2019年海南省中考数学试卷

2019年海南省中考数学试卷

‎2019年海南省中考数学试卷 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑 ‎1．（3分）如果收入100元记作+100元，那么支出100元记作（　　）‎ A．﹣100元 B．+100元 C．﹣200元 D．+200元 ‎2．（3分）当m＝﹣1时，代数式2m+3的值是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a•a2＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．2a2﹣a2＝2 D．（3a2）2＝6a4‎ ‎4．（3分）分式方程＝1的解是（　　）‎ A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2‎ ‎5．（3分）海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工，该项目总投资3710000000元．数据3710000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．371×107 B．37.1×108 C．3.71×108 D．3.71×109‎ ‎6．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（3分）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　）‎ A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2‎ ‎8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）‎ ‎9．（3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　）‎ A．20° B．35° C．40° D．70°‎ ‎10．（3分）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（3分）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（　　）‎ A．12 B．15 C．18 D．21‎ ‎12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）‎ ‎13．（4分）因式分解：ab﹣a＝　 　．‎ ‎14．（4分）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　 　度．‎ ‎15．（4分）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　 　．‎ ‎16．（4分）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是　 　，这2019个数的和是　 　．‎ 三、解答题（本大题满分68分）‎ ‎17．（12分）（1）计算：9×3﹣2+（﹣1）3﹣；‎ ‎（2）解不等式组，并求出它的整数解．‎ ‎18．（10分）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”‎ 第22页（共22页）‎ 百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？‎ ‎19．（8分）为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：‎ ‎（1）本次调查一共随机抽取了　 　个参赛学生的成绩；‎ ‎（2）表1中a＝　 　；‎ ‎（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是　 　；‎ ‎（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有　 　人．‎ 表1 知识竞赛成绩分组统计表 组别 分数/分 频数 A ‎60≤x＜70‎ a B ‎70≤x＜80‎ ‎10‎ C ‎80≤x＜90‎ ‎14‎ D ‎90≤x＜100‎ ‎18‎ ‎20．（10分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的 北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．‎ ‎（1）填空：∠BAC＝　 　度，∠C＝　 　度；‎ ‎（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．‎ 第22页（共22页）‎ ‎21．（13分）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．‎ ‎（1）求证：△PDE≌△QCE；‎ ‎（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，‎ ‎①求证：四边形AFEP是平行四边形；‎ ‎②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．‎ ‎22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．‎ ‎①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；‎ ‎②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第22页（共22页）‎ 第22页（共22页）‎ ‎2019年海南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑 ‎1．（3分）如果收入100元记作+100元，那么支出100元记作（　　）‎ A．﹣100元 B．+100元 C．﹣200元 D．+200元 ‎【分析】根据正数与负数的意义，支出即为负数；‎ ‎【解答】解：收入100元+100元，支出100元为﹣100元，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查正数与负数的意义；能够理解正数与负数的实际意义是解题的关键．‎ ‎2．（3分）当m＝﹣1时，代数式2m+3的值是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【分析】将m＝﹣1代入代数式即可求值；‎ ‎【解答】解：将m＝﹣1代入2m+3＝2×（﹣1）+3＝1；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查代数式求值；熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键．‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a•a2＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．2a2﹣a2＝2 D．（3a2）2＝6a4‎ ‎【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；‎ ‎【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3，A准确；‎ a6÷a2＝a6﹣2＝a4，B错误；‎ ‎2a2﹣a2＝a2，C错误；‎ ‎（3a2）2＝9a4，D错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．‎ ‎4．（3分）分式方程＝1的解是（　　）‎ A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2‎ 第22页（共22页）‎ ‎【分析】根据分式方程的求解方法解题，注意检验根的情况；‎ ‎【解答】解：＝1，‎ 两侧同时乘以（x+2），可得 x+2＝1，‎ 解得x＝﹣1；‎ 经检验x＝﹣1是原方程的根；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的方法是解题的关键．‎ ‎5．（3分）海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工，该项目总投资3710000000元．数据3710000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．371×107 B．37.1×108 C．3.71×108 D．3.71×109‎ ‎【分析】根据科学记数法的表示方法a×10n（1≤a＜9）即可求解；‎ ‎【解答】解：由科学记数法可得3710000000＝3.17×109，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．‎ ‎6．（3分）如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可．‎ ‎【解答】解：从上面看下来，上面一行是横放3个正方体，左下角一个正方体．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎7．（3分）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2‎ ‎【分析】反比例函数y＝图象在一、三象限，可得k＞0．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，‎ ‎∴a﹣2＞0，‎ ‎∴a＞2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题运用了反比例函数y＝图象的性质，关键要知道k的决定性作用．‎ ‎8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（　　）‎ A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）‎ ‎【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．‎ ‎【解答】解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，‎ ‎∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．‎ ‎9．（3分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．20° B．35° C．40° D．70°‎ ‎【分析】根据平行线的性质解答即可．‎ ‎【解答】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，‎ ‎∴AC＝AB，‎ ‎∴∠CBA＝∠BCA＝70°，‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，‎ ‎∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．‎ ‎10．（3分）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．‎ ‎【解答】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，‎ ‎∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P＝＝，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．‎ ‎11．（3分）如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A．12 B．15 C．18 D．21‎ ‎【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC＝2AB＝6，AD＝6，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长为6×3＝18．‎ ‎【解答】解：由折叠可得，∠ACD＝∠ACE＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝90°，‎ 又∵∠B＝60°，‎ ‎∴∠ACB＝30°，‎ ‎∴BC＝2AB＝6，‎ ‎∴AD＝6，‎ 由折叠可得，∠E＝∠D＝∠B＝60°，‎ ‎∴∠DAE＝60°，‎ ‎∴△ADE是等边三角形，‎ ‎∴△ADE的周长为6×3＝18，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．‎ ‎12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）‎ 第22页（共22页）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．‎ ‎【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，‎ ‎∴AC＝＝3，‎ ‎∵PQ∥AB，‎ ‎∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，‎ ‎∴∠QBD＝∠BDQ，‎ ‎∴QB＝QD，‎ ‎∴QP＝2QB，‎ ‎∵PQ∥AB，‎ ‎∴△CPQ∽△CAB，‎ ‎∴＝＝，即＝＝，‎ 解得，CP＝，‎ ‎∴AP＝CA﹣CP＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．‎ 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）‎ ‎13．（4分）因式分解：ab﹣a＝　a（b﹣1）　．‎ ‎【分析】提公因式a即可．‎ ‎【解答】解：ab﹣a＝a（b﹣1）．‎ 故答案为：a（b﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．‎ ‎14．（4分）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　144　度．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，‎ ‎∴∠E＝∠A＝＝108°．‎ ‎∵AB、DE与⊙O相切，‎ ‎∴∠OBA＝∠ODE＝90°，‎ ‎∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，‎ 故答案为：144．‎ ‎【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．‎ ‎15．（4分）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　　．‎ ‎【分析】由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，由勾股定理可求EF的长．‎ ‎【解答】解：由旋转的性质可得AE＝AB＝3，AC＝AF＝2，‎ ‎∵∠B+∠BAC＝90°，且α+β＝∠B，‎ ‎∴∠BAC+α+β＝90°‎ ‎∴∠EAF＝90°‎ ‎∴EF＝＝‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．‎ 第22页（共22页）‎ ‎16．（4分）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是　0　，这2019个数的和是　2　．‎ ‎【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，‎ ‎∴前6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，‎ ‎∵2019÷6＝336…3，‎ ‎∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，‎ 故答案为：0，2．‎ ‎【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．‎ 三、解答题（本大题满分68分）‎ ‎17．（12分）（1）计算：9×3﹣2+（﹣1）3﹣；‎ ‎（2）解不等式组，并求出它的整数解．‎ ‎【分析】（1）先计算负整数指数幂、乘方及算术平方根，再计算乘法，最后计算加减可得；‎ ‎（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝9×﹣1﹣2‎ ‎＝3﹣1﹣2‎ ‎＝0；‎ ‎（2）解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，‎ 解不等式x+4＞3x，得：x＜2，‎ 则不等式组的解集为﹣1＜x＜2，‎ 所以不等式组的整数解为0、1．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”‎ 第22页（共22页）‎ 的原则是解答此题的关键．‎ ‎18．（10分）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？‎ ‎【分析】设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意列出方程组，解方程组即可．‎ ‎【解答】解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，‎ 由题意得：，‎ 解得：；‎ 答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．‎ ‎19．（8分）为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：‎ ‎（1）本次调查一共随机抽取了　50　个参赛学生的成绩；‎ ‎（2）表1中a＝　8　；‎ ‎（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是　C　；‎ ‎（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有　320　人．‎ 表1 知识竞赛成绩分组统计表 组别 分数/分 频数 A ‎60≤x＜70‎ a B ‎70≤x＜80‎ ‎10‎ C ‎80≤x＜90‎ ‎14‎ D ‎90≤x＜100‎ ‎18‎ 第22页（共22页）‎ ‎【分析】（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人）；‎ ‎（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8；‎ ‎（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组；‎ ‎（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人）．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），‎ 故答案为50；‎ ‎（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，‎ 故答案为8；‎ ‎（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，‎ 故答案为C；‎ ‎（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人），‎ 故答案为320．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎20．（10分）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的 北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．‎ ‎（1）填空：∠BAC＝　30　度，∠C＝　45　度；‎ ‎（2）求观测站B到AC的距离BP（结果保留根号）．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【分析】（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，由三角形内角和定理即可得出∠C的度数；‎ ‎（2）证出△BCP是等腰直角三角形，得出BP＝PC，求出PA＝BP，由题意得出BP+BP＝10，解得BP＝5﹣5即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+15°＝105°，‎ ‎∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°；‎ 故答案为：30，45；‎ ‎（2）∵BP⊥AC，‎ ‎∴∠BPA＝∠BPC＝90°，‎ ‎∵∠C＝45°，‎ ‎∴△BCP是等腰直角三角形，‎ ‎∴BP＝PC，‎ ‎∵∠BAC＝30°，‎ ‎∴PA＝BP，‎ ‎∵PA+PC＝AC，‎ ‎∴BP+BP＝10，‎ 解得：BP＝5﹣5，‎ 答：观测站B到AC的距离BP为（5﹣5）海里．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键．‎ ‎21．（13分）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．‎ ‎（1）求证：△PDE≌△QCE；‎ ‎（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，‎ 第22页（共22页）‎ ‎①求证：四边形AFEP是平行四边形；‎ ‎②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ即可得证；‎ ‎（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；‎ ‎②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠D＝∠ECQ＝90°，‎ ‎∵E是CD的中点，‎ ‎∴DE＝CE，‎ 又∵∠DEP＝∠CEQ，‎ ‎∴△PDE≌△QCE（ASA）；‎ ‎（2）①∵PB＝PQ，‎ ‎∴∠PBQ＝∠Q，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，‎ ‎∵△PDE≌△QCE，‎ ‎∴PE＝QE，‎ ‎∵EF∥BQ，‎ ‎∴PF＝BF，‎ ‎∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，‎ ‎∴∠APF＝∠PAF，‎ 第22页（共22页）‎ ‎∴∠PAF＝∠EPD，‎ ‎∴PE∥AF，‎ ‎∵EF∥BQ∥AD，‎ ‎∴四边形AFEP是平行四边形；‎ ‎②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．‎ 设AP＝x，则PD＝1﹣x，‎ 若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，‎ ‎∵CD＝1，E是CD中点，‎ ‎∴DE＝，‎ 在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，‎ 解得x＝，‎ 即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．‎ ‎【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点．‎ ‎22．（15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．‎ ‎①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；‎ ‎②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第22页（共22页）‎ ‎【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；‎ ‎（2）①S△PBC＝PG（xC﹣xB），即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，‎ 故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，‎ 令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，‎ 即点C（﹣1，0）；‎ ‎（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，‎ 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：‎ 直线BC的表达式为：y＝x+1…②，‎ 设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），‎ S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，‎ ‎∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；‎ ‎②设直线BP与CD交于点H，‎ 第22页（共22页）‎ 当点P在直线BC下方时，‎ ‎∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，‎ 线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），‎ 过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，‎ 设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：‎ 直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，‎ 同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，‎ 联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），‎ 同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，‎ 联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），‎ 故点P（﹣，﹣）；‎ 当点P（P′）在直线BC上方时，‎ ‎∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，‎ 则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，‎ 即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，‎ 联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），‎ 故点P（0，5）；‎ 故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．‎ ‎【点评】‎ 第22页（共22页）‎ 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/5 21:58:08；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557‎ 第22页（共22页）‎