2010年山东省莱芜市中考数学真题试卷（含答案）

2010年山东省莱芜市中考数学真题试卷（含答案）

绝密★启用前 试卷类型A 莱芜市2010年中等学校招生考试 数 学 试 题 注意事项：‎ ‎1.答卷前考生务必在规定位置将姓名、准考证号等内容填写准确。‎ ‎2.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分，共120分。考试时间为120分钟。‎ ‎3.请将第Ⅰ卷选择题答案填写在第Ⅱ卷首答案栏内，填在其它位置不得分。‎ ‎4.考试结束后，由监考教师把第Ⅰ卷和第Ⅱ卷一并收回。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共36分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填写在答案栏的相应位置上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）‎ ‎1.的倒数是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.下列计算结果正确的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4.‎2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083.58元.将31083.58元保留两位有效数字可记为 ‎ A．3.1×106元 B．3.11×104元 C．3.1×104元 D．3.10×105元 ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ a b B A ‎（第5题图）‎ ‎5.如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎6.右图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是 ‎（第6题图）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知反比例函数，下列结论不正确的是 ‎ A．图象必经过点(-1,2) B．y随x的增大而增大 ‎ C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则y＞-2‎ ‎8.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 x ‎（第9题图）‎ y O ‎ A．2.5 B．‎5 ‎C．10 D．15‎ ‎9.二次函数的图象如图所示，则一次函数的 图象不经过 ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎10.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为 ‎ A．4 B．‎2 ‎C． D． ±2‎ ‎11.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是 O ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎96‎ ‎86‎ ‎66‎ ‎30‎ x/分 y/千米 A B C D ‎（第12题图）‎ 乙 甲 ‎ A．2 B． C．1 D． ‎12.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）‎ 随时间x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下 列结论不正确的是 ‎ A．甲先到达终点 ‎ B．前30分钟，甲在乙的前面 ‎ C．第48分钟时，两人第一次相遇 ‎ D．这次比赛的全程是28千米 绝密★启用前 试卷类型A 莱芜市2010年中等学校招生考试 数 学 试 题 第Ⅱ卷（非选择题 共84分）‎ 注意事项：‎ 第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在本试卷上。‎ 题号 一 二 三 总分 ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ 分数 第I卷选择题答案栏 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 得分 评卷人 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分）‎ ‎13.分解因式： ．‎ ‎14.有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 ．‎ ‎15.某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为________万元．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，以点、、为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点的坐标是 .‎ ‎17.已知：，，，…，‎ 观察上面的计算过程，寻找规律并计算 ．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共64‎ 分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）‎ 得分 评卷人 ‎18.（本题满分6分）‎ 先化简，再求值：，其中.‎ 得分 评卷人 ‎19.（本题满分8分）‎ ‎2010年5月1日‎，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播.小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）.请你根据图中提供的信息解答以下问题：‎ ‎（1）求该班共有多少名学生；‎ ‎（2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；‎ ‎（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；‎ ‎（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？‎ A B C D 了解程度 人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎（第19题图）‎ A ‎10%‎ B ‎30%‎ D C 座号 得分 评卷人 ‎20.（本题满分9分）‎ ‎2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为‎36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到‎0.1米）‎ ‎（参考数据：）‎ B A C ‎（第20题图）‎ 得分 评卷人 ‎21.（本题满分9分）‎ 在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=‎3cm，BC=‎4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.‎ ‎（1）求线段AD的长度；‎ O D C B A ‎（第21题图）‎ ‎（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.‎ 得分 评卷人 ‎22.（本题满分10分）‎ 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．‎ ‎（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；‎ ‎（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？‎ 得分 评卷人 ‎23.（本题满分10分）‎ 在 ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.‎ ‎（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；‎ ‎（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；‎ ‎（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；‎ ‎（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.‎ H G F E O D C B A 图①‎ H G F E O D C B A 图②‎ A B C D O E F G H 图③‎ A B C D O E F G H 图④‎ ‎（第23题图）‎ 得分 评卷人 ‎24.（本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；‎ ‎（第24题图）‎ x y O A C B D E F ‎（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.‎ 莱芜市2010年中等学校招生考试 数学试题参考答案(A) ‎ 评卷说明：‎ ‎1.选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分.‎ ‎2.解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所对应的累计分数.本答案对每小题只给出一种或两种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分.‎ ‎3.如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分不再给分.‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B C D D B C D B A D 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎13. ； 14. 2； 15. 220； 16. ； 17.210‎ 三、解答题（本大题共7个小题，共64分）‎ ‎18.（本小题满分6分）‎ 解：原式= ………………………1分 ‎= ………………………2分 ‎= ………………………4分 ‎= ………………………5分 当时，‎ 原式===． ………………………6分 A B C D 了解程度 人数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎19.（本小题满分8分）‎ 解：（1）5÷10％=50（人） ………………………2分 ‎（2）见右图 ………………………4分 ‎（3）360°×=144° ………………………6分 ‎（4）． ………………………8分 ‎20.（本小题满分9分） ‎ 解：过A作AD⊥CB，垂足为点D． ………………………1分 B A C D 在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．‎ ‎∴AD=≈20.76． ……5分 在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．‎ ‎∴BD=≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． ………8分 答：气球应至少再上升‎15.6米． …………………………9分 ‎21.（本小题满分9分）‎ 解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=‎3cm，BC=‎4cm，∠ACB=90°，∴AB=‎5cm． ……1分 连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°．‎ ‎∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB． ‎ O D C B A E ‎∴，∴． …………………………4分 ‎（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切． ………………5分 证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线．‎ ‎∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．‎ ‎∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． …………………7分 ‎∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．‎ ‎∴ED与⊙O相切． …………………………9分 ‎22.（本小题满分10分）‎ 解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个． ………………1分 由题意得 …………………………3分 解这个不等式组得18≤x≤20．‎ 由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20． …………………………5分 当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．‎ 故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．……7分 ‎（2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，‎ 最低费用是860×18+570×12=22320（元）． …………………………10分 方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；‎ ‎②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；‎ ‎③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）‎ 故方案一费用最低，最低费用是22320元． …………………………10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（1）四边形EGFH是平行四边形． …………………………1分 证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O．‎ ‎∴点O是 ABCD的对称中心．‎ ‎∴EO=FO，GO=HO．‎ ‎∴四边形EGFH是平行四边形． …………………………4分 ‎（2）菱形． …………………………5分 ‎（3）菱形． …………………………6分 ‎（4）四边形EGFH是正方形． …………………………7分 证明：∵AC=BD，∴ ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形．‎ ‎∴ ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．‎ ‎∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．‎ ‎∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF． …………………………9分 由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.‎ ‎∴四边形EGFH是正方形． …………………………10分 ‎24. （本小题满分12分）‎ 解：（1）∵抛物线经过点，，．‎ ‎∴， 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为：. …………………………3分 ‎（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．‎ ‎∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8． …………………………4分 连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．‎ 在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．‎ ‎∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6分 ‎∴劣弧EF的长为：． …………………………7分 ‎（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.‎ ‎∴，解得.∴直线AC的解析式为：. ………8分 设点，PG交直线AC于N，‎ 则点N坐标为.∵.‎ x y O A C B D E F P G N M ‎∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.‎ 即=.‎ 解得：m1=－3， m2=2（舍去）.‎ 当m=－3时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为. …………………………10分 ‎②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.‎ 即=.‎ 解得：，（舍去）.当时，=.‎ ‎∴此时点P的坐标为.‎ 综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分． …………………12分