武汉中考数学试卷

武汉中考数学试卷

‎2015年武汉市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．在实数－3、0、5、3中，最小的实数是（ ）‎ ‎ A．－3 B．0 C．5 D．3‎ ‎2．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范为是（ ）‎ ‎ A．x≥－2 B．x＞－2 C．x≥2 D．x≤2‎ ‎3．把a2－2a分解因式，正确的是（ ）‎ ‎ A．a(a－2) B．a(a＋2) C．a(a2－2) D．a(2－a)‎ ‎4．一组数据3、8、12、17、40的中位数为（ ）‎ ‎ A．3 B．8 C．12 D．17‎ ‎5．下列计算正确的是（ ）‎ ‎ A．2x2－4x2＝－2 B．3x＋x＝3x2 ‎ ‎ C．3x·x＝3x2 D．4x6÷2x2＝2x3‎ ‎6．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）‎ ‎ A．(2，1) ‎ ‎ B．(2，0) ‎ ‎ C．(3，3) ‎ ‎ D．(3，1)‎ ‎7．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是（ ）‎ ‎ ‎ ‎8．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况，根据图中信息，下列说法错误的是（ ）‎ ‎ A．4:00气温最低 B．6:00气温为24℃‎ ‎ C．14:00气温最高 D．气温是30℃的为16:00‎ ‎9．在反比例函数图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1＜0＜y1，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）‎ ‎ A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤‎ ‎10．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）‎ ‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ ‎ D．‎ 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）‎ ‎11．计算：－10＋(＋6)＝_________‎ ‎12．中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为_________‎ ‎13．一组数据2、3、6、8、11的平均数是_________‎ ‎14．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省______元。‎ ‎ ‎ ‎15．定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝_________。‎ ‎16．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________。‎ 三、解答题（共8小题，共72分）‎ ‎17．（8分）已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点(1，4)‎ ‎ (1)求这个一次函数的解析式 ‎ (2)求关于x的不等式kx＋3≤6的解集 ‎18．（8分）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF 求证：(1) △ABC≌△DEF ‎ (2) AB∥DE ‎19．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4‎ ‎(1) 随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率 ‎(2) 随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：‎ ‎ ① 两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率 ‎ ② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率 ‎20．（8分），如图，已知点A(－4，2)、B(－1，－2)，□ABCD的对角线交于坐标原点O ‎(1) 请直接写出点C、D的坐标 ‎(2) 写出从线段AB到线段CD的变换过程 ‎(3) 直接写出□ABCD的面积 ‎21．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB ‎(1) 求证：AT是⊙O的切线 ‎(2) 连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值 ‎22．（本题8分）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8‎ ‎(1) 如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K ‎① 求的值 ‎② 设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值 ‎(2) 若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长 ‎23．（本题10分）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3‎ ‎(1) 求证：EF＋PQ＝BC ‎(2) 若S1＋S3＝S2，求的值 ‎(3) 若S3－S1＝S2，直接写出的值 ‎24．（本题12分）已知抛物线y＝x2＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C ‎(1) 求抛物线的解析式 ‎(2) 点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）‎ ‎(3) 如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长 ‎ ‎ ‎2015年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．‎ ‎1．（3分）（2015•武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣3‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 实数大小比较．菁优网版权所有 分析：‎ 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．‎ 解答：‎ 解：根据实数比较大小的方法，可得 ‎﹣3＜0＜3＜5，‎ 所以在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是﹣3．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•武汉）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x≥﹣2‎ B．‎ x＞﹣2‎ C．‎ x≥2‎ D．‎ x≤2‎ 考点：‎ 二次根式有意义的条件．菁优网版权所有 分析：‎ 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：x﹣2≥0，‎ 解得x≥2．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•武汉）把a2﹣2a分解因式，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a（a﹣2）‎ B．‎ a（a+2）‎ C．‎ a（a2﹣2）‎ D．‎ a（2﹣a）‎ 考点：‎ 因式分解-提公因式法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式提取公因式得到结果，即可做出判断．‎ 解答：‎ 解：原式=a（a﹣2），‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•武汉）一组数据3，8，12，17，40的中位数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎12‎ D．‎ ‎17‎ 考点：‎ 中位数．菁优网版权所有 分析：‎ 首先把这组数据3，8，12，17，40从小到大排列，然后判断出中间的数是多少，即可判断出这组数据的中位数为多少．‎ 解答：‎ 解：把3，8，12，17，40从小到大排列，可得 ‎3，8，12，17，40，‎ 所以这组数据3，8，12，17，40的中位数为12．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•武汉）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2a2﹣4a2=﹣2‎ B．‎ ‎3a+a=3a2‎ C．‎ ‎3a•a=3a2‎ D．‎ ‎4a6÷2a3=2a2‎ 考点：‎ 整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；‎ B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；‎ C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；‎ D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断．‎ 解答：‎ 解：A、原式=﹣2a2，错误；‎ B、原式=4a，错误；‎ C、原式=3a2，正确；‎ D、原式=2a3，错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了整式的除法，合并同类项，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（2，1）‎ B．‎ ‎（2，0）‎ C．‎ ‎（3，3）‎ D．‎ ‎（3，1）‎ 考点：‎ 位似变换；坐标与图形性质．菁优网版权所有 分析：‎ 根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是 ‎，根据已知数据可以求出点C的坐标．‎ 解答：‎ 解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，‎ ‎∴=，又OB=6，AB=3，‎ ‎∴OD=2，CD=1，‎ ‎∴点C的坐标为：（2，1），‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．菁优网版权所有 分析：‎ 根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．‎ 解答：‎ 解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4：00气温最低 B．‎ ‎6：00气温为24℃‎ ‎　‎ C．‎ ‎14：00气温最高 D．‎ 气温是30℃的时刻为16：00‎ 考点：‎ 折线统计图．菁优网版权所有 分析：‎ 根据观察函数图象的横坐标，可得时间，根据观察函数图象的纵坐标，可得气温．‎ 解答：‎ 解：A、由横坐标看出4：00气温最低是24℃，故A正确；‎ B、由纵坐标看出6：00气温为24℃，故B正确；‎ C、由横坐标看出14：00气温最高31℃；‎ D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12：00，16：00，故D错误；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如气温变化图．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2015•武汉）在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＞‎ B．‎ m＜‎ C．‎ m≥‎ D．‎ m≤‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 分析：‎ 首先根据当x1＜0＜x2时，有y1＜y2则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围．‎ 解答：‎ 解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，‎ ‎∴反比例函数图象在第一，三象限，‎ ‎∴1﹣3m＞0，‎ 解得：m＜．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查反比例函数的性质，关键是根据题意判断出图象所在象限．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2﹣‎ B．‎ ‎+1‎ C．‎ D．‎ ‎﹣1‎ 考点：‎ 旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析：‎ 连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题．‎ 解答：‎ 解：连接AD、DG、BO、OM，如图．‎ ‎∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，‎ ‎∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，=，‎ ‎∴△DAG∽△DCF，‎ ‎∴∠DAG=∠DCF．‎ ‎∴A、D、C、M四点共圆．‎ 根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，‎ 当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，‎ 此时，BO===，OM=AC=1，‎ 则BM=BO﹣OM=﹣1．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．‎ ‎11．（3分）（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）=　﹣4　．‎ 考点：‎ 有理数的加法．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式=﹣（10﹣6）=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ 点评：‎ 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•武汉）中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为　3.7×105　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．‎ 解答：‎ 解：370 000=3.7×105，‎ 故答案为：3.7×105．‎ 点评：‎ 本题主要考查了科学计数法：熟记规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2015•武汉）一组数据2，3，6，8，11的平均数是　6　．‎ 考点：‎ 算术平均数．菁优网版权所有 分析：‎ 首先求出2，3，6，8，11的和是多少；然后用2，3，6，8，11的和除以5，求出一组数据2，3，6，8，11的平均数是多少即可．‎ 解答：‎ 解：（2+3+6+8+11）÷5‎ ‎=30÷5‎ ‎=6‎ 所以一组数据2，3，6，8，11的平均数是6．‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 此题主要考查了算术平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：对于n个数x1，x2，…，xn，则=（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省　2　元．‎ 考点：‎ 一次函数的应用．菁优网版权所有 分析：‎ 根据函数图象，分别求出线段OA和射线AB的函数解析式，即可解答．‎ 解答：‎ 解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，‎ ‎1千克苹果的价钱为：y=10，‎ 设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），‎ 把（2，20），（4，36）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴y=8x+4，‎ 当x=3时，y=8×3+4=28．‎ 当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3=30（元），‎ ‎30﹣28=2（元）．‎ 则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是分别求出线段OA和射线AB的函数解析式．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=　10　．‎ 考点：‎ 解二元一次方程组．菁优网版权所有 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ 已知等式利用新定义化简，求出a与b的值，即可求出所求式子的值．‎ 解答：‎ 解：根据题中的新定义化简已知等式得：，‎ 解得：a=1，b=2，‎ 则2*3=4a+3b=4+6=10，‎ 故答案为：10．‎ 点评：‎ 此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　　．‎ 考点：‎ 轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有 分析：‎ 作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．‎ 解答：‎ 解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，‎ 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．‎ 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，‎ ‎∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，‎ ‎∴∠N′OM′=90°，‎ ‎∴在Rt△M′ON′中，‎ M′N′==．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．‎ ‎17．（8分）（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．‎ ‎（1）求这个一次函数的解析式；‎ ‎（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．‎ 考点：‎ 待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）把x=1，y=4代入y=kx+3，求出k的值是多少，即可求出这个一次函数的解析式．‎ ‎（2）首先把（1）中求出的k的值代入kx+3≤6，然后根据一元一次不等式的解法，求出关于x的不等式kx+3≤6的解集即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4），‎ ‎∴4=k+3，‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴这个一次函数的解析式是：y=x+3．‎ ‎（2）∵k=1，‎ ‎∴x+3≤6，‎ ‎∴x≤3，‎ 即关于x的不等式kx+3≤6的解集是：x≤3．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．‎ ‎（2）此题还考查了一元一次不等式的解法，要熟练掌握，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2015•武汉）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：‎ ‎（1）△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）AB∥DE．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；平行线的判定．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）由SAS容易证明△ABC≌△DEF；‎ ‎（2）由△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠B=∠DEF，即可得出结论．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE=90°，‎ 在△ABC和△DEF中，，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SAS）；‎ ‎（2）∵△ABC≌△DEF，‎ ‎∴∠B=∠DEF，‎ ‎∴AB∥DE．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2015•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．‎ ‎（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；‎ ‎（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：‎ ‎①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；‎ ‎②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4直接利用概率公式求解即可求得答案；‎ ‎（2）①首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；‎ ‎②由树状图即可求得第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，‎ ‎∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为：；‎ ‎（2）画树状图得：‎ 则共有16种等可能的结果；‎ ‎①∵两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的有2种情况，‎ ‎∴两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率为：=；‎ ‎②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况，‎ ‎∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为：．‎ 点评：‎ 此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．‎ ‎（1）请直接写出点C、D的坐标；‎ ‎（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；‎ ‎（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；坐标与图形性质；平移的性质．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用中心对称图形的性质得出C，D两点坐标；‎ ‎（2）利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可；‎ ‎（3）利用SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，进而求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD关于O中心对称，‎ ‎∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），‎ ‎∴C（4，﹣2），D（1，2）；‎ ‎（2）线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°；‎ ‎（3）由（1）得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，‎ A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，‎ ‎∴SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，‎ ‎∴SABCD=5×4=20．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行四边形的性质以及中心对称图形的性质，根据题意得出SABCD的可以转化为矩形面积是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．‎ ‎（1）求证：AT是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．‎ 考点：‎ 切线的判定；解直角三角形．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，从而证得AT是⊙O的切线；‎ ‎（2）作CD⊥AT于D，设OA=x，则AT=2x，根据勾股定理得出OT=x，TC=（﹣1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出==，即==，从而求得CD=（1﹣）x，AD=2x﹣2（1﹣）x=x，然后解正切函数即可求得．‎ 解答：‎ 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB． ‎ ‎∴∠TAB=90°，‎ ‎∴TA⊥AB，‎ ‎∴AT是⊙O的切线；‎ ‎（2）作CD⊥AT于D，‎ ‎∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，‎ 设OA=x，则AT=2x，‎ ‎∴OT=x，‎ ‎∴TC=（﹣1）x，‎ ‎∵CD⊥AT，TA⊥AB ‎∴CD∥AB，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，‎ ‎∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，‎ ‎∴tan∠TAC===．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．‎ ‎（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．‎ ‎①求的值；‎ ‎②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；‎ ‎（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）①根据EF∥BC，可得，所以，据此求出的值是多少即可．‎ ‎②首先根据EH=x，求出AK=8﹣x，再根据=，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可．‎ ‎（2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可．‎ 解答：‎ 解：（1）①∵EF∥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 即的值是．‎ ‎②∵EH=x，‎ ‎∴KD=EH=x，AK=8﹣x，‎ ‎∵=，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∴S=EH•EF=x（8﹣x）=﹣+24，‎ ‎∴当x=4时，S的最大值是24．‎ ‎（2）设正方形的边长为a，‎ ‎①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，‎ ‎，‎ 解得a=．‎ ‎②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，‎ ‎∵AB=AC，AD⊥BC，‎ ‎∴BD=CD=12÷2=6，‎ ‎∴AB=AC=，‎ ‎∴AB或AC边上的高等于：‎ AD•BC÷AB ‎=8×12÷10‎ ‎=‎ ‎∴，‎ 解得a=．‎ 综上，可得 正方形PQMN的边长是或．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．‎ ‎（2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．‎ ‎（3）此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．‎ ‎（1）求证：EF+PQ=BC；‎ ‎（2）若S1+S3=S2，求的值；‎ ‎（3）若S3+S1=S2，直接写出的值．‎ 考点：‎ 相似形综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）由平行线得出比例式，，证出AP=BE，得出=1，即可得出EF+PQ=BC；‎ ‎（2）过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，设EF=a，PQ=b，AM=h，则BC=a+b，由平行线得出△AEF∽△APQ，得出=，得出AN=，MN=（﹣1）h，‎ 由三角形的面积公式得出S1=ah，S2=（a+b）（﹣1）h，S3=（b+a+b）h，得出ah+（a+b+b）h=（a+b）（﹣1）h，求出b=3a，即可得出结果；（3）由题意得出（a+b+b）h﹣ah=（a+b）（﹣1）h，得出b=（1+）a，即可得出结果．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵EF∥BC，PQ∥BC，‎ ‎∴，，‎ ‎∵AE=BP，‎ ‎∴AP=BE，‎ ‎∴==1，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴EF+PQ=BC；‎ ‎（2）解：过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，如图所示：‎ 设EF=a，PQ=b，AM=h，‎ 则BC=a+b，‎ ‎∵EF∥PQ，‎ ‎∴△AEF∽△APQ，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AN=，MN=（﹣1）h，‎ ‎∴S1=ah，S2=（a+b）（﹣1）h，S3=（b+a+b）h，‎ ‎∵S1+S3=S2，‎ ‎∴ah+（a+b+b）h=（a+b）（﹣1）h，‎ 解得：b=3a，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴=2；‎ ‎（3）解：∵S3﹣S1=S2，‎ ‎∴（a+b+b）h﹣ah=（a+b）（﹣1）h，‎ 解得：b=（1±）a（负值舍去），‎ ‎∴b=（1+）a，‎ ‎∴=1+，‎ ‎∴=．‎ 点评：‎ 本题是相似形综合题目，考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和解方程才能得出结果．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2015•武汉）已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．‎ ‎（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）将点A的坐标代入抛物线解析式即可求得c的值，则可得抛物线解析式；‎ ‎（2）过点C作CH⊥EF于点H，易证△EHC∽△FGC，再根据相似三角形的性质可得n的值；‎ ‎（3）首先表示出点P的坐标，再根据△OPM∽△QPB，然后由对应边的比值相等得出PQ和BQ的长，从而可得△PBQ的周长．‎ 解答：‎ 解：（1）把A（﹣1，0）代入 得c=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，‎ ‎∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G ‎∴△EHC∽△FGC ‎∵E（m，n）‎ ‎∴F（m，）‎ 又∵C（0，）‎ ‎∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2‎ 又∵，‎ 则 ‎∴n+=2‎ ‎∴n=（﹣2＜m＜0）‎ ‎（3）由题意可知P（t，0），M（t，）‎ ‎∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，‎ ‎∴△OPM∽△QPB．‎ ‎∴．‎ 其中OP=t，PM=，PB=1﹣t，‎ ‎∴PQ=．‎ BQ=‎ ‎∴PQ+BQ+PB=．‎ ‎∴△PBQ的周长为2．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合应用，同时涉及了相似三角形的判定与性质，具有一定的综合性与难度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的运用．‎