数学中考专题一 ——数与式复习讲义无答案

数学中考专题一 ——数与式复习讲义无答案

热点专题一 数与式 ‎【考点聚焦】‎ ‎　　“数与式”包括有理数、实数、代数式、整式与分式四个部分．数与式渗透后面各部分内容之中，联系着所有数学知识．它是开展数学学习和研究的基础，也是中考的重要考点之一．‎ ‎　　数与式的考题一般以填空、选择或解答题的形式出现．这部分内容的考题难度不大，但涉及的基本概念和知识点较多．‎ ‎　　实数：理解有理数、无理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似数、有效数字、平方根、算术平方根、立方根的概念．知道实数与数轴上的点一一对应，并会求一个数的相反数、倒数、绝对值．会用科学记数法表示一个数，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值．能正确运用实数的运算法则进行实数的混合运算．理解实数的运算律，并能运用运算律简化运算．能运用实数的运算解决简单的问题．会用各种方法比较两个实数的大小．‎ ‎　　整式：了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其几何背景，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解．‎ ‎　　分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方及混合运算．‎ ‎　　二次根式：了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算．‎ ‎　　代数式：理解用字母表示数的意义，能分析简单问题，并能用代数式表示，能解释简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值．‎ ‎　　【热点透视】‎ ‎　　热点1：实数及有关概念的考查（包括有理数、数轴、相反数、绝对值）‎ ‎　　例1　（1）请写出一对互为相反数的数：_________和_________．‎ ‎　　答案不惟一，如：和．‎ ‎　　点评：题型新颖．只需给出很简单的一对数即可．如：，．‎ ‎　　（2）如右图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（　　）‎ ‎　　（A）　　　　　　　（B）‎ ‎　　（C）　　　　　　 （D）‎ ‎　　答案：（D）‎ ‎　　点评：考查数轴上两点之间的距离，若A点对应a，B点对应b，则．‎ ‎　　（3）实数，，，，，中，有理数的个数是（　　）‎ ‎　　（A）1　　（B）2　　（C）3　　（D）4‎ ‎　　答案：（Ｄ）‎ ‎　　点评：要准确的把握有理数、无理数的概念，不能片面地从形式上判断．另外，有些数能化简的，要先化简，以最简结果进行分类．如：，，．‎ ‎　　（1）有理数的分类和判断．（2）求一个数的相反数、绝对值和倒数．（3）利用数轴化简绝时值，或比较大小这些内容是中考的常客．对实数知识点的考查仍以基本题型为主，考查时多以填空、选择题形式出现，题目中包含若干个知识点，同时渗透数形结合思想．‎ ‎　　热点2：科学记数法、近似数、有效数字的考查 ‎　　例2　（1）国家AAAA级旅游区东江湖的蓄水量为81．‎2亿立方米，81．2亿这个数用科学记数法表示为_____________．‎ ‎　　答案：．‎ ‎　　（2）怀化市2019年的国民生产总值约为333．9亿元，预计2019年比上一年增长10%，表示2019年怀化市的国民生产总值应是（结果保留3个有效数字）（　　）‎ ‎　　（Ａ）元　　（Ｂ）元 ‎　　（Ｃ）元　　（Ｄ）元 ‎　　答案：（A）．‎ ‎　　认识和表达生活中的数据，是课标设置的主要内容之一．科学记数法、近似数、有效数字的考查是中考前两题中经常出现的题目，这类题目往往和生活相联系．‎ ‎　　热点3：实数的运算能力的考查（包括零指数幂、负整数指数幂性质的运用）‎ ‎　　例3　（1）等于（　　）‎ ‎　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）‎ ‎　　答案：（D）．‎ ‎　　（2）计算：．‎ ‎　　答案：．‎ ‎　　点评：考查实数的运算法则、方法、技巧．运算时要认真审题，确定符号，明确运算顺序，灵活运用．‎ ‎　　（3）下列各数与最接近的是（　　）‎ ‎　　（A）2．5　　（B）2．6　　（C）2．7　　（D）2．8‎ ‎　　答案：（B）．‎ ‎　　点评：考查开方和乘方是互为逆运算，不好直接估算出来，要反过来计算各数的平方．‎ ‎　　（4）小明设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入x的值为时，则输出的数值为________．‎ ‎　　答案：1．‎ ‎　　点评：渗透编程中框图的思想．其实就是计算：当时，的值．‎ ‎　　实数的混合运算中，运算顺序和运算技巧，零指数幂和负指数幂等是中考中的热点，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，一般难度不大． ‎ ‎　　热点4：整式的运算及同底数幂乘法法则、积和幂的乘方法则、乘法公式的运用的考查（包括因式分解）‎ ‎　　例4　（１）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　　（A）　　　　　（B）‎ ‎　　（C）　　　　 （D）‎ ‎　　答案：（D）．‎ ‎　　点评：考查幂的运算．熟练掌握幂的运算公式．不要搞混．‎ ‎　　（2）若与是同类项，则________． ‎ ‎　　答案：5．‎ ‎　　点评：同类项是所含字母相同且相同字母的次数也相同．从而，，．‎ ‎　　（3）先化简，再求值：‎ ‎　　，其中，．‎ ‎　　答案：化简为：，值为1．‎ ‎　　点评：一定要先化简再求值．不要直接代入求值．‎ ‎　　（4）分解因式： _______．‎ ‎　　答案：．‎ ‎　　点评：因式分解的一般方法，先提取公因式，然后再考虑是否能运用公式法．要注意整体代换的思想．‎ ‎　　考点主要是用代数式表示数量关系，单项式的系数、次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．有时也出现与其他知识的综合题和探索型题．为此，应重视通过对特殊现象的研究而得出一般结论的方法，即数学上常用的归纳法．‎ ‎　　热点5：非负数的考查（包括、（）、的非负性．）‎ ‎　　例5　（1）如果a，b是任意的两个实数，下列各式中的值一定是负数的是（　　）‎ ‎　　（A）　　　 　 （B）‎ ‎　　（C）　　　　（D）‎ ‎　　答案：（D）．‎ ‎　　点评：考查、、的非负性．只有不能为0，其它可以为0．‎ ‎　　（2）若，求．‎ ‎　　答案：4．‎ ‎　　点评：利用、、的非负性，而、的和为0，只有，，解得：，，再代入计算．‎ ‎　　、、的非负性，是中学数学中一个很重要的性质．利用它们的这个性质，可以处理很多问题，应用很广．‎ ‎　　热点6：分式的意义、分式的基本性质及分式的混合运算考查 ‎　　例6　（1）当x_________时，分式有意义．‎ ‎　　答案：．‎ ‎　　点评：分式有意义，分母必须不为0．即．‎ ‎　　（2）分式的值为1时，m的值是（　　）‎ ‎　　（A）　（B）　（C）　（D）‎ ‎　　答案：（C）．‎ ‎　　点评：让分式等于1，然后解分式方程．‎ ‎　　（3）已知分式：，．下面三个结论：①A，B相等；②A，B互为相反数；③A，B互为倒数．请问哪个正确？为什么？‎ ‎　　答案：②．‎ ‎　　点评：题型新颖．其实就是计算B， 再与A进行比较．‎ ‎　　分式的考点主要是分式有意义、分式的值，分式的运算、分式的化简、求值的方法和技巧．命题形式有填空题、选择题，有关运算、化简求值的题目多以解答题的形式出现．‎ ‎　　热点7：二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，二次根式的性质及计算的考查 ‎　　例7　（1）16的平方根是_____．‎ ‎　　答案：±4．‎ ‎　　点评：注意平方根、算术平方根的区别．‎ ‎　　（2）要使二次根式有意义，x应满足的条件是（　　）‎ ‎　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）‎ ‎　　答案：（A）．‎ ‎　　点评：被开方数必须大于或等于0，不要忘了等号．‎ ‎　　（3）计算： _______．‎ ‎　　答案：‎ ‎　　点评：先化成最简二次根式，再合并．‎ ‎　　重点考查最简二次根式、同类二次根式的概念，以及二次根式的化简、求值．通常以填空题、选择题的形式出现，常与一元二次方程、函数等知识相联系．‎ ‎　　热点8：探究规律，发现规律的考查 ‎　　例8　（1）观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2 007个数是（　　）‎ ‎　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）‎ ‎　　答案：（C）．‎ ‎　　点评：第1个数：；第2个数：；第3个数：；…第2 007个数：．认真观察，从特殊到一般．‎ ‎（2）观察下列各式：‎ ‎　　猜想：_________．‎ ‎　　答案：．‎ ‎　　点评：1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10　…‎ ‎　　（3）观察：，，将以上三个等式两边分别相加得：．‎ ‎　　①猜想并写出： _________．‎ ‎　　②直接写出下列各式的计算结果：‎ ‎_________．‎ ‎_________．‎ ‎　　③探究计算：．‎ ‎　　答案：①；②，；③．‎ ‎　　点评：认真观察：．‎ 而③中原式 ‎　　归纳、猜想型试题是近年中考出现的新题型，其特点是：给出一组具有递进关系的数、式子、图形，或某个由简单到复杂的操作过程，或某一具体的问题情境，通过探求其变化过程中的规律，归纳或猜想出一般性的结论；有的题目还要求对结论的正确性加以验证．解答这类试题的思路是：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．‎ ‎　　【考题预测】‎ ‎　　1．_____的倒数是； 0.28的相反数是_____．‎ ‎　　2．当x_______时，分式有意义．‎ ‎　　3．二次根式有意义，则x的取值范围______．‎ ‎　　4．如下图，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的数值为_________．‎ ‎　　5．的绝对值是________．‎ ‎　　6．（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______．‎ ‎　　（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_____，如果，那么________．‎ ‎　　7．当代数式的值为7时，代数式的值是_______．‎ ‎　　8．如果，，则________．‎ ‎　　9．下列说法中，不正确的是（　　）‎ ‎　　（A）的平方是 1　　（B）的平方根是 ‎　　（C）的立方是　　（D）的立方根是 ‎　　10．的值等于（　　）‎ ‎　　（A）　　（B）3　　（C）9　　（D）‎ ‎　　11．如果a是实数，那么下面说法正确的是（　　）‎ ‎　　（A）一定是负数　　（B）一定是正数 ‎　　（C）的倒数是　　 （D）一定不是负数 ‎　　12．下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）‎ ‎　　（A） 　（B）　 （C） 　（D） ‎ ‎　　13．下列运算中错误的是（　　）‎ ‎　　（A）　　　　　（B）‎ ‎　　（C）　　　　 （D） ‎ ‎　　14．如果，那么一定有（　　）‎ ‎　　（A）　　（B）　　（C）　　（D）‎ ‎　　15．适合的正整数a的值有（　　）‎ ‎　　（A）1个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个 ‎　　16．计算题：（1）；‎ ‎　　（2）；‎ ‎　　（3）；‎ ‎　　（4）．‎ ‎　　17．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下：‎ ‎　　　 　　　2＝1×2‎ ‎　　　　　　2+4＝6＝2×3‎ ‎　　　　　2+4+6＝12＝3×4‎ ‎　　　　2+4+6+8＝20＝4×5‎ ‎　　　2+4+6+8+10＝30＝5×6‎ ‎　　__________．‎ ‎　　利用上式计算：（1）；‎ ‎　　（2）40+42+44+…+400．‎