北京门头沟区中考数学二模试题及答案

北京门头沟区中考数学二模试题及答案

‎2012年门头沟区初三年级第二次统一练习 数 学 试 卷 考生须知 ‎1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。 ‎ ‎3．试题答案一律添涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。‎ ‎4. 在答题卡上，选择题、作图题2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5. 考试结束，请将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的.‎ ‎1. 的倒数是 A. B.4 C. D.‎ ‎2. 在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．将 0.000 0963用科学记数法表示为 A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 Ａ．‎ Ｂ．‎ Ｃ．‎ Ｄ．‎ ‎4. 五边形的内角和是 A.360° B.540° C.720° D.900°‎ ‎5. 为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，‎ 九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量 绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量 在5.5～6.5组别的频率是 A. 0.1 B. 0.2 ‎ C. 0.3 D. 0.4‎ ‎6. 某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，两组数据的平均数相同，其方差分别为s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，则下列说法正确的是 ‎ A．甲比乙的产量稳定 B．乙比甲的产量稳定 ‎ C．甲、乙的产量一样稳定 D．无法确定哪一品种的产量更稳定 ‎7.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎8. 如图，已知MN是圆柱底面直径，NP是圆柱的高.在圆柱的侧面上，‎ 过点M、P嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿NP剪开，‎ 所得的侧面展开图是 A. ‎ B. C. D.‎ 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9. 分解因式：= .‎ ‎10. 如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，‎ 若 ，AE=3，则AC= .‎ ‎11.一商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元. 该商场为促销决定：买1支毛笔就赠送1本书法练习本. 某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种练习本x（）本， 则付款金额y（元）与练习本个数x（本）之间的函数关系式是 .‎ ‎12. 一组按规律排列的式子：，，，，…，其中第6个式子是 ，第个式子是 （为正整数）．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13.计算：‎ ‎14.解不等式组：‎ ‎15.已知：，求的值.‎ ‎16. 已知：如图，点E、F分别为□ABCD 的BC、AD 边上的点，且∠1=∠2. ‎ 求证：AE=FC. ‎ ‎17. 如图，已知反比例函数y= (x＞0)的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．‎ ‎（1）求一次函数的解析式；‎ ‎（2）结合图象回答：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.‎ ‎18. 列方程或方程组解应用题 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天修的桌凳套数是甲小组的1.5倍．求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？‎ 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）‎ ‎19.已知：如图，四边形ABCD中，BC=CD=DB，∠ADB=90°，‎ sin∠ABD=，S△BCD=. 求四边形ABCD的周长.‎ ‎20. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．‎ 点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足 为D.‎ ‎(1)求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长.‎ ‎21.甲学校到丙学校要经过乙学校. 从甲学校到乙学校有A1、A2、A3三条线路，从乙学校到丙学校有B1、B2二条线路．‎ ‎（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果；‎ ‎（2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了B1线路的概率是多少？ ‎ ‎22. 数学课上，同学们探究发现：如图1，顶角为36°‎ 的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明.‎ ‎（1）证明后，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图2、图3也具有这种特性．请你在 图2、图3中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；‎ ‎ （2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可以把它分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出此三角形的各内角的度数．（说明：要求画出的既不是等腰三角形，也不是直角三角形．） 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23. 已知抛物线y＝ax2＋x＋2.‎ ‎(1)当a＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；‎ ‎(2)若代数式－x2＋x＋2的值为正整数，求x的值；‎ ‎(3)若a是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.‎ ‎ ‎ ‎24. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD、MF，此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．‎ ‎（1）在图1中，请你判断直线FM和BD是否垂直？并证明你的结论；‎ ‎（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A 顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；‎ ‎（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少.‎ D M A B F 图3‎ N F2‎ P A2‎ M2‎ D M A B F D1‎ 图2‎ B1‎ K C D M A B F E 图1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎25. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为 ，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）.‎ ‎（1）求出点C的坐标；‎ ‎（2）求S随t变化的函数关系式；‎ ‎（3）当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.‎ O x y A B C D P Q ‎2012年数学二模评标 一、选择题 ‎1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 二、填空题 ‎9. 10. 11. 12. ， ‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13.解：原式= ……………………………………4分 ‎ = ………………………………………….5分 ‎14. ‎ 解：由（1）得， …………………………………….2分 由（2）得，x<3 ………………………………………4分 不等式组的解集是 ………………………5分 ‎15.解： ‎ ‎ = ………………………..3分 ‎= ……………………………………..4分 当x=3时，原式= = = …………………………5分 ‎16.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎ ∴AB=CD，∠B=∠D. ………………………….2分 ‎ ∵∠1=∠2，……………………………………….3分 ‎ △ABE≌△CDF. ………………………………4分 ‎ AE=CF. ………………………………………5分 ‎17.解：（1）由题意得，m=6，n=3.‎ ‎ ∴A（1,6），B（3,2）. …………………………2分 由题意得， ‎ 解得， ‎ ‎∴一次函数解析式为y=-2x+8. ……………………3分 ‎（2）反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围是03. …..5分 ‎18.解：设甲组每天修桌凳x套，则乙组每天修桌凳为1.5x套. …………………………..1分 ‎ 由题意得， …………………………………………….3分 解得，x=16 ………………………………………………………………………4分 经检验，x=16是原方程的解，且符合实际意义.‎ ‎1.5x=1.5 16=24 …………………………………………………………..5分 ‎ 答：甲组每天修桌凳16套，乙组每天修桌凳为24套.‎ ‎19.解：过C作CE⊥BD于E.‎ ‎∵∠ADB=90°，sin∠ABD= ，‎ ‎∴AD=4x,AB=5x. ………………………..1分 ‎∴DB=3x ‎∵BC=CD=DB，‎ ‎∴DE= ，∠CDB=60°. ………………………2分 ‎∴tan∠CDB= ‎ ‎∴CE= . ……………………………3分 ‎∵S△BCD= ,‎ ‎∴ ‎ ‎ ∴ x=2. ………………………………………….4分 ‎∴AD=8,AB=10,CD=CB=6.‎ ‎∴四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+CB=30. ……………………………..5分 ‎20.(1)证明：连接OC,‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠OCA=∠OAC.‎ ‎∵CD⊥PA，‎ ‎∴∠CDA=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠DCA=90°，‎ ‎∵AC平分∠PAE，‎ ‎∴∠DAC=∠CAO. ………………………1分 ‎∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. ‎ ‎∴CD为⊙O的切线． …………………………2分 ‎(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，‎ ‎∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，‎ ‎∴四边形OCDF为矩形，‎ ‎∴OC=FD，OF=CD.‎ ‎∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x， ……………………3分 ‎∵⊙O的直径为10，‎ ‎∴DF=OC=5，∴AF=5-x，‎ 在Rt△AOF中，由勾股定理得 .‎ 即 ，化简得： ‎ 解得 或 （舍）. ………………………4分 ‎∴AD=2, AF=5-2=3.‎ ‎∵OF⊥AB， ‎ AB=2AF=6. ………………………..5分 ‎21.(1)‎ ‎ ‎ ‎………………………………..2分 结果：（A1，B1）,（A1，B2）,（A2，B1）,（A2，B2）,（A3，B1）,（A3，B2） ………….4分 ‎（2）小张恰好经过了B1线路的概率是 ………………………………………….6分 ‎22.（1）正确 ……………………………….2分（一个1分）‎ ‎ （2）正确 ………………………………..4分 ‎23. 当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2.‎ ‎　∴抛物线的顶点坐标为( ， )，对称轴为直线x= .……2分 ‎(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数.‎ 又因为函数的最大值为 ，∴y的正整数值只能为1或2.‎ ‎　　当y=1时，-x2+x+2＝1，解得 ， …………3分 ‎　　当y=2时，-x2+x+2＝2，解得x3=0,x4=1.……………4分 ‎　　∴x的值为 ， ，0或1.‎ ‎（3）　　当a＜0时，即a1＜0，a2＜0.‎ ‎　　经过点M的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为 ,‎ ‎　　经过点N的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为 .…………5分 ‎∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)‎ ‎∴直线 在直线 的左侧……………6分 ‎∴ ＜ .‎ ‎∴a1＜a2.…………………………………………………………7分 ‎24. 解：（1）垂直. …………………………1分 证明：延长FM交BD于N.‎ 如图1，由题意得：△BAD≌△MAF．‎ ‎∴∠ADB＝∠AFM．‎ 又∵∠DMN＝∠AMF，‎ ‎∴∠ADB＋∠DMN＝∠AFM＋∠AMF＝90°．‎ ‎∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF． 2分 ‎（2）β的度数为60°或15°（答对一个得1分） 4分 ‎（3）如图2，由题意知四边形PNA2A为矩形，设A2A＝x，则PN＝x．‎ 在Rt△A2M2F2中，∵M2F2＝MF＝BD＝8，∠A2F2M2＝∠AFM＝∠ADB＝30°．‎ ‎∴M2A2＝4，A2F2＝ . …………………………..5分 ‎∴AF2＝ －x．‎ 在Rt△PAF2中，∵∠PF2A＝30°．‎ ‎∴AP＝AF2 30°＝( －x)• ＝4－ x．‎ ‎∴PD＝AD－AP＝ －4＋ x． ……………..6分 ‎ ‎∵NP∥AB，∴ ＝ ．∴ ＝ ，‎ 解得x＝6－ ．即平移的距离是(6－ )cm．…………………………..7分 ‎25. 解：（1）把y＝4代入y＝－ x＋ ，得x＝1.‎ ‎ ∴C点的坐标为（1，4）. ……………………………………….1分 ‎ （2） 当y＝0时，－ x＋ ＝0，‎ ‎∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）.‎ 过点C作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3.‎ ‎∴BC＝ ＝ ＝5.‎ ‎∴sin∠ABC＝ ＝ .‎ ‎① 0＜t＜4时，过Q作QN⊥OB于N，‎ 则QN＝BQ•sin∠ABC＝ t.‎ ‎∴S＝ OP•QN＝ （4－t）× t ＝－ t2＋ t（0＜t＜4）. ……………2分 ‎②当4＜t≤5时， ‎ 连接QO，QP，过点Q作QN⊥OB于N.‎ 同理可得QN＝ t.‎ ‎∴S＝ OP•QN＝ ×（t－4）× t.‎ ‎ ＝ t2－ t（4＜t≤5）. …………………………….3分 ‎③当5＜t≤6时， ‎ 连接QO，QP.‎ S＝ ×OP×OD＝ （t－4）×4. ‎ ‎ ＝2t－8（5＜t≤6）. ……………………………….4分 S随t变化的函数关系式是 .‎ ‎（3）①当0＜t＜4时，‎ ‎∵－ <0‎ 当t＝ ＝2时，‎ S最大＝ ＝ . ……………………………5分 ‎②当4＜t≤5时， S＝ t2－ t，对称轴为t＝－ ＝2，‎ ‎∵ >0‎ ‎∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大.‎ ‎∴当t＝5时，S最大＝ ×52－ ×5＝2. …………………………..6分 ‎③当5＜t≤6时，‎ 在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大.‎ ‎∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分 ‎∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4. ………………………8分