中考数学压轴题集训

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中考数学压轴题集训

中考数学压轴题集训 (八个类型 )‎ 一.面积与动点 ‎1.(重庆市綦江县)如图,已知抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C,B在轴正半轴上,连结BC.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)若动点P从点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动,设点P运动的时间为t(s).问:当t为何值时,四边形DAOP分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?‎ ‎(3)若OC=OB,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t(s),连接PQ,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小?并求出最小值及此时PQ的长.‎ 解:(1)把A(-2,0)代入y=a(x-1)2+,得0=a(-2-1)2+.‎ ‎∴a=-································· 1分 ‎∴该抛物线的解析式为y=-(x-1)2+‎ 即y=-x 2+x+.······················· 3分 ‎(2)设点D的坐标为(xD,yD),由于D为抛物线的顶点 ‎∴xD=-=1,yD=-×1 2+×1+=.‎ ‎∴点D的坐标为(1,).‎ 如图,过点D作DN⊥x轴于N,则DN=,AN=3,∴AD==6.‎ ‎∴∠DAO=60°······························· 4分 ‎∵OM∥AD ‎①当AD=OP时,四边形DAOP为平行四边形.‎ ‎∴OP=6‎ ‎∴t=6(s)························ 5分 ‎②当DP⊥OM时,四边形DAOP为直角梯形.‎ 过点O作OE⊥AD轴于E.‎ 在Rt△AOE中,∵AO=2,∠EAO=60°,∴AE=1.‎ ‎(注:也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE=1)‎ ‎∵四边形DEOP为矩形,∴OP=DE=6-1=5.‎ ‎∴t=5(s)································ 6分 ‎③当PD=OA时,四边形DAOP为等腰梯形,此时OP=AD-2AE=6-2=4.‎ ‎∴t=4(s)‎ 综上所述,当t=6s、5s、4s时,四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形.‎ ‎······································ 7分 ‎(3)∵∠DAO=60°,OM∥AD,∴∠COB=60°.‎ 又∵OC=OB,∴△COB是等边三角形,∴OB=OC=AD=6.‎ ‎∵BQ=2t,∴OQ=6-2t(0<t<3)‎ 过点P作PF⊥x轴于F,‎ 则PF=t.······························· 8分 ‎∴S四边形BCPQ =S△COB -S△POQ ‎=×6×-×(6-2t)×t ‎=(t-)2+··························· 9分 ‎∴当t=(s)时,S四边形BCPQ的最小值为.················ 10分 此时OQ=6-2t=6-2×=3,OP=,OF=,∴QF=3-=,PF=.‎ ‎∴PQ===················· 12分 二.几何图形与变换 ‎2.(辽宁省铁岭市)如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1‎ 个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,‎ 垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.‎ ‎(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;‎ ‎(2)求S与t的函数关系式;‎ ‎(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0),将A.B点坐标代入得出:,‎ 解得:,‎ 故经过O、A、B三点的抛物线解析式为:y=-x2+x.‎ ‎(2)①当0<t≤2时,重叠部分为△OPQ,过点A作AD⊥x轴于点D,‎ 如图1.‎ 在Rt△AOD中,AD=OD=1,∠AOD=45°.‎ 在Rt△OPQ中,OP=t,∠OPQ=∠QOP=45°.‎ ‎∴OQ=PQ=t.‎ ‎∴S=S△OPQ=OQ•PQ=×t×t=t2(0<t≤2);‎ ‎②当2<t≤3时,设PQ交AB于点E,重叠部分为梯形AOPE,‎ 作EF⊥x轴于点F,如图2.∵∠OPQ=∠QOP=45°‎ ‎∴四边形AOPE是等腰梯形∴AE=DF=t-2.‎ ‎∴S=S梯形AOPE=(AE+OP)•AD=(t-2+t)×1=t-1(2<t≤3); ③当3<t<4时,设PQ交AB于点E,交BC于点F,‎ 重叠部分为五边形AOCFE,如图3.‎ ‎∵B(3,1),OP=t,∴PC=CF=t-3.‎ ‎∵△PFC和△BEF都是等腰直角三角形 ‎∴BE=BF=1-(t-3)=4-t ‎∴S=S五边形AOCFE=S梯形OABC-S△BEF=(2+3)×1-(4-t)2=-t2+4t-(3<t<4);‎ ‎(4)存在,t1=1,t2=2.‎ 将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,此时Q(t+,),O(t,t)‎ ‎①当点Q在抛物线上时,=-×(t+)2+×(t+),‎ 解得t=2;‎ ‎②当点O在抛物线上时,t=-t2+t,‎ 解得:t=1.‎ ‎ ‎ 三.相似 ‎3.(四川省遂宁市)如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎(1)求该二次函数的解析式;‎ ‎(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;‎ ‎(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】 (1)设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k ‎∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k,=16a+k①‎ 又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6‎ ‎∴A(1,0),B(7,0)‎ ‎∴0=9a+k②‎ 由①②解得a=,k=-‎ ‎∴二次函数的解析式为:y=(x-4)2-‎ ‎(2)∵点A、B关于直线x=4对称 ‎∴PA=PB ‎∴PA+PD=PB+PD≥DB ‎∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ‎∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ‎∵PM∥OD,‎ ‎∴∠BPM=∠BDO,‎ 又∵∠PBM=∠DBO ‎∴△BPM∽△BDO ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴点P的坐标为(4,)‎ ‎(3)由(1)知点C(4,),‎ 又∵AM=3,‎ ‎∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,‎ ‎∴∠ACM=60°,‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴∠ACB=120°‎ ‎①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有 BQ=6,∠ABQ=120°,则∠QBN=60°‎ ‎∴QN=3,BN=3,ON=10,‎ 此时点Q(10,),‎ 如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)‎ ‎②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,‎ 此时点Q的坐标是(4,),‎ 经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上 综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).‎ ‎ ‎ 四.等腰,直角三角形 ‎4.(广东省湛江市)已知矩形纸片OABC的长为4,宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系;点P是OA边上的动点(与点OA不重合),现将△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE、PF重合.‎ ‎(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P、C、D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?‎ ‎(3)在(1)的情况下,过点P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q,使△PDQ是以PD为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标.‎ ‎ ‎ ‎ 解:(1)由题意知,△POC,△PAD均为等腰直角三角形,可得P(3,0),C(0,3),D(4,1),‎ 设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c(a≠0), ‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴过P、C、D三点的抛物线的函数关系式为y=x2-x+3.‎ ‎(2)由已知PC平分∠OPE,PD平分∠APF,且PE、PF重合,则∠CPD=90°,‎ ‎∴∠OPC+∠APD=90°,又∠APD+∠ADP=90°,‎ ‎∴∠OPC=∠ADP.‎ ‎∴Rt△POC∽Rt△DAP.‎ ‎∴即 ‎∵y=x(4-x)‎ ‎=-x2+x ‎=-(x-2)2+(0<x<4)‎ ‎∴当x=2时,y有最大值.‎ ‎(3)假设存在,分两种情况讨论:‎ ‎①当∠DPQ=90°时,由题意可知∠DPC=90°,且点C在抛物线上,‎ 故点C与点Q重合,所求的点Q为(0,3)‎ ‎②当∠QDP=90°时,过点D作平行于PC的直线DQ,假设直线DQ交抛物线于另-点Q,‎ ‎∵点P(3,0),C(0,3),‎ ‎∴直线PC的方程为y=-x+3,将直线PC向上平移2个单位与直线DQ重合,‎ ‎∴直线DQ的方程为y=-x+5.‎ 由,‎ 得或.‎ 又点D(4,1),∴Q(-1,6),故该抛物线上存在两点Q(0,3),(-1,6)满足条件.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.(广东省深圳市)已知:Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB),直角顶点C落在y轴正半轴上(如图1).‎ ‎(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式.‎ ‎(2)如图2,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n>0),连接DP交BC于点E.‎ ‎①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.‎ ‎②又连接CD、CP(如图3),△CDP是否有最大面积?若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设OA的长为x,则OB=5-x;‎ ‎∵OC=2,AB=5,∠BOC=∠AOC=90°,∠OAC=∠OCB;‎ ‎∴△AOC∽△COB,∴OC2=OA•OB ‎∴22=x(5-x) …(1分)‎ 解得:x1=1,x2=4,‎ ‎∵OA<OB,∴OA=1,OB=4; …(2分)‎ ‎∴点A、B、C的坐标分别是:A(-1,0),B(4,0),C(0,2);‎ ‎(注:直接用射影定理的,不扣分)‎ 方法一:设经过点A、B、C的抛物线的关系式为:y=ax2+bx+2,‎ 将A、B、C三点的坐标代入得…(3分)‎ 解得:a=,b=,c=2‎ 所以这个二次函数的表达式为:…(4分)‎ 方法二:设过点A、B、C的抛物线的关系式为:y=a(x+1)(x-4)…(3分)‎ 将C点的坐标代入得:a=‎ 所以这个二次函数的表达式为:…(4分)‎ ‎(注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)‎ ‎ ‎ ‎(2)①当△BDE是等腰三角形时,点E的坐标分别是:,,.‎ ‎…1+1+(1分)‎ ‎(注:符合条件的E点共有三个,其坐标,写对一个给1分)‎ ‎②如图1,连接OP, S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD …(8分) ==m+n-2 ==…(9分) ∴当m=时,△CDP的面积最大.此时P点的坐标为(,), S△CDP的最大值是. …(10分) 另【解析】 如图2、图3,过点P作PF⊥x轴于点F,则 S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP …(8分) ==m+n-2 ‎ ‎==…(9分) ∴当m=时,△CDP的面积最大.此时P点的坐标为(,), S△CDP的最大值是. (注:只回答有最大面积,而没有说明理由的,不给分;点P的坐标,或最大面积计算错误的,扣(1分);其他解法只要合理,酌情给分.) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 五、特殊四边形。‎ ‎6.(内蒙古赤峰市)如图,Rt△ABC的顶点坐标分别为A(0,),B(-,),C(1,0),∠ABC=90°,BC与y轴的交点为D,D点坐标为(0,),以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′,求证:四边形AOCB′是矩形,并判断点B′是否在(1)的抛物线上;‎ ‎(3)延长BA交抛物线于点E,在线段BE上取一点P,过P点作x轴的垂线,交抛物线于点F,是否存在这样的点P,使四边形PADF是平行四边形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【解析】 (1)设抛物线的解析式为y=ax2+,(1分) ∵B(,)在抛物线上, ∴把B(,)代入y=ax2+ 得a=.(3分) ∴抛物线解析式为y=x2+.(5分) (2)∵点B(,),A(0,), ∴CB=, ∴CB'=CB=OA.(6分) 又CA==2 ∴AB==1 ∴AB'=AB=OC.(7分) ∴四边形AOCB'是矩形.(8分) ∵CB'=,OC=1, ∴B'点的坐标为(1,).(9分) ∵当x=1时,代入y=x2+得y=, ∴B'(1,)在抛物线上.(10分) (3)存在.(11分) 理由是:设BA的解析式为y=kx+b, ∴ ∴ ∵P,F分别在直线BA和抛物线上,且PF∥AD, ∴设P(m,m+),F(m,m2+) PF=(m+)-(m2+),AD=-= 如果PF=AD,则有 ‎ ‎=(m+)-(m2+)= 解得m1=0(不符合题意舍去),m2=. ∴当m=时,PF=AD, 存在四边形ADFP是平行四边形.(13分) 当m=时,m+=, ∴P点的坐标是(,).(14分)‎ ‎ ‎ 六,线段和与差 ‎7.(贵州省铜仁地区)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,边AB在x轴上,且AB=6,D(0,9),以点C为顶点的抛物线经过A、B两点,直线l过点C,交y轴于点E(0,12).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若抛物线的顶点C沿直线l向上移动,当抛物线经过D点时,求抛物线的解析式和A、C两点间的抛物线弧扫过的面积;‎ ‎(3)P是线段BD上的动点,连结CP,B,D两点到直线CP的距离之和是否存在最大值?若存在,请求出其最大值和此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8.(四川省眉山市)如图,已知直线y=x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x 2+bx+c与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标;‎ ‎(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM-MC|的值最大,求出点M的坐标.‎ 解:(1)∵直线y=x+1与y轴交于点A,‎ ‎∴A(0,1),‎ ‎∵y=x2+bx+c过(1,0)和(0,1),‎ 则,‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+1;‎ ‎(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为m2﹣m+1即E点的坐标(m,m2﹣m+1),‎ 又∵点E在直线y=x+1上,‎ ‎∴m2﹣m+1=m+1‎ 解得m1=0(舍去),m2=4,‎ ‎∴E的坐标为(4,3).‎ ‎(Ⅰ)当A为直角顶点时,‎ 过A作AP1⊥DE交x轴于P1点,设P1(a,0)易知D点坐标为(﹣2,0),‎ 由Rt△AOD∽Rt△P1OA得=,即 =,‎ ‎∴a=,‎ ‎∴P1(,0).‎ ‎(Ⅱ)同理,当E为直角顶点时,过E作EP2⊥DE交x轴于P2点,‎ 由Rt△AOD∽Rt△P2ED得,=,即 =,‎ ‎∴EP2=,‎ ‎∴DP2==,‎ ‎∴a=﹣2=,‎ P2点坐标为(,0).‎ ‎(Ⅲ)当P为直角顶点时,过E作EF⊥x轴于F,设P3(b、0),‎ 由∠OPA+∠FPE=90°,得∠OPA=∠FEP,Rt△AOP∽Rt△PFE,‎ 由 =得 =,‎ 解得b1=3,b2=1,‎ ‎∴此时的点P3的坐标为(1,0)或(3,0),‎ 综上所述,满足条件的点P的坐标为(,0)或(1,0)或(3,0)或(,0).‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 七计算与说理。‎ ‎9.(湖南省株洲市)如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B的坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.‎ ‎(1)求点A的坐标(用m表示);‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ并延长交AC于点F,试证明:FC(AC+EC)为定值.‎ ‎ ‎ ‎【解析】 ∵∠ODA=∠OAD=45°, ∴OD=OA=m-3,则点D的坐标是(0,m-3). 又抛物线顶点为P(1,0),且过点B、D, 所以可设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2, 得:, 解得:, ∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1; 过点Q作QM⊥AC于点M,过点Q作QN⊥BC于点N, 设点Q的坐标是(x,x2-2x+1), 则QM=CN=(x-1)2,MC=QN=3-x. ∵QM∥CE, ∴△PQM∽△PEC, ∴, ∴, ∴EC=2(x-1). ∵QN∥FC, ∴△BQN∽△BFC, ∴, ∴, ∴, ∵AC=4, ∴FC(AC+EC)=[4+2(x-1)]=(2x+2)=×2×(x+1)=8. 故答案为:8.‎ 八平行于垂直 ‎10.(浙江省绍兴市)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,,,‎ ‎.动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点的运动时间为(秒).‎ ‎(1)用含的代数式表示;‎ ‎(2)当时,如图1,将沿翻折,点恰好落在边上的点处,求点的坐标;‎ (1) 连结,将沿翻折,得到,如图2.问:与能否平行?与能否垂直?若能,求出相应的值;若不能,说明理由.‎ ‎ ‎ 解:(1),.‎ ‎(2)当时,过点作,交于,如图1,‎ 则,,‎ ‎,.‎ ‎(3)①能与平行.‎ 若,如图2,则,‎ 即,,而,‎ ‎.‎ ‎②不能与垂直.‎ 若,延长交于,如图3,‎ 则 ‎.‎ ‎.‎ 又,,‎ ‎,‎ ‎,而,‎ 不存在.‎
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