2012中考数学压轴题函数直角三角形问题三

2012中考数学压轴题函数直角三角形问题三

‎2012中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)‎ 例 5 ‎ 如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．‎ ‎（1）试说明△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．‎ ‎① 求S与t的函数关系式；‎ ‎② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；‎ ‎③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．‎ 图1‎ 动感体验 ‎ 请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．‎ 观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．‎ 观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．‎ ‎2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．‎ ‎3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．‎ ‎4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．‎ 满分解答 ‎（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．‎ ‎（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．‎ 如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时 ‎．‎ 定义域为0＜t≤2．‎ 如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时 ‎．‎ 定义域为2＜t≤5．‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ ‎②把S＝4代入，得．解得，（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时．‎ ‎③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得．‎ 如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．‎ 所以，当或者时，△MON为直角三角形．‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ 考点伸展 在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．‎ 如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．‎ ‎ ‎ 图6 图7‎ 例6 ‎ 已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．‎ ‎（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：；‎ 思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．‎ ‎（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 动感体验 ‎ 请打开几何画板文件名“08天津25”，拖动点E绕点C任意旋转，可以体验到，△ACM≌△DCM，△BCN≌△DCN．观察度量值，可以看到∠MDN总是等于90°．‎ 思路点拨 ‎1．本题的证明思路是构造△ACM≌△DCM，证明△BCN≌△DCN．‎ ‎2．证明△BCN≌△DCN的关键是证明．‎ ‎3．证明的结论是勾股定理的形式，基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形．‎ 满分解答 ‎（1）如图3，将△沿直线对折，得△，连，则△≌△．因此，，，．‎ 又由，得 ．由，，得．‎ 又，所以△≌△．因此，．‎ 所以．‎ 在Rt△中，由勾股定理，得．即．‎ ‎ ‎ 图3 图4‎ ‎（2）关系式仍然成立．‎ 如图4，将△沿直线对折，得△，连，则△≌△．‎ 所以，，，．‎ 又由，得 ．由，，得．‎ 又，所以△≌△．因此，．‎ 又由于 ‎，‎ 所以．‎ 在Rt△中，由勾股定理，得．即．‎ 考点伸展 当扇形CEF绕点C旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式仍然成立．‎ 图5 图6 图7‎