＝16‎ ‎∴OE＝6，∴DF＝6‎ 故D到AC的距离为6‎ ‎50．‎ A B C D O 解：如图，连结CO并延长交⊙O于D，连结BD，则CBD＝90°‎ ‎∴∠ABD＝90°＋∠B＝∠A，∴＝ ‎∴＝，∴AC＝BD ‎∴CD＝‎ 故⊙O的半径为 A B O ‎6‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎6‎ x y ‎51．（2，4），（3，3），（4，2）‎ 解：（1）由图象可知，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（1，6），可得k＝6‎ 设直线AB的解析式为y＝ax＋b，把A（1，6），B（1，6）代入，解得a＝－1，b＝7‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝－x＋7‎ 故图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标为（2，4），（3，3），（4，2）‎ ‎52．6‎ 解：如图，设AF与BG相交于点H，则∠AHG＝∠A＋∠D＋∠GA B C D E F G H 于是∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠AHG ‎＝∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠BHF＝540°＝6×90°‎ 故n＝6‎ ‎53．－4‎ 解：如图，设该圆锥模型的底面半径为x，扇形的半径为y，则x＋x＋y＝‎ 又∵扇形的弧长＝圆形的周长，∴πy＝2πx，∴y＝4x ‎∴5x＋x＝，解得x＝－4（cm）‎ ‎54．‎ 解：如图，∵DE⊥BE，∴DB是△DBE外接圆的直径，DB的中点O是外接圆的圆心 A B C D O E 连结OE，则OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE 又∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC ‎∴OE∥BC，∴AE是△DBE外接圆的切线 ‎∴AE 2＝AD·AB，即()2＝6AB ‎∴AB＝12，∴OE＝OD＝(12－6)＝3，AO＝6＋3＝9‎ ‎∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC ‎∴＝，即＝，∴BC＝4‎ ‎∵∠DBE＝∠EBC，∠DEB＝∠ECB＝90°，∴△DBE∽△EBC A B C D I1‎ I2‎ E F ‎∴＝，即＝，∴BE＝‎ ‎55．‎ 解：如图，作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F 在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5‎ ‎∴CD＝‎ 又CD⊥AB，由射影定理可得AD＝‎ ‎∴BD＝5－＝，‎ ‎∵I1E为Rt△ACD的内切圆的半径，∴I1E＝(AD＋CD－AC)＝‎ 同理可求得I2F＝‎ 连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线 ‎∴∠I1DC＝∠I1DA＝∠I2DC＝∠I2DB＝45°，∴∠I1DI2＝90°‎ 又I1D＝I1E＝，I2D＝I2F＝‎ 故I1I2＝＝‎ ‎56．4；12‎ O B x y A C D 图1‎ 解：设A（x1，0），B（x2，0）‎ 当△ABC为等腰直角三角形时，显然∠ACB＝90°‎ 如图1，过C作CD⊥AB于D，则AB＝2CD ‎∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b 2－4ac＞0‎ AB＝|x1－x2|＝＝＝＝‎ CD＝‎ O B x y A C D 图2‎ ‎∵a≠0，∴＝‎ ‎∵b 2－4ac≠0，∴＝2‎ ‎∴b 2－4ac＝4‎ 当△ABC为等边三角形时，如图2，过C作CD⊥AB于D，则CD＝AB 即＝，∴＝‎ ‎∴b 2－4ac＝12‎ ‎57．下，2‎ 解：由上题知，当∠ACB＝90°时，b 2－4ac＝4‎ 即k 2－4＝4，∴k ＝±‎ ‎∴y＝x 2±x＋1‎ 因为向左或向右平移抛物线时，∠ACB的度数不变，所以只需将抛物线y＝x 2±x＋1向上或向下平移即可 设向上或向下平移后抛物线的解析式为y＝x 2±x＋1＋m 由上题知，当∠ACB＝60°时，b 2－4ac＝12‎ 即(±)2－4(1＋m)＝12，∴m＝－2‎ 故应将抛物线向下平移2个单位 A C O B x y E ‎58．＋1‎ 解：如图，取AC的中点E，连结BE、OE，则BE＝，OE＝1‎ 若点O、E、B不在一条直线上，则OB＜BE＋OE＝＋1‎ 若点O、E、B在一条直线上，则OB＝BE＋OE＝＋1‎ 所以，当O、E、B三点在一条直线上时，点B到原点的距离最大，为＋1‎ ‎59．‎ 解：方法同上题 ‎60．－23‎ 解：∵a、b是关于x的方程(x＋1)2＋3(x＋1)－3＝0的两个根，整理此方程，得 x 2＋5x＋1＝0，∵△＝25－4＞0，∴a＋b＝－5，ab＝1，故a、b均为负数 ‎∵ ，‎ ‎∴＝＝＝＝－23‎ ‎61．9‎ A C D B E F G 解：过E作EG∥AB交AC于G ‎∵FE∥AD，EG∥AB，AD是∠BAC的平分线，∴∠GEF＝∠GFE ‎∴FG＝EG＝AB＝‎ ‎∵E是BC的中点，EG∥AB，∴GC＝AC＝‎ ‎∴FC＝FG＋GC＝＋＝9‎ ‎62．20‎ 解：由题设知a 2－8b≥0，4b 2－4a≥0，∴a 4≥64b 2，64b 2≥64a ‎ ‎∴a 4≥64a，b 2≥a，‎ ‎∵a，b均为正数，∴a 3≥64，∴a≥4，∴b≥2‎ 又当a＝4，b＝2时，抛物线y＝x 2＋ax＋2b和y＝x 2＋2bx＋a都与x轴有公共点 故a 2＋b 2的最小值为20‎ ‎63．3 : 4 : 8‎ 解：由切线长定理可知，AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF ‎∴AD＋BE＋CF＝(AB＋BC＋CA)＝(7＋12＋11)＝15‎ 又AD＋BD＝AB＝7，BE＋CE＝BC＝12，CF＋AF＝CA＝11‎ ‎∴AD＝15－12＝3，BE＝15－11＝4，CF＝15－7＝8‎ ‎∴AD : BE : CF＝3 : 4 : 8‎ ‎64．‎ B C D E A O F 解：如图，过D作DF∥AC交BE于F，则DF＝CE＝AE 由△AOE∽△DOF得＝＝4‎ ‎∴S△AOB ＝S△ADB ＝×S△ABC ＝‎ ‎65．3 : 3 : 1，‎ B C F E A D P Q R G H 解：如图，过D作DG∥AB交CF于G，则△DCG∽△BCF ‎∴＝＝，∴DG＝BF＝×AB＝AB ‎∵DG∥AB，∴△AFR∽△DGR ‎∴AR : RD＝AF : DG＝AB : AB＝6 : 1‎ ‎∴AR ＝AD，RD＝AD 过D作DH∥BE交AC于H，则＝＝2‎ ‎∴EH＝EC＝×AC＝AC 又AE＝AC，∴AP : PD＝AE : EH＝AC : AC＝3 : 4‎ ‎∴AP＝AD，∴PR＝AD ‎∴AP : PR : RD＝AD : AD : AD＝3 : 3 : 1‎ 连结PF、PC，同理QR＝CF ‎∴S△PQR ＝S△PFC ＝×S△AFC ＝××S△ABC ＝‎ ‎66．30，6－‎ 解：∵CD＝AC，A′C＝AC，∴CD＝A′C 又∵∠A′＝∠A＝60°，∴△A′CD是等边三角形 ‎∴∠A′CD＝60°，∴∠ACA′＝30°‎ 故△ABC至少旋转30°才能得到△A′B′C ‎∵A′F＝A′C－FC＝AC－AC＝2－，∴FE＝A′F＝－3‎ ‎∴S△A′FE ＝(2－)(－3)＝－6‎ S△A′CD ＝×2××2＝‎ ‎∴重叠部分（即四边形CDEF）的面积＝S△A′CD －S△A′FE ＝－(－6)＝6－‎ ‎67．（－4，0）‎ 解：把A（－1，6）代入y＝，解得m＝2‎ ‎∴y＝－ ①‎ 设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把（－1，6）代入，得b＝k＋6‎ ‎∴y＝kx＋k＋6 ②‎ 联立①②，解得 ‎ ‎∴B（－，k）‎ ‎∵AB＝2BC，∴6－k＝2k，∴k＝2，∴b＝8‎ ‎∴直线AC的解析式为y＝2x＋8，令y＝0，得x＝－4‎ ‎∴点C的坐标为（－4，0）‎ O y x ‎68．224‎ 解：易知23、43是关于t的方程＝1的两根 化简得：t 2－(x＋y－33－53)t－(53x＋33y－33·53)＝0‎ 由根与系数的关系得：23＋43＝x＋y－33－53‎ ‎∴x＋y＝23＋33＋43＋53＝224‎ ‎69．12‎ 解：如图，易知符合条件的格点为（5，0），（4，3），（3，4），（0，5），（－3，4），（－4，3），‎ ‎（－5，0），（－4，－3），（－3，－4），（0，－5），（3，－4），（4，－3），共12个．‎ ‎70．解：∵A′N∥OM，∴∠OMA′＝∠MA′N 又∵∠MAN＝∠MA′N，∴∠OMA′＝∠MAN ‎∴MA′∥AB，∴Rt△MOA′∽Rt△AOB ‎∴＝＝2，∴OM＝2OA′‎ 设OA′＝x，则OM＝2x，MA′＝AM＝2－2x 在Rt△MOA′ 中，由勾股定理得：x 2＋4x 2＝(2－2x)2‎ 整理得：x 2＋8x－4＝0，解得x＝－－4（舍去）或x＝－4‎ ‎∴点A′ 的坐标为（－4，0）‎