四点共圆在中考数学解题中的应用赏析

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四点共圆在中考数学解题中的应用赏析

‎“圆”来如此简单 ‎——“四点共圆”在中考解题中的应用赏析 ‎2012年8月,在暑假集体备课之际,新浙教版数学教材以焕然一新的面貌出现在大家眼前。与老版相比,新版教材增加了一些传授内容。其中,九年级上册的《圆内接四边形》就是一节新增内容。而且与之配套的《数学教学参考书》在3.6《圆内接四边形》这一课时末尾,颇有用意地在第103页“相关资源”中对于如何判定四点共圆作了批注。原文如下:‎ 如何判定四点共圆。对于四点共圆的判定一般有以下两种方法:‎ ‎1.如图,四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等(如),则这个四边形为圆内接四边形,也就是四边形的四个顶点共圆。‎ ‎2.如果四边形的两个对角互补,那么这个四边形为圆内接四边形,也就是四边形的四个顶点共圆。‎ 判定四点共圆会给许多几何问题的解决带来方便。‎ 近年来,经过笔者的收集整理和实践探究,发现很多地方的中考试题,都能通过妙用四点共圆达到事半功倍的效果。现就四点共圆问题在中考解题中的应用,采撷几例,剖析解法,供大家分享。‎ 一、四点共圆与线段问题结合的应用举例 例1.(2013•绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.‎ ‎(1)如图1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求证:EF=CD.‎ ‎(2)如图2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.‎ 原方法分析:第(2)小题作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先证明四边形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,则∠FEQ=∠GEH,再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根据正弦函数的定义得出EQ= BE,在△AEH中,根据余弦函数的定义得出EH=AE,又BE=AE,进而求出EF:EG的值.‎ 原方法解答:(1)略 ‎(2)解:如图,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,‎ ‎∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,‎ ‎∴四边形EQDH是矩形,‎ ‎∴∠QEH=90°,‎ ‎∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,‎ 又∵∠EQF=∠EHG=90°,‎ ‎∴△EFQ∽△EGH,‎ ‎∴EF:EG=EQ:EH.‎ ‎∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,‎ ‎∴∠B=30°.‎ 在△BEQ中,∵∠BQE=90°,‎ ‎∴sin∠B=,‎ ‎∴EQ=BE.‎ 在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,‎ ‎∴cos∠AEH=,‎ ‎∴EH=AE.‎ ‎∵点E为AB的中点,∴BE=AE,‎ ‎∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:.‎ 该方法采用 了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形,并且证明四边形EQDH是矩形.‎ 下面赏析四点共圆方法解(2):‎ 解:连结GF,DE ‎∵在△ABC中,∠CAB=90°AC:AB=1:∴∠CBA=300‎ ‎∵AD⊥BC∴△BAD是直角三角形 ‎∵点E为AB的中点∴DE=BE ∴∠EDB=∠CBA=300‎ ‎∵EF⊥CE,AD⊥BC,‎ ‎∴四边形DGEF对角互补 ‎∴D、G、E、F四点共圆 ‎∴∠FGE=∠FDE=300‎ ‎∴EF:EG=tan∠FGE=1:‎ 例2(2013•呼和浩特)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,‎ ‎(1)的值为;‎ ‎(2)求证:AE=EP;‎ ‎(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.‎ 原方法分析:第(2)题 在BA边上截取BK=NE,连接KE,根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP,由AB=CB,BK=BE,得AK=EC,结合∠KAE=∠CEP,证明△AKE≌△ECP,于是结论得出;‎ 原方法解答:(1)(3)略 ‎(2)证明:在BA边上截取BK=NE,连接KE, ‎ ‎∵∠B=90°,BK=BE,‎ ‎∴∠BKE=45°,‎ ‎∴∠AKE=135°,‎ ‎∵CP平分外角,‎ ‎∴∠DCP=45°,‎ ‎∴∠ECP=135°,‎ ‎∴∠AKE=∠ECP,‎ ‎∵AB=CB,BK=BE,‎ ‎∴AB﹣BK=BC﹣BE,‎ 即:AK=EC,‎ 易得∠KAE=∠CEP, ‎ ‎∵在△AKE和△ECP中,‎ ‎,‎ ‎∴△AKE≌△ECP(ASA),‎ ‎∴AE=EP;‎ 该方法采用了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识.此方法综合性很强,图形比较复杂,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择.‎ 下面赏析四点共圆方法解(2):‎ 解:连结AC、AP ‎∵在正方形ABCD中∠BCD=900‎ CP是正方形外角的平分线 ‎∴∠ACD=450∠PCD=450‎ ‎∴∠ACP=900‎ ‎∵∠AEP=90°‎ ‎∴A、E、C、P四点共圆 ‎∴∠APE=∠ACE=450‎ ‎∴△EAP是等腰直角三角形 ‎∴AE=EP 二、四点共圆与函数问题结合的应用举例 例3如图(1),直线交坐标轴于A、B两点,交双曲线于点C,且 ‎ ‎(1)求k的值. (2)如图(2),A,G关于y轴对称,P为双曲线上一点,过P作PD⊥x轴于D,分别交BG,AB于F,E,求证:DE+DF=4‎ ‎(3)Q为双曲线上另一动点,连OQ,过C作CM⊥OQ,CN⊥y轴于N,如图(3),当Q点运动时,∠OMN是否是定值?说明你的理由。‎ 图(1) 图(2) 图(3)‎ 解:(1)(2)略 下面赏析四点共圆方法解(3):‎ 解:连结OC,由(1)可知C(-4,4)‎ ‎∴∠OCN=450‎ ‎∵CM⊥OQ,CN⊥y轴 ‎∴∠CMO=∠CNO=90°‎ ‎∴四边形CMON对角互补 ‎∴C、M、O、N四点共圆 ‎∴∠OMN=∠OCN=450‎ 例4(2011•绍兴)抛物线与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与x轴交于点C.‎ ‎(1)如图1.求点A的坐标及线段OC的长;‎ ‎(2)点P在抛物线上,直线PQ∥BC交x轴于点Q,连接BQ.‎ ‎①若含45°角的直角三角板如图2所示放置.其中,一个顶点与点C重合,直角顶点D在BQ上,另一 个顶点E在PQ上.求直线BQ的函数解析式;‎ ‎②若含30.角的直角三角板一个顶点与点C重合,直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上,求点P的坐标.‎ 原方法分析:(2)①由△CDE是等腰直角三角形,分别过点D作x轴和PQ的垂线,通过三角形全等得到∠DQO=45°,求出点Q的坐标,然后用待定系数法求出BQ的解析式.②分点P在对称轴的左右两边讨论,根据相似三角形先求出点Q的坐标,然后代入抛物线求出点P的坐标.‎ 原方法解答:解:(1)略 ‎(2)①如图:‎ B(1,3)‎ 分别过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于点N,‎ ‎∵PQ∥BC,∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°,‎ ‎∴DMQN是矩形.‎ ‎∵△CDE是等腰直角三角形,‎ ‎∴DC=DE,∠CDM=∠EDN ‎∴△CDM≌△EDN ‎∴DM=DN,‎ ‎∴DMQN是正方形,‎ ‎∴∠BQC=45°‎ ‎∴CQ=CB=3‎ ‎∴Q(4,0)‎ 设BQ的解析式为:y=kx+b,‎ 把B(1,3),Q(4,0)代入解析式得:k=﹣1,b=4.‎ 所以直线BQ的解析式为:y=﹣x+4.‎ ‎②当点P在对称轴右侧,如图:‎ 过点D作DM⊥x轴于M,DN⊥PQ于N,‎ ‎∵∠CDE=90°,∴∠CDM=∠EDN ‎∴△CDM∽△EDN 当∠DCE=30°,‎ 又DN=MQ ‎∴ ‎∴,BC=3,CQ=‎ ‎∴Q(1+,0)‎ ‎∴P1(1+,)‎ 当∠DCE=60°,点P2(1+,﹣).‎ 当点P在对称轴的左边时,由对称性知:‎ P3(1﹣,),P4(1﹣,﹣)‎ 综上所述:P1(1+,),P2(1+,﹣),P3(1﹣,),P4(1﹣,﹣)‎ 下面赏析四点共圆方法解(2):‎ ‎∵∠CDE=90°∠CQE=90°‎ ‎∴四边形CDEQ对角互补 ‎∴C、D、E、Q四点共圆 ‎∴∠DEC=∠DQC 由于(2)中两问∠DEC都是特殊角,并且BC=4,所以都可以由特殊角的三角函数值求出CQ的长,从而得到Q的坐标,接下来直线BQ的解析式,P点的坐标都可迎刃而解。‎ 三、四点共圆与轨迹问题结合的应用举例 例5、(2013鄂尔多斯)如图6,直线y=-x+4与两坐标轴交A、B两点,点P为线段OA上的动点,连接BP,过点A作AM垂直于直线BP,垂足为M,当点P从点O运动到点A时,则点M运动的长为 .‎ 下面赏析四点共圆方法:‎ 解:∵AM垂直于直线BP ‎∴∠AOB=∠AMB=900‎ ‎∴A、M、O、B四点共圆 ‎∴M点运动轨迹是以AB的中点N为圆心,AB长的一半为半径的弧OA,‎ 连结ON,‎ ‎∵直线y=-x+4与两坐标轴交于AB两点,‎ ‎∴OA=OB=4‎ ‎∴ON⊥OB ‎∴∠ONA=900‎ ‎∵AB=‎ ‎∴ON=‎ ‎∴M点运动轨迹长为 例6(2011 浙江湖州)如图1.已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.‎ ‎(1) 求点D的坐标(用含m的代数式表示);‎ ‎(2) 当△APD是等腰三角形时,求m的值;‎ ‎(3) 设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)‎ 解:(1)(2)略 下面赏析四点共圆方法解(3):‎ ‎∵∠OCB=900‎ ‎∴无论P在何处,四边形OCMH对角互补 ‎∴O、C、M、H四点共圆,且该圆就是△CMO的外接圆 ‎∴随着P点的运动,H点的运动轨迹是弧,且弧的起点和终点关键看P的起点和终点 ‎∵P(0,m)是线段OC上的一动点(C点除外),‎ ‎∴‎ 当O与P重合时,H点才开始运动,此时过O、M、B三点的抛物线为 此时ME的解析式为y=-x+3,则,‎ ‎∵‎ ‎∴OHE为等腰直角三角形 ‎∴∠COH=450OM=‎ ‎∵P与C无限靠近时H也将与C无限靠近 ‎∴H点运动的路径终点与C无限靠近 ‎∴H点运动的弧长=‎ 纵观近年各地中考试题,虽然四点共圆问题在中考卷中的考查,直接意图并不是很明显。就如上述几道试题颇有难度,用我们经常提及的基本图形、基本思想、基本技能也能解决,但较为繁琐,而构造四点共圆将所求各类问题转化为圆的常见问题,并用圆的基本性质将问题进行解决,一切都变得顺风顺水,有助于学生初步形成“模型思想”、积累数学活动经验。波利亚曾经说过:“解题是一种实践性的技能,就好像游泳一样。在学习解题时,你必须观察和模仿别人在解题时的做法,最后你通过解题学会解题”。所以在平时的解题中善于模仿、总结和积累,就能独具慧眼,用敏锐的视角发现四点共圆,其解决问题的快速直接会让人不由感叹:解题“圆”来如此简单。‎ 参考文献:‎ 【1】 中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准(修订稿)[S].北京师范大学出版社,2011.‎ 【2】 九年级上册数学教学参考书[M]浙江教育出版社.‎ 【3】 波利亚.《怎样解题》[M]上海科技教育出版社.‎
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