全国各地中考数学真题分类解析汇编梯形

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全国各地中考数学真题分类解析汇编梯形

梯形 一、选择题 ‎1. (2014•广西贺州,第9题3分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,CA平分∠BCD,∠B=60°,若AD=3,则梯形ABCD的周长为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎12‎ B.‎ ‎15‎ C.‎ ‎12‎ D.‎ ‎15‎ 考点:‎ 等腰梯形的性质.‎ 分析:‎ 过点A作AE∥CD,交BC于点E,可得出四边形ADCE是平行四边形,再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°,由三角形外角的定义求出∠EAC的度数,故可得出四边形ADEC是菱形,再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形,由此可得出结论.‎ 解答:‎ 解:过点A作AE∥CD,交BC于点E,‎ ‎∵梯形ABCD是等腰梯形,∠B=60°,‎ ‎∴AD∥BC,‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形,‎ ‎∴∠AEB=∠BCD=60°,‎ ‎∵CA平分∠BCD,‎ ‎∴∠ACE=∠BCD=30°,‎ ‎∵∠AEB是△ACE的外角,‎ ‎∴∠AEB=∠ACE+∠EAC,即60°=30°+∠EAC,‎ ‎∴∠EAC=30°,‎ ‎∴AE=CE=3,‎ ‎∴四边形ADEC是菱形,‎ ‎∵△ABE中,∠B=∠AEB=60°,‎ ‎∴△ABE是等边三角形,‎ ‎∴AB=BE=AE=3,‎ ‎∴梯形ABCD的周长=AB+(BE+CE)+CD+AD=3+3+3+3+3=15.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查的是等腰梯形的性质,根据题意作出辅助线,构造出平行四边形是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(2014•襄阳,第10题3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE∥AB,DE=DC,∠C=80°,则∠A等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎80°‎ B.‎ ‎90°‎ C.‎ ‎100°‎ D.‎ ‎110°‎ 考点:‎ 梯形;等腰三角形的性质;平行四边形的判定与性质.‎ 分析:‎ 根据等边对等角可得∠DEC=80°,再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°,∠A=180°﹣80°=100°.‎ 解答:‎ 解:∵DE=DC,∠C=80°,‎ ‎∴∠DEC=80°,‎ ‎∵AB∥DE,‎ ‎∴∠B=∠DEC=80°,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠A=180°﹣80°=100°,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 此题主要考查了等腰三角形的性质,以及平行线的性质,关键是掌握两直线平行,同位角相等,同旁内角互补.‎ ‎3.(2014·台湾,第3题3分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E点在BC上,且AE⊥BC.若AB=10,BE=8,DE=6,则AD的长度为何?(  )‎ A.8 B.9 C.6 D.6 分析:利用勾股定理列式求出AE,再根据两直线平行,内错角相等可得∠DAE=90°,然后利用勾股定理列式计算即可得解.‎ 解:∵AE⊥BC,‎ ‎∴∠AEB=90°,‎ ‎∵AB=10,BE=8,‎ ‎∴AE===6,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAE=∠AEB=90°,‎ ‎∴AD== =6.‎ 故选C.‎ 点评:本题考查了梯形,勾股定理,是基础题,熟记定理并确定出所求的边所在的直角三角形是解题的关键.‎ ‎4.(2014•浙江宁波,第8题4分)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC=3,则△ABC与△DCA的面积比为( )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2:3‎ B.‎ ‎2:5‎ C.‎ ‎4:9‎ D.‎ ‎:‎ ‎ ‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质.‎ 分析:‎ 先求出△CBA∽△ACD,求出=,COS∠ACB•COS∠DAC=‎ ‎,得出△ABC与△DCA的面积比=.‎ 解答:‎ 解:∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ACB=∠DAC 又∵∠B=∠ACD=90°,‎ ‎∴△CBA∽△ACD ‎==,‎ AB=2,DC=3,‎ ‎∴===,‎ ‎∴=,‎ ‎∴COS∠ACB==,‎ COS∠DAC==‎ ‎∴•=×=,‎ ‎∴=,‎ ‎∵△ABC与△DCA的面积比=,‎ ‎∴△ABC与△DCA的面积比=,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题主要考查了三角形相似的判定及性质,解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比=.‎ ‎5. (2014•湘潭,第3题,3分)如图,AB是池塘两端,设计一方法测量AB的距离,取点C,连接AC、BC,再取它们的中点D、E,测得DE=‎15米,则AB=(  )米.‎ ‎(第1题图)‎ ‎ ‎ A.‎ ‎7.5‎ B.‎ ‎15‎ C.‎ ‎22.5‎ D.‎ ‎30‎ 考点:‎ 三角形中位线定理 分析:‎ 根据三角形的中位线得出AB=2DE,代入即可求出答案.‎ 解答:‎ 解:∵D、E分别是AC、BC的中点,DE=‎15米,‎ ‎∴AB=2DE=‎30米,‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查了三角形的中位线的应用,注意:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.‎ ‎6.(2014•德州,第7题3分)如图是拦水坝的横断面,斜坡AB的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4米 B.‎ ‎6米 C.‎ ‎12米 D.‎ ‎24米 考点:‎ 解直角三角形的应用-坡度坡角问题.‎ 分析:‎ 先根据坡度的定义得出BC的长,进而利用勾股定理得出AB的长.‎ 解答:‎ 解:在Rt△ABC中,∵=i=,AC=12米,‎ ‎∴BC=6米,‎ 根据勾股定理得:‎ AB==6米,‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,勾股定理,难度适中.根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键.‎ 二.填空题 ‎1. ( 2014•广西玉林市、防城港市,第17题3分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,∠A=120°,AD=2,BD平分∠ABC,则梯形ABCD的周长是 7+ .‎ 考点:‎ 直角梯形.‎ 分析:‎ 根据题意得出AB=AD,进而得出BD的长,再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半,进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长,即可得出梯形ABCD的周长.‎ 解答:‎ 解:过点A作AE⊥BD于点E,‎ ‎∵AD∥BC,∠A=120°,‎ ‎∴∠ABC=60°,∠ADB=∠DBC,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=30°,‎ ‎∴∠ABE=∠ADE=30°,‎ ‎∴AB=AD,‎ ‎∴AE=AD=1,‎ ‎∴DE=,则BD=2,‎ ‎∵∠C=90°,∠DBC=30°,‎ ‎∴DC=BD=,‎ ‎∴BC===3,‎ ‎∴梯形ABCD的周长是:AB+AD+CD+BC=2+2++3=7+.‎ 故答案为:7+.‎ 点评:‎ 此题主要考查了直角梯形的性质以及勾股定理和直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识,得出∠DBC的度数是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎2. (2014•扬州,第13题,3分)如图,若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的,则图中的∠1= 67.5° .‎ ‎(第1题图)‎ 考点:‎ 等腰梯形的性质;多边形内角与外角 分析:‎ 首先求得正八边形的内角的度数,则∠1的度数是正八边形的度数的一半.‎ 解答:‎ 解:正八边形的内角和是:(8﹣2)×180°=1080°,‎ 则正八边形的内角是:1080÷8=135°,‎ 则∠1=×135°=67.5°.‎ 故答案是:67.5°.‎ 点评:‎ 本题考查了正多边形的内角和的计算,正确求得正八边形的内角的度数是关键.‎ ‎ ‎ ‎3. (2014•扬州,第14题,3分)如图,△ABC的中位线DE=5cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A、F两点间的距离是8cm,则△ABC的面积为 40 cm3.‎ ‎(第2题图)‎ 考点:‎ 翻折变换(折叠问题);三角形中位线定理 分析:‎ 根据对称轴垂直平分对应点连线,可得AF即是△ABC的高,再由中位线的性质求出BC,继而可得△ABC的面积.‎ 解答:‎ 解:∵DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥BC,BC=2DE=10cm;‎ 由折叠的性质可得:AF⊥DE,‎ ‎∴AF⊥BC,‎ ‎∴S△ABC=BC×AF=×10×8=40cm2.‎ 故答案为:40.‎ 点评:‎ 本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理,解答本题的关键是得出AF是△ABC的高.‎ 三.解答题 ‎1. (2014年江苏南京,第19题)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.‎ ‎(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;‎ ‎(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBEF是菱形?为什么?‎ ‎(第1题图)‎ 考点:三角形的中位线、菱形的判定 分析:(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC,然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;‎ ‎(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明.‎ ‎(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形;‎ ‎(2)解答:当AB=BC时,四边形DBEF是菱形.‎ 理由如下:∵D是AB的中点,∴BD=AB,∵DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE=BC,∵AB=BC,∴BD=DE,又∵四边形DBFE是平行四边形,∴四边形DBFE是菱形.‎ 点评:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行四边形的判定,菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系,熟记性质与判定方法是解题的关键.‎
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