上海中考数学压轴题专项训练

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‎24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）‎ ‎（第24题图）‎ 如图，已知抛物线经过、两点.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2 求的值；‎ ‎（3）过点B作BC轴，垂足为点C，点M是抛物线上一点，直线MN平行于轴交直线AB于点N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.‎ ‎24.解：（1）将A（0，-1）、B（4，-3）分别代入 得， ………………………………………………………………（1分）‎ 解，得 …………………………………………………………………(1分)‎ 所以抛物线的解析式为 ……………………………………………（1分）‎ ‎（2）过点B作BC轴，垂足为C，过点A作AHOB，垂足为点H ………（1分）‎ 在中，OA=1， ……………………………（1分）‎ ‎∴，∴， ………………（1分）‎ 在中， ………………………………（1分）‎ ‎(3)直线AB的解析式为， ……………………………………………（1分）‎ 设点M的坐标为，点N坐标为 那么MN=； …………………………（1分）‎ ‎∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，∴MN=BC=3‎ 解方程=3得； ……………………………………………（1分）‎ 解方程得或； ………………………………………（1分）‎ 所以符合题意的点N有4个 ‎ ……………………………………………………………………………………（1分）‎ ‎25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）‎ 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E．‎ ‎（1）如图1，当点E与点B重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直线AB的位置关系并说明理由；‎ ‎（2）如图2，当点E在DB延长线上时，求证：AE=2CD；‎ A C D B(E)‎ l ‎（第25题图1）‎ ‎（3）记直线CE与直线AB相交于点F，若，CD = 4，求BD的长．‎ ‎（第25题图2）‎ A C D E l B ‎25.解：（1）过点C作CF⊥AB，垂足为点F. ……………………………………………（1分）‎ ‎∵∠AED=90°，∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD =45°，‎ ‎∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AE=4，∴CF=2，BC=，…………………………（1分）‎ 又∵∠CBD=∠ABC=45°，CD⊥l，∴CD=2， …………………………………………（1分）‎ ‎∴CD=CF=2，∴圆C与直线AB相切.……………………………………………………（1分）‎ ‎（2）证明：延长AC交直线l于点G． ………………………………………………（1分）‎ ‎∵∠ACB = 90°，∠ABC =∠GBC，∴∠BAC =∠BGC．‎ ‎∴AB = GB．…………………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴AC = GC．…………………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∵AE⊥l，CD⊥l，∴AE∥CD．‎ ‎∴． …………………………………………………………………………（1分）‎ ‎∴AE = 2CD． ………………………………………………………………………………（1分）‎ ‎（3）（I）如图1，当点E在DB延长线上时：‎ ‎（第25题图1）‎ A C D E l G B H F 过点C作CG∥l交AB于点H，交AE于点G，则∠CBD =∠HCB．‎ ‎∵∠ABC =∠CBD，∴∠ABC =∠HCB．∴CH = BH．………（1分）‎ ‎∵∠ACB = 90°，∴∠ABC +∠BAC =∠HCB +∠HCA = 90°．‎ ‎∴∠BAC =∠HCA．∴CH = AH = BH．‎ B ‎（第25题图2）‎ A C D l G E H F ‎∵CG∥l，∴．‎ 设CH = 5x，则BE = 6x，AB = 10x．‎ 在Rt△ABE中，．‎ 由（2）知AE = 2CD = 8，∴，得．‎ ‎∴CH = 5，BE = 6，AB = 10．‎ ‎∵CG∥l，∴，∴HG=3．……………………（1分）‎ ‎∴CG = CH + HG = 8．‎ 易证四边形CDEG是矩形，∴DE = CG = 8．‎ ‎∴．…………………………………………（1分）‎ ‎（II）如图2，当点E在DB上时：‎ 同理可得CH = 5，BE = 6，HG = 3．…………………………（1分）‎ ‎∴．‎ ‎∴BD=DE + BE = 8．…………………………………………………………………………（1分）‎ 综上所述，BD的长为2或8．‎ ‎24．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上．‎ ‎（1）求a的值及点B的坐标；‎ ‎（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．‎ ‎【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．‎ ‎【分析】（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．‎ ‎（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题．‎ ‎（3）先求出点A′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a=﹣，‎ ‎∴抛物线为y=﹣x2，‎ ‎∴x=﹣4时，y=﹣8，‎ ‎∴点B坐标（﹣4，﹣8），‎ ‎∴a=﹣，点B坐标（﹣4，﹣8）．‎ ‎（2）设直线AB为y=kx+b，则有，解得，‎ ‎∴直线AB为y=x﹣4，‎ ‎∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12，与y轴交于点P（0，﹣12），‎ 过点A垂直AB的直线为y=﹣x，与y轴交于点P′（0，0），‎ ‎∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，﹣12）．‎ ‎（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．‎ ‎∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，‎ ‎∵AB=AA′==6，‎ ‎∴AE=A′E=6，‎ ‎∴点A′坐标为（8，﹣8），‎ ‎∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，‎ ‎∴抛物线y=﹣x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，﹣6），‎ ‎∴此时抛物线为y=﹣（x﹣6）2﹣6．‎ ‎25．已知，AB=5，tan∠ABM=，点C、D、E为动点，其中点C、D在射线BM上（点C在点D的左侧），点E和点D分别在射线BA的两侧，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．‎ ‎（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长；‎ ‎（2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；‎ ‎（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．‎ ‎【考点】三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用△ABH∽△DBF，得=，求出DF即可解决问题．‎ ‎（2）先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形ADBE=BD•AH，计算即可．‎ ‎（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．‎ 在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，‎ ‎∴sin∠ABH==，‎ ‎∴AH=3，BH==4，‎ ‎∵AB=AD，AH⊥BD，‎ ‎∴BH=DH=4，‎ 在△ABE 和△ABD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ABE，‎ ‎∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，‎ ‎∴BF⊥DE，EF=DF，‎ ‎∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，‎ ‎∴△ABH∽△DBF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DF=，‎ ‎∴DE=2DF=．‎ ‎（2）如图2中，作AH⊥BD于H．‎ ‎∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，‎ ‎∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，‎ ‎∵AE∥BD，‎ ‎∴∠AEB+∠EBD=180°，‎ ‎∴∠EBD+∠ADC=180°，‎ ‎∴EB∥AD，‎ ‎∵AE∥BD，‎ ‎∴四边形ADBE是平行四边形，‎ ‎∴BD=AE=AB=5，AH=3，‎ ‎∴S平行四边形ADBE=BD•AH=15．‎ ‎（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．‎ 如图3中，‎ ‎∵∠ACD=∠AEB（已证），‎ ‎∴A、C、B、E四点共圆，‎ ‎∵AE=EC=AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠AEC=∠ABC，‎ ‎∴AE∥BD，‎ 由（2）可知四边形ADBE是平行四边形，‎ ‎∴AE=BD=AB=5，‎ ‎∵AH=3，BH=4，‎ ‎∴DH=BD﹣BH=1，‎ ‎∵AC=AD，AH⊥CD，‎ ‎∴CH=HD=1，‎ ‎∴BC=BD﹣CD=3．‎ ‎　‎ ‎24．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）联结AC，求∠BAC的正切值；‎ ‎（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，这可求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；‎ ‎（2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到C（1，0），再利用两点间的距离公式计算出BC2=2，AB2=18，AC2=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，于是利用正切的定义计算tan∠BAC的值；‎ ‎（3）分类讨论：当∠APC=90°时，有（2）得点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当∠ACP=90°时，利用（2）中结论得tan∠PAC==，则PC=AC，设P（t，t+1），然后利用两点间的距离公式得到方程t2+（t+1﹣1）2=20，再解方程求出t即可得到时P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）把A（3，4）代入y=x+m得3+m=4，解得m=1‎ ‎∴直线AB的解析式为y=x+1，‎ ‎∵当x=0时，y=x+1=1，‎ ‎∴B（0，1），‎ 把B（0，1），A（3，4）代入y=x2+bx+c得，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+1；‎ ‎（2）如图，‎ ‎∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，‎ ‎∴C（1，0），‎ ‎∴BC2=12+12=2，AB2=32+（4﹣1）2=18，AC2=（3﹣1）2+42=20，‎ 而2+18=20，‎ ‎∴BC2+AB2=AC2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，‎ ‎∴tan∠BAC===；‎ ‎（3）当∠APC=90°时，点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；‎ 当∠ACP=90°时，∵tan∠PAC==，‎ ‎∴PC=AC，‎ 设P（t，t+1），‎ ‎∴t2+（t+1﹣1）2=20，解得t1=﹣，t2=（舍去），此时P点坐标为（﹣，﹣ +1），‎ 综上所述，满足条件的P点坐标为（0，1）或（﹣，﹣ +1）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征；能运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形．‎ ‎　‎ ‎25．如图，▱ABCD中，AB=8，AD=10，sinA=，E、F分别是边AB、BC上动点（点E不与A、B重合），且∠EDF=∠DAB，DF延长线交射线AB于G．‎ ‎（1）若DE⊥AB时，求DE的长度；‎ ‎（2）设AE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）当△BGF为等腰三角形时，求AE的长度．‎ ‎【分析】（1）DE⊥AB时，根据sinA=即可解决问题．‎ ‎（2）如图2中，作DM⊥AB于M，根据DG2=DM2+MG2=AGEG，列出等式即可解决问题．‎ ‎（3）分三种情形①BF=BG，②FB=FG，③GB=GF，根据BF∥AD，得出比例式，列方程即可解决．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴sinA==，‎ ‎∵AD=10，‎ ‎∴DE=8．‎ ‎（2）如图2中，‎ 作DM⊥AB于M，由（1）可知DM=8，AM=6，MG=AB﹣AM=8﹣6=2，‎ ‎∴DG2=DM2+MG2，‎ ‎∵∠DGE=∠DGA，∠GDE=∠A，‎ ‎∴△DGE∽△AGD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DG2=AGEG，‎ ‎∴DM2+MG2=AGEG，‎ ‎∴82+（2+y）2=（8+y）（8+y﹣x），‎ ‎∴y=（0＜x＜8）‎ ‎（3）①当BF=FG时，∵BF∥AD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=AG=10，‎ ‎∴y=2，即=2，解得x=2，‎ ‎∴AE=2．‎ ‎②当FB=FG时，∵BF∥AD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=DG=10，‎ ‎∵DM⊥AG，‎ ‎∴AM=MB=6，‎ ‎∴AG=12，‎ ‎∴y=4，即=4，‎ 解得x=．‎ ‎③当GB=GF时，∵BF∥AD，∠GBF=∠BFG，‎ ‎∴∠A=∠GBF，∠ADG=∠BFG，‎ ‎∴∠A=∠ADG，‎ ‎∵∠A=∠EDG，‎ ‎∴∠EDG=∠ADG，‎ ‎∴此时点E与点A重合，不合题意．‎ 综上所述AE=2或时，△BFG是等腰三角形．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎