恩施州2013年中考数学卷

恩施州2013年中考数学卷

湖北省恩施州2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的。）‎ ‎1．（3分）（2013•恩施州）的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎﹣3‎ 考点：‎ 相反数．‎ 分析：‎ 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解后选择即可．‎ 解答：‎ 解：﹣的相反数是．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•恩施州）今年参加恩施州初中毕业学业考试的考试约有39360人，请将数39360用科学记数法表示为（保留三位有效数字）（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3.93×104‎ B．‎ ‎3.94×104‎ C．‎ ‎0.39×105‎ D．‎ ‎394×102‎ 考点：‎ 科学记数法与有效数字．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于39360有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．‎ 有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．‎ 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．‎ 解答：‎ 解：39360=3.936×104≈3.94×104．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•恩施州）如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎70°‎ B．‎ ‎80°‎ C．‎ ‎90°‎ D．‎ ‎100°‎ 考点：‎ 平行线的判定与性质．‎ 分析：‎ 首先证明a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6，再根据对顶角相等可得∠4．‎ 解答：‎ 解：∵∠1+∠5=180°，∠1+∠2=180°，‎ ‎∴∠2=∠5，‎ ‎∴a∥b，‎ ‎∴∠3=∠6=100°，‎ ‎∴∠4=100°．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•恩施州）把x2y﹣2y2x+y3分解因式正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y（x2﹣2xy+y2）‎ B．‎ x2y﹣y2（2x﹣y）‎ C．‎ y（x﹣y）2‎ D．‎ y（x+y）2‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：‎ 首先提取公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解即可．‎ 解答：‎ 解：x2y﹣2y2x+y3‎ ‎=y（x2﹣2yx+y2）‎ ‎=y（x﹣y）2．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•恩施州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x3•x2=x6‎ B．‎ ‎3a2+2a2=5a2‎ C．‎ a（a﹣1）=a2﹣1‎ D．‎ ‎（a3）4=a7‎ 考点：‎ 多项式乘多项式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．3718684‎ 分析：‎ 根据乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则分别进行计算，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：A、x3•x2=x5，故本选项错误；‎ B、3a2+2a2=5a2，故本选项正确；‎ C、a（a﹣1）=a2﹣a，故本选项错误；‎ D、（a3）4=a12，故本选项错误；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项，掌握幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则是解题的关键，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•恩施州）如图所示，下列四个选项中，不是正方体表面展开图的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 几何体的展开图．‎ 分析：‎ 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．‎ 解答：‎ 解：选项A，B，D折叠后都可以围成正方体；‎ 而C折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种情形．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•恩施州）下列命题正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 若a＞b，b＜c，则a＞c B．‎ 若a＞b，则ac＞bc C．‎ 若a＞b，则ac2＞bc2‎ D．‎ 若ac2＞bc2，则a＞b 考点：‎ 不等式的性质；命题与定理．‎ 分析：‎ 根据不等式的基本性质，取特殊值法进行解答．‎ 解答：‎ 解：A、可设a=4，b=3，c=4，则a=c．故本选项错误；‎ B、当c=0或c＜0时，不等式ac＞bc不成立．故本选项错误；‎ C、当c=0时，不等式ac2＞bc2不成立．故本选项错误；‎ D、由题意知，c2＞0，则在不等式ac2＞bc2的两边同时除以c2，不等式仍成立，即ac2＞bc2，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：‎ ‎（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．‎ ‎（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．‎ ‎（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 几何概率；平行四边形的性质．‎ 分析：‎ 先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．‎ 解答：‎ 解：∵四边形是平行四边形，‎ ‎∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，‎ 观察发现：图中阴影部分面积=S四边形，‎ ‎∴针头扎在阴影区域内的概率为，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•恩施州）把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换 分析：‎ 确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可．‎ 解答：‎ 解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），‎ ‎∵向右平移一个单位，再向下平移2个单位，‎ ‎∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），‎ ‎∴得到的抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1：4‎ B．‎ ‎1：3‎ C．‎ ‎2：3‎ D．‎ ‎1：2‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．3718684‎ 分析：‎ 首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．‎ 解答：‎ 解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，‎ 则△DFE∽△BAE，‎ ‎∴=，‎ ‎∵O为对角线的交点，‎ ‎∴DO=BO，‎ 又∵E为OD的中点，‎ ‎∴DE=DB，‎ 则DE：EB=1：3，‎ ‎∴DF：AB=1：3，‎ ‎∵DC=AB，‎ ‎∴DF：DC=1：3，‎ ‎∴DF：FC=1：2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•恩施州）如甲、乙两图所示，恩施州统计局对2009年恩施州各县市的固定资产投资情况进行了统计，并绘成了以下图表，请根据相关信息解答下列问题：‎ ‎2009年恩施州各县市的固定资产投资情况表：（单位：亿元）‎ 单位 恩施市 利川县 建始县 巴东县 宜恩县 咸丰县 来凤县 鹤峰县 州直 投资额 ‎60‎ ‎28‎ ‎24‎ ‎23‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎5‎ 下列结论不正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2009年恩施州固定资产投资总额为200亿元 ‎　‎ B．‎ ‎2009年恩施州各单位固定资产投资额的中位数是16亿元 ‎　‎ C．‎ ‎2009年来凤县固定资产投资额为15亿元 ‎　‎ D．‎ ‎2009年固定资产投资扇形统计图中表示恩施市的扇形的圆心角为110°‎ 考点：‎ 条形统计图；扇形统计图．‎ 分析：‎ 利用建始县得投资额÷所占百分比可得总投资额；利用总投资额减去各个县市的投资额可得来凤县固定资产投资额，再根据中位数定义可得2009年恩施州各单位固定资产投资额的中位数；利用360°×可得圆心角，进而得到答案．‎ 解答：‎ 解：A、24÷12%=200（亿元），故此选项不合题意；‎ B、来凤投资额：200﹣60﹣28﹣25﹣23﹣14﹣16﹣15﹣5=15（亿元），‎ 把所有的数据从小到大排列：60，28，24，23，16，15，15，14，5，位置处于中间的数是16，故此选项不合题意；‎ C、来凤投资额：200﹣60﹣28﹣25﹣23﹣14﹣16﹣15﹣5=15（亿元），故此选项不合题意；‎ D、360°×=108°，故此选项符合题意；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ π+1‎ D．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．‎ 分析：‎ 画出示意图，结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的面积．‎ 解答：‎ 解：如图所示：‎ 点A运动的路径线与x轴围成的面积=S1+S2+S3+2a=+++2×（×1×1）=π+1．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形的面积计算，解答本题如果不能直观想象出图形，可以画出图形再求解，注意熟练掌握扇形的面积计算公式．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分。不要求写出解答过程，请把答案直接填写在相应的位置上）‎ ‎13．（3分）（2013•恩施州）25的平方根是　±5　．‎ 考点：‎ 平方根．‎ 分析：‎ 如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．‎ 解答：‎ 解：∵（±5）2=25‎ ‎∴25的平方根±5．‎ 故答案为：±5．‎ 点评：‎ 本题主要考查了平方根定义的运用，比较简单．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•恩施州）函数y=的自变量x的取值范围是　x≤3且x≠﹣2　．‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围．3718684‎ 分析：‎ 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，3﹣x≥0且x+2≠0，‎ 解得x≤3且x≠﹣2．‎ 故答案为：x≤3且x≠﹣2．‎ 点评：‎ 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•恩施州）如图所示，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，则扇形的周长为　6+π　．‎ 考点：‎ 相切两圆的性质；含30度角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算．‎ 分析：‎ 首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长．‎ 解答：‎ 解：如图所示：设⊙O与扇形相切于点A，B，‎ 则∠CAO=90°，∠AOB=30°，‎ ‎∵一半径为1的圆内切于一个圆心角为60°的扇形，‎ ‎∴AO=1，‎ ‎∴CO=2AO=2，‎ ‎∴BC=2=1=3，‎ ‎∴扇形的弧长为：=π，‎ ‎∴则扇形的周长为：3+3+π=6+π．‎ 故答案为：6+π．‎ 点评：‎ 此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长公式等知识，根据已知得出扇形半径是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•恩施州）把奇数列成下表，‎ 根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是　171　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．‎ 分析：‎ 根据第6列数字从31开始，依次加14，16，18…得出第8行数字，进而求出即可．‎ 解答：‎ 解：由图表可得出：第6列数字从31开始，依次加14，16，18…‎ 则第8行，左起第6列的数为：31+14+16+18+20+22+24+26=171．‎ 故答案为：171．‎ 点评：‎ 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出没行与每列的变化规律是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（8分）（2013•恩施州）先简化，再求值：，其中x=．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=÷‎ ‎=×‎ ‎=，‎ 当x=﹣2时，原式=﹣=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2013•恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．‎ 考点：‎ 菱形的判定；梯形；中点四边形．‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH=AC，HE=FG=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可．‎ 解答：‎ 证明：如图，连接AC、BD，‎ ‎∵AD∥BC，AB=CD，‎ ‎∴AC=BD，‎ ‎∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，‎ ‎∴在△ABC中，EF=AC，‎ 在△ADC中，GH=AC，‎ ‎∴EF=GH=AC，‎ 同理可得，HE=FG=BD，‎ ‎∴EF=FG=GH=HE，‎ ‎∴四边形EFGH为菱形．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2013•恩施州）一个不透明的袋子里装有编号分别为1、2、3的球（除编号以为，其余都相同），其中1号球1个，3号球3个，从中随机摸出一个球是2号球的概率为．‎ ‎（1）求袋子里2号球的个数．‎ ‎（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），甲摸出球的编号记为x，乙摸出球的编号记为y，用列表法求点A（x，y）在直线y=x下方的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；一次函数的性质；概率公式．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）首先设袋子里2号球的个数为x个．根据题意得：=，解此方程即可求得答案；‎ ‎（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点A（x，y）在直线y=x下方的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）设袋子里2号球的个数为x个．‎ 根据题意得：=，‎ 解得：x=2，‎ 经检验：x=2是原分式方程的解，‎ ‎∴袋子里2号球的个数为2个．‎ ‎（2）列表得：‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎﹣‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎﹣‎ ‎（3，3）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎﹣‎ ‎（3，3）‎ ‎（3，3）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎﹣‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎﹣‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎1‎ ‎﹣‎ ‎（2，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎∵共有30种等可能的结果，点A（x，y）在直线y=x下方的有11个，‎ ‎∴点A（x，y）在直线y=x下方的概率为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•恩施州）如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C．‎ ‎（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．‎ ‎（2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=，根据等边三角形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．‎ ‎（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，则此时B点的横坐标即为6，求出纵坐标，即可求出n的值．‎ 解答：‎ 解：（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AC=AB=6，∠CAB=60°，‎ ‎∴AD=3，CD=sin60°×AC=×6=3，‎ ‎∴点C坐标为（3，3），‎ ‎∵反比例函数的图象经过点C，‎ ‎∴k=9，‎ ‎∴反比例函数的解析式y=；‎ ‎（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，‎ 则此时B点的横坐标为6，‎ 即纵坐标y==，也是向上平移n=．‎ 点评：‎ 本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的相关知识，此题难度不大，是中考的常考点．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•恩施州）“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上．然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110，到达B处，测得“香顶”N的仰角为60°．根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：，）．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ 分析：‎ 首先过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，可得四边形BEDF是矩形，然后在Rt△ABE中，由三角函数的性质，可求得AE与BE的长，再设BF=x米，利用三角函数的知识即可求得方程：55+x=x+55，继而可求得答案．‎ 解答：‎ 解：过点B作BF⊥DN于点F，过点B作BE⊥AD于点E，‎ ‎∵∠D=90°，‎ ‎∴四边形BEDF是矩形，‎ ‎∴BE=DF，BF=DE，‎ 在Rt△ABE中，AE=AB•cos30°=110×=55（米），BE=AB•sin30°=×110=55（米）；‎ 设BF=x米，则AD=AE+ED=55+x（米），‎ 在Rt△BFN中，NF=BF•tan60°=x（米），‎ ‎∴DN=DF+NF=55+x（米），‎ ‎∵∠NAD=45°，‎ ‎∴AD=DN，‎ 即55+x=x+55，‎ 解得：x=55，‎ ‎∴DN=55+x≈150（米）．‎ 答：“一炷香”的高度为150米．‎ 点评：‎ 本题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•恩施州）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元．甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．‎ ‎（1）求这两种商品的进价．‎ ‎（2）该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，就有x=y，3x+y=200，由这两个方程构成方程组求出其解既可以；‎ ‎（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，根据不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品100的货款建立不等式，求出其值就可以得出进货 方案，设利润为W元，根据利润=售价﹣进价建立解析式就可以求出结论．‎ 解答：‎ 解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意，得 ‎，‎ 解得：．‎ 答：商品的进价为40元，乙商品的进价为80元；‎ ‎（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（100﹣m）件，由题意，得 ‎，‎ 解得：29≤m≤32‎ ‎∵m为整数，‎ ‎∴m=30，31，32，‎ 故有三种进货方案：‎ 方案1，甲种商品30件，乙商品70件，‎ 方案2，甲种商品31件，乙商品69件，‎ 方案3，甲种商品32件，乙商品68件，‎ 设利润为W元，由题意，得 W=40m+50（100﹣m），‎ ‎=﹣10m+5000‎ ‎∵k=﹣10＜0，‎ ‎∴W随m的增大而减小，‎ ‎∴m=30时，W最大=4700．‎ 点评：‎ 本题考查了列二元依稀方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，方案设计的运用，一次函数的性质的运用，在解答时求出利润的解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：CG是⊙O的切线．‎ ‎（2）求证：AF=CF．‎ ‎（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；‎ ‎（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=‎ ‎，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF 然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OC，如图，‎ ‎∵C是劣弧AE的中点，‎ ‎∴OC⊥AE，‎ ‎∵CG∥AE，‎ ‎∴CG⊥OC，‎ ‎∴CG是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：连结AC、BC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠2+∠BCD=90°，‎ 而CD⊥AB，‎ ‎∴∠B+∠BCD=90°，‎ ‎∴∠B=∠2，‎ ‎∵AC弧=CE弧，‎ ‎∴∠1=∠B，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴AF=CF；‎ ‎（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，‎ ‎∴DF=AF=1，‎ ‎∴AD=DF=，‎ ‎∵AF∥CG，‎ ‎∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，‎ ‎∴AG=2．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•恩施州）如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．‎ ‎（1）求直线BD和抛物线的解析式．‎ ‎（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；‎ ‎（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个；‎ ‎（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（0，3）；‎ ‎∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．‎ 设直线BD的解析式为：y=kx+b，‎ ‎∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，‎ ‎∴，‎ 解得k=﹣1，b=3，‎ ‎∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．‎ 设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），‎ ‎∵点B（0，3）在抛物线上，‎ ‎∴3=a×（﹣1）×（﹣3），‎ 解得：a=1，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．‎ ‎（2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．‎ 直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，‎ ‎∴M（2，1）．‎ 设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，‎ ‎∴△MCD为等腰直角三角形．‎ ‎∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，‎ ‎∴△BND为等腰直角三角形．‎ 如答图1所示：‎ ‎（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，‎ ‎∴N1（0，0）；‎ ‎（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，‎ ‎∵OB=OD=ON2=3，‎ ‎∴N2（﹣3，0）；‎ ‎（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，‎ ‎∵OB=OD=ON3=3，‎ ‎∴N3（0，﹣3）．‎ ‎∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．‎ ‎（3）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．‎ ‎（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：‎ 过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．‎ S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，‎ 化简得：m+n=7 ①，‎ ‎∵P（m，n）在抛物线上，‎ ‎∴n=m2﹣4m+3，‎ 代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，‎ 解得：m1=4，m2=﹣1，‎ ‎∴n1=3，n2=8，‎ ‎∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；‎ ‎（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：‎ 过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．‎ S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，‎ 化简得：m+n=﹣1 ②，‎ ‎∵P（m，n）在抛物线上，‎ ‎∴n=m2﹣4m+3，‎ 代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．‎ 故此时点P不存在．‎ 综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．‎ 点评：‎ 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．‎