成都市2015年中考数学卷

成都市2015年中考数学卷

解密时间：2015年 ‎6月14日上午9:00‎ 秘密 ‎ ‎ 姓名： 　　　　 准考证号： 　　　 ‎ 成都市二〇一五年高中阶段教育学校统一招生考试 ‎（含成都市初三毕业会考）‎ 数学 A卷（共100分）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共30分）‎ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）‎ ‎1.的倒数是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：根据倒数的定义，很容易得到的倒数是，选A。‎ ‎2.如图所示的三棱柱的主视图是 ‎ ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中。从正面看易得三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内，选B。 ‎ ‎3.今年月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相。新机场 ‎ 建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，‎ ‎ 新机场将新建的4个航站楼的总面积约为万平方米，用科学计数法表示万为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】：C ‎【解析】： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数。确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值＞1时，n是正数； 当原数的绝对值＜1时，n是负数。 将126万用科学记数法表示1.26×106元，选B。‎ ‎4.下列计算正确的是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】：C ‎【解析】： A、 与 是同类项，能合并，。故本选项错误。‎ ‎ B、 与 是同底数幂，根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。‎ ‎ 。故本选项错误。‎ ‎ C、根据幂的乘方法则。。故本选项正确。‎ ‎ D、根据完全平方公式。。故本选项错误。‎ ‎ 综上，选C。‎ ‎ ‎ ‎5.如图，在中，，，，,‎ ‎ 则的长为 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎【答案】：B ‎【解析】： 根据平行线段的比例关系，，即，，选B。‎ ‎6.一次函数的图像不经过 ‎ （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎【答案】：D ‎【解析】： ∵，根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、三象限，不经过第四象限，选D。‎ ‎7.实数、在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为 ‎ （A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】：C ‎【解析】： 根根据数轴上两数的特点判断出a、b的符号及绝对值的大小，再对进行分析即可。‎ ‎ 由图可知a<0，b>0。所以a-b<0。为的相反数，选C。‎ ‎8.关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是 ‎ （A） （B） （C） （D）且 ‎【答案】：D ‎【解析】：这是一道一元二次方程的题，首先要是一元二次，则，然后有两个不想等的实数根，则，则有，所以且，因此选择。‎ ‎9.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函 ‎ 数表达式为 ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：这个题考的是平移，函数的平移：左加右减，上加下减。向左平移个单位得到：，再向下平移个单位得到： ，选择。‎ ‎10.如图，正六边形内接于圆，半径为，则这个正六边形的边心距和 弧的长分别为 ‎（A）、 （B）、 ‎ ‎ （C）、 （D）、‎ ‎ ‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：在正六边形中，我们连接、可以得到为等边三角形，边长等于半径。因为为边心距，所以，所以，在边长为的等边三角形中，边上的高。弧所对的圆心角为，由弧长计算公式： ，选D。‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共70分）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）‎ ‎11.因式分解：__________.‎ ‎ 【答案】：‎ ‎【解析】：本题考查了平方差公式，，因此，。‎ ‎12.如图，直线，为等腰直角三角形，，则________度.‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：本题考查了三线八角，因为为等腰直角三角形，所以 ‎ ，又，‎ ‎13.为响应 “书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅 读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读 时间，统计结果如图所示，则在本次调查中阅读时间的中位 数是_______小时.‎ ‎【答案】：1‎ ‎【解析】：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字 ‎(或两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数。‎ 此题，显然中位数是1。‎ ‎14.如图，在平行四边形中，，，将平行四边形沿翻 折后，点恰好与点重合，则折痕的长为__________.‎ ‎【答案】：3‎ ‎【解析】：点恰好与点重合，且四边形是平行四边形，‎ ‎ 根据翻折的性质， 则，，‎ 在中，由勾股定理得 三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎15.（本小题满分12分，每小题6分）‎ ‎(1)计算：‎ ‎【答案】：8 ‎ ‎ 【解析】：原式 ‎ ‎ ‎(2)解方程组：‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】： 两式相加得，解得，将代入第一个式子，解得，‎ ‎ 所以方程组的解为。‎ ‎16. （本小题满分6分）‎ 化简:‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】： 原式= ‎ ‎ ‎ ‎17.（本小题满分8分）‎ ‎ 如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.（参考数据：sin42°≈0.67 ，cos42°≈0.74 ， tan42°≈0.90）‎ ‎【答案】：234m ‎【解析】：如图所示，缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离为，‎ 又∵和均为直角三角形，‎ ‎ ∴‎ ‎18. （本小题满分8分）‎ 国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求获得一等奖的学生人数；‎ ‎（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率.‎ ‎【答案】：（1）30人； （2）‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）由图可知三等奖占总的25%，总人数为人，‎ 一等奖占，所以，一等奖的学生为 ‎ 人 ‎（2）这里提供列表法：‎ A B C D A AB AC AD B AB BC BD C AC BC CD D AD BD CD 从表中我们可以看到总的有12种情况，而AB分到一组的情况有2种，故总的情况为 ‎19. （本小题满分10分）‎ 如图，一次函数的图象与反比例（为常数，且）的图象交于，两点.‎ ‎（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；‎ ‎（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积.‎ ‎【答案】：（1），；（2）P ，‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）由已知可得，，，‎ ‎ ∴反比例函数的表达式为，‎ 联立解得或，所以。‎ ‎ （2）如答图所示，把B点关于x轴对称，得到，‎ ‎ 连接交x轴于点，连接，则有，‎ ‎ ，当P点和点重合时取 ‎ 到等号。易得直线：，令，‎ 得，∴，即满足条件的P的坐标为，‎ ‎ 设交x轴于点C，则，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 即 ‎20.（本小题满分10分）‎ 如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且.是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试判断与的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）若，求的值.‎ ‎ 【答案】：（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）由已知条件易得，，‎ ‎ 又，∴（）‎ ‎（2）与相切。‎ 理由：连接，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ ‎（3）连接，，由于为垂直平分线，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵为角平分线，∴，‎ ‎∴，∴，∴，‎ 即，∵在等腰中，‎ ‎∴‎ B卷（共50分）‎ 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）‎ ‎21.比较大小：________.（填，，或）‎ ‎【答案】：<‎ ‎【解析】：为黄金数，约等于0.618，，显然前者小于后者。‎ ‎ 或者作差法：，所以，前者小于后者。‎ ‎22.有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为_________.‎ ‎ 【答案】：‎ ‎ 【解析】：设不等式有解，则不等式组的解为，那么必须满足条件，，∴满足条件的a的值为6,7,8,9，∴有解的概率为 ‎23．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O．以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2B2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为____________．‎ B2‎ y B1‎ C2‎ C3‎ A2‎ A3‎ A1‎ O C1‎ D1‎ D2‎ x ‎【答案】：（3 n－1，0）‎ ‎【解析】：由题意，点A1的坐标为（1，0），‎ 点A2的坐标为（3，0），即（3 2－1，0）‎ 点A3的坐标为（9，0），即（3 3－1，0）‎ 点A4的坐标为（27，0），即（3 4－1，0）‎ ‎………‎ ‎∴点An的坐标为（3 n－1，0）‎ ‎24.如图，在半径为5的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作 的垂线交射线于点，当是等腰三角形时，线段的长为 . ‎ ‎ 图（1） 图（2） 图（3）‎ ‎【答案】：或或 ‎ ‎【解析】：（1）当时，如图（1），作于点，延长交于点；‎ 易知，‎ 射影知.‎ ‎ （2）当时，如图（2），延长交于点，易知，，‎ 易知.‎ ‎（3）当时，如图（3），由.‎ 综上：或或 ‎25.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）‎ ①方程是倍根方程；‎ ②若是倍根方程，则；‎ ③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；‎ ④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：‎ 对于①， ，因此本选项错误；‎ 对于②，，而，因此本选项正确；‎ 对于③，显然，而，因此本选项正确；‎ 对于④，由，知 ，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为，，因此本选项错误。‎ 综上可知，正确的选项有：②③。‎ 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在大题卡上）‎ ‎26、（本小题满分8分）‎ 某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元。‎ ‎（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？‎ ‎（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？‎ ‎【答案】：（1）120件；（2）150元。‎ ‎【解析】：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件 ‎ 由题意可得：，解得，经检验是原方程的根。‎ ‎ （2）设每件衬衫的标价至少是元 ‎ 由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元/件）‎ ‎ 由题意可得：‎ ‎ 解得，所以，即每件衬衫的标价至少是元。‎ ‎27、（本小题满分10分）‎ 已知分别为四边形和的对角线，点在内，。‎ ‎（1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接。‎ ‎ 1)求证：∽；2）若，求的长。‎ ‎（2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，‎ 求的值；‎ ‎（3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，‎ 设，试探究三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）‎ ‎【答案】：（1）1）见解析，2）；（2）；（3）‎ ‎【解析】：（1）1)，又，‎ ‎∽。‎ ‎ 2），，由∽可得，‎ 又，，即 由，解得。‎ ‎ （2）连接，同理可得，由，可得 ‎，所以，。‎ ‎ ‎ ‎，解得。‎ ‎ （3）连接，同理可得，过作延长线于，‎ 可解得，，‎ ‎。‎ ‎28．（本小题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax 2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．‎ ‎（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；‎ ‎（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；‎ ‎（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ x y O A B D l C 备用图 x y O A B D l C E ‎【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a； ‎ ‎（2）a＝－ ；‎ ‎（3）P的坐标为（1，－ ）或（1，－4）‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）A（－1，0）‎ x y O A B D l C E F ‎∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k ‎∴y＝kx＋k 令ax 2－2ax－3a＝kx＋k，即ax 2－( 2a＋k )x－3a－k＝0‎ ‎∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4‎ ‎∴－3－ ＝－1×4，∴k＝a ‎∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a ‎（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F 设E（x，ax 2－2ax－3a），则F（x，ax＋a）‎ EF＝ax 2－2ax－3a－( ax＋a )＝ax 2－3ax－4a S△ACE ＝S△AFE － S△CFE ‎＝ ( ax 2－3ax－4a )( x＋1 )－ ( ax 2－3ax－4a )x ‎＝ ( ax 2－3ax－4a )＝ a( x－ )2－ a ‎∴△ACE的面积的最大值为－ a ‎∵△ACE的面积的最大值为 ‎∴－ a＝ ，解得a＝－ ‎（3）令ax 2－2ax－3a＝ax＋a，即ax 2－3ax－4a＝0‎ x y A B D l C Q P O 解得x1＝－1，x2＝4‎ ‎∴D（4，5a）‎ ‎∵y＝ax 2－2ax－3a，∴抛物线的对称轴为x＝1‎ 设P（1，m）‎ ‎①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）‎ m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）‎ ‎∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°‎ ‎∴AD 2＋PD 2＝AP 2‎ ‎∴5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a－5a )2＝( －1－1 )2＋( 26a )2‎ 即a 2＝ ，∵a＜0，∴a＝－ ‎∴P1（1，－ ）‎ x y O A B D l C P Q ‎②若AD是矩形的一条对角线 则线段AD的中点坐标为（ ，），Q（2，－3a）‎ m＝5a－( －3a )＝8a，则P（1，8a）‎ ‎∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°‎ ‎∴AP 2＋PD 2＝AD 2‎ ‎∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a－5a )2＝5 2＋( 5a )2‎ 即a 2＝ ，∵a＜0，∴a＝－ ‎∴P2（1，－4）‎ 综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形 点P的坐标为（1，－ ）或（1，－4）‎