衢州市2013年中考数学卷

衢州市2013年中考数学卷

浙江省2013年初中毕业生学业考试（衢州卷）‎ 数学试题卷 考生须知：‎ ‎1．全卷共有三大题，24小题，共6页．满分为120分，考试时间为120分钟．‎ ‎2．答题前，请用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、准考证号分别填写在“答题纸”的相应位置上，不要漏写．‎ ‎3．全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在“答题纸”上作答，做在试题卷上无效．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在“答题纸”相应位置上.本次考试不允许使用计算器．画图先用2B铅笔，确定无误后用钢笔或签字笔描黑.‎ ‎4．参考公式：二次函数（）图象的顶点坐标是（,）；‎ 一组数据的方差：（其中是这组数据的平均数）.‎ 卷 Ⅰ ‎ 说明：本卷共有1大题，10小题，共30分.请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满.‎ 一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分.)‎ ‎1．比1小2的数是（ ▲ ）‎ A．3 B．‎1 ‎‎ C． D． ‎ ‎2. 下列计算正确的是（ ▲ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3. 衢州新闻网‎2月16日讯，2013年春节“黄金周”全市接待游客总数为833100人次.将数833100用科学记数法表示应为（ ▲ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 下面简单几何体的左视图是（ ▲ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 正面 ‎5. 若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是（ ▲ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎30°‎ 第6题 ‎6. 如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为‎3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最大边的长为（ ▲ ）‎ A．‎3cm B． ‎6cm C． 3cm D． 6cm ‎7.一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示（有两个数据被遮盖）．‎ 组员日期 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 得分 ‎81‎ ‎79‎ ‎■‎ ‎80‎ ‎82‎ ‎■‎ ‎80‎ 那么被遮盖的两个数据依次是（ ▲ ）‎ A．80，2 B．80， C．78，2 D． 78，‎ 第8题 A B ‎8. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进‎4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为‎1.6m，则这棵树的高度为（ ▲ ）（结果精确到‎0.1m，≈1.73）.‎ A． ‎3.5m B． ‎3.6 m C． ‎4.3m D． ‎‎5.1m ‎9. 抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（ ▲ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎10.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A D CBA 的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ▲ ）‎ P D A B C A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 第10题 卷 Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分.请用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在“答题纸”相应位置上.‎ 二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．凡需填空的位置均有“ ▲ ”标记.）‎ ‎11.不等式组的解集是 ▲ .‎ ‎12. 化简： ▲ .‎ ‎13. 小芳同学有两根长度为‎4cm、‎10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 ▲ .‎ O A CAOOO B 第14题 ‎6cm ‎10cm ‎15cm ‎3cm ‎12cm 第13题 ‎14. 如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为‎2cm ，则三角板和量角器重叠部分的面积为 ▲ .‎ A B D C A1‎ C1‎ B1‎ D1‎ A2‎ B2‎ C2‎ D2‎ A3‎ C3‎ B3‎ D3‎ ‎…‎ 第16题 ‎15. 某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种棵橘子树，果园橘子总个数为个，则果园里增种 ▲ 棵橘子树，橘子总个数最多.‎ ‎16.如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形 ABCD各边中点，可得四边形A1B‎1C1D1；顺次连结四边形 A1B‎1C1D1各边中点，可得四边形A2B‎2C2D2；顺次连结四边 形A2B‎2C2D2各边中点，可得四边形A3B‎3C3D3；按此规律继 续下去…….则四边形A2B‎2C2D2的周长是 ▲ ；四边 形A2013B‎2013C2013D2013的周长是 ▲ .‎ 三、简答题（本大题共有8小题，共66分．务必写出解答过程．）‎ ‎17．（本题6分）‎ 第18题 ‎18．（本题6分）‎ 如图，在长和宽分别是、的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形．‎ (1) 用含、、的代数式表示纸片剩余部分的面积；‎ (2) 当=6，=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．‎ ‎19．（本题6分）‎ 第19题 A B 如图，函数的图象与函数（）的图象 交于A（，1）、B（1，）两点.‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）观察图象，比较当时，与的大小.‎ ‎20．（本题8分）‎ 第20题 如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．‎ ‎ （1）求证：直线CD是⊙O的切线；‎ ‎ （2）若DE=2BC，求AD :OC的值.‎ ‎21. （本题8分）‎ 据《2012年衢州市国民经济和社会发展统计公报》（‎2013年2月5日发布），衢州市固定资产投资的相关数据统计图如下：‎ 亿元 ‎2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012‎ 衢州市2005-2012年固定资产投资统计图 图1‎ ‎2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012‎ 衢州市2005-2012年固定资产投资增长速度统计图 图2‎ 第21题 ‎%‎ ‎？?‎ 根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求2012年的固定资产投资增长速度（年增长速度即年增长率）；‎ ‎（2）求2005-2012年固定资产投资增长速度这组数据的中位数；‎ ‎（3）求2006年的固定资产投资金额，并补全条形图；‎ ‎（4）如果按照2012年的增长速度，请预测2013年衢州市的固定资产投资金额可达到多少亿元（精确到1亿元）？ ‎ ‎22．（本题10分）‎ 提出问题 ‎ ‎（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN. 求证：∠ABC=∠ACN.‎ 类比探究 ‎ ‎（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由. ‎ 拓展延伸 ‎（3）如图3，在等腰△ABC中， BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN =∠ABC. 连结CN. 试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由.‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ 第22题 ‎23．（本题10分）‎ 第23题 ‎（人）‎ a ‎30‎ ‎52080‎ ‎640‎ ‎（分钟）‎ ‎“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示.‎ ‎（1）求a的值．‎ ‎（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．‎ ‎（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？‎ ‎24．（本题12分） ‎ 在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.‎ ‎（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；‎ ‎（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；‎ ‎（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（）.问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. ‎ 备用图 第24题 浙江省2013年初中毕业生学业考试（衢州卷）‎ 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C D C A A D C D B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）‎ ‎11．≥2；12． ；13． ；14． ；15．10 ；16．20（1分）；（3分）.‎ 三、（本大题共8小题，第17、18、19小题各6分，第20、21小题各8分，第22、23小题各10分，第24小题12分，共66分.）‎ ‎17．解：（1）‎ ‎=2-8÷2×（-2）…………………4分 ( 各个部分化简正确，各1分，共4分)‎ ‎=2+8……………………………………………………………5分 ‎=10…………………………………………………………… 6分 ‎18．解：（1）面积=………………………………………………………3分 ‎（2）根据题意可得：（或），……………4分 整理得：，解得 …………………………………… 5分 ‎∵，∴正方形边长为. …………………………6分 ‎19．解：（1）把点A坐标代入 ，得………………………1分 ‎∴ ∴ ………………………………………3分 ‎（2）∴由图象可知，‎ 当或时， ………………………4分 当或时， …………………………5分 第20题 当时， …………………………6分 ‎20.（1）证明：连结DO．∵AD//OC，‎ ‎∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．………………1分 又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．…2分 ‎ 又∵CO=CO，OD=OB，∴△COD≌△COB………3分 ‎∴∠CDO=∠CBO=90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．……4分 ‎（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD=CB．…………………………5分 ‎∵DE=2BC ∴ED=2CD． ………6分 ‎∵ AD//OC，∴△EDA∽△ECO．…………………………7分 ‎∴．…………………………8分 ‎21．解：（1） …………………………2分（列式、计算各1分）‎ ‎（2） ……4分（列式、计算各1分，%未加扣1分）‎ ‎（3）设2006年的固定资产投资金额为亿元，则有：‎ ‎（或），解得……6分（列式、计算各1分）‎ 条形图（略）. ………………………… 7分 ‎（4）（亿元）………………………… 8分 答：2012年的固定资产投资增长速度为13%；2005-2012年固定资产投资增长速度这组数据的中位数是14.72%；2006年的投资额是250亿元；预测2013年可达638亿元.‎ ‎22．（1）证明：∵等边△ABC，等边△AMN ‎∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°‎ ‎∴∠BAM=∠CAN …………………………1分 ‎∴△BAM≌△CAN（SAS） …………………………2分 ‎∴∠ABC=∠ACN …………………………3分 ‎（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立 . ………………………4分 理由如下：∵等边△ABC，等边△AMN ‎ ‎∴AB=AC, AM=AN， ∠BAC=∠MAN=60°‎ ‎∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM≌△CAN ………………………5分 ‎∴∠ABC=∠ACN ………………………6分 ‎（3）解：∠ABC=∠ACN ………………………7分 理由如下：∵BA=BC， MA=MN，顶角∠ABC =∠AMN ‎∴底角∠BAC=∠MAN ∴△ABC∽△AMN， …………………8分 ‎∴ 又∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN =∠MAN-∠MAC ‎ ‎ ∴∠BAM=∠CAN ∴△BAM∽△CAN ……………9分 ‎ ‎∴∠ABC=∠ACN ………………………10分 图1‎ 图3‎ 图2‎ 第22题 ‎23．（1）由图象知，，……………………2分 所以； ……3分 ‎（2）解法1：设过（10，520）和（30，0）的直线解析式为，‎ 得， ………………………4分 解得， ………………………5分 因此，当时，， ‎ 即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人. ……………………6分 解法2：由图象可知，从检票开始后第10分钟到第30分钟，候车室排队检票人数每分钟减少26人， …………………5分 所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520-26×10=260人. …………6分 解法3：设10分钟后开放m个检票口，由题意得，520+16×20‎-14m×20=0， ………4分 解得m =3，………………………5分 所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520+16×10-3×10×14=260人. 6分 ‎（3）设需同时开放个检票口，则由题意知 ‎， ……………………8分 解得， ∵为整数，∴， ……………………9分 ‎ 答：至少需要同时开放5个检票口. ………10分 ‎（说明：若通过列方程解得，并得到正确答案5的，得3分；若列出方程并解得，但未能得到正确答案的，得2分；若只列出方程，得1分）‎ ‎24. 解：（1）∵矩形OABC， ∴∠AOC=∠OAB=90°‎ ‎∵OD平分∠AOC ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分 ‎ ‎∴在Rt△AOD中，∠ADO=45° ∴AO=AD=2， OD= ……2分 ‎ 图1‎ G ‎ ∴……………………………3分 ‎（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.‎ 解法1：如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，‎ ‎∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45° ∵OP=，∴OG=PG=t, ‎ ‎∴点P(t，,t) ‎ 又∵Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得:‎ ‎ ，，………4分 ‎①若∠PQB=90°，则有, ‎ 即：，‎ 整理得：，解得（舍去），‎ ‎∴ ………6分 ‎②若∠PBQ=90°，则有, ‎ ‎∴， ‎ 整理得，解得. ‎ 图2‎ Q PQ ‎∴当t=2或或时，△PQB为直角三角形. .… 8分 解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，‎ 易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45° ‎ 可得QC=BC=2 ∴OQ=4 ∴2t=4 ∴t=2 ……………5分 ‎②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，‎ 作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，‎ 则易证∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB ‎ ‎∴，∴，∴， 化简得，‎ 解得 ……… 6分图4‎ M N ∴ ………………… 7分 ‎③如图4，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，‎ 作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，‎ 则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC ∴△PMB∽△QCB ‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，化简得，‎ 解得 ∴ ……………… 8分 ‎（3）存在这样的t值，理由如下：将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形为平行四边形. ………………9分 ‎∵PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（）………………10分 ‎∵点B坐标为（6,2）， ∴点的坐标为（3t-6,t-2）， .………………11分 代入，得： ，解得 ……12分 ‎（另解：第二种情况也可以直接由下面方法求解：当点P与点D重合时，PB=4，OQ=4，又PB ∥OQ，∴四边形为平行四边形，此时绕PQ中点旋转180°，点B的对应点恰好落在O处，点即点O.由（1）知，此时t=2. （说明：解得此t值，可得2分.）‎