中考数学试题分类汇编考点22：勾股定理

中考数学试题分类汇编考点22：勾股定理

中考数学试题分类汇编：考点 22 勾股定理 一．选择题（共 7 小题） 1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，勾为 3，股为 4， ∴弦为 =5． 故选：A． 2．（2018•枣庄）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D， AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F．若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为 （ ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， 根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似 三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点 F 作 FG⊥AB 于点 G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF 平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF 平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， 2 ∴△BFG∽△BAC， ∴ = ， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴ = ， ∵FC=FG， ∴ = ， 解得：FC= ， 即 CE 的长为 ． 故选：A． 3．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国 古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个 小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角 边长为 b．若 ab=8，大正方形的面积为 25，则小正方形的边长为（ ） A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题 目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为： ab= ×8=4， ∴4× ab+（a﹣b）2=25， ∴（a﹣b）2=25﹣16=9， ∴a﹣b=3， 故选：D． 4．（2018•温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形 为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后 人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这 样的图形拼成，若 a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ） A．20 B．24 C． D． 【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形 的边长为 x，在直角三角形 ACB 中，利用勾股定理可建立关于 x 的方程，解 方程求出 x 的值，进而可求出该矩形的面积． 【解答】解：设小正方形的边长为 x， ∵a=3，b=4， ∴AB=3+4=7， 在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2， 即（3+x）2+（x+4）2=72， 整理得，x2+7x﹣12=0， 解得 x= 或 x= （舍去）， ∴该矩形的面积=（ +3）（ +4）=24， 故选：B． 5．（2018•娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为 49，则 sinα﹣cosα=（ ） 4 A． B．﹣ C． D．﹣ 【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出 AC， 然后根据正弦和余弦的定义即可求 sinα和 cosα的值，进而可求出 sinα﹣cosα 的值． 【解答】解：∵小正方形面积为 49，大正方形面积为 169， ∴小正方形的边长是 7，大正方形的边长是 13， 在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2， 即 AC2+（7+AC）2=132， 整理得，AC2+7AC﹣60=0， 解得 AC=5，AC=﹣12（舍去）， ∴BC= =12， ∴sinα= = ，cosα= = ， ∴sinα﹣cosα= ﹣ =﹣ ， 故选：D． 6．（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有 这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十 三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位， 1 里=500 米，则该沙田的面积为（ ） A．7.5 平方千米 B．15 平方千米 C．75 平方千米 D．750 平方千米 【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答 案． 【解答】解：∵52+122=132， ∴三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千 米）． 故选：A． 7．（2018•东营）如图所示，圆柱的高 AB=3，底面直径 BC=3，现在有一只 蚂蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是 （ ） A． B． C． D． 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短， 然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A、C 的最短距离为 线段 AC 的长． 在 Rt△ADC 中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD 为底面半圆弧长，AD=1.5π， 所以 AC= ， 故选：C． 二．填空题（共 8 小题） 8．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以 点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C，则点 C 坐标为 （﹣ 1，0） ． 6 【分析】求出 OA、OB，根据勾股定理求出 AB，即可得出 AC，求出 OC 长即 可． 【解答】解：∵点 A，B 的坐标分别为（4，0），（0，3）， ∴OA=4，OB=3， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：AB= =5， ∴AC=AB=5， ∴OC=5﹣4=1， ∴点 C 的坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0）， 9．（2018•玉林）如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4， 则 AD 的取值范围是 2＜AD＜8 ． 【分析】如图，延长 BC 交 AD 的延长线于 E，作 BF⊥AD 于 F．解直角三角形 求出 AE、AF 即可判断； 【解答】解：如图，延长 BC 交 AD 的延长线于 E，作 BF⊥AD 于 F． 在 Rt△ABE 中，∵∠E=30°，AB=4， ∴AE=2AB=8， 在 Rt△ABF 中，AF= AB=2， ∴AD 的取值范围为 2＜AD＜8， 故答案为 2＜AD＜8． 10．（2018•襄阳）已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD= ，AD=1，AB=2AC， 则 BC 的长为 2 或 2 ． 【分析】分两种情况： ①当△ABC 是锐角三角形，如图 1， ②当△ABC 是钝角三角形，如图 2， 分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可． 【解答】解：分两种情况： ①当△ABC 是锐角三角形，如图 1， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∵CD= ，AD=1， ∴AC=2， ∵AB=2AC， ∴AB=4， ∴BD=4﹣1=3， ∴BC= = =2 ； ②当△ABC 是钝角三角形，如图 2， 同理得：AC=2，AB=4， ∴BC= = =2 ； 综上所述，BC 的长为 2 或 2 ． 故答案为：2 或 2 ． 8 11．（2018•盐城）如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q 分别为边 BC、AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直 角三角形，则 AQ= 或 ． 【分析】分两种情形分别求解：①如图 1 中，当 AQ=PQ，∠QPB=90°时，② 当 AQ=PQ，∠PQB=90°时； 【解答】解：①如图 1 中，当 AQ=PQ，∠QPB=90°时，设 AQ=PQ=x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴ = ， ∴ = ， ∴x= ， ∴AQ= ． ②当 AQ=PQ，∠PQB=90°时，设 AQ=PQ=y． ∵△BQP∽△BCA， ∴ = ， ∴ = ， ∴y= ． 综上所述，满足条件的 AQ 的值为 或 ． 12．（2018•黔南州）如图，已知在△ABC 中，BC 边上的高 AD 与 AC 边上的 高 BE 交于点 F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC 的面积为 60 ． 【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出 AF=BC=10，设 DF=x．由△ADC∽△ BDF，推出 = ，构建方程求出 x 即可解决问题； 【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°， ∵∠BAC=45°， ∴AE=EB， ∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBE， ∴△AEF≌△BEC， ∴AF=BC=10，设 DF=x． ∵△ADC∽△BDF， ∴ = ， ∴ = ， 整理得 x2+10x﹣24=0， 解得 x=2 或﹣12（舍弃）， ∴AD=AF+DF=12， ∴S△ABC= •BC•AD= ×10×12=60． 故答案为 60． 13．（2018•滨州）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，点 E、F 分别在 BC、 10 CD 上，若 AE= ，∠EAF=45°，则 AF 的长为 ． 【分析】取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x，则 NF= x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角 形的性质：对应边的比值相等可求出 x 的值，在直角三角形 ADF 中利用勾股 定理即可求出 AF 的长． 【解答】解：取 AB 的中点 M，连接 ME，在 AD 上截取 ND=DF，设 DF=DN=x， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4， ∴NF= x，AN=4﹣x， ∵AB=2， ∴AM=BM=1， ∵AE= ，AB=2， ∴BE=1， ∴ME= = ， ∵∠EAF=45°， ∴∠MAE+∠NAF=45°， ∵∠MAE+∠AEM=45°， ∴∠MEA=∠NAF， ∴△AME∽△FNA， ∴ ， ∴ ， 解得：x= ， ∴AF= = ． 故答案为： ． 14．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾 股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺， 问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°， AC+AB=10，BC=3，求 AC 的长，如果设 AC=x，则可列方程为 x2+32=（10﹣x） 2 ． 【分析】设 AC=x，可知 AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：设 AC=x， ∵AC+AB=10， ∴AB=10﹣x． ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2，即 x2+32=（10﹣x）2． 故答案为：x2+32=（10﹣x）2． 15．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为 14cm，底面周长为 32cm，在 杯内壁离杯底 5cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯 上沿 3cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 20 cm（杯壁厚度不计）． 【分析】将杯子侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A′，根据两点之间线段 最短可知 A′B 的长度即为所求． 【解答】解：如图： 12 将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′， 连接 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B= = =20（cm）． 故答案为 20． 三．解答题（共 2 小题） 16．（2018•杭州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以点 B 为圆心，BC 长为 半径画弧，交线段 AB 于点 D；以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD． （1）若∠A=28°，求∠ACD 的度数． （2）设 BC=a，AC=b． ①线段 AD 的长是方程 x2+2ax﹣b2=0 的一个根吗？说明理由． ②若 AD=EC，求 的值． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出 ∠BCD，计算即可； （2）①根据勾股定理求出 AD，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°， ∴∠B=62°， ∵BD=BC， ∴∠BCD=∠BDC=59°， ∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°； （2）①由勾股定理得，AB= = ， ∴AD= ﹣a， 解方程 x2+2ax﹣b2=0 得，x= = ﹣a， ∴线段 AD 的长是方程 x2+2ax﹣b2=0 的一个根； ②∵AD=AE， ∴AE=EC= ， 由勾股定理得，a2+b2=（ b+a）2， 整理得， = ． 17．（2018•台湾）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在 5×5 的方格 棋盘上从 A 点行走至 B 点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条 行走路径 R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示： 路径 编号 图例 行径位置 第一条路径 R1 _ A→C→D→B 第二条路径 R2 … A→E→D→F→B 第三条路径 R3 ▂ A→G→B 已知 A、B、C、D、E、F、G 七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆 为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断 R1、R2、R3 这三条路径 中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由． 【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得． 【解答】解：第一条路径的长度为 + + =2 + ， 第二条路径的长度为 + +1+ = + + +1， 第三条路径的长度为 + =2 + ， ∵2 + ＜2 + ＜ + + +1， 14 ∴最长路径为 A→E→D→F→B；最短路径为 A→G→B．